数学物理方法第7章

1、第七章第七章 数学物理方程定解问题数学物理方程定解问题7.2 7.2 定解条件定解条件7.3 7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类7.1 7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程7.4 7.4 达朗贝公式、定解问题达朗贝公式、定解问题数学物理方程：数学物理方程： 通常是指从物理问题导出的函数方程，主要指通常是指从物理问题导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程，本课程仅限于讨论二阶线偏微分方程和积分方程，本课程仅限于讨论二阶线性偏微分方程。性偏微分方程。普遍性普遍性 共性共性特殊性特殊性 个性个性边界条件边界条件初始条件初始条件泛定方程泛定方

2、程定解问题定解问题1 1、均匀弦的微小横振动、均匀弦的微小横振动xx+ x1T2T1M2M12)t , x(uxudsdm0coscos1122TT1122sinsinTTttdsuTT1122sinsin弦的横向位移为弦的横向位移为 u(x,t)ttdmu7.1 7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出考虑小振动考虑小振动22)()(dudxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTdx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuuTuT)()(12xx+ x1T2T1M2M12xudxxu2)/(11cos11cos2ttxxdxxx

3、dxuuuT)(dxudxxuTttxttxxuTu0 xxttTuuTa 202xxttuau记记 若受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力若受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力为为F(x,t),则：则：ttdxudxtxFTT),(sinsin1122/ ),(),(txFtxf),(2txfuauxxtt称为受迫振动方程称为受迫振动方程2 2、均匀杆的纵振动、均匀杆的纵振动将细杆分成许多段将细杆分成许多段t时刻，时刻，B段两端的段两端的位移分别为：位移分别为：),(),(,tdxxtxu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段伸长段伸长

4、相对伸长相对伸长dxtxutdxxu),(),(xu相对伸长是位置的相对伸长是位置的函数，函数，x和和x+dx的相的相对伸长分别为：对伸长分别为：xxudxxxu相对伸长相对伸长由胡克定律，由胡克定律，B两端的两端的张应力（单位横截面张应力（单位横截面的力）分别为的力）分别为xxudxxxuxxuYdxxxuYB段运动方程为段运动方程为22)(tuSdxxuYSxuYSxdxxdxudxxuYttxF)(xuxxdxx )(dxxuABCttxxuYuttxxuYu/2Ya 02xxttuau记记杆的纵振动方程杆的纵振动方程 若受到外加纵向力的作用，每单位长度单位截面所受若受到外加纵向力的作用

5、，每单位长度单位截面所受纵向力为纵向力为F(x,t),则：则：),(2txfuauxxtt/ ),(),(txFtxf杆的受迫纵振动方程杆的受迫纵振动方程f(x,t)为为每单位杆的质量所每单位杆的质量所受纵向力受纵向力22)(),()(tuSdxtxFSdxxuYSxuYSxdxx3 3、传输线方程（电报方程）、传输线方程（电报方程） 设单位长度传输线的导线电阻、线间电漏、电容、设单位长度传输线的导线电阻、线间电漏、电容、电感分别记作电感分别记作R、G、C和和L。 对此回对此回路，应用路，应用基尔霍夫基尔霍夫第二定律第二定律tjdxLRdxjtdxxvtjdxLRdxj) 2/() 2/(),

6、() 2/() 2/(0),(txv同除同除dx，得：，得：) 1 (0 xvRjtjL 对对A点，点，应用基尔应用基尔霍夫第一霍夫第一定律定律0),(),()()(txjtdxxjvCdxtGdxv同除同除dx，得：，得：) 2(0tvCGvxj) 4(0)(vxjRtL) 3(0)(vtCGjx(1)、(2)两两式改写成：式改写成：相减后消去相减后消去v，得到：，得到：0)(RGjjRCLGjLCjtxxtt相减后消去相减后消去j，得到：，得到：0)(RGvvRCLGvLCvtxxtt以以x作用于作用于(3)式，式，tCG作用于作用于(4)式式同理以同理以tLR作用于作用于(3)式，式，x

