[理学]41 定积分的概念与性质ppt课件

1、? Aab)(xfy Oxy 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、处理问题的一种认识问题、分析问题、处理问题的不定积分偏重于根本积分法的训练不定积分偏重于根本积分法的训练,而定积分那么完好地表达了积分思想而定积分那么完好地表达了积分思想 主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分问题举例定积分问题举例定积分的定义定积分的定义关于函数的可积性关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义定积分的几何意义和物理意义小结小结 思索题思索题 作业作业 定积分的根本性质定积分的根本性质*definite in

2、tegral第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实践问题笼统出定积分概念也是由大量的实践问题笼统出一、定积分问题举例一、定积分问题举例来的来的, 现举两例现举两例.ab)(xfy Oxy? A求由延续曲线求由延续曲线 y = f (x) 0及及直线直线 x = a, x = b和和 y = 0所围所围的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积A. 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质用矩形面积用矩形面积梯形面积梯形面积.(五个小矩形五个小矩形)(十个小矩形十个小矩形)habAhxf)(,)()( 矩形面积公式为矩形面积公式为时

3、时常数常数思想思想 以直代曲以直代曲显然显然, 小矩形越多小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边矩形总面积越接近曲边近似取代曲边梯形面积近似取代曲边梯形面积OxyOxy 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质ab)(xfy 个个分成分成把区间把区间nba,1iixx 在在每每个个小小区区间间采取以下四个步骤来求面积采取以下四个步骤来求面积 A.(1) 分割分割,1210bxxxxxann (2) 取近似取近似,1为底为底以以iixx ;1 iiixxx,1iixx 小小区区间间长度为长度为)(if 为高的小矩形为高的小矩形,面积近似替代面积近似替代Oxyix1x1 ix1 nx,i 上任取一

4、点上任取一点i iA 恣意用分点恣意用分点的的窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积上上对对应应表表示示,1iiixxA ,iA nixfAiii, 2 , 1,)( 有有 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 A.)(lim10iniixfA (3) 求和求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积面积A的近似值的近似值.(4) 求极限求极限 为了得到为了得到A的准确值的准确值,)0(时时趋近于零趋近于零 取极限取极限,的面积的面积:分割无限加细分割无限加细,iniixf )(1 极限值就是曲边梯形极限值就是曲边梯形,max21nxxx 即即小小区区间间的的最

5、最大大长长度度 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质2. 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程思想思想以不变代变以不变代变设某物体作直线运动设某物体作直线运动, 知速度知速度v = v(t)是时间是时间间隔间隔T1, T2上上t的一个延续函数的一个延续函数, 0)( tv且且在这段时间内所经过的路程在这段时间内所经过的路程.思绪思绪 把整段时间分割成假设干小把整段时间分割成假设干小段段,每小每小段上速度看作不变段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值便得到路程的近似值,最后经过对时间的无限最后经过对时间的无限细分过程求得路程的准确值细分过程

6、求得路程的准确值. 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质求物体求物体(1) 分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( (3) 求和求和iinitvs )(1 (4) 取极限取极限,max21nttt .)(lim10iniitvs 路程的准确值路程的准确值(2) 取近似取近似is 0 令令表示在时间区间表示在时间区间内走过的路程内走过的路程.,1iitt 某时辰的速度某时辰的速度), 2 , 1(ni 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质二、定积分的定义二、定积分的定义设函数设函数f (x)在在a, b上有界上有界,在在a, b中恣意插入假设干

7、个分点中恣意插入假设干个分点定义定义4.1bxxxxxann 1210把区间把区间a, b分成分成n个小区间个小区间,各小区间长度依次为各小区间长度依次为), 2 , 1( ,1nixxxiii 在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点),(iiix 作乘积作乘积), 2 , 1()(nixfii 并作和并作和.)(1iinixfS 记记,max21nxxx 假设不论对假设不论对a, b(1)(2)(3)(4)上两例共同点上两例共同点:; II2) 方法一样方法一样;1) 量具有可加性量具有可加性,3) 结果方式一样结果方式一样. 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质被积函数被积函数被

