关于企业新旧设备更替的最优化方案的研究

1、关于企业新旧设备更替的最优化方案的研究摘要现代社会，机器设备已逐渐替代手工业的生产。机器设备不仅能够提高生产效率，同时又能增大产量。但是生产设备需要时常去维护、更新，才能跟得上时代的步伐，这些都需要花费一定的资金，如何使生产设备上的花费最少成了企业生产的一大难题。结合这些特点，我们运用数学建模的方法，建立最优化模型，借助Lingo软件平台进行编程计算，从此得出企业设备更新的优化解。论文最后通过各项指标实现企业五年之内更新某种设备的计划。本文采用赋权图、最短路径问题与数学建模相结合的手法，对整个设备更新进行全局优化，进而得出进一步改善的理论依据，因此本文具有一定的现实应用价值。关键词：设备更新；

2、Lingo软件；赋权图；最短路径问题；1、 问题的重述企业是以寻求最大的生产利益为目的进行生产。而在当今社会，企业之间的竞争力增大，企业家们不得不思考如何减少生产成本，提高生产利润。企业要使用一台设备，在每年年初，企业领导部门要决定是购置新的，还是继续使用旧的。若购置新设备，就要支付一定的购置费用；若继续使用旧设备，则需支付更多的维修费用。现在我们需要为企业制定一个几年之内的设备更新计划，使得总的支付费用最少。设备的购置价格和设备维修费用如下表所示：表1 设备购置价格第1年第2年第3年第4年第5年1111121213表2 设备维修费用使用年限0112233445维修费用56811202、 符号

3、的假设vi，第i年年初购买一台新设备wij，赋权图上各弧上的权数xij，决策变量。当xij=1，说明弧vivj位于顶点v1至顶点vn的最短路上；否则xij=0。3、 问题的分析为了求得企业的总费用最小，我们可以将这个问题转化为最短路问题。如下图1所示，点vi表示“第i年年初购买一台新设备”，点v1表示第一年年初购进一台新设备，点v6表示第5年年底，从vi到vi+1，v6分别画一条弧，弧（vi，vj）表示第i年年初购进一台新设备持续使用到第j年年初。弧（vi，vj）上权数wij表示第i年年初购进一台新设备持续使用到第j年年初的总的维修费用与购进设备时所花的费用之和。即：图1 赋权图w12=（v1

4、，v2）=11+5=16w13=（v1，v3）=11+5+6=22w14=（v1，v4）=11+5+6+8=30w15=（v1，v5）=11+5+6+8+11=41w16=（v1，v6）=11+5+6+8+11+20=61w23=（v2，v3）=11+5=16w24=（v2，v4）=11+5+6=22w25=（v2，v5）=11+5+6+8=30w26=（v2，v6）=11+5+6+8+11=41w34=（v3，v4）=12+5=17w35=（v3，v5）=12+5+6=23w36=（v3，v6）=12+5+6+8=31w45=（v4，v5）=12+5=17w46=（v4，v6）=12+5+6

5、=23w56=（v5，v6）=13+5=184、 模型的建立根据上述条件我们用E表示弧的集合，设W=（wij）6×6为邻接矩阵，其分量为wij=弧vivj的权值，当vi与vj之间有边时，当vi与vj之间无边时，决策变量为xij，当xij=1，说明弧vivj位于顶点v1至顶点vn的最短路上；否则xij=0。其数学规划表达式为目标函数为minvivjEwijxij，stvivjExij=vivjExji，1<i<6vivjEx1j=1,vivjExj6=1xij=0或1所有弧的权数：ij123456101622304161201622304130172331401723501

6、860表4 所有弧的权数图对于赋权图，其中顶点集V=，邻接矩阵为：W=5、 模型的求解与检验(一) 运用Dijkstra算法求解1) 首先给v1以P标号，P（v1）=0，给其余所有点T标号：T（vi）=+ （i=2，6）2) 由于（v1，v2），（v1，v3），（v1，v4），（v1，v5），（v1，v6）边属于E，且v2，v3，v4，v5，v6为T标号，所以修改这五个点的标号：T（v2）=minT（v2），P（v1）+12=min+,0+16=16T（v3）=minT（v3），P（v1）+13=min+,0+22=22T（v4）=minT（v4），P（v1）+14=min+,0+30=30T

7、（v5）=minT（v5），P（v1）+15=min+,0+41=41T（v6）=minT（v6），P（v1）+16=min+,0+61=613) 比较所有T标号，T（v2）最小，所以令P（v2）=16。并记录路径（v1，v2）。4) 考虑点v2，有T（v3）=minT（v3），P（v2）+23=min22,16+16=22T（v4）=minT（v4），P（v2）+24=min30,16+22=30T（v5）=minT（v5），P（v2）+25=min41,16+30=41T（v6）=minT（v6），P（v2）+26=min61,16+41=575) 全部T标号中，T（v3）最小，所以令P（

