量子场论讲义1-4

1、108 第一章 预备知识§1 粒子和场以现有的实验水平，确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种，它们是物质存在的一种形式。场是物质存在的另一种形式，这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场，它们互相渗透和相互作用着。按量子场论观点，每一种粒子对应一种场，场的激发表现为粒子的出现，不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒。场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式，粒子只是场

2、处于激发态时的表现。1. 四种相互作用目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。四种相互作用的比较见表1.1 表1.1 四种相互作用的比较作用强相互作用电磁作用弱作用引力作用强度0.150.0073.力程媒介子介子 胶子光子 粒子引力子？典型反应 p p p电磁相互作用的强度是以精确结构常数来表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p）为代表，通过典型的反应过程的比较研究，确定各种作用强度的大小。2. 粒子的属性不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状

3、态而改变。最重要的属性有：质量m，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E和动量的关系为电量Q，粒子的电荷是量子化的，电荷的最小单位是质子的电荷。自旋S，粒子的自旋为整数或半整数，如介子的自旋为0，电子的自旋为1/2 ，矢量介子的自旋为1。平均寿命，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果个相同粒子进行衰变，经过时间后还剩下个，则，式中即为粒子的平均寿命。磁矩，指粒子的自旋磁矩。它与粒子的自旋S满足关系：，式中是粒子电荷，为粒子质量，是数量因子。宇称P，描述粒子在空间反演下的性质的一个量子数。若在空间反演下，若粒子的态函

4、数改变符号，此粒子具奇宇称（P1）。若态函数保持不变，粒子具偶宇称（P=1）。粒子的性质，可查阅有关资料。例如：Particle Data Group 编的 Review of Particle Physics , 刊登于Plys .Lett . B592 (2004)。3. 粒子的分类可按多种方式对粒子分类。按参与相互作用的性质，可分为三类：（a） 强子， 既参与强相互作用，也参与弱相互作用。已发现的粒子大多数是强子，包括重子，介子。（b） 轻子，不参与强相互作用的粒子，有的参与电磁作用和弱作用，如电子和 子，有的只参与弱作用。（c） 规范玻色子，传递作用力的粒子，如 ，。按轻子夸克层次可分

5、三类：按强子夸克结构理论，强子不是“基本”粒子，强子是复合粒子，是若干个夸克构成的复合体，夸克是构成强子的组元粒子。夸克有6种：上夸克（u），下夸克（d），奇异夸克（s），粲夸克（c），底夸克（b）和顶夸克（t）。按Gell_Mann & Zweig理论，夸克带有分数电荷，理论上称有“六味”夸克，其所带电荷如下表： 表1.2 夸克的电荷味上u下d奇s粲c底b顶t电荷(e)2/3-1/3-1/32/3-1/32/3按此理论，强子不是粒子，而由夸克所构成，例如质子由u,u,d组成：， ,，为反夸克，强子不看作粒子后，按轻子夸克将粒子分类为：（a） 规范玻色子，传递相互作用的粒子（b） 费米

6、子，包括轻子和夸克（c） Higss粒子，按弱电统一理论，应该有存在有自旋为0的Higss粒子，但实际上至今未发现。按此理论分类，有两个实验上未解决的问题，一是夸克禁闭，还找不到自由夸克，二是Higss粒子还未找到。按粒子的自旋分类.(a) 自旋s=0的粒子，称标量粒子，如，k介子等(b) 自旋的粒子，称旋量粒子，如电子e、质子p等(c) 自旋的粒子，称为矢量粒子，如的粒子，m=0的光子。(d) 高自旋粒子。这种分类，方便场方程的研究。§2 自然单位制物理学中确定单位制的通常做法是，依据研究对象，为研究方便，选取几个相互独立的物理量及其单位作为基本单位，其它物理量和单位则根据基本物理

