概率论复习二 2

1、. 0)()1( P概率的性质概率的性质(p15)( )0P 注意事项注意事项 但反过来，如果但反过来，如果P（A）=0，未必有未必有A=A=概率的有限可加性概率的有限可加性则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设注：一般减法公式注：一般减法公式P (B A) = P(B) P(AB)。).(1)(,)5(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设. 1)(,)4( APA对于任一事件对于任一事件).()()(

2、)(,)()6(ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.)()()(, 0)(,条件概率条件概率发生的发生的发生的条件下事件发生的条件下事件为在事件为在事件称称且且是两个事件是两个事件设设BAAPABPABPAPBA 条件概率条件概率则有则有且且为事件为事件设设, 0)(, ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP ).()()(, 0)(APABPABPAP 则有则有设设 乘法公式乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式

3、 全概率公式全概率公式和和贝叶斯公式贝叶斯公式主要用于计主要用于计算比较复杂事件的概率算比较复杂事件的概率, , 它们实质上是它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。加法公式和乘法公式的综合运用。 综合运用综合运用加法公式加法公式P(A B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 样本空间的划分（互斥完备事件组）样本空间的划分（互斥完备事件组）1B2B3B1 nBnB.,.)ii(;, 2, 1,) i (,212121的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定

4、义SBBBSBBBnjijiBBEBBBESnnjin 全概率公式全概率公式p20全概率公式全概率公式)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理例例1:某商店从三个厂购买了一批灯泡某商店从三个厂购买了一批灯泡, ,甲厂占甲厂占25%,25%,乙厂占乙厂占35%,35%,丙厂占丙厂占40%,40%,各厂的次品率分别为各厂的次品率分别为5%,5%,4%,2%,4%,2%,求求消费者买到一只次品灯泡的概率消费者买到一只次

5、品灯泡的概率解解 以以B表示表示“消费者买到一只次灯泡消费者买到一只次灯泡”, ,A1,A2,A3分分别表示买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡，别表示买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡，根根据题意得：据题意得：P(A1)=25%, P(A2)=35%, P(A3)=40%, P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=2%根据全概率公式有：根据全概率公式有： 0345. 031 iiiABPAPBP称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(, 0)(, 0)(,.121niBPBAPB

6、PBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理逆概公式逆概公式执果索因执果索因例：用血清蛋白法诊断肝癌，设C表示“被检验者患有肝癌”A表示“被检验者被判断患有肝癌”。由临床观测发现，对于肝癌者，此法准确率高达95%，即P(A|C)=0.95；对于非肝癌患者，此法准确率也高达90%，即已知肝癌患病率为万分之四，即P(C)=0.0004,现有一人被此检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率P(C|A)90. 0CAP解：由贝叶斯公式 ACPCPCAPCPCAPCPACP0038. 01

7、.条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式)()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP niBPBAPBPBAPABPnjjjiii, 2, 1,)()()()()(1 )()()(APABPABP 乘法定理乘法定理 事件事件A A发生与否对发生与否对B B发生的概率没有影响可视为事件发生的概率没有影响可视为事件A A 与与B B相互独立相互独立. .定义定义:)()()(BPAPABP 则称事件则称事件A A与事件与事件B B 相互独立相互独立 设设 A , B A , B 为两事件为两事件, ,若若2.两个事件相互

8、独立的性质两个事件相互独立的性质性质性质1. A, B独立独立,A B,A B独立独立,A B独立独立独立独立.性质性质2 . A、B两个事件独立，则两个事件独立，则)()(1)(BPAPBAP )()()(,. 1BPAPABPBA 两事件独立两事件独立 ).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三个事件相互独立三个事件相互独立.,. 2相相互互独独立立与与与与与与相相互互独独立立重重要要结结论论BABABABA第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 定义：定义：设设X X为一随机变量为一随机变量

9、, ,则对任意实数则对任意实数x x，(X(Xx)x)是一个随机事件，称是一个随机事件，称为为分布函数分布函数定义域定义域为为（，）；）；值域值域为为 ，。，。分布函数的定义分布函数的定义( )()F xP Xx例例: 设随机变量设随机变量X只取两个值只取两个值0 0和和1 1，且，且P(X=1)=p，P(X=0)=q, ( p + q =1,0p1),试求试求X的分布函数的分布函数. . Xx ( )0F xP Xx 000XxXXXx解解 01F xP XxP Xqp 000111XxXXXXXx( )011F xP XP Xpq分布函数的求法分布函数的求法1x （3）当时0 x （1）当

10、时1x（2）当0时综上所述综上所述, X, X的分布函数为的分布函数为0, 0,( )1, 01,1 , 1.xF xpxxo1x1-p1例例, a bXX随机地在有界区间上投点， 为落点的坐标，求随机变量 的分布函数。Xx ( )0;F xP Xx XxaXx解解 ;xaF xP XxP aXxbaXxaXb( )1.baF xP XxP aXbbaxb(3)当时xa（1）当时axb(2)当时综上所述综上所述, X, X的分布函数为的分布函数为0, ,( ), ,1 , .xaxaF xaxbbaxb a bxo)(xF 11.1.定义定义则称则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量. .