7、作用于作用于(4)式式)4(0)(vxjRtL) 3(0)(vtCGjx0)(RGjjRCLGjLCjtxxtt0)(RGvvRCLGvLCvtxxtt若若R、G很小，称理想传输线，上两式可简化为：很小，称理想传输线，上两式可简化为：LCa1202xxttjaj02xxttvav称为传输线方程（电报方程）称为传输线方程（电报方程）4 4、扩散方程、扩散方程 扩散是由于浓度不同引起的分子运动扩散是由于浓度不同引起的分子运动uDq)(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqzD 为扩散系数，负号表示扩为扩散系数，负号表示扩散方向与浓度梯度相反散方向与浓度梯度相反 扩散运动的强弱用扩散流强

8、度扩散运动的强弱用扩散流强度q ，即单位，即单位 时间内流过时间内流过单位面积的分子数或质量单位面积的分子数或质量 浓度浓度 u(单位体积内的粒子数）单位体积内的粒子数） 不均匀的程度用不均匀的程度用 表示表示udydzdtqxxxuDqxyuDqyzuDqzdt 时间流入六面时间流入六面体体x方向左表面方向左表面的流量为的流量为流出流出x方向右表面方向右表面的流量为的流量为dydzdtqdxxxxyzdxdydzo净流入净流入量为量为dydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向净流入量为方向净流入量为dxdyd

9、zdtyuDy)(z 方向净流入量为方向净流入量为dxdydzdtzuDz)(立方体净流入量为立方体净流入量为dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方体内无源、无汇，如立方体内无源、无汇，dt时间内粒子增加数为时间内粒子增加数为dxdydzuutdtt)(dxdydzduzyx,dxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)()()(zuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau 一维一维 (1)扩散源强度

10、（单位时间内单位体积中产生的粒子数或扩散源强度（单位时间内单位体积中产生的粒子数或单位时间内浓度的增量）为单位时间内浓度的增量）为 F=(x,y,z,t) 与与 u 无关无关),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut 原子核的链式反应，单位时间内单位体积中产生原子核的链式反应，单位时间内单位体积中产生的粒子数为的粒子数为 b2u ubuaut22022ubuaut 有源或汇的情况：有源或汇的情况： (2)扩散源强度与扩散源强度与 u 成正比成正比 放射性衰变，原有粒子的浓度按指数减少放射性衰变，原有粒子的浓度按指数减少teuu0 为半衰变常数，经过为半衰变常数，经过（半衰期）时间后（

11、半衰期）时间后euu002/ )2(ln/)2(ln0teuuueudtdut)/2ln()/2ln(/)2(ln0 单位时间内单纯由蜕变所导致的浓度变化为：单位时间内单纯由蜕变所导致的浓度变化为：即放射源强度：即放射源强度：utzyxF)/2ln(),(代入扩散方程：代入扩散方程：02ln2uuaut5、热传导方程、热传导方程),(),()(txuttxuAdxcQ0t 设有一根横截面为设有一根横截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热其侧面绝热u(x,t) 为为 x 处处 t 时刻温度时刻温度， 为杆密度为杆密度 (1)、t 时间内时间内引起小段引起小段d

12、x温度温度升高所需热量为升高所需热量为dxdtAucQtx+dxxxxxx+dx (2)Furiers实验定实验定理：单位理：单位 时间内流时间内流过单位面积的热量过单位面积的热量 q (热流强度量）热流强度量）与与温度的下降成正比温度的下降成正比nnukq k 为热传导系数为热传导系数 一维情况下如图有一维情况下如图有xukqxnukq大小大小Adtqx x方向左表面方向左表面，dt 时间时间流入流入圆圆柱体的热量为柱体的热量为dt 时间时间流出流出圆柱体的热量为圆柱体的热量为AdtqdxxAdtqAdtqdxxxdt 时间净流时间净流入的热量为入的热量为AdxdtxqxdxdtAucQtA