7、量及公式来表示，这些导出的单位称为导出量和导出单位。 在微观高速现象的研究中，涉及的物理量有：长度、质量、时间、电荷和温度。为减少独立的基本物理量的数目，利用库仑定律并规定真空的介电常数为无量纲的数1来定义电荷，使电荷不再是基本物理量。为进一步减少独立的量纲，注意到，在微观高速领域，有三个重要的量：光速： 量纲玻尔兹曼常数： 量纲 普朗克常数： 量纲（数据来自Pyhs. Lett B 592.91(2004)）.建立一个在微观邻域应用方便的新单位制，规定这三个量的值为无量纲的1，即这样在这一单位制中，量纲关系为： dim c=1 dim k=1 dim h=1 即 ，只剩一个独立的量纲。这一个

8、独立的量纲可以选作能量、时间、长度或其它任何一种有量纲的物理量，这一单位制称为自然单位制。在量子场论中，应用自然单位制，选能量为基本量纲，基本单位为Mev或Gev.应用上，物理公式中的三个量、c、k都取为1。相对论能量动量关系.即为=+。方程的简化 ，给计算过程带来方便。当然在实际应用中，还是要用到实际单位制的。因为物理方程中的各项，都必须具有相同的量纲，将自然单位制方程中的各项乘上三个量（或两个量）的幂次积，由各项必须具有相同量纲决定幂次数值，即可将自然单位制的方程还原为实用单位制的方程。 例如：在自然单位制中KleinKordon方程为作 代入 的量纲，求得 ，则方程返回为实用制的方程。

9、§3 狭义相对论1. 相对论的基本原理相对论的基本原理是：（a） 相对性原理。所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。（b） 光速不变原理。真空中的光速对于任何惯性系沿任一方向恒为C，并且与光源运动无关这两个原理说明时间和空间是运动着的物质存在的形式，时间和空间是不可分割的，打破了绝对的时空观念。三维空间和一维时间应该构成一个统一体四维时空。在四维时空中，任意事件定义为：而事件的间隔定义为： 在坐标系和相对运动速度为的坐标系中，具有间隔不变性， 两坐标系之间作坐标变换 (1.1a)依间隔不变性，变换矩阵元满足关系 (1.1b)当两坐标系的X轴和轴沿相

10、对于的运动方向时，Lorentz变换的矩阵是： （1.2）式中 ， .引入符号 .2. 四维时空中的协变量四维时空中，在Lorentz变换下，满足变换规律： (1.3a)的物理量，即变换下不变的量S，称为Lorentz标量。满足变换规律 （1.3b）的物理量，即在坐标系变换下与坐标有相同变换关系的具有四个分量的量，称为四维矢量。满足变换规律 （1.3c）的物理量，称为四维二阶张量。这些在Lorentz变换下有确定变换性质的量称为协变量。相对论要求，在不同惯性系中，物理规律应该有相同的形式，即在参考系变换下，方程形式不变，这一性质称为协变性。构建协变量，组建协变方程，验证了Maxwell方程组的

11、协变性，证明Maxwell方程是符合相对论要求的。构建协变量，组建协变方程，改造了不符合相对论要求的经典力学，发现了符合高速运动规律的运动定律，这是理论工作的重大成就。四维能量动量矢量 （1.4）是协变量。两个协变矢量的标积是不变量。因为式中对相同指标作求和运算，这一运算称为指标的缩并。作的标积，构成的不变量：不变量当，推导的关系式 （1.5a）即 (1.5b) 这是关于物体的能量、动量和质量的一个重要关系式。§4 量子力学 一维谐振子1量子力学的假定 描述微观粒子运动规律的量子力学是基于下列假定的：（a）微观体系的状态可由一个波函数完全描述。例如，在时刻t，在坐标xx+dx，yy+