8、积表达式被积表达式记为记为怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间,1iixx 上点上点i 的取法的取法, 只需当只需当,0时时 和和S总趋于确定的极限总趋于确定的极限I,称这个极限称这个极限I为函数为函数f (x)在区间在区间a, b上的上的定积分定积分. .iniibaxfIxxf )(limd)(10 积分下限积分下限积分上限积分上限积分变量积分变量a, b积分区间积分区间 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质怎样怎样积分和积分和 baxxfd)( bafd)(,)()1(11iiiniixxbaxfS 的分法及在的分法及在是与是与 ,)(lim110iiiniixxb

9、axfI 的分法及在的分法及在是与是与 (2) 构造和上、下限构造和上、下限, 今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无关性进展推理进展推理.定积分是一个数定积分是一个数, 定积分数值只依赖于被积函数的定积分数值只依赖于被积函数的取取法法上上i 有关有关; ;注注取取法法上上i 无关无关. .而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关.t bafd)(u 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质tu定理定理4.14.1定理定理4.24.2或或记为记为.,baRf 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)三、关于函数的可积性三、关于函数的可积性上可积上

10、可积.且只需有限个且只需有限个可积可积. .当函数当函数 f (x)在区间在区间a, b上的定积分存在时上的定积分存在时,可积可积. .黎曼可积黎曼可积, ,延续点延续点, ,称称 f (x)在区间在区间a, b上上设设 f (x)在在a, b上延续上延续,那么那么 f (x)在在a, b设设 f (x)在在a, b上有界上有界,那么那么 f (x)在在a, b上上充分条件充分条件 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质, 0)( xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值 baxxfd)(1. 几何意

11、义几何意义2A 1A 3A 四、定积分的几何意义和物理意义四、定积分的几何意义和物理意义Oxyab)(xf1A2A3A 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质各部分面积的代数和各部分面积的代数和.取负号取负号.它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f (x) 的图形及两条的图形及两条直线直线 x =a, x = b之间的之间的在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号;在在 x 轴下方的面积轴下方的面积Oxyab)(xf baxxfd)(几何意义几何意义 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质例例xx d1102 求求解解421xy 2. 物理意义物理意义,0)(时时当当 tvt

12、 = b 所经过的路程所经过的路程 s.oxy11 xx d1102 battvd)(v = v(t)作直线运动的物体从时辰作直线运动的物体从时辰 t = a 到时辰到时辰定积分定积分表示以变速表示以变速 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例 用定义计算由抛物线用定义计算由抛物线,2xy ,等分等分n,nixi 分分点点为为分分成成将将1 , 0 x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线 x = 1和和ni, 2 , 1 小区间小区间,1iixx 的长度的长度,1nxi ni, 2 , 1 取取,iix

13、ni, 2 , 1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxiniibaxfxxf )(limd)(10 nin1 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim.31 n 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质对定积分的补充规定对定积分的补充规定:,)1(时时当当ba baxxfd)(; 0,)2(时时当当ba baxxfd)(.d)( abxxf五、定积分的根本性质五、定积分的根本性质在下面的性质中在下面的性

14、质中, 假定定积分都存在假定定积分都存在, 且不思索积分上下限的大小且不思索积分上下限的大小. 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质4.14.1 baxd1 baxd. ab 用定积分定义用定积分定义, 即可证得即可证得.证证 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)(.d)( baxxg(此性质可以推行到有限多个函数作和的情况此性质可以推行到有限多个函数作和的情况)性质性质4.2()4.2() baxxgxfd)()(.d)(d)( babaxxgxxf 4.1 定积分的概念与性质

15、定积分的概念与性质证证 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .d)( baxxfk性质性质4.2()4.2()性质性质4.2()4.2()和性质和性质4.2()4.2()称为线性性质称为线性性质. . baxxkfd)( baxxfkd)().( 为常数为常数k 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)那那么么性质性质4.34.3 c

16、bxxfd)( cbxxfd)(假设假设bca baxxfd)( axxfd)(.d)( bxxfcc不论不论a, b, c的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立. 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质证证, 0)( xf0)( if ), 2 , 1(ni , 0 ix0)(1 iinixf ,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0d)( baxxf性质性质4.44.4 假设在区间假设在区间a, b上上, 0)( xf那那么么 baxxf0d)().(ba 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质所以所以由于由于由于由于所以所以所以所以性质性质4.

