常微分方程补充教程

1、第一章 一般理论1.1 预备知识一 .Banach空间设是实数域或复数域上的线性空间，若上的实值函数满足下列条件：（1） 对任何，并且的充要条件是；（2） ，；（3） ，则称为上的范数，而称为赋范线性空间.通常我们略去，而把简称为赋范线性空间.设是赋范线性空间，对任何，令，则是上的距离函数.因此，我们自然地把看成是度量空间. 完备的赋范线性空间称为Banach空间.例如 n维向量空间,对,定义范数,由导出的距离称为Euclid距离,且称为维Euclid空间,它是一个Banach空间.又如连续函数空间,对,定义范数,则是一个Banach空间,但按范数是一个不完备的赋范线性空间.二 . 紧集与相对

2、紧集设为度量空间, 是中的子集.为相对紧集(或列紧集) 的充要条件是中任一点列必有收敛子列.为闭集的充要条件是中任何收敛点列必收敛于中的点. 为紧集的充要条件是为相对紧闭集(或自列紧集).在中紧集与有界闭集是一致的,但在一般度量空间中,可以证明,紧集一定是有界闭集,但反之不然.于是我们可以把闭区间上连续函数的性质推广到度量空间紧集上的连续映射上来.例如1. 若是紧集上的连续映射,则在上必有界,而且可以达到上、下确界.2. 紧集上的连续映射必是一致连续的.3. 度量空间X上的连续映射必然把列紧集映为列紧集.三. Ascoli-Arzela定理考虑定义在上的实值(维)向量函数族,如果存在,使对任何

3、,都有,则称函数族在上是一致有界的.如果对任给的,存在,使对任何和,只要,就有,则称函数族在上是等度连续的.这里一致有界是指中所有在上有一个共同的界,等度连续是指，一个共同的,不仅对每个在上一致(即每个在上一致连续),并且对中所有一致.Ascoli-Arzela定理 设=是定义在上的一致有界且等度连续的实值( 维)向量函数族,则从中必可选取一个在上一致收敛的子序列.四 . 不动点原理设为度量空间到它自身的一个映射,如果存在数,，使对一切都有，则称为上的压缩映射.压缩映射从几何上看就是和经映射后,它们的像的距离缩短了(不超过的倍,).压缩映射原理 完备的度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点(就是

4、说,方程有且只有一个解).定理中的完备性条件不能去掉.例如,=,是如下的映射,.显然是到的压缩映射,但在中无解,即在中不存在的不动点.条件, 不能减弱为 .例如=0,+),X为完备的度量空间, 定义为+, .当时，但在中没有不动点.应用上常取中的一个闭子空间(子空间是完备空间的充要条件是是的闭子空间).Schauder不动点定理 设是Banach空间,是凸闭集, 是的连续映射,并且是相对紧集,则在中至少有一个不动点.1.2解的局部存在和唯一性定理一 . 皮卡(Picard)定理考虑初值问题(或Cauchy问题) ,即方程 满足初始条件的解的问题,其中，是定义在区域上的n维实值向量函数,为某一区

5、间.历史上Cauchy在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题的解的存在和唯一性定理(因此后人常把初值问题称为Cauchy问题).1876年,Lipschity减弱了Cauchy定理的条件.1893年,Picard用逐次逼近法在Lipschity条件下对定理给出了一个新证明.定理2.1(Picard) 若函数在空间中某区域: ,上连续,并且关于满足Lipschity条件,即,使当,时有 ，则初值问题（I）在区间上存在唯一解，其中，.证明思路 先证明解的存在性（转化逼近取极限）转化 证明初值问题（I）等价于积分方程 .这里等价的含义是指是初值问题（I）的解当且仅当它是积分方程的连续解

6、.逼近 构造逐次逼近序列 ，.证明序列在：上有定义，连续且满足.取极限.证明序列及在上皆一致收敛.于是记，则在上连续，并且可通过积分号取极限，从而有，即是积分方程的连续解.最后证明解的唯一性.下面应用压缩映射原理证明定理2.1 .定理2.1的证明 仅考虑：的情形，对于左半区间的情形可以类似讨论.用表示定义在上一切连续的维向量函数所构成的集合.对，定义它的范数为，其中为某一常数.容易证明按距离成为完备的度量空间.用表示满足条件的连续向量函数全体构成的子空间，不难看出是闭子空间，从而是完备的度量空间. 令，则是到中的映射. 事实上，任取有， 即当时，. 又对有 .从而推出，.所以是中的压缩映射，故

