第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

1、第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法课程教学内容：课程教学内容： 第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 弹性力学变分原理弹性力学变分原理第三章第三章 有限元单元法有限元单元法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第五章第五章 刚塑性有限元法刚塑性有限元法基本理论与模拟方法基本理论与模拟方法第六章第六章 弹塑性有限元变形有限元基本方程弹塑性有限元变形有限元基本方程第七章第七章 塑性加工中的传热问题塑性加工中的传热问题第八章第八章 几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例第四章第四

2、章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.1 非线性问题及分类非线性问题及分类 在分析线性弹性问题时，假定： 应力应变线性关系 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸） 加载时边界条件的性质不变 如果不满足上述条件之一，就称为如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题非线性问题 非线性结构的基本特征：变化的结构刚度( ) K q qPKqP第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性问题可以分为三类： 材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变关系的非

3、线性引起。 如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等 几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化。 如板壳的大挠度问题平衡方程必须建立于变形后的状态 接触非线性：接触状态的变化所引起。 如金属成形、跌落试验、多零件装配体等第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法碰到障碍物的悬臂梁（碰到障碍物的悬臂梁（端端部碰到障碍物时，梁端部部碰到障碍物时，梁端部的边界条件发生了突然变的边界条件发生了突然变化，阻止了进一步的竖向化，阻止了进一步的竖向挠度。挠度。）板料的冲压成形接触非线性例子接触非线性例子第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限

4、元法基本理论与模拟方法随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的进步及实际工业的需求，CAE技术的应用逐步由线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。1969年，第一个商业非线性有限元程序Marc诞生。目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问题的分析求解能力。非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量一个结构分析程序优劣的标准。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性问题的有限元求解方法非线性问题的有限元求解方法非线性方程(组)的求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代法修正的Newton-Raphson迭代法非线性问题通常采用增量法求

5、解（追踪加载过程中应力和变形的演变历史。）每个增量步采用Newton-Raphson迭代法( ) K q qP非线性问题有限元控制方程：第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性方程的迭代求解方法非线性方程的迭代求解方法( )0f x 1( ) ()kkxg xxg x1()()kkkkf xxxfx10()()kkkf xxxfx第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性方程组的迭代求解方法非线性方程组的迭代求解方法11221212( ,)0( ,)0( ,)0nnnnf x xxfx xxfx xxF x0

6、 ( )=1122( )0( )0, ( ), 0( )nnxfxfxf xxxF x0 x第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法1( ) ()kkxg xxg x11()()kkkkxxF xF x110()()kkkxxF xF x111122221212 () knnknnnnfffxxxfffxxxfffxxxx xF x第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法非线性问题的增量法求解过程非线性问题的增量法求解过程(1) 将总的外力载

7、荷分为一系列载荷段(2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法(1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段( ) K q qP第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法(2) (2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛在每一载荷段中进行迭代，直至收敛( ) K q qP( )1()kTKq( )(1)( )kkkiiPPP( )1kP( )( )( )1kkkiiiqqqN-R迭代:( )( )( )()kkkTiii KqqP( )1kq(1)kq(

8、)kq(1)( )kK q qP第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法(3) (3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加所有载荷段循环，并将结果进行累加第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.2 材料非线性问题及分类材料非线性问题及分类 概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的非线性。 分类：不依赖时间的弹、塑性问题 非线性弹性橡胶 弹塑性冲压成形依赖于时间的粘（弹、塑）性问题 蠕变载荷不变，变形随时间继续变化 松弛变形不变，应力随时间衰减第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方

9、法非线性弹性材料行为非线性弹性材料行为橡胶应力应变关系曲线第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 弹塑性材料进入塑性的特征：载荷卸去后存在不可恢复的永久变形。 应力应变之间不是单值对应关系，与加载历史有关。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法单轴应力状态下弹塑性材料行为 单轴（一维）应力状态下材料的应力应变行为可以从拉伸试验中获得。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法LF0snomnom0s00nomnomFALL0(1)lnl(1n)nomnomnomFALL0sp(1

