《线性代数》6矩阵的初等变换

1、1线线 性性 代代 数数 电子教案之六2主要内容第六讲第六讲 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵v矩阵的初等变换的概念；矩阵的初等变换的概念；v阶梯形矩阵的概念；阶梯形矩阵的概念；v矩阵等价的概念；矩阵等价的概念；v三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.基本要求基本要求v熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念；阵，知道矩阵等价的概念；v知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法系，掌握用初等变换求

2、可逆矩阵的逆阵的方法.3一、概念的引入一、概念的引入第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换引例引例 用消元法求解线性方程组用消元法求解线性方程组 . 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1234)1(解解)1(析：为了引入概念，在消元的过程中，把方程组析：为了引入概念，在消元的过程中，把方程组看作一个整体，不是着眼于某一个方程的变形，看作一个整体，不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程组而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.21 , 424321 xxxx, 224321 xxxx32 , 2324

3、321 xxxx. 979634321 xxxx)(1B12344)1(21 , 424321 xxxx, 224321 xxxx32 , 2324321 xxxx. 979634321 xxxx)(1B1234 , 0222432 xxx12 3, 6355432 xxx3 41. 3433432 xxx, 424321 xxxx1234)(2B32 221 , 0432 xxx, 424321 xxxx25 3, 624 x3 42. 34 x1234)(3B为消去为消去 做做准备准备 1x5 43, 0432 xxx321 , 34 x. 00 , 0432 xxx221 , 42432

4、1 xxxx25 3, 624 x3 42. 34 x)(3B12341234)(4B 至此消元完毕，为了求出方程组的解，再只需用至此消元完毕，为了求出方程组的解，再只需用“回代回代”的方法即可：的方法即可：)(4B . 00 , 34 x, 332 xx, 424321 xxxx, 72321 xxx1234 23 13 12, 431 xx)(5B6于是解得于是解得 33443231xxxxx其中其中 可任意取值可任意取值. 3x,3344321 cccxxxxx.30340111 cx即即cx 3若令若令 ，则方程组的解为，则方程组的解为7说明说明求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消

5、元求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代，找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换：这里方程组的同解变换是指下列三种变换：对调两个方程；对调两个方程；以不为零的数乘某一个方程；以不为零的数乘某一个方程；把一个方程的倍数加到另一个方程上把一个方程的倍数加到另一个方程上.从原方程组从原方程组 同解变换到方程组同解变换到方程组 的过程可见，的过程可见， 除去代表未知数的文字外，除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一矩阵与方

6、程组是一一 对应的对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定所成数表，即增广矩阵所决定.而且，而且，对方程组作对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.)(5B)1(GoGo8由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换.同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样同时，

7、必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）阵）.就本例来说，四个未知数划分为就本例来说，四个未知数划分为自由未知数自由未知数 和和 非非自由未知数自由未知数3x.,421xxx9二、初等变换定义和记号二、初等变换定义和记号1. 定义定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行；对调两行；说明说明把上述的定义中的把上述的定义中的“行行”换成换成“列列”，即得到矩，即得到矩阵的阵的 初等列

8、变换的定义初等列变换的定义.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.（2）以数以数 乘某一行中的所有元素；乘某一行中的所有元素；)0( kk（3）把某一行所有元素的把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的倍加到另一行对应的 元素上去元素上去.k102. 记号记号对调对调 两行，记作两行，记作ji,;jirr 对调对调 两列两列，记作记作ji,.jicc 第第 行乘行乘 ，记作，记作i)0( kk;kri 第第 列乘列乘 ，记作，记作i)0( kk.kci 第第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上，记作行上，记作ijk;jikrr 第第 列的列的 倍加到