8、v3）=22。并记录路径（v2，v3）。6) 考察v3，有T（v4）=minT（v4），P（v3）+34=min30,22+17=30T（v5）=minT（v5），P（v3）+35=min41,22+23=41T（v6）=minT（v6），P（v3）+36=min61,22+31=537) 全部T标号中，T（v4）最小，所以令P（v4）=30。并记录路径（v3，v4）。8) 考虑点v4，有T（v5）=minT（v5），P（v4）+45=min30,30+17=30T（v6）=minT（v6），P（v4）+46=min41,30+23=539) 全部T标号中，T（v4）最小，所以令P（v5）=3

9、0。并记录路径（v4，v5）。10) 考虑点v5，有T（v6）=minT（v6），P（v5）+56=min+,41+18=59 根据上述结果，可以看出从v1直至v6并不是最优解。最优解是v1至v3至v6这条路径和v1至v4至v6这条路，两个最优解，最优解的答案为53。所以企业花费的最小费用为53。(二) 应用Lingo软件求解，程序代码见附录。求解结果如下：Feasible solution found. Total solver iterations: 53 Variable Value N 6.000000 F( 1) 0.000000 F( 2) 18.00000 F( 3) 23.00

10、000 F( 4) 31.00000 F( 5) 41.00000 F( 6) 53.00000 D( 1, 2) 16.00000 D( 1, 3) 22.00000 D( 1, 4) 30.00000 D( 1, 5) 41.00000 D( 1, 6) 61.00000 D( 2, 3) 16.00000 D( 2, 4) 22.00000 D( 2, 5) 30.00000 D( 2, 6) 41.00000 D( 3, 4) 17.00000 D( 3, 5) 23.00000 D( 3, 6) 31.00000 D( 4, 5) 17.00000 D( 4, 6) 23.00000

11、 D( 5, 6) 18.00000 P( 1, 2) 0.000000 P( 1, 3) 1.000000 P( 1, 4) 1.000000 P( 1, 5) 0.000000 P( 1, 6) 0.000000 P( 2, 3) 0.000000 P( 2, 4) 0.000000 P( 2, 5) 0.000000 P( 2, 6) 1.000000 P( 3, 4) 0.000000 P( 3, 5) 0.000000 P( 3, 6) 1.000000 P( 4, 5) 0.000000 P( 4, 6) 1.000000 P( 5, 6) 1.000000根据输出结果，我们得知企

12、业的总的最小费用为53，D（i，j）代表各弧上的权数。显然可以看出经过P( 1, 3)，P( 1, 4)，P( 2, 6)，P( 3, 6)，P( 4, 6)，P( 5, 6)，据题意，此题应该选择v1至v3至v6这条路径和v1至v4至v6这条路。(三) 运用Floyd算法和Matlab软件计算，程序代码见附录。其结果如下：>> Untitleda = 0 16 22 30 41 57 Inf 0 16 22 30 41 Inf Inf 0 17 23 31 Inf Inf Inf 0 17 23 Inf Inf Inf Inf 0 18 Inf Inf Inf Inf Inf 0

13、a = 0 16 22 30 41 53 Inf 0 16 22 30 41 Inf Inf 0 17 23 31 Inf Inf Inf 0 17 23 Inf Inf Inf Inf 0 18 Inf Inf Inf Inf Inf 0a = 0 16 22 30 41 53 Inf 0 16 22 30 41 Inf Inf 0 17 23 31 Inf Inf Inf 0 17 23 Inf Inf Inf Inf 0 18 Inf Inf Inf Inf Inf 0path = 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14、 0 0 00 0 0 0 0 0Floyd算法的基本步骤为：1 输入权矩阵D（0）=D。2 计算D（k）=（dij(k)）n×n (k=1,2,3,n)其中dij(k)=mindij(k-1)，dik(k-1)+dkj(k-1)3 D（n）=（dij(k)）n×n中元素dij(n)就是vi到vj的最短路长。根据Matlab程序输出结果中的path矩阵，综合可以得到最短路径为53，也就是说企业的花费最少为53。与上述两种方法一致。可以认定此题最优的答案为企业总的花费最少为53。6、 模型的评价及推广7、 参考文献1 文龙，C企业液晶屏生产线平衡改善研究，中国知网，访问时间：

15、2016年4月12日。2 胡运权，运筹学教程，第4版，北京，清华大学出版社，2012。3 司守奎，孙玺菁数学建模算法与应用，北京，国防工业出版社，2015.9。4 刘晓妍等，河南教育学院学报（自然科学版），第22卷，第4期，2013年12月。5 设备更新问题，6附录：data:n=6;enddatasets:ci/1.n/:f;ro(ci,ci)/1,2 1,3 1,4 1,5 1,62,3 2,4 2,5 2,63,4 3,5 3,64,5 4,65,6/:d,p;endsetsdata:d=16 22 30 41 6116 22 30 4117 23 3117 2318;enddataf(n)=0;for(ci(i)|i#lt#n:f(i)=min(ro(i,j):d(i,j)+f(j););for(ro(i,j):p(i,j)=if(f(i)#eq#d(i,j)+f(j),1,0);endclear;clc;n=6;a=zeros(n);a=(1,2)=16; a=(1,3)=22; a=(1,4)=30; a=(1,5)=41; a=(1,6)=61; a=(1,2)=