7、存在唯一的，使，即，.由于积分方程定义在上的任何连续解都含于中，因此方程在上存在唯一的连续解，它等价于初值问题（I）在上存在唯一解. 推论2.1 若函数在区域内连续，且关于满足局部Lipschity条件 即对任一点，存在它的一个邻域，使在上关于满足Lipschity条件（注意，相应的Lipschity常数与有关），则对任一点，都相应地有含点的一个区间，使初值问题（I）在上存在唯一解.推论2.2 若函数在区域内连续并存在连续的偏导数则仍有推论1的结论成立.例1 利用Picard定理证明初值问题 ， 在区间上存在唯一解.证 在矩形：上考察所给初值问题.由于及都在上连续，故满足Picard定理的条件

8、.这里，. 因此推出该问题在区间，即上存在唯一解. 例2 设二元函数在带域：上连续，关于满足局部Lipschity条件，且. 记为初值问题的解. 试证明：若，则对一切恒有证 由假设可知，对任给，所述初值问题在区间上存在唯一解，且是方程的解.用反证法证明：当时，对一切恒有. 因为如果不然，必存在，使.于是过点就有方程的两个不同的解及通过，这是一个矛盾. 例3 设在积分方程中，在上连续，在上连续. 试证：当足够小时，此方程在上必存在唯一的连续解.证 在中定义范数=，则是一个Banach空间. 作映射：，.由假设条件知，是到自身的映射. 令，对有 .若记，则当时就推出，.根据压缩映射原理，在中有唯一

9、的不动点，即所给积分方程在上有唯一的连续解. 例4 设三元函数在上连续，且关于满足Lipschity条件，而函数在上连续，试证积分方程 在上存在唯一的连续解.证 在中定义范数，其中是某一常数，则是一个Banach空间，考察到它自身的映射：.任取，有 ，从而推出，.根据压缩映射原理，在中有唯一的不动点，即所给积分方程在上有唯一的连续解.例5 设二元函数在上连续，且存在，对及有.试证明初值问题， （2.1）在上存在唯一解。证 易知问题（2.1）存在唯一解等价于问题， （2.2）存在唯一解.而问题（2.2）存在唯一解又等价于积分方程 （2.3）存在唯一的连续解. 因此只需证明积分方程（2.3）存在唯

10、一的连续解.用表示所有在上连续，且存在（有限）极限的函数构成的集合，并在中定义范数，其中则不难验证是一个Banach空间，作映射：.运用洛必达法则，故，即是到其自身的映射. 又对， ，从而有， .所以满足压缩映射原理的条件. 因此存在唯一的不动点使，即， .再注意到对方程（2.3）的任意连续解都有.所以，这就证明了积分方程（2.3）在上存在唯一的连续解.附注1 为什么不直接考虑问题（2.1）而转为问题（2.2）？因为与（2.1）等价的积分方程为，而 .附注2 检验存在（有限）极限，从而说明方程（2.3）的解集合.二. 佩亚诺存在定理若不考虑唯一性，佩亚诺（Peano)在更一般的条件（即只要求函

11、数的连续性)下建立了初值问题解的存在性定理.定理2.2（Peano)若函数在空间中某区域上连续，则初值问题（） 在区间上至少有一个解，其中，.证明思路（只考虑：的情形）1.对，在上构造Euler折线 满足：（1），对；（2）在上分段光滑；（3）在上使得存在的，皆有.2. 设是一个单减无穷小数列，记.证明在上有一致收敛的子列，且令则在上连续.3. 证明 是初值问题（）在上的一个解.下面应用Schauder不动点定理证明定理2.2 .定理2.2的证明 在中定义范数=，则是一个Banach空间. 令是中满足条件，的集合，则对及有 ，故，是凸集. 设序列且，由 可推出，故，是一个闭集. 作映射，. 对