10、)ln(1)penomnomnomE第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法0s()ssp p单调加载单调加载硬化塑性0sp理想弹塑性第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法02s1r1r1s1s1s0s()sp 各向同性硬化:运动硬化:混合硬化:11sr 1102rss11sr1102rss反向加载反向加载运动硬化各向同性硬化混合硬化第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 在简单拉伸的情况下在简单拉伸的情况下，当材料发生塑性变形后卸载，当材料发生塑性变形后卸载，此后再重新加载，

11、则应力和应变的变化仍服从弹性关系，此后再重新加载，则应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才直至应力到达卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才再再次屈服次屈服（后继屈服后继屈服）。）。 这个最高应力点的应力就是材料在经历了塑性变形后这个最高应力点的应力就是材料在经历了塑性变形后的新的屈服应力。由于材料的强化特性，它比初始屈服应的新的屈服应力。由于材料的强化特性，它比初始屈服应力大。力大。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法为了与初始屈服应

12、力相区别，我们称之为为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力后继屈服应力。与初始屈服应力不同，与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史于塑性变形的大小和历史。后继屈服应力是在简单拉伸下，材料后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 和简单应力状态相

13、似，材料和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下在复杂应力状态下同样同样存在初始屈服和后继屈服的问题存在初始屈服和后继屈服的问题。 材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹后继弹性状态性状态）。）。 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的准则就称

14、为准则就称为后继屈服条件后继屈服条件，又称为，又称为加载条件加载条件。问题问题: : 当材料处于后继弹性状态而继续加载时，应力（或变当材料处于后继弹性状态而继续加载时，应力（或变形）发展到什么程度材料再一次开始屈服呢？形）发展到什么程度材料再一次开始屈服呢？第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法一般应力状态下弹塑性材料行为一般应力状态下弹塑性材料行为 屈服准则（初始屈服条件） 硬化法则 （后继屈服函数、加载函数、加载曲面） 流动法则 加载、卸载准则第四章第四章 弹塑性有限元法基

15、本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法屈服准则（初始屈服条件）屈服准则（初始屈服条件） 在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料开始产生塑性变形。开始产生塑性变形。 对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量材料是否进入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量为坐标的应力空间，根据代表不同应力路径的实验结果，为坐标的应力空间，根据代表不同

16、应力路径的实验结果，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服应力点。在应力空间中，这些屈服应力点形成一个应力点。在应力空间中，这些屈服应力点形成一个区分区分弹性和塑性的分界面弹性和塑性的分界面屈服面。屈服面。描述这个屈服面的数描述这个屈服面的数学表达式就是我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准学表达式就是我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准则。则。0()0ijF第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法常用的各向同性Von-Mises屈服准则：02011()023ijijijsF u各向同性屈服准则：各个

17、方向屈服应力相同u各向异性屈服准则：不同方向屈服应力有差异第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法031)()()(61)(202132322210sijF三维主应力空间12o123o平面上的屈服轨迹3=0平面上的屈服轨迹第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法硬化法则硬化法则 塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈服函数（又称加载函数或加载曲面）屈服函数（又称加载函数或加载曲面） 各向同性硬化

18、各向同性硬化 运动硬化运动硬化 混合硬化混合硬化第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法2(, )011 ()23ijpijijsFkfkfk 0200,01213ijijijijijijsFfkfk运动硬化：该模型假设材料随塑性变形发展时，屈服面的大小和形状不变，仅是整体在应力空间作平动。 各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外扩张，其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。 材料的强化只与总的塑性变形功有关而与加载路径无关。 应力有反复变化时，等向强化模型与实验结果不相符合。 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性

19、有限元法基本理论与模拟方法混合硬化：其实质就是将随动强化模型和等向强化模型结合起来，即认为后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化 。该模型能够更好的反映材料的Bauschinger效应 。各向同性硬化运动硬化()0ijijFfk1212第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法流动法则pijijFdd塑性应变增量和应力分量的关系：塑性应变沿后继屈服面 F=0 的法线方向pijijFddd是一正的待定系数，其具体数值和 材料硬化准则有关0F 12第四章第四章 弹塑性有

