第三章时变电磁场

1、2022-6-251第三章第三章 时变时变电磁场电磁场 时变电磁场时变电磁场:随时间变化的电场与与磁场。随时间变化的电场与与磁场。时变时变电磁场的特点：电磁场的特点：电场和磁场不再独立电场和磁场不再独立,而是互相依存、互相而是互相依存、互相转化。即转化。即变化的磁场会产生电场变化的磁场会产生电场；变化的电场变化的电场也能产生磁场也能产生磁场。电场和磁场不可分割地成为统。电场和磁场不可分割地成为统一的电磁现象。一的电磁现象。时变电磁场的时变电磁场的核心核心理论是理论是麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组。2022-6-2523.1.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律一、法拉第

2、电磁感应定律(实验实验):1、数学表示式、数学表示式: 物理意义物理意义:通过任意通过任意闭合闭合导线回路的磁通发生变化导线回路的磁通发生变化,回路中就会产生感应电流。感应电流的产生可以回路中就会产生感应电流。感应电流的产生可以认为是产生了感应电动势认为是产生了感应电动势 ,其其大小等于回路大小等于回路中磁通对时间的变化率中磁通对时间的变化率,方向方向为感应电流的磁通总为感应电流的磁通总是是阻止阻止与回路相交链的原来的磁通的变化与回路相交链的原来的磁通的变化.iSiSdBdtddtd3.1 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2022-6-2532、感应电场感应电场 ：iE环路积分为感应电动势环路积分

3、为感应电动势 .iSCiiSdBdtddtdl dE上式说明上式说明:感应电场的环路线积分值不恒为感应电场的环路线积分值不恒为零零.即即感应电场为有旋场感应电场为有旋场。感应电场是由于磁场随时间改变而产生的。感应电场是由于磁场随时间改变而产生的。推论推论:闭合回路不是导体回路行不行呢？闭合回路不是导体回路行不行呢？ 任意任意的闭合回路那又行不行呢？的闭合回路那又行不行呢？2022-6-254、法拉第电磁感应定律：、法拉第电磁感应定律：(iiCSBEdldSt 积分形式）据斯托克斯定理据斯托克斯定理: 则则BEt （ 微 分 形 式 ）(3.5)上式说明上式说明:变化的磁场能产生电场变化的磁场能

4、产生电场,且电场不且电场不再是再是无旋无旋场场.那么变化的电场产生磁场吗？那么变化的电场产生磁场吗？0tB同理同理:当当 时时,则则0E 说明说明:恒定磁场是独立的恒定磁场是独立的,若其中存在电场若其中存在电场,也必是也必是库仑场或恒定电场库仑场或恒定电场,为无旋场为无旋场。2022-6-2553.1. 位移电流位移电流JH1、安培环路定律：、安培环路定律：对上式两边取散度对上式两边取散度,则则:0H右边右边电流连续性方电流连续性方程程时变时变情况下情况下,0t等式两边取散度后等式两边取散度后,时变情况时变情况,左边不等于右边左边不等于右边.缺陷缺陷左边左边tJ2022-6-2562、位移电流

5、位移电流： D 而电流连续性方程为而电流连续性方程为0tJ0t)D(J 即即0)(tDJ 定义：定义：位移电流密度位移电流密度tDJd2022-6-2573、安培环路定律的修正安培环路定律的修正：于是安培环路定律被修正为于是安培环路定律被修正为:tDJH安培环路定律的微分形式安培环路定律的微分形式JH0) dJJ （tDJJJHd2022-6-258全电流定律（全电流定律（时变场的安培定律）时变场的安培定律）：1、全电流全电流：含传导电流、运流电流、位移电流。其含传导电流、运流电流、位移电流。其中中传导电流、运流电流称真实电流传导电流、运流电流称真实电流。2、全电流定律：、全电流定律：tDJH

6、 SSSSdtDSdJSd)H( 由斯托克斯定理：则由斯托克斯定理：则SSCSdtDSdJldH上式说明：上式说明：变化的电场也能产生磁场变化的电场也能产生磁场。对任意曲面对任意曲面S 积积分分2022-6-259例：海水的电导率例：海水的电导率 ，相对介电常，相对介电常数数 ，若设海水中的电场是按余弦变化的，若设海水中的电场是按余弦变化的， 求当求当 和和 时，位移电流时，位移电流同传导电流同传导电流幅值幅值的比值。的比值。ms481rMHzf11GHzf11解：解： 位移电流密度为：位移电流密度为：其幅值为：其幅值为：mrdmEJ0 传导电流密度为：传导电流密度为：tEEJmccos其幅值

7、为：其幅值为：mcmEJEDr0tE tDJmrDsin0tEEmcos2022-6-2510则位移电流与传导电流幅值之比为：则位移电流与传导电流幅值之比为：rmmrcmdmEEJJ00MHzf11当当 时，时，3010125. 1rcmdmJJ125. 10rcmdmJJ当当 时，时，GHzf11比较运算结果发比较运算结果发现现：当：当频率越高频率越高时，位移电流越时，位移电流越大，即变化的电大，即变化的电场产生的磁场也场产生的磁场也越大。越大。这就是为这就是为什么，时变电磁什么，时变电磁场在实际应用中场在实际应用中往往使用往往使用较高较高频率频率的缘故。的缘故。2022-6-2511某种媒