12、 ，从而有故，是到中的映射. 又若，且，它蕴含在上一致收敛于.于是在中，令便得，说明在上是连续的. 进而对及有 说明作为定义在上的函数族是一致有界且等度连续的，由Ascoli-Arzela定理推知是相对紧集. 根据Schauder不动点定理，必存在使得，即初值问题在区间： 上至少有一个解. 推论 若在空间中某区域G内连续，则对任一点,初值问题（I）在点的某一邻域内至少有一个解. 例6 利用Peano定理证明初值问题的解在上存在证 对任给的正数在矩形：上连续，满足Peano定理的条件，从而推出所给初值问题在区间上至少有一个解，其中而由于对任给的当时 ，故可取足够大的使于是就有即该初值问题的解在区

13、间上存在.再由的任意性可知结论成立.例7 证明：若二元连续函数对是递减的，则初值问题（） 在右侧（即）的解是唯一的.证 由Peano定理的推论可知，初值问题在某一区间上至少有一个解.现设和都是问题在区间的解. 令，.由于对是递减的，从而有 这说明在上也是递减的，故有，. 但显然，因此只有，即在上.例8 设三元函数在 上连续且有界，函数 在上连续.试证：积分方程在上至少有一个连续解.证 在中定义范数，则是一个Banach空间用表示中满足条件，的子集，其中. 不难验证是一个凸闭集. 今定义到中的映射：，易知是连续映射. 进而对及有及，说明作为定义在上的函数族是一致有界且等度连续的，由Ascoli-

14、Arzela定理推知是相对紧集. 根据Schauder不动点定理，必存在，使，即所以该积分方程在至少有一个连续解.1.3 解的延拓 一. 解的延拓定理 考虑初值问题 ，其中在区域内连续.应当注意到，Peano存在定理是一个局部性定理，因为在定理的条件下，解的存在区间为，. 显而易见，愈大，则h愈小. Peano定理的推论虽然在任意区域G内讨论初值问题，但未有实质性的效果，过G内任一点的积分曲线仍被限制在一个小区间上，这样的结果是不能令人满意的.在域G内能否将定义在较小区间上的解拓广到较大区间上去呢？这正是本节所要讨论的延拓问题. 定义3.1 如果和分别是方程 在区间和上的解，且在上有，则称方程

15、的解是解的一个延拓.如果方程在上的解不再存在任何延拓，则称是方程的饱和解.而称为解的最大存在区间. 定理3.1 设函数在区域内连续， 为内任一点，并设为方程经过的任一条积分曲线，则积分曲线将在区域内延拓到边界（换句话说，对于任何包含的有界区域G，积分曲线将延拓到之外）. 证 设方程经过点的积分曲线有如下表达式 ： ， ，其中表示的最大存在区间. 讨论积分曲线向右延拓的情况.令.如果，则在内向右延拓到无穷远，从而延拓到的边界.否则就有下面两种可能： （1）为有限闭区间，其中常数.这时向右延拓可达到，从而，即是区域的内点.于是可作以为中心的矩形，根据Peano定理，积分曲线可延拓到的右边.由于已假

16、设在右边的最大存在区间为，这是一个矛盾.所以不可能是有限闭区间. （2）为有限半开区间，其中常数.要证对任何包含点的有界闭区域G，不可能对一切， （3.1）成立. 否则，设存在内有界闭区域使（3.1）成立，则有 ，且 ，.它等价于 ， . （3.2）因为在上连续，所以在上有上界.从而对有 ,这说明在上一致连续，故存在.记=B，并定义 则在上连续，进而由（3.2）得出 在上成立. 换句话说，是方程（E）在区间上的解，且满初始条件.于是积分曲线可延拓到上，这与的假设相矛盾.因此对任何有界闭区域，关系式（3.1）是不能成立的. 综合上述讨论可知，积分曲线在点的右边将延拓到区域G的边界.向左延拓的情形

17、可以类似讨论. 附注 在定理3.1中，若G为无界区域，则可以是以下两种情形之一： （1） ； （2 为有限数，且当时或者无界，或者点趋于G的边界. 在的情形，作图示如下 特别地,当G为时，图示中（2）之二的情形不会发生.因此若能证明初值问题（）的右行饱和解在其存在区间上有界，则必有. 例1 证明对任何及，初值问题 ，的解必可延拓到上. 证 函数在上连续可微，满足解的唯一性定理和延拓定理的条件. 当或时，所述初值问题的解显然就是或，它们都在上有定义. 当时，所说的解在向的右方或左方延拓时将始终保持. 因为如果不然，则必有一点使 或 .但由解的唯一性知，这是不可能的.故根据延拓定理，解必延拓到上.