12、dy，zz+dz的无限小区域内找到子的几率为：C是比例系数。（b）力学量用厄密算符表示。经典力学中的力学量（C数）在量子力学中用表示这个力学量的算符（Q数）表示。如能量E和动量，对应算符是： ， （1.6）算符满足一定对易关系，如： （1.7）对易关系就是量子化规则。(c)体系状态满足薛定格方程, (1.8)（d）体系的波函数可以用算符的本征函数作展开： （1.9）(e)体系满足泡利原理。动力系的量子化，就是将体系的力学量变为厄密算符，建立算符的运动方程和对易关系。在量子力学中可以用薛定格表像或海森伯表像对体系进行量子化。2. 一维谐振子的量子化在经典力学中，线形谐振子的运动方程是： (1.1

13、0)拉格朗日量是： (1.11)哈密顿量为： (1.12) 式中 。现将线形谐振子量子化，把x，p作为算符，作替代.运动方程 (1.13)为 (1.14) 引入对易关系： (1.15)这就完成了线形谐振子在坐标空间中的量子化。现引入一个新表象作处理，用算符a和代替p，x ，令 (1.16a) (1.16b)容易证明： （1.17） 和 (1.18a)即 （1.18b） 式中 （1.19）则谐振子的量子化问题转变成为对算符的本征态求解问题。本征方程是 （1.20）是算符的本征态。方程（1.20）和对易关系（1.17）完成了在新表象中对谐振子的量子化。这一表象称为占有数表象。量子力学中已证明：(a

14、)、厄密正定， , (b)、和分别称为产生算符和湮灭算符。当m为正整数时， ， （1.21a） , (1.21b)式中: 或表m次作用或。由（1.21）式知，若是的本征矢。那么， 也是的本征矢，且.，每作用一次a或a ，本征矢减少或增加一级.所以, a 和a分别称为产生算符和湮灭算符.(c)、为整数 .(d)、记最低能态为|0> ,且<0|0>=1 . 有:a|0>=0 (1.22)|n>= a|0> (1.23)这些是一维谐振子量子化的主要结果。§5Lorentz变换1. Lorentz变换 两惯性坐标系之间的时空变换中，使间隔保持不变的变换称为

15、Lorentz变换，即要求由显然有： （1.21）式中为Kronecker符号。这是Lorentz变换的正交条件。 惯性系的概念本身要求从一个惯性坐标系到另一个惯性坐标系的时空变换必须是线形的，即式中A为变换矩阵，为A的矩阵元，不考虑平移则变换应是齐次的： (1.22)正交变换条件（1.21）变为 (1.23)令代表变换矩阵的转置，则（1.23）可写为 （1.24）记A的行列式 ，依据 有 而，故有 ，即 （1.25）利用 ，有即 ，或 （1.26）由（1.25）和（1.26）式，可将变换作如下分类： 表1.3 变换的分类类别性质E连续R分立P分立T分立DetA=1， 的E类变換称为正Lore

16、ntz变换， ， 的E和P变换，称为完全Lorentz变换。例：（a） 恒等变换条件是： 变换矩阵为detA=+1，,属于E类，是连续变换。（b） 空间反演变换条件是：， t=t变换矩阵为detA=-1, ,属于P类，是分立变换。（c） 时间反演变换条件是 ： ， t=-t变换矩阵为detA=-1，,属于T类，是分立变换。（d） 时间空间联合反演变换条件是： ， t=-t变换矩阵为detA=1, ,属于R类，是分立变换。2. 无穷小变换在恒等变换邻域作无穷小变换 (1.27)式中是无穷小量，将上式代入正交条件(1.23)式知 (1,28)是反对称的。因为detA=+1，,属于E类，是连续变换。