8、质中某种媒质中传导电流与位移电流的比传导电流与位移电流的比值的大小是衡量该媒质导电性的分界线值的大小是衡量该媒质导电性的分界线。当该值远远大于时，媒质为良导体，远当该值远远大于时，媒质为良导体，远远小于时为良介质。由于该比值与频率远小于时为良介质。由于该比值与频率成反比，则媒质是良导体还是良介质不是成反比，则媒质是良导体还是良介质不是绝对的。绝对的。在低频下为良导体的媒质在高频在低频下为良导体的媒质在高频时可能为良介质时可能为良介质。2022-6-25123.1.3 麦克斯韦方程麦克斯韦方程一、麦克斯韦方程组一、麦克斯韦方程组 麦克斯韦将电场与磁场的麦克斯韦将电场与磁场的环量环量及及通量通量方

9、程，推方程，推广至时变电磁场中，就成为其广至时变电磁场中，就成为其方程组方程组。1、微分形式：、微分形式：DBtBEtDJH0有旋有旋有旋有旋无散无散有散有散 时时变变电场电场有散有旋，即有散有旋，即电力线可以是闭合的电力线可以是闭合的（有旋），（有旋），也可以是不闭合的也可以是不闭合的（有散）；时变磁场则是有旋无散的，故（有散）；时变磁场则是有旋无散的，故磁力线永远是闭合的磁力线永远是闭合的。342022-6-25132、积分形式：、积分形式：qSdDSdBSdtBl dESdtDSdJl dHSSSCSSC0全电流定律全电流定律法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理磁通连续性原

10、理高斯通量定理高斯通量定理上面两个方程组适用于上面两个方程组适用于所有媒质所有媒质，包括，包括各向同性各向同性及及各向异性媒质各向异性媒质。但对于不同的媒质，其但对于不同的媒质，其本构关系本构关系是不同的。是不同的。本构关系即本构关系即 与与 、 与与 及及 与与 之间的关系。之间的关系。E DH BE J2022-6-2514若媒质是线性、各向同性的，有若媒质是线性、各向同性的，有 （3.193.19）式（式（2.1662.166）称为媒质的）称为媒质的本构关系本构关系。 DEBHJE2022-6-25153.2 边界条件边界条件 切向分量的边界条件切向分量的边界条件 或或 （3.203.2

11、0） 切向分量的边界条件切向分量的边界条件 或或 （3.213.21）HsnJHHe)(21sttJHH21E0)(21EEen021ttEE 法向分量的边界条件法向分量的边界条件 或或 （3.223.22） 法向分量的边界条件法向分量的边界条件 或或 （3.233.23）12nnsDDBD0)2BB(e 1nn1nBB 2s1nDD(e )2163.4(9)3.4(2)3.2.1 边界条件的一般形式边界条件的一般形式2022-6-25163.2.2 完纯（完纯（理想理想）导体）导体表面上的边界条件：表面上的边界条件：媒质媒质“1”为理想介质为理想介质媒质媒质“2”为理想导为理想导体体0120

12、12在理想导体中在理想导体中:02222E EJ002B tBE 有限有限不考虑对时间不考虑对时间为恒定的分量为恒定的分量02D02H2022-6-2517则边界条件可改写为则边界条件可改写为:01nEe snJHe 1s1nDe 01nBe 上式说明上式说明:对于时变场中的理想导体对于时变场中的理想导体,电场电场总是与导体表面垂直总是与导体表面垂直,磁场总是与导体表面相磁场总是与导体表面相切。切。在在导体内部导体内部,电场、磁场均为零电场、磁场均为零。若理想若理想导体表面有自由电荷及面电流时，面电流的导体表面有自由电荷及面电流时，面电流的方向与磁场方向相垂直方向与磁场方向相垂直。1214介质

13、介质导体导体3.4(6)2022-6-25183.2.3 两理想介质分界面上的边界条件：两理想介质分界面上的边界条件：则分界面的边界条件为：则分界面的边界条件为：212)01tt n (EEEE或1212()0tt nHHHH或212)01nn n (DDDD或212)01nn n (BBBB或不存在面电流不存在面电流 及面电荷及面电荷理想介质理想介质：绝缘介质绝缘介质，其，其0，且分界面上一般，且分界面上一般0sJ0s2022-6-25193.3 坡印廷定理坡印廷定理1、静态场中电场、磁场的能量体密度：、静态场中电场、磁场的能量体密度：221Eew221Hmw2、时变电磁场的能量体密度：、时

14、变电磁场的能量体密度：222121HEmewww在线性各向在线性各向同性媒质中同性媒质中2022-6-25203、坡印亭定理：坡印亭定理：无外源的线性各向同性媒质中：无外源的线性各向同性媒质中：EJ利用恒等式：利用恒等式：)()()(HEEHHEtH tBE tE J tDJH HBED将其代入恒等式：有将其代入恒等式：有tEEJEtHHHE)(2022-6-2521而而则则将上式对将上式对任意体积任意体积积分，并利用高斯散度定理，则有积分，并利用高斯散度定理，则有()TSdEHdSdP ddtw坡印廷定理坡印廷定理)()21(2mtHttHHw)()21(2etEttEEw2)()(EtHE