13、dxdtkuxxAdxdtkuxx02xxtuaucka2对于三维情况对于三维情况02uautx+dxxx 如果物体中存在热源，热源强度如果物体中存在热源，热源强度(单位时间单位体单位时间单位体积中产生的热量为积中产生的热量为),(txF),(tzyxF或：或：则：则：dxdtAucQtAdxdttxFAdxdtkuxx),(ctxFuauxxt/ ),(2),(2txfuauxxtctxFtxf/ ),(),(令：令：则：则：对于三维情况对于三维情况),(2tzyxfuaut其中其中f(x,y,z,t)为按单位热容量计算的热源强度。为按单位热容量计算的热源强度。6、稳定浓度分布、稳定浓度分布

14、 如果扩散源强度如果扩散源强度F(x,y,z,t) 不随时间变化，扩散运动不随时间变化，扩散运动持续下去，最终达到稳定状态，持续下去，最终达到稳定状态，ut=0，由扩散方程：，由扩散方程：Fua2),(2tzyxFuaut得：得：这就是泊松方程这就是泊松方程若没有源若没有源0u这就是拉普拉斯方程这就是拉普拉斯方程7、稳定温度分布、稳定温度分布 如果热源强度如果热源强度F(x,y,z,t) 不随时间变化，热扩散运动持不随时间变化，热扩散运动持续下去，最终达到稳定状态，续下去，最终达到稳定状态，ut=0，由热扩散方程，得：，由热扩散方程，得：Fua2若没有热源若没有热源0u电通量的高斯定理电通量的

15、高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE02/V泊松方程泊松方程8、静电场方程、静电场方程若若002V拉普拉斯方程拉普拉斯方程7.2 7.2 定解条件定解条件（一）、初始条件（一）、初始条件),(),(0zyxtzyxutt对于波方程，还应给出：对于波方程，还应给出：初始条件为已知函数初始条件为已知函数),(),(0zyxtzyxuttt称为初始称为初始“位移位移” ),(zyx),(zyx称为初始称为初始“速度速度”x=l / 2xyx=lhx00),(tttxu0),(0ttttzyxu位移满足位移满足速度满足速度满足2/, 0)/2(lxlh,

16、2/)(2llxllhhtxutt0),(不能写成：不能写成：没有初始条件的问题没有初始条件的问题例：长为例：长为l的杆，两端受压从而长度缩为的杆，两端受压从而长度缩为l(1-2(1-2),),写出写出初始条件。初始条件。)21 (l0 0lx 解：如图所示，解：如图所示，根据对称性，根据对称性，杆的两端压缩的长度杆的两端压缩的长度为为l，杆的中点（杆的中点（x=l/2)的位移为零。的位移为零。即左端的位移为即左端的位移为l，右端的位移为，右端的位移为-l)2/(2),(0 xltxut所以：所以：（二）、边界条件（二）、边界条件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一类边第一类

17、边界条件界条件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二类边第二类边界条件界条件第三类边第三类边界条件界条件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx弦的两端固定弦的两端固定, ,端点的位移为：端点的位移为：x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu（1 1）、第一类边界条件）、第一类边界条件 细杆热传导（扩散）问题，端点温度细杆热传导（扩散）问题，端点温度（浓度）恒定（浓度）恒定00),(utxuxllxutxu),(l0 x 细杆热传导（扩散）问题，端点温度（浓度）按已细杆热传导（扩散）

18、问题，端点温度（浓度）按已知规律变化。知规律变化。)(),(tftxuaxA）如细杆的）如细杆的纵振动，纵振动，x=a 处受力处受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）、第二类边界条件）、第二类边界条件如杆端自由如杆端自由 f(t)=0),(000000tzyxfuzyxn0 x)(tfl)(tf在右端在右端 x=l)()(tfSYulxx在左端在左端 x=0)()(0tfSYuxx0axxu0)(tf 如细杆热传如细杆热传导端点有热量导端点有热量流出流出)(tfaxnaxxkuq如热量流入如热量流入B B）热传导）热传导0 x)(tfl)(tf在右端在右端 x=l)(tfkulxx在左