17、变换式(1,27)可写为矩阵形式 (1,29)由 的反对称性，可将改写为式中 (1.30)是矩阵，是它的矩阵元的表示，例如， 等，有： (1.31)也可表为 式中是除矩阵元为1之外，其余为0的矩阵可见，是三度空间角动量矩阵的四度时空推广满足对易关系： 若令 ， 式中 则有对易关系： 3有限变换对于无穷小变换若作连续的有限多次N的无穷小变换，即称有限变换。令： 由于 依公式： 有即有限变换的生成元与无穷小变换的生成元相同，只是结构常数不同。因而有限变换的性质可用无穷小变换作研究，这给处理问题带来方便。4.场量的变换设场物理量由描述，当时空作Lorentz变换时，场函数也可能改变，设场量的变换矩阵

18、为.即 (1.36)依赖于变换矩阵A。对于无穷小变换可将按展开略去高阶无穷小，可表示为场量的改变是场量的改变也可表为 (1.37)式中 (1.38a) (1.38b)脚标表示坐标不变，场函数改变(在某点场函数的变化)，脚标表示场函数不变，坐标改变。将定义为场的主动变换，它着重于场量的泛函变化。从(1.37)及(1.38b)知，主动变换可表为 (1.39)由于 或 有 则即 结合(1.38)式，主动变换可表为： （1.40）它与场的变换算子有关，不同的场的主动变换因场变换算子不同而异。 笫二章 相对论性的自由场§1 克莱因-戈登（Klein-Gordon）方程1. 克莱因-戈登方程薛定

19、谔方程中，粒子的动量和能量满足的是经典力学的关系，因而薛定谔方程是非相对论性的，为了建立满足相对论要求的粒子运动方程，显然应从相对论性的能量动量关系出发。在自然单位制中，相对论性的能量动量关系是 （2.1）将力学量过渡到量子算符 则（2.1）式化为 (2.2)将此式作用于波函数，得 (2.3)注意到 则(2.3)式化为 (2.4a)或 (2.4b)(2.4)式称为克莱因-戈登方程。因仅有一个波函数，适用于自旋为零的标量粒子。克莱因-戈登方程有平面波形式的解：E满足(2.1)式，即能量为E=± (2.5)对有确定动量的粒子，能量有正、负能两个解。对于自由粒子，可定义物理态处于正能态，负

20、能态可以不考虑，但存在相互作用时，能量有跃迁，没有理由不考虑负能解，这给问题带来困难。由常规方法易知，由(2.4)式可得连续性方程; (2.6)式中 (2.7)若将 表示为的空间分量和时间分量可表示为 (2.8a) (2.8b)注意到，即 ，能量的本征态满足及， 因而有如果把解释为粒子出现的几率。当能量是负值时，为负，出现负几率，这是无法解释的。显然，不能将克莱因-戈登方程看作是描述一个微观粒子运动的方程。当将克莱因-戈登方程作为标量场方程并进行量子化以后，和解释为电流密度和电荷，负几率的问题不再存在。2. Lorentz不变性为满足相对性原理要求，表示物理规律的运动方程应该是Lorentz协

21、变的，即在参考系变換下，运动方程的形式应该保持不变。在Lorentz变换 (2.9)下，设波函数变换为 (2.10)在(2.9)变换下，易知 则克莱因-戈登方程变换为 (2.11)如果，则(2.11)式写为 与变換前的克莱因-戈登方程形式一致，说明克莱因-戈登方程具有Lorentz协变性，且 (2.12)即变换后不变，波函数是Lorentz标量。现在计算的主动变换，由主动变换表式（1.40）式 因为，有对无穷小变换 因为式中所以 (2.13)主动变换与軌道角动量有关。§2 狄拉克（Dirac）方程 克莱因-戈登方程利用相对论的能量动量关系，建立的相对论性粒子运动方程，出现了负能和负几

22、率的困难。困难的根源在于(2.1)式作算符替代后，方程含有对时间的二阶微商。能否既利用相对论的能动量关系式，而又保持对时间的一阶微商，避免出现负能呢？Dirac方程做到了这一点。1. Dirac方程从质量能量动量关系式（2.1）看到，能量应是质量和动量的函数。因而将H用m和展开为. (2.14)式中係数(i=1，2，3)和是四个与无关与量纲无关的常数。将(2.14)过渡到算符，且作用于波函数上，得 (2.15)显然，这是对时间一阶微分的符合相对性原理的方程，这就是Dirac方程。问题是和存不存在，如果存在，共有什么性质。因为要求H是厄密算符，因而要求和也是厄密算符， (2.16)将(2.14)

