隐函数及参数方程所确定的函数的导数相关变化率学习教案

1、会计学1第一页，共23页。第1页/共23页第二页，共23页。一、隐函数一、隐函数(hnsh)(hnsh)的求导法的求导法 1.显函数显函数(hnsh)、隐函数、隐函数(hnsh)的概念的概念(1) 显函数显函数(hnsh):我们把函数我们把函数y可由自变量可由自变量x的解析式的解析式(2)隐函数隐函数:若变量若变量y与与x之间的函数关系是由某一个之间的函数关系是由某一个方程方程0),(=yxF所确定所确定,那么这种函数称为由方程那么这种函数称为由方程0),(=yxF所确定的所确定的隐函数隐函数.也可以确定一个函数也可以确定一个函数, 称称为为显函数显函数.( )yf x 来表示的这种函数来表示

2、的这种函数,方程方程第2页/共23页第三页，共23页。把一把一个个隐函数隐函数 化为化为 显函数显函数, 称为称为隐函数的显化隐函数的显化(1)、复合函数、复合函数(hnsh)求导法则求导法则隐函数求导法隐函数求导法 , 就是不管隐函数能否显化就是不管隐函数能否显化 ,直直x接在方程接在方程0),(=yxF的两端对的两端对求导求导 ,由此得到由此得到(d do)隐隐函数函数(hnsh)的导数，的导数，若若 y 是由是由0),(=yxF所确定的函数所确定的函数, 将方程两边对将方程两边对x求导求导 ,但但 要要 把把 y 看成看成 中间变量中间变量 ,应用应用复合函数求导复合函数求导法则法则进行

3、求导。进行求导。注意注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数并不是所有的隐函数都可化为显函数.如如方程方程0=+-yxeexy所确定的隐函数就不能显化。所确定的隐函数就不能显化。问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?第3页/共23页第四页，共23页。例例1 求由方程求由方程222Ryx=+所确定所确定 隐隐 函数的导数函数的导数dxdy解解 这里这里2y 可以看作是以可以看作是以 y为中间变量的复合函数为中间变量的复合函数运用复合函数的求导法则运用复合函数的求导法则 ,在方程两边对在方程两边对x 求导求导,隐函数隐函数(hnsh)求导的结果中求导的结果中,可

4、能会含有可能会含有(hn yu)变量变量y.它它 与显函数不同与显函数不同 ,显函数求导结果中显函数求导结果中 ,只含有自变只含有自变 量量 x注意注意(zh y):第4页/共23页第五页，共23页。例例2求由方程求由方程(fngchng)0=+-yxeexy所确定所确定(qudng)隐隐函数函数(hnsh)的导数的导数解解运用复运用复合函数求导法则合函数求导法则,在方程两边对在方程两边对x 求导求导,得得00=xy,可以看作可以看作y为中间变量的复合函数为中间变量的复合函数,ye0 第5页/共23页第六页，共23页。例例 3 求求由方程由方程422=+yxyx确定的曲线上点确定的曲线上点)2

5、, 2(-处的切线方程处的切线方程(fngchng)和法线方程和法线方程(fngchng)，解解 方程两边对方程两边对x求导求导 ,于是于是(ysh)故曲线上在点故曲线上在点)2, 2(-处切线的处切线的斜率斜率(xil)为为 22-= =yxyk2222-=+-=yxyxyx1=切线的方程为切线的方程为法线的方程为法线的方程为0 第6页/共23页第七页，共23页。02)1(22=+xyx解解yyxarctan)2(+=解解练习练习(linx)求由下列方程所确定的隐函数的导数求由下列方程所确定的隐函数的导数dxdy第7页/共23页第八页，共23页。观察观察(gunch)函数函数方法方法(fng

6、f):先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:第8页/共23页第九页，共23页。下面下面(xi mian)介绍对数求介绍对数求导法导法解解等式等式(dngsh)两边取对两边取对数得数得例例1y （隐函数（隐函数(hnsh)）第9页/共23页第十页，共23页。例例2 已知已知 函数函数解解等式两边等式两边(lingbin)取自取自然对数得然对数得:求求导导上上式式两两边边对对 xy1y 第10页/共23页第十一页，共23页。xxylnln =得得化简化简得得y1y 练习练习(linx)解解等

7、式等式(dngsh)两边取自然两边取自然对数得对数得:求求导导上上式式两两边边对对 x.y 求求第11页/共23页第十二页，共23页。(2) 由多个因子由多个因子(ynz)的积、商、乘方、开方而成的函的积、商、乘方、开方而成的函数的数的求导问题求导问题(wnt)。解解等式两边等式两边(lingbin)取自取自然对数：然对数：:求求导导上上式式两两边边对对 xy1y 第12页/共23页第十三页，共23页。等式等式(dngsh)两边取对数两边取对数得得解解练习练习(linx)(linx)y y1第13页/共23页第十四页，共23页。例如例如(lr)消去参数消去参数(cnsh)问题问题: 消参困难或

8、无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?第14页/共23页第十五页，共23页。 )()(tytx )( t在参数方程在参数方程中，中，dxdy)()(tt 即即运用复运用复合函数求导法则合函数求导法则,dtdy 第15页/共23页第十六页，共23页。如果如果(rgu)函数函数具有二阶导数具有二阶导数 ,( )( )xtyt ()t第16页/共23页第十七页，共23页。例例1 求由求由参数方程参数方程所确所确定函数的一阶导数定函数的一阶导数和二阶导数和二阶导数(do sh)解解 由参数方程的求导方法由参数方程的求导方法,得一阶导数得一阶导数(do sh)或或tdxdycot-=导数导数(do

9、 sh)tRsin 再用参数方程的求导方法再用参数方程的求导方法 ,得二阶得二阶第17页/共23页第十八页，共23页。例例2 求摆线求摆线 -=-=)cos1()sin(tayttax在在2p p=t处的切线方程处的切线方程和法线和法线(f xin)方程方程解解 由参数方程的求导方法由参数方程的求导方法 , 得得dxdy摆线摆线(bi xin)上点上点当当时时,2p p t处切线处切线(qixin)斜率为斜率为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为第18页/共23页第十九页，共23页。练习练习(linx)1. 求下列参数方程求下列参数方程(fngchng)所确定的函数的导数所确定的函数的导数xdyd22)cot( tab注意注意(zh y)：注意：注意：第19页/共23页第二十页，共23页。解解dxdy当当时时,2p p t处切线处切线(qixin)斜率斜率2p p tdxdyk切线切线(qixin)方程为方程为法线法线(f xin)方程为方程为 x y,0第20页/共23页第二十一页，共23页。隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程直接对方程(fngchng)(fngchng)两边两边求导求导; ;对数对数(du sh)(du sh)求导法求导法: : 对方程两边取对对方程两边取对数数(du sh),(du sh),按隐函数的求导法则求导按隐函数