18、 定理3.2（解的整体唯一性定理） 设函数在区域内连续，且对满足局部Lipschity条件，则方程（E）过G内任一点有唯一的积分曲线，并且在G内将延拓到边界. 证 由Picard定理及定理3.1可知，方程（E）过点的积分曲线在局部范围内唯一存在，并且将延拓到G的边界.要证所述初值问题的饱和解是唯一的.否则，设有两个不同的饱和解与则易知在它们共同存在的区间内必有一点，使，且在的任意小的邻域内都存在点使.但这又与方程（E）经过点的解的局部唯一性相矛盾.因此在其共同存在的区间内应有，随之由饱和解的定义可知，. 二. 确定解的最大存在区间的方法 确定解的最大存在区间通常有两种方法.一种方法是直接求出初

19、值问题的解，再确定它的存在区间；另一种方法是利用延拓定理（往往结合解的唯一性和单调性等性质）进行定性的讨论. 例2 确定如下初值问题解的存在区间：（1） （2） 解 方程的通解为 .由初始条件及均确定，解的表达式为 .由于积分曲线分别经过点及，所以初值问题（1）的解的存在区间为，而初值问题（2）的解的存在区间为. 例3 讨论方程 经过平面内任一点的解的最大存在区间及当趋向这区间端点时解的性状.解 及在平面上连续，故所给方程经过任一点的饱和解是唯一的.当时，所说的解显然就是，其存在区间是.当时，所说的解为 .由唯一性可知，解在其存在区间上恒大于零，故其存在区间为，且当时，而当时.当时，类似讨论可

20、知解的存在区间为，且当时，而当时.综合可知，解所对应的积分曲线以为水平渐近线，以为垂直渐近线.例4 设及都在上连续，且，试证初值问题 ，的右行饱和解在区间上有定义，且有 . 证 由题设条件可知，对平面内任一点，所述初值问题的饱和解是唯一的. 因为在上连续，且，根据零点定理，必有零点，即，于是是方程的一个解. 当时，由唯一性可知，所述右行饱和解显然就是，其存在区间为，且有. 当时，仍由唯一性知，所说的右行解在其存在区间上必有.又当时，即，可知在上单调减少，从而在上，即有界.根据延拓定理，必须.此外还应有（单调有界函数必有极限）.下面要证.事实上，是由方程 所确定的隐函数.若，则在上式中令，可得

21、，这是一个矛盾.类似讨论的 情形.例5 试证微分方程 的任一解的存在区间都是有限的. 证 函数在上连续可微，满足解的整体唯一性定理的条件.要证任意解的存在区间是有限的.否则，不失一般性，设方程经过某一点的右行饱和解的存在区间为.取正数，有 ，.推出 ，或 ， .上式两边从到积分得 ，于是 .但在上有上界，这是一个矛盾.为了对微分方程的解的存在区间作出估计，仅应用延拓定理及解的某些性质往往是不够的，有时还要结合分析有关方向场的几何性质.例6 设初值问题 ，其中函数在全平面连续且满足，证明：对任意的，当和适当小时，的解可延拓到. 证 由于方程右端函数在全平面连续，故由延拓定理可知，方程经过平面内任

22、一点的解可延拓到无限远. 因为当时，根据连续函数的零点定理，关于有零点，即，所以是方程的解.又从方程看出，直线是微分方程所对应的方向场的水平等斜线.两直线及积分直线将全平面分成IVI六个区域，如图所示进而推知，在区域I,III,V中，位于这三个区域的积分曲线是单调上升的，而在区域II,IV,VI中，位于这三个区域的积分曲线是单调下降的.对任给，当时，即点位于区域III内，考察相应的初值问题的右行解 ： ，.积分曲线从出发，在区域III内单调上升且向右延拓到无限远，所以必穿过直线进入区域II.在区域II内，积分曲线单调下降且继续向右延拓，故它必与直线相交，设交点为.若，则向右进入区域I后单调上升