9、第倍加到第 列上，记作列上，记作ijk.jikcc 11 323122211211aaaaaaA 323122211211aaaaaaA 323122211211aaaaaaA31rr 1211aa2221aa3231aa31rr Aaaaaaa 323122211211kr 2 1211aa3231aa2221kakakr12 Aaaaaaa 32312221121112krr 3231aa1211aa12221121kakakaa 12)(rkr Aaaaaaa 3231222112113. 初等变换的逆变换初等变换的逆变换jirr 变换变换 的逆变换为的逆变换为;jirr 变换变换 的逆

10、变换为的逆变换为kri kir1 );(kri 或记作或记作变换变换 的逆变换为的逆变换为jikrr jirkr)( ).(jikrr 或记作或记作12三、矩阵等价三、矩阵等价 如果矩阵如果矩阵 经有限次初等行变换变成矩阵经有限次初等行变换变成矩阵 ，那，那么称么称矩阵矩阵 与与 行等价行等价，记作，记作 ；ABABrABABcABAB 如果矩阵如果矩阵 经有限次初等列变换变成矩阵经有限次初等列变换变成矩阵 ，那，那么称么称矩阵矩阵 与与 列等价列等价，记作，记作 ；BABAAB 如果矩阵如果矩阵 经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵 ，那么，那么称称矩阵矩阵 与与 等价等价，记作

11、，记作 .1. 定义定义2. 矩阵之间的等价关系具有的性质矩阵之间的等价关系具有的性质反身性反身性 对称性对称性传递性传递性A;ABAB若若 ，则，则;AB若若 ， ，则，则CABA.C13四、阶梯形矩阵四、阶梯形矩阵1. 首先用矩阵的初等行变换来解方程组首先用矩阵的初等行变换来解方程组(1)，并，并把其过程与消元法过程一一对照把其过程与消元法过程一一对照.Go2. 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 000003100001110412114B其特点是：其特点是：可画出一条阶梯可画出一条阶梯线，线的下方全为线，线的下方全为0；每个台；每个台阶只有一行，台阶数即是非阶只有一行，台阶数即是非非零行的行数；

12、阶梯线的竖非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零线后面的第一个元素为非零元，称为首非零元元，称为首非零元.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵:自上而下，每个非零行的首非零元自上而下，每个非零行的首非零元 前面的零的个数依次增加；零行在最下方前面的零的个数依次增加；零行在最下方.说明说明143. 行最简形矩阵行最简形矩阵其特点是其特点是:是阶梯形矩阵；非是阶梯形矩阵；非零行的第一个非零元（首非零行的第一个非零元（首非零元）为；首非零元所在零元）为；首非零元所在的列的其它元素都为的列的其它元素都为 000003100030110401015B结论结论对于任何矩阵，总可经过有限次初等行变换对于任何矩

13、阵，总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵nmA 行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.15 000003100030110401015B13cc 23cc 0000154cc 253cc 453cc 0000 0000000100000100000143cc OOOE4. 矩阵的标准形矩阵的标准形 其特点是其特点是: 左上角是一个单位左上角是一个单位矩阵，其余元素全为矩阵，其余元素全为0. 000100100100结论：结论：对于对于

14、矩阵矩阵 ，总可经过初等变换把它，总可经过初等变换把它化为标准形化为标准形nm A.nmrOOOEF 16例例1 下列四个矩阵中，哪些是行最简形？下列四个矩阵中，哪些是行最简形？,0000110010101 A.0000110010113 A解解1A矩阵矩阵 和和 是行最简形矩阵是行最简形矩阵.4A,1110101010013 A,0000111010112 A17例例2 设设 ，把，把 化成行最简形化成行最简形. 032203120A),(EA解解 ),(EA 10003201020300112021rr 31rr 111111 将将 元元化为化为1)1 , 1( 111111123rr 3

15、23130 132rr 322250 10003201020318)2(2 r 322250111111646260 32401032rr 将将 元元化为化为1)2 , 2(235rr 32401011111112818200 这已是阶梯形矩这已是阶梯形矩阵阵,再化为行最简再化为行最简形形 )2(3 r 64910032401031rr 21rr 436001 649100324010111111 111111323130 322250 ),(XE 19特别注意特别注意v把矩阵化为行最简形，不可以用初等列变换把矩阵化为行最简形，不可以用初等列变换.v把最后的行最简形记作把最后的行最简形记作 ，