20、限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法加载、卸载准则加载、卸载准则对于硬化材料（当材料处于某一塑性状态）：第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.3几何非线性问题及分类 概念：由于大位移、大转动而引起的非线性。 分类：大位移、大转动、小应变问题 板壳的大挠度和后屈曲大位移、大转动、大应变问题 薄板成形、弹性材料的受力第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法比较：线弹性比较：线弹性 几何非线性几何非线性 线弹性：线弹性：小变形假设小变形假设假定物体发生的位移远假定物体发生的位移远小于物体本身的几何尺

21、寸，应变远小于小于物体本身的几何尺寸，应变远小于1 1。建立平。建立平衡方程时不考虑物体位置和形状的变化。衡方程时不考虑物体位置和形状的变化。 几何非线性：几何非线性：物体发生有限变形物体发生有限变形大位移、大大位移、大转动的情况。建立平衡方程时必须考虑物体位置转动的情况。建立平衡方程时必须考虑物体位置和形状的变化。和形状的变化。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.4 4.4 弹塑性矩阵弹塑性矩阵 应力与应变的关系有各种不同的近似表达式和简化式。应力与应变的关系有各种不同的近似表达式和简化式。根据普兰特尔根据普兰特尔罗伊斯（罗伊斯（Prandtl-

22、Reuss Prandtl-Reuss ）假设和密赛斯屈）假设和密赛斯屈服准则，当外作用力较小时，变形体内的等效应力小于屈服服准则，当外作用力较小时，变形体内的等效应力小于屈服极限时为极限时为弹性状态弹性状态。当外力增大到某一值，等效应力达到屈。当外力增大到某一值，等效应力达到屈服应力，材料进入服应力，材料进入塑性状态塑性状态，这时变形包括弹性变形和塑性，这时变形包括弹性变形和塑性变形两部分，即：变形两部分，即： 式中下脚式中下脚e e、p p 分别表示弹、塑性状态。分别表示弹、塑性状态。 epddd(4-10)在弹性阶段，应力与应变关系符合虎克定律。在弹性阶段，应力与应变关系符合虎克定律。进

23、入塑性状态后，符合进入塑性状态后，符合 Prandtl-Reuss Prandtl-Reuss 假设。假设。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.4.1 4.4.1 弹性阶段弹性阶段 在弹性阶段，应力和应变的关系是线性的，应变仅取决在弹性阶段，应力和应变的关系是线性的，应变仅取决于最后的应力状态，并且一一对应，而与变形过程无关，有于最后的应力状态，并且一一对应，而与变形过程无关，有下列下列全量全量形式：形式： 式中式中 为为弹性矩阵弹性矩阵。 De(4-11) eD第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法1000

24、1 21 21 210001 21 21 210001 21 21 21100000210000021000002EDe对于各向同性材料，由广义虎克定律可得：对于各向同性材料，由广义虎克定律可得： 01000111000110001 2002 11 202 11 22 1eDD或：或：0111 2ED(4-12)式中：式中： 是材料的是材料的弹性模量弹性模量， 是是泊松比泊松比。E第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法对于各向同性材料，广义虎克定律：对于各向同性材料，广义虎克定律： 1(1)1(2)1(3)222xxyzyyxzzzxyxyxyyzyzz

25、xzxEEEGGG 是材料的是材料的剪切弹性模剪切弹性模量量式中：式中： 是材料的是材料的弹性模量弹性模量， 是是泊松比泊松比。EG2(1)EG公式（公式（4-124-12）的具体推导：）的具体推导： 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法（2）+（3）有：）有：将其带入（将其带入（1 1）得：）得：12yzyzxE21yzxyzE211yzxxxEE将其带入（将其带入（1 1）得：）得：22(1)(1)2(1)2(1)(1)(12 )(1(1)(1) (12 )(12 )xxyzxxxxyzxxyzxxyzEEEEEEE 第四章第四章 弹塑性有限元法基

