第4章无穷级数1-7(常数项级数(1))

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A4.1.1 4.1.1 常数项级数常数项级数4.1.2 4.1.2 常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 收敛的必要条件收敛的必要条件4.1.3 4.1.3 正项级数及其收敛性正项级数及其收敛性4.1 4.1 正项级数正项级数4.1.3正项级数及其收敛性正项级数及其收敛性4.1.1 常数项级数的概念常数项级数的概念 常数项级数与正项级数常数项级数与正项级数4.1.2常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质级数的概念级数的概念 级数的收敛与发散级数的收敛与发散 习例习例1-4 性质性质15

2、习例习例5-95-9正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件比较法比较法习例习例10-11 比较法的极限形式比较法的极限形式习例习例12小结与思考题小结与思考题 1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数.一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus . 不存在不存在的极限可能存在也可能的极限可能存在也可能显然部分和数列显然部分和数列ns 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :

3、当当n无无限限增增大大时时, ,如如果果级级数数 1nnu的的部部分分和和数数列列ns有有极极限限 s, , 即即 ssnn lim, , 则则称称无无穷穷级级数数 1nnu收收敛敛, ,这这时时极极限限 s 叫叫做做级级数数 1nnu的的和和. .并并写写成成 nuuus21 如如果果ns没没有有极极限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散. .余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误误差差为为nr)0lim( nnr即即 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ) 常数项级数概念习例常数项级数概念习例 例例

4、1 .)2)(1(1,330sunnssunnn与与中中的的写写出出的的意意义义及及它它们们的的关关系系试试述述 例例2 .)12)(12(11的敛散性的敛散性判别级数判别级数 nnn例例3 .)0(20的的收收敛敛性性 aaqaqaqaaqnnn讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)例例4 .)1(1的敛散性的敛散性判别级数判别级数 nnn例例1 .)2)(1(1,330sunnssunnn与与中的中的写出写出的意义及它们的关系的意义及它们的关系试述试述 解解,limssnn .1 nnnssu,4313 u.4313212113 s例例2 .)12)(12(11的敛散性的敛散性判别级

5、数判别级数 nnn解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn)1211(21 n,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛例例3 .)0(20的的收收敛敛性性 aaqaqaqaaqnnn讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 级数级数收敛收敛 级数级数发散发散时

6、时如如果果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn级数级数发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 级数级数发散发散 综上所述综上所述.,11,110 发散发散时时当当收敛于收敛于时时当当qqaqaqnn例例4 .)1(1的敛散性的敛散性判别级数判别级数 nnn解解)1()23()12(nnsn 11 n )11(limlimnsnnn.原级数发散原级数发散注意注意:. )1(11不同不同与与 niinnuu.lim )2(1是是否否存存在在有有关关是是否否收收敛敛与与nnnnsu ., )3(1的近似值的近似值是是收敛收敛若若ssunnn 性质性质1 .)(.)(

7、,111111 nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu且且也也收收敛敛则则都都收收敛敛与与若若级级数数结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质2 .,1111 nnnnnnnnukkukuu且且也也收收敛敛则则收收敛敛若若级级数数结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. .二、二、 常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 性质性质3 .).1(,11且其逆亦真且其逆亦真也收敛也收敛则则收敛收敛若级数若级数 kuuknnnn证证nkkknuuu 21,kknss knk

8、nnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性的敛散性.结论结论: : 在在级数的前面加上或去掉有限项，不影响级数的级数的前面加上或去掉有限项，不影响级数的 敛散性敛散性. .但在收敛时，一般说来级数的和会改变但在收敛时，一般说来级数的和会改变. .性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的级数的级数. .证证 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 注意注意:(1) 发散级数加括弧后

9、所成的级数不一定发散发散级数加括弧后所成的级数不一定发散. 1111 例例如如 发散发散 )11()11( 收敛收敛(2) 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级数也发散则原来级数也发散. .(3) 如果加括弧后所成的级数收敛如果加括弧后所成的级数收敛, ,则原来级数不一定则原来级数不一定 收敛收敛. .(4) 如果级数各项为正，则原级数与加括弧后所成的级如果级数各项为正，则原级数与加括弧后所成的级 数的收敛性相同数的收敛性相同. .性质性质5 . 0lim,1 nnnnuu则则收敛收敛若级数若级数级数收敛的级数收敛的必要条件必要条件证证,limssnn ,1 nn

10、nssu且且1limlimlim nnnnnnssu0 ss注意注意: ., 0lim)1(1发散发散则则若若 nnnnuu判别级数发散判别级数发散的充分条件的充分条件., 0lim)2(1不不一一定定收收敛敛则则若若 nnnnuu例例5 判别级数的敛散性：判别级数的敛散性：).( 11调和级数调和级数 nn例例6 .615100收收敛敛证证明明级级数数 nnn例例7 .3251的的敛敛散散性性判判别别级级数数 nnn例例9 :,1下列级数是否收敛下列级数是否收敛收敛收敛设设 nnu.1)3( ;)2( ; )0001. 0()1(1110001 nnnnnnuuu例例8 .101212014