15、wT2PEJE 又（.）热的功率为单位体积中变为焦耳 PT2022-6-2522坡印亭定理的物理意义：坡印亭定理的物理意义： 单位时间里，单位时间里， 体积内体积内时变电磁场储时变电磁场储能的增加能的增加与转换为焦耳热损耗掉的功率，与转换为焦耳热损耗掉的功率，等于等于从从 体积的表面体积的表面S流进来的功率流进来的功率。定义：定义：、坡印亭矢量、坡印亭矢量 ：（能流密度矢量）：（能流密度矢量）SHES()TSdEHdSdP ddtw其大小等于单位时间内穿过与波的传播方向相垂直的其大小等于单位时间内穿过与波的传播方向相垂直的单位面积上的能量单位面积上的能量,故故 也叫也叫能流密度矢量能流密度矢量

16、.S电磁场的电磁场的传播方向传播方向2022-6-25233.4 波动方程波动方程0EHJtHEtHE 限定形式限定形式的麦克斯韦方程组的麦克斯韦方程组2022-6-2524考虑考虑无源区域无源区域的情形：的情形：麦克斯韦方程组变为麦克斯韦方程组变为0,0,0J00EHtHEtEH2022-6-2525HEt 对两边取旋度，有对两边取旋度，有EHt 以及以及则：则：2220EEt电场的电场的波动波动方程方程同理可得：同理可得：2220HHt磁场的磁场的波动波动方程方程利用矢量恒等式：利用矢量恒等式：EEE2)(tEH0E2022-6-25263.5 时谐场的复数表示法时谐场的复数表示法一、时谐

17、变电磁场的复数表示法：一、时谐变电磁场的复数表示法：1、时谐变电磁场：、时谐变电磁场： 随时间作简谐变化的电磁场随时间作简谐变化的电磁场。即电磁。即电磁场量（场源）是时间场量（场源）是时间 的的正弦正弦或或余弦余弦函数。函数。t2、复数表示法：、复数表示法：()xxyyzzEe Ee Ee E设设 的每个分量均是的每个分量均是 的余弦函数的余弦函数.Et则则2022-6-2527tjxmtjjxmxxmxeEeeEtEtrExReRe)cos(),(tjymtjjymyymyeEeeEtEtrEyReRe)cos(),(tjzmtjjzmzzmzeEeeEtEtrEzReRe)cos(),(故

18、故( , )Re ()j txmymzmxyzE r te Ee Ee Ee( ) ()mxmymzmxyzE re Ee Ee E令复振幅矢量复振幅矢量字母上加点表示复数字母上加点表示复数2022-6-2528同理同理:tjmerEtrE)(Re),(tjmerHtrH)(Re),(则则瞬时值瞬时值余弦函数取余弦函数取实部实部2022-6-2529正弦电场对时间的导数及积分用复数表示为：正弦电场对时间的导数及积分用复数表示为：)(Re),(tjmerEtttrE)(Re)(RetjmtjmerEjerEt)(Re),(222tjmerEttrEdterEdttrEtjm)(Re),()(1R

19、etjmerEj积分积分二阶二阶导数导数一阶一阶导数导数2022-6-2530正弦电场散度和旋度用复数表示为：正弦电场散度和旋度用复数表示为：)(Re)(Re),()(Re)(Re),(tjmtjmtjmtjmerEerEtrEerEerEtrE2022-6-2531例例:将下列场量的将下列场量的复数和瞬时值复数和瞬时值表达式互换表达式互换(设对设对 t 的的变化以变化以余弦余弦为基准为基准).1) 0sin()sin()xHe Hxkzta2) jzyymE yme Ee解解:1) kzttkz )2cos()sin()sin(Re)2(0kztjxexaHeH 2022-6-25322)

20、( , )ReRej tjzj tymyyymEr tEee Eeecos()yyme Etz()20( )sin()jkzymx Hre Hx ea),(trE yj zymyymEe E e2022-6-25333.5.2复数形式的麦氏方程组和波动方程：复数形式的麦氏方程组和波动方程：1、全电流定律的复数表示法：、全电流定律的复数表示法：tDJH tjmtjmeHeHtrHRe),(tjmeJJtjmeDDmmmDjJH 同理同理时间因子时间因子 消去消去.tje微分符号也消去了微分符号也消去了2022-6-2534当用有效值矢量表示时，上式变为：当用有效值矢量表示时，上式变为：DjJH 2、麦氏方程组用、麦氏方程组用复振幅矢量表示时复振幅矢量表示时，为：，为：mmmDjJH mmBjE 0mB mD m时间因子时间因子 均消去均消去.tje122022-6-25353、麦氏方程组用复数、麦氏方程组用复数有效值矢量表示时有效值矢量表示时，为：，为：DjJH 0B D (3.48)BjE 7013现在我们写复数时，上面