26、本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法同理可推得同理可推得 得表达式得表达式 ，写成矩阵的形式，就是：，写成矩阵的形式，就是： ,xy 10001 21 21 210001 21 21 210001 21 21 21100000210000021000002EDe第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.4.2 4.4.2 弹塑性阶段弹塑性阶段 当材料所受外力达到一定值时，等效应力达到屈服极限，应当材料所受外力达到一定值时，等效应力达到屈服极限，应力应变关系曲线由力应变关系曲线由弹塑性矩阵弹塑性矩阵 决定，现推导弹塑性矩阵。决定，现推导弹塑性矩

27、阵。 等效应力等效应力为：为： 对应力求导得：对应力求导得： 式中式中 为应力偏量，为应力偏量， (4-13)(4-14)Dep222222162xyyzzxxyyzzx333,2223,3,3yxzxyzxyyzzxxyyzzxSSSijS,/3ijijijmmiiS 333,2223,3,3yxzxyzxyyzzxxyyzzxSSSSSS第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 22112222222262 21433123232xyzxxxyyzzxxyyzzxxyzxmxSx 公式（公式（4-144-14）对应力求导的具体推导：）对应力求导的具体推

28、导： 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 2221211222226121433xyxyxyyzzxxyxyxyxyyzzxS 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 由普兰特尔由普兰特尔罗伊斯关系有：罗伊斯关系有：将式将式 4-14 代入式代入式 4-15 得得： 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： (4-15)(4-16)(4-17)32ppijijddS,ppppppxyzxyzppppppxyyzzxxyyzzxdddddddddddd ppddpijijdd S第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟

29、方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法公式（公式（4-164-16）的具体推导：）的具体推导： 332232232ppppxxxxxpppxypxyxyxyxySddd SSddSddd SSdd工程切应变:第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法式中式中: 又因有：又因有： 写成矩阵乘积的形式为：写成矩阵乘积的形式为： ppdd TT,ppppppxyzxyyzzxpxyzxyyzzxddddddd (4-18) ijijdd Tdd(4-19) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法设设 为硬化曲线为硬化曲线 上任

30、一点的斜率，即上任一点的斜率，即 将式将式 4-20 4-20 代入式代入式 4-19 4-19 中得：中得： 将式将式 4-11 4-11 写成增量形式为写成增量形式为： HpdpdHd(4-20) TpdH d(4-21) edDd(4-22) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法再利用式再利用式4-10 4-10 就可得到：就可得到： 两边同乘以两边同乘以 后可得后可得: :利用式利用式4-17 4-17 和式和式 4-214-21，可将上式写成：，可将上式写成： pedDdd(4-23) (4-24) (4-25) T TTpedDdd TTp

31、peeH dDdDd第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法由此得：由此得： 将式将式 4-26 4-26 代入式代入式 4-17 4-17 得：得： TTepeDddHD(4-27) (4-26) TTepeDddHD第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法将式将式 4-27 4-27 代入式代入式 4-23 4-23 得：得： TTeeeeDDdDdHD(4-28) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法由式由式4-14 4-14 有：有： 则则: : T333333,222

32、yxyyzxzxzSSS(4-29) T3,2,2,22exyzxyyzzxeDDSSS(4-30) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法将式将式 4-12 4-12 代入式代入式 4-304-30，并注意到：，并注意到： 得：得： 因有：因有： 0 xyzSSS T3,xyzxyyzzxeGDSSS(4-31) TTeeDD(4-32) (4-33) T3eDG第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法2(1)EG110000001 21 21 21 21 21 2110000001 21 21 21 21 21

33、2110000001 21 21 21 21 21 22111000000000022100000000021000002EDGe1021000002因为：因为：所以：所以：公式（公式（4-314-31）的具体推导：）的具体推导： 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法故：故： 11 21 21 211 21 21 21TT1 21 21 212121211 21 21 211 21 21 200000030003,2,2,22,2,2,2220000003exyzxyyzzxxyzxyyzzxDSSSGSSSG11 21 21 211 21 21 21