23、代入(2.1)式，两边展开，并比较式中m和的係数，可知算符和应满足条件 (2.17a) (2.17b) (2.17c)式中 是A，B的反对易关系式，(2.17)式表明 (2.17d)(2.16)和(2.17)是和的代数性质。可以证明，和是维数至少是4的矩阵。在Dirac表象中，它们被取为下列形式 (2.18)式中I为 单位矩阵，0为零矩阵。是泡利矩阵: (2.19)易于验证(2.18)式满足(2.17)的条件，说明和是存在的。因为和为矩阵，要求方程(2.5)的波函数为4个元素的列矩阵，即(2.15)可分解为4个方程。 (2.20)可以证明，的所有4个分量都满足Klein-Gordon方程 。2

24、. Dirac方程的协变形式 矩阵将左乘Dirac方程(2.15)式，得到 定义矩阵为 (2.21)和 构成 矩阵，则上式化为. (2.22)这就是协变形式的Dirac方程。由和.的代数性质，易知矩阵具有下列性质 (2.23a) (2.23b) 定义 (2.23c) 则： (2.23d)(2.23)式是矩阵的代数性质对协变形式的Dirac方程（2.22）取厄米共轭，得： 式中，表示对左边的作微分，上式右乘得由于 上式改写为 (2.24) 式中 (2.25)定义为共轭旋量，（1，24）称为Dirac方程的共轭方程，由Dirac方程和它的共轭方程，按常规做法，可得到守恒定律 （2.26a）式中 (

25、2.26b)令 (2.26c)这一密度是正定的，负几率问题不再出现，这一结果，似乎支持了作为几率密度的解释。实际上,在场的量子化理论中，作为荷密度，並不要求的正定性。 可证明，可构成16个线性独立的矩阵： (2.27)它们有性质： （1，28）3. Lorentz不变性在Lorentz变换下，设旋量波函数（x）作变换设变换后满足的方程与原方程相同 （2，29）由于则（2，29）式化为：左边乘上若 （2，30a）则上式与原坐标系中的Dirac方程相同，（2，30a）可化为： （2，30b）即在此条件下，Dirac方程保持Lorentz不变性。对无穷小变换，令： (2.31a) （2，31b）将变

26、换算子(2.31a,b)代入条件（2.30b）可得： 记(2.32)可化为：由此式可解得： 称为自旋张量，由此变换算子化为 （2，32）对主动变换，将（1，33）及代入(1.40)式，得旋量波函数的主动变换为 （2，33）式中是Dirac粒子的总角动量，包括轨道角动量和内禀自旋动量张量。§3 自旋为1的有质量矢量场 克莱因-戈登方程用一个波函数描述自旋为s=0的中性标量场，自旋为s=1/2的粒子，正反粒子共有4个物理态，用4分量旋量满足的Dirac方程描述，对于S=1的粒子，正反粒子共6个物理态，显然需要6个波函数的方程描述，因此，我们设法寻找6个波函数的方程描述自旋为1的有质量矢量

27、场。1. 有质量矢量场的场方程：设有全对称的双旋量=， 满足方程 （2.34）若将二阶对称的张量写成4×4的矩阵，则矢量场的波函数满足方程 （2.35a）由于，则有： （2.35b） 定义一个C算子满足：C (2.36)C算子具有性质：CC （2.37）则（2.35b）式可写为：（C）=0 即C （2.38a）由(2.35a)有 （2.38b）现在，我们将C按16个独立矩阵展开： （2.39） 利用 ，及矩阵C的（2.36）和（2.37）式，可以证明上式仅存在和两项： （2.40）而且，将 （2.40）代入（2.1。35）有：由于 和线性独立，令和的待数等于零，则得联立方程： （2.