23、，但它不可能从水平等斜线的下方穿越到上方，因此它必然延拓到上，若，则将曲线与衔接即得的解 再考察初值问题经过的左行解 ，.若存在 使，则所述左行解可表示为 若不存在这样的，则在上保持有界：，故按延拓定理推知必有.同理可证当，即点位于区域IV的情形.综合可知当时，的解均可延拓到.三Gronwall不等式Gronwall不等式及其推广形式在微分方程的理论研究中应用广泛.例如它可用来证明Picard定理中的唯一性部分，也可以结合它讨论解的延拓问题.此外它本身的证明方法也很有技巧，值得我们学习和运用.Gronwall不等式 设都是上的连续函数，是常数，且满足 ,则.证：令,则在上，,且,即.上式两边同

24、乘以，将它写为.这说明在上递减，于是或.进而推出 . 推广的Gronwall不等式 设和都是上的连续函数，,使得,则.若还是递增的，则.证 令.则在上，,且,即.上式两边同乘以，将它写为,再从到积分，并注意，可得或.从而推出.又若还是递增的，则得.例 设函数在上连续，关于满足局部条件，且满足，其中，都是上的非负连续函数，试证明方程 的任一解都可以延拓到上.证 依假设，方程的任一饱和解都存在并且是唯一的.任取，并记.先考虑向右延拓的情形，要证.否则，即为有限数，根据延拓定理，当时必无界，但在上，从而推出.应用Gronwall不等式可得，即在上有界，这是一个矛盾，所以必有，同理可证.练习 证明对任

25、何及，初值问题的解必可延拓到 上。 设初值问题的解得最大存在区间为 ，其中是平面上的任一点，则和中至少有一个成立。 在平面上任取一点，试证初值问题的右行解都在区间上存在. 1.4比较定理 微分方程的比较定理可以从分析方向场的几何性质中提炼得出.本节我们先就纯量方程的情形论述它的有关结果，然后考虑向向量系统的推广形式.一. 第一比较定理 定理4.1 设函数与都在平面区域内连续且满足不等式.若函数与分别是一阶方程 与 在区间上经过同一点G的解，则必有 （4.1） 证 在上，令 则 于是存在, 使得在上 . 如果（4.1）第一式不成立，则至少存在一点(使得.令 ，就有，从而推出 . 但由于可得 .这

26、是一个矛盾，故第一式成立.同理可证第二式也成立. 定理4.1的几何意义是明显的：斜率小的曲线向右不可能从斜率大的曲线的下方穿越到上方.应该注意的是，两个方向场只有在同一点，才能比较它们斜率的大小.二. 最大解与最小解 考虑一阶微分方程的初值问题（I） 其中）在平面区域G内连续，. 定义4.1 设是问题（I）定义在区间J上的一个解，若对问题（I）的任何解，不等式在它们共同存在的区间上总成立，则称是问题（I）在区间J上的最大（小）解. 定理4.2 设在矩形：，上连续，则初值问题（I）在区间上有最大解和最小解，这里，.证 由于，故可选，使，考虑与问题（I）相联系的初值问题（I） ，其中，如上所述，并

27、且当时单减且趋于零.根据解的延拓定理，问题（）的一个饱和解也一定在上有定义. 否则，设(t)的存在区间的一个端点，譬如右端点(,),则必存在，且有.但另一方面又有=，这是一个矛盾.于是在上成立 （4.2）进而推出且对， ，因此序列在上一致有界且同等连续，故必有一致收敛的子列. 令 .由于为单减数列，故从第一比较定理推出 ，及 ， ，也就是说在及上均为单调序列，所以本身在上一致收敛，并且.进而由在上的一致连续性推出，在上一致收敛于在（4.2）式中令得，即是问题（I）在区间上的一个解. 这样，对初值问题（I）的任一解，应用第一比较定理于问题（I）和有 及 在以上两式中分别令就推出是问题（I）的右行