34、1T1 21 21 21 21 21 21212121 21 20003,2,2,23xyzxyzxyzxyzxyyzzxxyyzzxxSSSSSSSSSGSSSSG 1 21 21 21 21 2T1 21 2()()()3,xyzyxyzzxyzxyzxyyzzxxyyzzxSSSSSSSSSSSGSSS注意：注意：0 xyzSSS第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法因为：因为：所以：所以：公式（公式（4-334-33）的具体推导：）的具体推导： 0,xyzSSS即：即：2222()2()0 xyzxyxxyyzzxSSSSSSS SS SS S2

35、222()xyxxyyzzxSSSS SS SS S 3222222232222222122222222221222222212212(222)3()6()2()()6()2()2()6()(2ijijxyxxyyzzxxyxxyyzzxxyxxyxxyyzzxxyxxyyzzxxyyzzxxS SSSSSSSSSSSSSSSSS SS SS SS2222222222222212222222122)(2)(2)6()()()()6()()()()6()xyyyyzzzzxxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxS SSSS SSSS SSSSSSSS那么：那么：第四章第四

36、章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 TT222222223333333,22233(222)23323eyxyyzxzxzxyzxyyzzxxyzxyyzzxijijDSSSGSSSGSSSGS SG或者： TT222222223333333,22233(222)23323eyxyyzxzxzxyzxyyzzxxyzxyyzzxijijDSSSGSSSGSSSGS SG第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法故令：故令： 式式 4-28 4-28 可写成：可写成： T3eepDDDHG epepdDDdDd(4-34) (

37、4-35) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法利用上述关系式可将式利用上述关系式可将式4-34 4-34 表示成显式，即：表示成显式，即： 2222222293xxyxzxxyxyzxzxyyzyxyyyzyzxzzxyzyzzzxpxyxyyzxyzxyzyzzxzxSS SS SSSSSS SSSSSSSSGDHG 对称(4-36) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 T3eepDDDHGT133,3xyzxyyzzxxyzxyyzzxGGSSSSSSHG2T29,(3 )xyzxyyzzxxyzxyy

38、zzxGSSSSSSHG T3,xyzxyyzzxeGDSSS(4-31) 229,(3 )xyzxyzxyyzzxxyyzzxSSSGSSSHG公式（公式（4-364-36）的具体推导：）的具体推导： 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法229,(3 )xyzxyzxyyzzxxyyzzxSSSGSSSHG2222222293xxyxzxxyxyzxzxyyzyxyyyzyzxzzxyzyzzzxxyxyyzxyzxyzyzzxzxSS SS SSSSSS SSSSSSSSGHG 对称第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理

39、论与模拟方法对于平面应力状态，对于平面应力状态， ，则有：，则有： 0zyzzx 21010112eED对称222y=+3xxyxy (4-38) (4-37) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法公式（公式（4-374-37）的具体推导：）的具体推导： 对于平面应力状态，对于平面应力状态， ，则有：，则有： 0zyzzx112xxyyyxxyxyEEG(1)(2)(1)(2)得：21xyxxE 2()1xxyE第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法同理可推得同理可推得 的表达式的表达式 : :y2()(1)yx

40、yE写成矩阵的形式，就是：写成矩阵的形式，就是： 21010112eED对称第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法按照上述同样方法可得：按照上述同样方法可得： 式中：式中：在塑性区：在塑性区： 222221111xyxyyxxyxyyxyxxypxySSSSSSSSEDSSSSQ对称22222122 19xyxyxyHQSSS SG 12(4-39) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法()33222y223()3122222+3xyxyxyxxyxxxxyxyxS 公式（公式（4-394-39）的具体推导：）的

41、具体推导： 222y=+3xxyxy 222y6312+33xyxyxxyxyxxyyS T333,22yxyxSS所以：所以： 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法332232232pppxxxxpppxyxpxpyxxyxyyddSdd SSddSdd SSdd工程切应变: 由普兰特尔由普兰特尔罗伊斯关系有：罗伊斯关系有：32ppijijddSpijijdd S写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： ppdd TT,ppppxyzxyxyypxddddd 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法仿照前面，不难推得：仿