11、, 2 , 1,)( kpxXPkk且且X kxxx21P kppp21或或若随机变量若随机变量 X 的可能取值为：的可能取值为：离散随机变量的分布列离散随机变量的分布列若随机变量若随机变量 X 的可能取值是有限的可能取值是有限个或可列个个或可列个, ,21nxxx称上述公式或表格为称上述公式或表格为 r. v. X 的概率分布或分布列的概率分布或分布列. . nnpppxxxX2121或或2.2.分布列的性质分布列的性质 112, 2 , 1, 0)1(iiipip规范性规范性）（非负性非负性 反之，若一个数列满足（反之，若一个数列满足（1 1）（）（2 2），它也可以作为），它也可以作为某

12、一个某一个r. v.的分布列。的分布列。离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布超几何分布超几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n一、一、连续型连续型 r.v.的的概率密度定义及性质概率密度定义及性质( )()( )xF xP Xxp u du1.定义定义 设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为F ( x )，若存在一个，若存在一个 非负可积函数非负可积函数 p ( x ), 使得使得 则称则称 X 是是 连续型连续型 r.v. ，称，称p ( x )为为r.v

13、. X的概率密度的概率密度（密度函数）（密度函数）( p.d.f. ). (2) 规范性规范性( )1.p x dx2. 概率密度函数的性质概率密度函数的性质(1) 非负非负性性 p (x)0，(-x0的指数分布的指数分布,记作记作XE ( ).x()p x0)( E,0( )0,0 xexp xx若若r.v.X的的p.d.f.为为定义定义例：某种晶体管寿命服从参数为例：某种晶体管寿命服从参数为1/10001/1000的指数分布的指数分布( (单位：单位：小时小时) )。某电子仪器装配有此晶体管。某电子仪器装配有此晶体管5 5个，并且每个晶体个，并且每个晶体管损坏与否相互独立。求此电子仪器在管

14、损坏与否相互独立。求此电子仪器在10001000小时内恰好小时内恰好有两个晶体管损坏的概率。有两个晶体管损坏的概率。解：解： 设设Xi表示第表示第i只晶体管的寿命只晶体管的寿命, , （i=1,2,3,4,5）则则Xi的密度函数为的密度函数为10001,0( )1,2,3,4,510000,0,xiexp xix11000100011000,1,2,3,4,51000 xiP Xedxei1(5,)YBe则则以以Y Y表示表示5 5只晶体管中寿命不小于只晶体管中寿命不小于10001000小时的只数，则小时的只数，则 32231131531101.P YCeeee).,(,)0(,e21)(22

15、)(22NXXxxfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)注意注意:特别当特别当 可以得到可以得到一种重要的正态分布标准正态分布一种重要的正态分布标准正态分布N (0,1) xexx2221)( xtexxtd21)(22 密度函数密度函数分布函数分布函数1, 0 (1)101.1117.6 ;PX例例 设设XN(108, 9), 计算计算解：解：（2）求常数）求常数a,使使0.9;P Xa（3）求常数）求常数a,使使0.01;

16、P Xaa(1)101.1117.6PX117.6 108101.1 10833 3.22.3 3.2 12.30.9886. 108(2)0.9,3aP Xa 查表得：查表得：1081.2823a111.85.a(1)101.1117.6 ;PX例例 设设XN(108, 9), 计算计算解：解：（2）求常数）求常数a,使使0.9;P Xa（3）求常数）求常数a,使使0.01;P Xaa21080 1080.9933a (3)1(02 )0.01,P XaaPXa 即即(02 )0.99,PXa(02 )PXa查表得：查表得：21082.3263a57.49.a随机变量的函数的分布随机变量的函

17、数的分布设随机变量设随机变量X X的分布列为的分布列为求求Y=2XY=2X2 2 +1 +1的分布列的分布列解解例例由题设可得如下表格由题设可得如下表格 X1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012Y=2x2+13139P0.20.30.40.1所以，所以，y=2xy=2x2 2+1+1的分布列为的分布列为 Y 1 3 9 pk 0.3 0.6 0.1 设设 X X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 p p(x)(x)。y = y = g g(x)(x)为一个连续函数，求随机变量为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)Y=g(X)的

18、概率密度函数的概率密度函数(1) (1) 求求Y Y的分布函数的分布函数 F FY Y(y)(y)( )YFy根据分布函数的定义()P Yy( ()P g Xy(2) (2) 对对F FY Y(y) (y) 求导，得到求导，得到 p pY Y(y)(y) 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布n 一般方法一般方法( )( )YYpyFy g xyp x dx此法也叫此法也叫“分布函数法分布函数法”.( )()(2)()2YyFyP YyPXyP X21( )(1)Xpxx22111arctan221yydxx例例 . 设R.v.XR.v.X的密度函数为的密度函数为2YX求求的密度

19、函数。的密度函数。解：解： 224YYpyFyy 22112211212,24yYYxyFydxpyy或例例 已知已知 X N (0,1) , 解：解： (1)先求分布函数先求分布函数2( )()YFyP YyP Xy2( )()YF yP Xy当当 y 0,有有2()()D XP XEX切比雪夫切比雪夫( chebyshev)不等式不等式注：注： chebyshev不等式的等价形式不等式的等价形式2)(1)| )(| XDXEXP 称为称为X,YX,Y的的协方差协方差. .记为记为 COV(X,Y)COV(X,Y) ()利用公式利用公式Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).3.计算计算 EYYEXXE 把数把数 定义定义 EYYEXXEYXCov , 若若 ( X ,Y ) 为二维离散型，为二维离散型，