28、41a） （2.41b）这一组方程称为Froca方程。将（2.41a）代入（2.41b）得 （2.42）作用有由于，则有条件 联合（2.42）有： （2.43a） （2.43b） 前一式运动方程，后一式是条件。方程组（2.41）或方程组（2.43）即为矢量场方程组。若定义：A (2.44a)F (2.44b)即以矢势和标势及场量、定义和 ，则矢量场方程可以写为： （2.45）显然，后两式含时间导数，是真正的运动方程。注意到当m=0，(2.41)方程化为电磁场方程。 (2.46 a)方程(2.43)中m=0时化为 (2.46 b)也是熟知的电磁场方程,但是方程(2.43)是在的条件下推导的，显然

29、不能以m=0为条件从方程(2.43)得出电磁场方程。我们可以利用电磁场的规范不变性从(2.46 a)导出(2.46 b)。由(2.46 a)式中 设场量作下列变换式中B(x)是任意函数，则有由于B(x)是任意函数，可选取B(x)满足及 则有及条件 即为在Lorentz条件下的电磁场方程(2.46 b)2. Lorentz不变性与Dirac方程协变性的讨论相同,在变换 下,设 ,而 (2.47)假定变换之后方程组不变: 由于 , 上式即为:若 ,由 有与原方程组相同.而变换不变的条件是: , . (2.48)矢量场的变换规律与坐标变换规律相同。对无穷小变换:则 将看作列矢量，有对矢量场的变换 （

30、2.49）式中是三个自旋矩阵， ， 现在计算的主动变换，依（2.48）式的代入（1.40）有 . （2.50）式中是总角动量，如同Dirac场一样，包含有自旋项。这里是自旋为I的自旋张量。§4 场的正则描述不同自旋的自由粒子分别用KleinGordon方程、Dirac方和Proca方程等微分方程作描述。为了讨论自由场的普遍特性，应该从描述任意系统运动规律的基本原理，即最小作用量原理出发，将各种场的描述纳入统一的形式。1. 最小作用量原理一个力学系统的广义坐标取为，广义速度是。拉格朗日函数（或称拉格朗日量，简称拉氏量）是广义坐标，广义速度的函数： （2.51）系统的作用量定义为： （2

31、.52）一个物理系统实际发生的运动状态是所对应的作用量具有最小值的状态，这就是最小作用量原理,即： （2.53）根据这一原理，可导出EulerLagrange方程 （2.54）对多粒子体系对应EulerLagrange方程为 （i=1，2，n） (2.55)从EulerLagrange方程可以过度到哈密顿方程。定义正则动量： （2.56）哈密顿量： （2.57）从EulerLagrange方程可以推得哈密顿方程 （2.58a） （2.58b）系统运动既可以用EulerLagrange方程，也可以用Hamilton方程描述。2场经典的拉格朗日方程 场是物质存在的形式之一，它有粒子所具有的质量、线

32、量、动量等性质，但它是充满全空间，没有不可入性，是一个有无穷自由度的动力学体系。把拉格朗日形式应用於场，关健是如何把经典力学的拉氏形式推广到具有无穷多自由度的系统的场。为便于与经典力学对比，我们可以把场分为无穷多个但可数的小格，把场看作有无穷多但可数自由度的动力系。对于每个小格，认为是一个“实物”，写出它的拉格朗日方程。为此，选场量是作为场的广义坐标，对于第i个小格，场的广义坐标取为场量在这小格中的平均值 （2.59a）对应的广义速度是： （2.59b）将Eular-Lagrange方程用于这个小格 (i1,2,n) （2.60）为描述场的运动，分立形式的方程必须取的连续极限，为此，我们引进泛