19、端在左端 x=0)()(0tfukxx0 x)(tfl)(tf在右端在右端 ：)(tfkulxx在左端在左端 ：)()(0tfukxx)(0tfkuxx)(tfkulxx)(0tfkuxx如细杆热传导，如细杆热传导，一端自由冷却一端自由冷却)(axaxnuhku 按牛顿冷却定律，端点热流强度与杆端和周围介质按牛顿冷却定律，端点热流强度与杆端和周围介质温度温度之之差成正比差成正比（3 3）、第三类边界条件）、第三类边界条件lxxHuu)(),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xl即即 ：在右端在右端 ：)/()(hkHHuuaxn在左端在左端 ：lxxHuu)(0 xlkutf)(

20、若端点与若端点与弹簧连接弹簧连接 axuktf)(则：则： axaxnuktfSYu)()(即：即： 0)(SkYuuaxn在右端在右端 ：0)(SkYuulxx在左端在左端 ：0)(0SkYuuxx 上述所有边上述所有边界条件中，当界条件中，当f(t)=0时，称为时，称为齐次边界条件。齐次边界条件。（4 4）、其它类型边界条件）、其它类型边界条件 如右图所示，杆的一端挂有重物如右图所示，杆的一端挂有重物而作纵振动，边界条件为：而作纵振动，边界条件为：l o M x lxttaxxMuMgYSu热辐射热辐射)(404TTQ端点通过热辐射与外界交换热量，边界条件为：端点通过热辐射与外界交换热量，

21、边界条件为：)(44axaxnuku注意：注意：正确区分边界条件与泛定方程中的外力或外源正确区分边界条件与泛定方程中的外力或外源如：端点有热流流如：端点有热流流入，是边界条件入，是边界条件)(0tfkuxx)(2tfuauxxt（三）、衔接条件（三）、衔接条件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txutxu11sintg), 0(0txux22sintg), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00txutxu没有边界条件的问题没有边界条件的问题例：一根导热杆由两段构成，两段例：一根导热杆由两段构成，两

22、段热传导系数、比热、密热传导系数、比热、密度分别为度分别为kI, cI, I, kII, cII, II, 初始温度为初始温度为u0, 然后保持两端然后保持两端温度为零，写出热传导问题的定解方程。温度为零，写出热传导问题的定解方程。解：解：第一段第一段0IxxIItuckuII00uutI01xxIu第二段第二段0IIxxIIIItuckuIII00uutII03xxIIu22xxIIxxIuu22xxIIxIIxxIxIukuk衔接条件：衔接条件：温度相等温度相等热流相等热流相等1x3x2xx7.4 7.4 达朗贝尔公式、定解问题达朗贝尔公式、定解问题（一）、（一）、 达朗贝达朗贝尔尔公式公

23、式02xxttuau考虑弦的振动方程考虑弦的振动方程表示为：表示为：022222xuatu或：或：0)(uxatxat令：令：0)(uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：令：)(axtatxatx02u对对 积分积分)(fu)()(2fdfu再积分再积分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度表示以速度a沿沿x正负方向的行波正负方向的行波函数函数 f1 和和 f2 的确定的确定)()()(21xxfxf考虑定解问题考虑定解问题02xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt)()(21atxfatx

24、fu)( )( 21atxafatxafut)()( )( 21xxafxaf求导有求导有)()()(21xxfxf积分有积分有2)(21)(21)(01Cdaxxfxx)()( )( 21xxafxafCdaxfxfxx0)(1)()(21)()(0201xfxfC2)(21)(21)(02Cdaxxfxx2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfuatxatxdaatxatxu)(21)()(21称为称为达朗贝尔公式达朗贝尔公式atxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau2),(cos),(00t

25、tttxuxtxu例例1 1：求定：求定解问题解问题atxatxdaatxatxtxu221)cos()cos(21),(tatx2coscos1x2x221xx 0u)(x02xxttuau0),(0tttxu例例2 2：求定解问题：求定解问题)(),(0 xtxut12102xxxxu2211xxxx12202xxxxu2212xxxx021,xxxx)()(21),(atxatxtxu)()(21),(atxatxtxu0t1tt 2tt 1x2x0u3tt 例例3 3：设初始位移为零，：设初始位移为零，初速为：初速为：)(x)(210 xxx),(021xxxxatxatxdatxu)