42、照前面，不难推得： TTeepeDDDHD 22T10333,10221123(),(),(1)2(1)yxyxxyxyxyeSSEESSSSD 对称而：而： 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 TT22223333(),(),(1),2(1)229()()2(1)4(1)yxyxxyexyxyxxyyxyxySSESSSSES SSSSSD TTT23()(),(),(1)2(1)xyxyxyeeEDSSSSD第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 T22222T2222233(),(),(1)(),(),(

43、1)2(1)2(1)()()()()(1)9()()(1)4(1)(1)xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyexyeyxEESSSSSSSSSSSSSSSSESSSSDD 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 TT22222222222()()()()(1)9()()(1)4(1)(1)9()()2(1)4(1)xyxyxyxyxyxyxyxyxyxxyyxeepxyeySSSSSSSSESDDDHSSSEHSSSSDSS 22222()()()(1)()()(1)()(1)(1)xyxyxyxyxyxyxyxyxySSSSSSSSES

44、SSSQ 其中：其中： 22222(1)22(1),92(1)xyxyxyHEQSSS SGG 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法对于平面应变问题，有对于平面应变问题，有 只需从式只需从式4-12 4-12 和式和式4-364-36中消去上述为零的分量，就可得到下中消去上述为零的分量，就可得到下列各式。列各式。 0zzxyz0zxyz 101 21 21011 21 21002eED(4-40) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 2222293xxyxxyxyyyxypxxyyxyxySS SSGDS S

45、SSHGSS(4-42) (4-41) 223=()34xyxy第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.5 4.5 变刚度法变刚度法 变刚度法又称变刚度法又称切线刚度法切线刚度法，它所采用的应力与应变，它所采用的应力与应变关系见图关系见图 3-13-1。在等效应力达到屈服极限后，应力与应。在等效应力达到屈服极限后，应力与应变不再是线性关系，而是由下列关系式所确定。变不再是线性关系，而是由下列关系式所确定。 epdDd(4-43) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 弹塑性矩阵弹塑性矩阵DDepep中含有应力，

46、它中含有应力，它是加载过程的函数是加载过程的函数。 直接求解是困难的，通常直接求解是困难的，通常采用增量形式采用增量形式 来近似代替微分形式来近似代替微分形式，这样使求解成为可能。，这样使求解成为可能。 计算中由于计算中由于 Dep 在在范围内变化不大，因此可假范围内变化不大，因此可假 设在每一加载步中是一个常数设在每一加载步中是一个常数，并以该加载步前的应力，并以该加载步前的应力 状态近似计算出状态近似计算出DepDep，即：，即： 单元刚度矩阵单元刚度矩阵kk在一个加载步中也同样取作常数在一个加载步中也同样取作常数，即：，即： epdDd epD TepkBDB dV(4-44) (4-4

47、5) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 在一个变形体中，不仅各点的应力状态是不相同的，而且随着加载在一个变形体中，不仅各点的应力状态是不相同的，而且随着加载而变化着，通常而变化着，通常变形体受外力作用时，从一个区域到另一个区域，等效变形体受外力作用时，从一个区域到另一个区域，等效应力是逐渐地达到屈服极限，即进入塑性（弹塑性）状态应力是逐渐地达到屈服极限，即进入塑性（弹塑性）状态。为了简化，。为了简化，本章所指进入塑性即为弹塑性状态，这就是说在变形体中，各单元的应本章所指进入塑性即为弹塑性状态，这就是说在变形体中，各单元的应力和应变状态是不一样的，随

48、着加载又是变化的，且各有各的变化规律。力和应变状态是不一样的，随着加载又是变化的，且各有各的变化规律。变形体内的单元按状态可分为三类变形体内的单元按状态可分为三类: :u 弹性单元弹性单元u 塑性单元塑性单元u 过渡单元过渡单元各类单元有不同的本构关系和单元刚度矩阵。各类单元有不同的本构关系和单元刚度矩阵。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法在加载过程中，各单元的状态是变化的，为此在加载过程中，各单元的状态是变化的，为此KK也是变化的。也是变化的。在计算中，每增加一个载荷增量，就得重新计算一次整体刚度在计算中，每增加一个载荷增量，就得重新计算一次整体刚