17、44.4的推论的推论1 1证证),()(xgxf , 0)()( xfxg0d )()( xxfxgba0d)(d)( babaxxfxxg假设在区间假设在区间a, b上上),()(xgxf 那那么么 babaxxgxxfd)(d)().(ba 于是于是.d)(d)( babaxxgxxf性质性质4.44.4 假设在区间假设在区间a, b上上, 0)( xf baxxf0d)(则则).(ba 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质所以所以由于由于所以所以).(ba 证证| )(|)(| )(|xfxfxf 性质性质4.44.4的推论的推论2 2 babaxxfxxfd| )(|d)(.d

18、| )(|d)( babaxxfxxf baxd baxd baxd由性质由性质4.44.4的推论的推论1 1 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质解解 令令,e)(xxfx 0, 2 x, 0)( xf0d)e (02 xxxxxde02 xxd02 于是于是xxde20 .d20 xx 比较积分值比较积分值xxde20 和和xxd20 的大小的大小.例例 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质所以所以由于由于所以所以证证Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d).(d)()(abMxxfabmba (此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围

19、)性质性质4.5 (4.5 (估值性质估值性质) )设设M和和m分别是函数分别是函数f (x)在区间在区间a, b上最大值及最小值上最大值及最小值, 那么那么).(d)()(abMxxfabmba 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质所以所以由于由于解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 .3dsin31403 xx估计积分估计积分.dsin3103的的值值xx 例例 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质).(d)()(abMxxfabmba 解解xxxfsin)( 2sincos)(xxx

20、xxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4x估计积分估计积分.dsin24的值的值xxx 上上在在 2,4)(xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab xxxdsin24422 4222 21,2,4)( Cxf 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质).(d)()(abMxxfabmba 证证Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 由闭区间上延续函数的介值定理由闭区间上延续函数的介值定理:性质性质4.6 (4.6 (定积分中值定理定积分中值定理) ) 假设函数假设函数f (x)在在那么在积分区间那么在积分区间a, b上至少上至少存存 , 使下式成立使

21、下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 积分中值公式积分中值公式至少存在一点至少存在一点 , ,d)(1)( baxxfabf 使使即即)(d)(abfxxfba ).(ba 在在a, b上上闭区间闭区间a, b上延续上延续, 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质在一点在一点 所以所以由于由于积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释)(d)(abfxxfba )(ba 在区间在区间a, b上至少存在一点上至少存在一点 , 使得以区间使得以区间a, b为底边为底边, 以曲线以曲线y = f (x)为曲边的曲边梯形的为曲边的曲边梯形的面积面积等于同一底边而高为等于同一底边而高

22、为)( f的一个矩形的面积的一个矩形的面积.)(xfy ab )( fOxy 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质定理用途定理用途 )( f注注a, b上延续上延续, 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 无论从几何上无论从几何上, 还是从物理上还是从物理上, 都容易了解都容易了解平均值公式平均值公式求延续变量的平均值要用到求延续变量的平均值要用到.如何去掉积分号来表示积分值如何去掉积分号来表示积分值. baxxfabfd)(1)( )(ba 就是就是 f (x)在区间在区间a, b上的平均值上的平均值. 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质4.6 (4.6 (定积分中值定理定积分中值定理) ) 假设函数假设函数f (x)在闭区在闭区间间那么在积分区间那么在积分区间a, b上至少存在一上至少存在一点点 ).1( 设设解解.2 T周期周期21例