11、110121的的敛敛散散性性判判别别级级数数 nn常数项级数的基本性质习例常数项级数的基本性质习例例例5 判别级数的敛散性：判别级数的敛散性：).( 11调和级数调和级数 nn解解?, 0lim但但级级数数是是否否收收敛敛在在调调和和级级数数中中有有 nnu )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项项4项项2项项2项项 项项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项项大大于于即即前前.新新级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .例例6 .615100收收敛敛证证明明级级数数 nnn证证 00)61

12、()65(1061510nnnnnn,)61()65(1000收敛收敛与与而而 nnnn由级数性质可知原级数收敛由级数性质可知原级数收敛.例例7 .3251的的敛敛散散性性判判别别级级数数 nnn解解, 025325lim nnn所以原级数发散所以原级数发散.例例8 .101212014110121的的敛敛散散性性判判别别级级数数 nn解解 1)10121(101212014110121nnnnn,211收收敛敛又又 nn,1011发散发散 nn由级数性质可知原级数发散由级数性质可知原级数发散.例例9 :,1下列级数是否收敛下列级数是否收敛收敛收敛设设 nnu.1)3( ;)2( ; )000

13、1. 0()1(1110001 nnnnnnuuu解解, 00001. 0)0001. 0(lim)1( nnu.)0001. 0(1发发散散 nnu,)2(111000同时敛散同时敛散与与 nnnnuu.11000收收敛敛 nnu,1lim)3( nnu.11发散发散 nnu三、正项级数及其审敛法三、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数. ., 01散散性性与与正正项项级级数数有有相相同同的的敛敛则则级级数数如如果果 nnnuu nsss21 对对于于正正项项级级数数有有部分和数列部分和数列 为

14、单调增加数列为单调增加数列. .ns2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理 1. 有界有界收敛收敛nnnnsuu )0(13. 正项级数的比较审敛法：正项级数的比较审敛法：定理定理 2 ,11 nnnnvu 与与设设有有两两个个正正项项级级数数;,), 2 , 1()1(11收收敛敛则则收收敛敛且且若若 nnnnnnuvnvu.,), 2 , 1()2(11发发散散则则发发散散且且若若 nnnnnnuvnvu证证.,)1(1 收收敛敛于于的的部部分分和和为为设设nnnv nnnnuuusu 211的部分和的部分和则则nnvvv 21 nnnnslimlim,1 ns

15、u即即.有界有界故故ns.1收敛收敛 nnu,)2(1收敛收敛反设反设 nnu.,)1(1与与已已知知矛矛盾盾收收敛敛可可得得由由 nnv.1发发散散 nnu注意注意: 比收敛级数还小的级数收敛，比收敛级数还小的级数收敛， 比发散级数还大的级数发散比发散级数还大的级数发散.,),0,()2(11收收敛敛则则收收敛敛且且若若 nnnnnnuvkNnkvu.,),0,()3(11发发散散则则发发散散且且若若 nnnnnnuvkNnkvu正项级数比较法习例正项级数比较法习例 例例11 判别级数的敛散性：判别级数的敛散性：).0(11)4( ;2sin)3(11)2( ;)1(1)1(11121 aa

16、nnnnnnnnn 解解,1时时当当 p,11nnp .级数发散级数发散则则 p,1时时当当 p,111ppxnnxn 有有 nnpnnppxdxndxn111则则1)1(11111 ppnnp(*) 1)1(1112 ppnnn考虑级数考虑级数)1(11)3121()211(11111 pppppnnns1)1(11 pn, 1lim nns从而级数从而级数(*)收敛收敛.级数收敛级数收敛故故 p.,1,111 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数ppnpnp例例11判别级数的敛散性：判别级数的敛散性：).0(11)4( ;2sin)3(11)2( ;)1(1)1(11121 aannn

17、nnnnnn 解解,11)1(1)1( nnn,111 nn发发散散而而级级数数所以原级数发散所以原级数发散.,111)2(22nn ,112收收敛敛而而级级数数 nn所以原级数收敛所以原级数收敛.nn22sin)3( ,21收敛收敛而而 nn 所以原级数收敛所以原级数收敛., 0111lim,1)4( nnaa时时当当所以原级数发散所以原级数发散., 02111lim,1 nnaa时时当当所以原级数发散所以原级数发散.,111,1nnaaa 时时当当,)1(1收敛收敛而而 nna所以原级数收敛所以原级数收敛.注意注意: 比较审敛法中的比较级数通常比较审敛法中的比较级数通常是是p-级数和几何级

18、数级数和几何级数.4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :定理定理 3.设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证证lvunnn lim)1(由由, 02 l 对对于于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证., 1)2(可可得得结结论论取取 ,lim)3( nnnvu,nnvu 则则.,11发发散散则则发发散散若若 nnnnuv正项级数比较法的极限形式习例正项级数比较法的极限形式习例解解nnnn3131lim)2( nnn11sinlim)1( 故原级数发散故原级数发