28、最大解和左行最小解。 类似地，在初值问题（）中以代替，可证初值问题（I）有左行最大解和右行最小解。由于初值问题（I）的所有解在点均相切，所以（I）的左行最大（小）解与右行最大（小）解就可以衔接为上的最大（小）解. 附注 从定理4.2的证明中不难看出，利用解的延拓定理，我们能把问题（I）的最大解和最小解从局部延拓到区域G的边界，并且可证饱和最大解与饱和最小解是唯一的. 例 1 证明初值问题 ，有无穷多个不同的解，找出它的最大解和最小解. 解 解方程 ，得 ，或 ，. 此外是常数解. 注意到曲线 ，与直线 在点相切，故通过衔接，初值问题定义在上的所有解析可表示为 及x=0，.其中为任意常数.所以初

29、值问题有无穷多个不同的解，其中最大解和最小解显然分别是 和 三. 第二比较定理 若将第一比较定理中严格不等式皆换为广义不等式，相应的结论仍成立，并它称为第二比较定理.定理4.3（第二比较定理） 设和在平面区域G内连续，且满足不等式 . 若和分别是一阶方程 和 在区间上经过同一点的解，并且是后一方程的右行最大解和左行最小解，则有 证 考虑初值问题 ，其中， 并且当 时单调减且趋向于零.由定理4.2可知，问题 在上有解，并且一致地有 .应用第一比较定理于问题（I）和 可得 在上式中令取极限，并考虑到当时 就有 例2 设是初值问题 的解.试给出当时的上、下界. 解 将所给方程与方程 及 相比较，显见

30、三个方程的右端函数在全平面连续可微，满足解的整体唯一性定理的条件，且有 .初值问题 ，及 ，的右行饱和解分别为 ，及 ，.根据第二比较定理，所述问题的右行饱和解在其存在区间上应满足. 可见，和1可分别取为的一个上界和下界.又根据延拓定理可知，的存在区间也是.四. 向量系统与纯量方程的比较 给定函数，定义的上右Dini导数和下左Dini导数分别为 和 .显然当存在时有.引理4.1 设在平面区域G内连续，函数在上连续，满足微分不等式且.若在区间上是初值问题的右行最大解，则有.证 考虑初值问题 ，其中，并且当时单调减且趋于零.由定理4.2可知，问题在上有解，并且一致地有.固定，依假设有，且，故存在的

31、一个右邻域，使得不等式成立. 要证这两个右行解在共同存在的区间上总有. 否则，必存在及单调减且趋于零的序列，使得，且由此推出 于是这是一个矛盾.由于对每个，在 上有，令取极限得，.类似地可以证明。引理4.2 设在平面区域内连续，函数在上连续，满足微分不等式，且，若在区间上是初值问题的左行最小解，则有 .定理4.4 设在区域内连续，是平面上的连续函数，且对有.若和分别是初值问题和在区间上的解，并且是后一方程的右行最大解和左行最小解，则有证 当时有，在上面不等式两边令取上极限可得.取，依假设.故由引理4.1推出，在上.利用引理4.2类似可证在上 .比较定理对解的延拓及某些类型的解的估计常常是有用的

32、。但是我们注意到，定理4.4中F具有非负性会极大限制比较定理的应用，特别是在分析系统的解的稳定性性质方面。如果对向量函数也规定一种合适的“大小关系”，则比较定理的结果可推广到向量系统上去.然而它需要在向量函数为拟单调这样较强的假设下方可进行，从略.1.5 解对初值和参数的连续性依赖性从前面的讨论已经看出，微分方程的解不仅决定于方程本身，而且也决定于初值或某些参数，因此我们需要考虑微分方程的解对初值和参数的依赖性。就是说要考虑当初值或参数作微小变动时，方程的解是否也只作微小变动？进而还可以考虑解对初值或参数的变化率。下面我们先讨论解对初值的连续依赖性问题。考察初值问题 （I） 其中，在区域内连续

