极限存在准则 无穷小比较

1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及两个重要极限 第一章 一、一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1 (P37定理定理4). Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim为确定起见 , 仅讨论的情形.0 xx 有)(nxfxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx

2、有定义, )(0nxxn且.)(limAxfnn有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例. 证明xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 函

3、数极限夹逼准则1sincosxxx圆扇形AOB的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有注 目录 上页 下页 返回 结束 例例例1 (P52). 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例2 (P52). 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,a

4、rcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例nnnRcossinlim2Rn例例3 (P52). 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 重要极限2 (P54).exxx)1(lim1证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1

5、(111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时, 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4例例4 (P55). 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1

6、ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式111)1 (limexxx例5limx例例. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2sin1内容小结的不同数列内容小结内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则法法1 找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(

7、limnnxf法法2 找两个趋于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个重要极限2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考练习思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 .

8、xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较定义定义 (P57).,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例(P58) 当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶

9、无穷小,xcos1221x且机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1例例1 (P58). 证明: 当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1定理定理2 (P59) . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例例3 (P59).xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 返回 结束 等价无穷小替代规则因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若

10、)(,x界, 则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21机动 目录 上页 下页 返回 结束 32210limxxxx例例4. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 例5231x221x例例5 (P69). 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用等价无穷小,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等价无