33、函的概念。泛函是以函数为宗量的函数，其值不依赖于在某点之值，而依赖于在整个定义域之值。若在每一点有变分，则泛函的变分是 （2.61）式中，定义为对于在点之值的泛函导数。按（2.61）式，若，则对比函数的性质知 （2.62）对于两个函数的泛函，例如拉氏量，我们有 (2.63a)另一方面，在分立记号中有 (2.63b)令（2.63a）等同于（2.63b）式的连续极限，由于在不同点的变分互相独立，可得到： （2.64）其中位于第i个小格中。将（2.60）公式作利用（2.64）式得场的Eular-Lagrange方程 (2.65)这是拉氏量满足的方程。引入拉氏密度函数作进一步的研究，定义： (2.66

34、)L是拉氏函数密度，注意L是的泛函，考虑到作为协变量也应与有关，所以L应为和的泛函L，这样作用量为： 由最小作用原理=0由于不变 上式化为=0上式最后一项利用四维高斯定理，积分为0，并考虑积分区域的任意性，所以导出 (2.67)这就是用拉氏密度函数表示的场的Enlar-Lagrage方程，这一方程，统一的描述了各类的场。 例如，设 （2.68）代入Enlar-Lagrage方程，得标量场的Klein-Gorden方程即氏标量场的拉氏量的一个选择。若 （2.69）由（2.69）知，方程化为旋量场的Dirac方程即是旋量场拉氏量的一个选择。若 （2.70）方程化为矢量场的Froca方程即是矢量场拉

35、氏量的一个选择。4. 场的Hamilton的形式现在将场的Lagrange形式过渡到Hamilton形式。还是将场分为无穷多但可数的n个小格，对场中第个小格，选正则坐标为场函数在小格中的平均值。 （2.71）共轭动量是 （2.72）即 （2.73）式中 (2.74)哈密顿量定义为 (2.75)即对小格体元 令 (2.76) 则 （2.77） 体元的Hamilton方程为 （2.78）取，即过渡到连续情况。定义场变量的共轭动量为： （2.79）哈氏量（2.77）过度为 (2.80a)即 （2.80b）式中 （2.81）称为哈氏量密度。由（2.78）式，作 及 所以Hamilton运动方程是, (

36、2.82)这样Lagrange方程等价地可由Hamilton方程(2.82)所代替。5. 泊松括号定义泛函和的泊松括号为： （2.83）对于泛函的时间微分：代入(2.82)式有：依据泊松括号定义（2.83）则 （2.84）泊松括号定义（2.83）中，若令，则即 （2.85a）同理有 （2.85b）这是Hamilton方程（2.82）的另一表式。同理，还可导出 （2.86a） （2.86b）这些关系式可用于向量子括号过渡。§5 对称性与守恒律1. 概说对称是一个古老的观念，这一观念来源于自然界存在着对称，如六角形的雪花，对称的叶片，美丽的蝴蝶，人体的左右对称等。在人类生活中，也早已喜爱

37、对称，如古代的有些对称的青铜器，庄重对称的皇宫建筑，对称的诗歌等。生活中的对称是美，是艺术。对称观念应用于科学，最早见于几何学，十九世纪把对称应用于晶体研究，是对称在物理学上应用的一大进步。但是什么是对称，例如问：“有多少种移动和转动使晶格不变？”这些促使数学家提出了群的观念，群的观念是十九世纪数学的一大发明，对数学和物理都有着深刻的影响。对称的科学观念及其重要性是逐步形成的，二十世纪初期，相对论和量子论的发现，使对称性在物理上的应用大为推广，并突显其重要性。物理学中的对称性观念是：物质的状态和运动规律在某一变换下不改变，则称该状态和运动规律具有这一变换的对称性。也就是说，将所研究的对象称为系统，将系统从一个状态变化到另一个状态称为变换，如果状态在某一变换下不变，即变换后到一个等价的状态，