33、.当在内变动时，（I）的解一般也随之变动，故把它看作自变量和值的函数，而记作.这时显然有.引理5.1 设在区域内连续，且关于满足局部Lipschitz条件，则在的任一有界闭子域上，关于满足Lipschitz条件.证 用反证法.如果不然，则存在某有界闭子域，使对任意正整数，有，使得 （5.1）由于是有界闭子域，按波尔察诺魏尔斯特拉斯(Bolzano-Weierstrass)聚点定理，点列与必分别存在收敛子列，不妨仍以它们本身记之，且设它们分别收敛于中的点与. 又因为在上连续 有 .于是在两边令取极限得.所以，而有 .由假设知在的某邻域内关于满足Lipschitz条件，故存在及正整数，使得时就有，

34、这与不等式（5.1）相矛盾.附注 由引理5.1可知，若是有界闭区域，则在上满足局部Lipschitz条件等价于它在上满足Lipschitz条件.但当是开区域时，上的局部Lipschitz条件则弱于上的Lipschitz条件.又对于任意区域，若在上有对的连续偏导数，则在上关于满足局部Lipschitz条件.上述结论及引理5.1也可由有限覆盖定理推出.引理5.2 设在区域内连续，且关于满Lipschitz条件（Lipschitz常数为）. 若方程 的两个解和都在区间上有定义，则在上成立不等式 ， （5.2）其中.证 在上有，.于是当时 应用Gronwall不等式 可得.同理，在上因此得.综合可知，

35、不等式（5.2）在上成立. 定理5.1（解对初值的连续依赖性） 设在区域内连续，且关于满足局部Lipschitz条件,.并设初值问题 的解在上存在（），则对于，总存在,使得当，时，初值问题 （I） 的解也至少在区间上存在，并且，.分析 记，.，取，使“管状”区域：落在内.要证，.在上 由于，若使，就有因此可取.证 记 先设任给由于积分曲线段是G内的一个有界闭集，故 使得有界闭域含于G内，且由引理知在D上关于满足Lipschitz条件，Lipschitz常数取为L.对上述，因为在连续，应存在：使得时有，今取. 要证当，时，初值问题的解也至少在区间上存在，并且 不妨考虑右行解的情形. 如果所述结论

36、不真，必存在使得时 而 但由引理推出，在区间上 .特别地 这是一个矛盾. 当是区间端点，譬如时，先利用Picard定理把解的存在区间延拓到上，按照上面的讨论可知所述结论在上成立，从而在区间上成立. 几何解释(n=1的情形) 对在平面区域内作积分曲线的带域 则以为中心，以为半径的方形领域含于带域内，使得方程经过该邻域内任一点的积分曲线也一定在上存在，并且该曲线段完全落在所作带域内. 定理所表述的结果通常称为初值问题的解在点连续依赖于初值.具体地说，若初值问题 的解在区间上存在，则只要充分靠近初值问题的解也至少在区间上存在，并且一致地有.其实质是讨论解的延拓问题 定理所讨论的解对初值的连续依赖关系

37、，其实仍把解视为自变量的函数，如果把解看作自变量和初值的函数时，可推出下述解对初值的连续性定理. 定理5.2（解对初值的连续性） 在定理的假设下，对每一点，记初值问题 （I） 的饱和解的存在区间为，则作为的函数在区域 ， 内是连续的 证 任取，可选择使. 对根据解在点对初值的连续依赖性，应存在，使得当，时，也在上存在，并且在上 . 又由在的连续性可知，存在，使得当时 .取则当，时就有 在应用上，有时还要研究含有参数的初值问题 ，其中在区域内连续如果把参数也视为的未知函数，则问题可转化为维的初值问题 ，其中，而是引进的一个维未知向量.于是从定理推出 定理5.3（解对初值和参数的连续性） 设在区域

38、内连续，且关于满足局部Lipschitz条件.对每一点，初值问题的饱和解的存在区间为 则作为 的函数在区域 ， 内是连续的. 例1 设是初值问题 的解，试证明：对于和，存在正整数N，使得当时在区间上存在，且在此区间上. 证 由于在全平面连续可微，故对及，初值问题 ，有唯一解，且连续依赖于初值. 又明显看出是所给方程的解，它在上存在，且满足初始条件 . 任给及，考虑平凡解，由解对初值的连续依赖性定理推出，使得当，时，初值问题的解在区间上存在，且在此区间上有 . 对此，再由及推出，存在正整数，使得当时就有，.从而当时所述初值问题的解在上存在，且此区间上. 例2 假设函数在平面区域内连续并满足Lip