49、度矩阵矩阵K K ，这也就是变刚度法名称的由来。，这也就是变刚度法名称的由来。 式中式中 K K 整体刚度矩阵整体刚度矩阵； n n1 1、n n2 2、n n3 3 分别为弹性单元、塑性单元和过渡单元的数量；分别为弹性单元、塑性单元和过渡单元的数量； kke e、kkepep、kkg g 分别为弹性单元、塑性单元和过渡单元分别为弹性单元、塑性单元和过渡单元 的单元刚度矩阵。的单元刚度矩阵。 对于整体来说，可用下列关系式表示：对于整体来说，可用下列关系式表示： 312111nnneepgijmijmKkkk(4-46) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟

50、方法整体刚度矩阵求得之后，就可根据下列载荷和位移的线性整体刚度矩阵求得之后，就可根据下列载荷和位移的线性 方程组求解出未知的方程组求解出未知的节点位移增量节点位移增量。有了节点位移增量就能求得各单元的有了节点位移增量就能求得各单元的应变及应力增量应变及应力增量。 KP B DDBS(4-47) (4-49) (4-48) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.5.1 4.5.1 定加载法定加载法 定加载法又称定加载法又称等量加载法等量加载法。它每次的加载量是它每次的加载量是预先给定预先给定的。的。这种加载法的这种加载法的加载量一般较大加载量一般较大。

51、由于每次加载量较大，由于每次加载量较大，每次加载中由弹性单元转变为弹塑每次加载中由弹性单元转变为弹塑 性单元的过渡单元较多性单元的过渡单元较多。过渡单元在加载步中达到屈服，。过渡单元在加载步中达到屈服，式中式中 m m 为加权系数，为加权系数，0 m 10 m 1， 采用不同的加载方法，过渡单元的处理也有所不同。下面介绍几种加载方法。 1geepkm kmk=m 为了使单元屈服所需施加的载荷增量值单元达到屈服所需的等效应变增量本次施加的载荷增量值本次加载产生的等效应变增量(4-50) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 m m 的取值需要进行迭代来逼

52、近，收敛性一般都很好，只需的取值需要进行迭代来逼近，收敛性一般都很好，只需进行进行2 23 3 次迭代就能达到满意的精确度。次迭代就能达到满意的精确度。 =m 为了使单元屈服所需施加的载荷增量值单元达到屈服所需的等效应变增量本次施加的载荷增量值本次加载产生的等效应变增量第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法定加载法定加载法计算程序框图计算程序框图 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.5.2 4.5.2 变加载法变加载法 这种方法又被称作r因子法。用这种方法计算，每次加载量是变化的，其大小是由计算结 果来确定。

53、计算开始时预先施加一个单位载荷增量，然后求出各单元在 施加单位载荷增量后的等效应力增加量。根据这个增加量求 出各弹性单元当达到屈服时所需要施加的增量值，最后取这 些增量值中最小的一个增量值作为本次加载的加载量。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法各弹性单元的加载因子按下式进行计算：各弹性单元的加载因子按下式进行计算：式中式中 , i , i 单元前次加载后的等效应力；单元前次加载后的等效应力； , i, i单元本次施加单位载荷增量后的等效应力；单元本次施加单位载荷增量后的等效应力； , , i i单元达到屈服所需施加单位加载量的倍数单元达到屈服所需施加

54、单位加载量的倍数。 11iiisnnnir 1in in ir(4-51) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法为了加快计算步伐，常假设单元的等效应力接近屈服极 限时就由弹性单元转变为弹塑性单元。一般可取单元等 效应力 ，在下一次施加载荷增量的计算 中，这单元就按弹塑性单元处理。 采用这种处理方法，能保证每次加载后弹性单元中等 效应力的最大者正好达到屈服。在下一次加载中该单 元按弹塑性单元处理。这种方法能避免在每个加载步 中单元由弹性转变为弹塑性所需要迭代计算 m 因子的 过程，还能保证足够好的计算精度。 0.99s第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论