26、(21),(由达朗贝尔公式：由达朗贝尔公式：atxatxdada)(21)(21)()(atxatxxdax)(21)()(01xx)()(212101xxxxxa)()(212012xxxxa 的图像如的图像如右图所示右图所示)(xx1 1xx2)(x振动传播情况振动传播情况如下图所示：如下图所示：)()(),(atxatxtxut3 3t1 1t2 2t0 0 x1 1x1 1xxxxx2u( (x, ,t) )0(02xuauxxtt研究端点固定的半无限长弦的振动情况研究端点固定的半无限长弦的振动情况)0(0),(0ttxux（二）、端点的反射（二）、端点的反射)(),(0 xtxutt

27、)(),(0 xtxut)0( x 因为在因为在x0 x/ /a) )，达朗贝尔公式里的，达朗贝尔公式里的 失去意义，不能用。失去意义，不能用。atxdatx)(),(进行延拓，由于端点始终不动，故奇延拓进行延拓，由于端点始终不动，故奇延拓 )(x) 0()(xx ) 0()(xx )(x) 0()(xx ) 0()(xx 达朗贝尔公式：达朗贝尔公式：atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(当当t x/ /a时时: :0)(21)()(21),(atxdaxatatxtxuatxda0)(210)(21)()(21),(xatdaxatatxtxu对第一个积分式，令对第一个

28、积分式，令: :atxda0)(21atxxatdaxatatxtxu)(21)()(21),( 考虑只有初考虑只有初始位移而没有始位移而没有初始速度的情初始速度的情况，振动传播况，振动传播情况如右图所情况如右图所示示半波损失半波损失xt6 6t0 0t5 5t4 4t3 3t2 2t1 1u(x,t)t7 7)0(02xuauxxtt研究端点自由的半无限长杆的振动情况研究端点自由的半无限长杆的振动情况)0(0),(0ttxuxx)(),(0 xtxutt)(),(0 xtxut)0( x 把这根半无限长杆看作是无限长杆的把这根半无限长杆看作是无限长杆的x0的部分，端的部分，端点自由，相对伸长

29、点自由，相对伸长ux=0，应进行偶延拓，应进行偶延拓 )(x) 0()(xx ) 0()(xx )(x) 0()(xx ) 0()(xx taxtaxdaatxatxtxu)(21)()(21),(当当t x/ /a时时: :00)(21)(21)()(21),(taxtaxdadaxatatxtxutaxdaxatatx0)(21)()(21xtada0)(2102xxttuau)0(0),(0 xtxutt)0(0),(0 xtxut)0(sin),(0ttAtxux例：求定解例：求定解问题问题考虑初始条件与半无限考虑初始条件与半无限长，这一扰动产生的波长，这一扰动产生的波沿沿x正向正向)

30、(),(atxftxu解：解：由边界条件由边界条件tAatftusin)(), 0(令令atz)sin()(azAzf)(),(atxftxu其中其中atx 若若axt/)sin()(azAzf)sin(azA)sin(aatxA)(sinaxtA0),(txu)/()(sinaxtaxtA),(txu)/(0axt 边界的振动已边界的振动已经传到该点经传到该点axt/振动还未传到振动还未传到（四）、达朗贝尔解的适定性（四）、达朗贝尔解的适定性)(1x0),(ttxu考虑初始条件有两组，差别微小考虑初始条件有两组，差别微小 (x)有二阶导数有二阶导数， (x)有一阶有一阶导数，导数，达朗贝尔解存在达朗贝尔解存在(1)(1)、存在性、存在性: :(2)(2)、稳定性、稳定性: :)(2x0tt)t , x(u)()(21xx)()(21xx)(1x)(2x（三）、定解问题的整体性（三）、定解问题的整体性(1)(1)有解，有解，(2)(2)解是唯一的，解是唯一的，(3)(3)解是稳定的。解是稳定的。)(