39、schitz条件及，又方程的满足初始条件的解对一切有定义，试证下列说法是等价的： 任给，可以找到正数，使得当时，对一切有 . 任给及，存在正数，使得当时，对一切有 . 证 依假设，是一个包含半直线的无界区域，所给方程经过任一点都在区间上存在唯一解，并且对，在区间上具有对初值的连续依赖性. 又是该方程经过的解. 任给及，根据，应存在，使当时，对一切有 由于以及为初值的解，及也都在上存在，且由解得唯一性可知.故若取，则，且当时就有，从而对一切有.当然对一切上式也成立.获证.任给及任取，由得假设可知，应，使得时，对一切有 .显然.对此，根据解在对初值的连续依赖性，（这里视为固定），使得当时，对一切有

40、 ，特别有.于是当时，对一切有 . 获证.例3 设是初值问题的解，试讨论对参数的连续性. 解 容易求出 当时，显然对连续，又 ，所以对也连续. 作业 设是初值问题的解.试证明：对任给的，存在正整数，使当时，在区间上存在，且在此区间上有 . 1.6 解对初值和参数的可微性本节考虑解对初值和参数的变化率的变化定理6.1 设在区域内连续，且对有连续的偏导数，对每一点，初值问题 （I） 的饱和解的存在区间为，则作为的函数在区域 ：内是连续可微的，每一个向量函数或作为的函数满足方程 ，并且 ，其中为的雅可比矩阵，为单位矩阵. 证 由假设知，对每一点，初值问题的饱和解存在且唯一，并对连续. 固定一点，可选

41、，使.取足够小，使，这里.定义. （6.1）根据解对初值的连续依赖性，也至少在上存在,且在上一致地有求y对t的导数,并应用中值定理于每个分量，得 ，其中，是与间线段上一点,矩阵P的元素作为t的函数在上连续,且一致地有.因此对任一序列,向量函数序列在上一致收敛,令，在(6.1)两边对t求导,且令便得 又由得到.这说明作为t的函数满足初值问题. (6.2)由于(6.2)中的方程是线性的,且有连续的系数矩阵,从而它在整个区间上存在唯一的饱和解,并满足解对初值的连续性,由此推出 作为的函数在内是连续的,及的连续性可以类似讨论.又注意到 ，可得 类似分析可以用于问题定理6.2 (解对初值和参数的可微性)

42、 设在内连续,且对x和有连续的偏导数.对每一点,初值问题 的饱和解的存在区间为,则作为的函数在区域内是连续可微的,并且，分别为下列初值问题的解: 及 例1对给定方程,时的表达式.求当时的表达式。解 及在包含点(1,0)的右半平面内连续,且初值问题的解为分别解初值问题和 得 和 第二章 线性微分方程组2.1 一般理论一 解的存在唯一性定理考虑标准形式的n阶线性微分方程组 ，其中系数函数和都是某有限区间上的实值连续函数.采用矩阵和向量的记号，将上述线性微分方程组写为 ， 其中 ，.当时，称为非齐次线性微分方程组.当时，写为 ， 称它为与相对应的齐次线性方程组.下面如果不作特别说明，的范数可取下列等价形式的任何一种， 或 .定理1.1（解的存在唯一性定理） 设矩阵函数和向量函数在区间上连续，则对任意及，初值问题 ， 在区间上存在唯一解. 由于在上连续，故存在常数使，进而推出在上，关于满足Lip条件 .于是从第一章定理3.2（解的整体唯一性定理）立刻推出本定理结论成立.二齐次线性微分方程组显然是的解，称它为零解或平凡解.容易验证 引理1.1（叠加原理）设和都是齐次线性微分方程组的解，则它们的线性组合也是的解，其中，为任意常数.引理1.2 方程组的解集合是一个n