55、与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法变加载法的计算程序框图变加载法的计算程序框图第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.5.3 4.5.3 位移法位移法 对于有些问题如圆柱体镦粗，每次施加的增量不是控制 加载力，而是控制压下量。假设工具为刚性体，在工具与 坯料的接触面上，各节点的位移相同。而接触面上的压力 分布是未知的。这样在计算中需对与接触表面上节点有关 的方程进行处理。计算这类问题时，一般先假设接触表面上有一个已知的 轴向位移增量，根据这个已知位移增量求出各单元的应 力和应变增量。这种施加位移增量的方法又分为定位移增量法和变位移 增量法。 第

56、四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.5.3.1 4.5.3.1 定位移增量法定位移增量法 定位移增量法定位移增量法每次施加的位移增量相同每次施加的位移增量相同。计算过程先算出各单元的计算过程先算出各单元的应力和应变增量应力和应变增量，有了应力增，有了应力增 量，累加后可得量，累加后可得全应力全应力和计算得到和计算得到等效应力等效应力。根据等效应。根据等效应 力的大小力的大小将单元分成弹性单元、塑性单元和过渡单元将单元分成弹性单元、塑性单元和过渡单元。对于过渡单元的处理与定加载法相同，为此这种方法在对于过渡单元的处理与定加载法相同，为此这种方法在求求

57、取取 m m 因子时也需要进行迭代因子时也需要进行迭代。 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.5.3.2 4.5.3.2 变位移增量法变位移增量法 这种方法与变加载法相似，这种方法与变加载法相似，每次施加的位移增量由计算结果每次施加的位移增量由计算结果 来决定来决定。每步计算也是每步计算也是先施加一个单位位移增量先施加一个单位位移增量，然后根据这位移增，然后根据这位移增 量量计算应力增量计算应力增量，从而，从而找出弹性单元中等效应力增长最快找出弹性单元中等效应力增长最快 而又最先达到屈服极限的单元，而又最先达到屈服极限的单元，以这个单元达到屈服所需

58、以这个单元达到屈服所需 要的位移增量为本次施加的位移增量要的位移增量为本次施加的位移增量。达到屈服极限的弹性单元在下次计算中按弹塑性单元处理达到屈服极限的弹性单元在下次计算中按弹塑性单元处理。 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法4.6 4.6 初载荷法初载荷法 初载荷法是将塑性变形问题试图转化为弹性问题来求解，初载荷法是将塑性变形问题试图转化为弹性问题来求解，它把塑性变形部分视作初应力或初应变来处理。它把塑性变形部分视作初应力或初应变来处理。 在弹性有限元中，当弹性体的单元中存在初应变在弹性有限元中，当弹性体的单元中存在初应变 ，如因温度而引起的应变

59、，或有初应力，如残余应力，则应力如因温度而引起的应变，或有初应力，如残余应力，则应力和应变关系分别为：和应变关系分别为： 0eD 0eD(4-52) (4-53) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法这样可得有初应变 时的变形能为： 即： 0 T112MVUdV T0012MeVUDdV TT01122MMeeVVDdVDdV TT0001122MMeeVVDdVDdV(4-54) (4-55) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法因：因：得：得： 上式中最后一项为与节点位移无关的变形能，由此可得到上式中最后一

60、项为与节点位移无关的变形能，由此可得到与节点位移有关的变形能与节点位移有关的变形能为：为：式中 是对所有单元求和。 TT00eeDD TT012MMeeVVUDdVDdV 0012MTeVDdV TT012MMeeVVUDdVDdV(4-56) (4-57) 第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法通过变分可得到初载荷时的有限元公式为通过变分可得到初载荷时的有限元公式为： 同样可导出同样可导出有初应力有初应力 时的变形能为：时的变形能为：这样，这样，基本方程就比无初应变或无初应力时多一项基本方程就比无初应变或无初应力时多一项RR，RR是作为载荷存在于基本方