16、则有下面的结论：，则有下面的结论：),(XE可以验证得可以验证得 即即,EAX .1 AX说明说明 ),(EA).,(1 AEr 是是 的行最简形，即的行最简形，即EAA;Er在下节将证明：对任何方阵在下节将证明：对任何方阵 的充要的充要条件是条件是 可逆，并且当可逆，并且当 可逆时，可逆时，,AAAAEr20五、小结五、小结v利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵 和行最简形矩阵，是一种十分重要的运算和行最简形矩阵，是一种十分重要的运算. 由引由引 例可知，要解线性方程组只需将增广矩阵化为行例可知，要解线性方程组只需将增广矩阵化为行 最简形最简形

17、.v行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的比较行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的比较行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵自上而下，每个非零行自上而下，每个非零行的首非零元前面的零的的首非零元前面的零的个数依次增加；零行在个数依次增加；零行在最下方最下方.是阶梯形矩阵；非零行的是阶梯形矩阵；非零行的第一个非零元（首非零元）第一个非零元（首非零元）为；首非零元所在的列的为；首非零元所在的列的其它元素都为其它元素都为特点特点作用作用 );( . 1ARA的秩的秩求矩阵求矩阵.A. 2关组关组的列向量组的最大无的列向量组的最大无求求);( . 1ARA的秩的秩求矩阵求矩阵;A. 2组组的列向量组的最大无关

18、的列向量组的最大无关求求;A. 3的列向量组的线性关系的列向量组的线性关系求求础础解解系系；求求解解线线性性方方程程组组，求求基基. 4;)E(A,. 51 AA的的行行最最简简形形求求可可逆逆时时，用用当当的的解解的的行行最最简简形形求求用用BAX )B(A,. 6.1BAX 21一、初等矩阵一、初等矩阵 第二节第二节 初等矩阵初等矩阵1. 定义定义由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵.E2. 三种初等矩阵三种初等矩阵1）对调两行或对调两列对调两行或对调两列),(jiE jirr )(jicc 或或行行第第i行行第第j列列第第i列

19、列第第j 1101111011 E 11111111222）以数）以数 乘某行或某列乘某行或某列0 k列列第第i行行第第ikri 1111k)( kiE kci 或或 11111E说明说明 ),(jiE 是由是由 经过对调第经过对调第 两行（或第两行（或第两列），得到的初等矩阵两列），得到的初等矩阵.Eji,ji,E)( kiE 是是以数以数 乘乘 第第 行行(或第或第 列列)，得到的初等矩阵得到的初等矩阵.ii0 k说明说明 233）将某行（列）的）将某行（列）的 倍加到另一行（列）上倍加到另一行（列）上k行行第第i行行第第j列列第第i列列第第j 1111Ejikrr 1111kijkcc

20、或或)(kijE 说明说明 )(kijE 是将是将 的第的第 行的行的 倍加到第倍加到第 行行（或是将（或是将 的第的第 列的列的 倍加到第倍加到第 列），得列），得到的初等矩阵到的初等矩阵. EEiijkkj243.初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵初等矩变换对应初等矩阵，由初等变换可逆，可初等矩变换对应初等矩阵，由初等变换可逆，可知初等矩阵可逆，并且此初等变换的逆变换也就知初等矩阵可逆，并且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵：对应此初等矩阵的逆矩阵：初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵逆变换逆变换逆矩阵逆矩阵jirr jicc ),(jiEjirr jicc ),(jiEkri kci

21、 )( kiEkir1 kic1 )(1kiEjikrr ijkcc )(kijEjikrr ijkcc )(kijE 25二、二、.初等矩阵与初等变换的联系初等矩阵与初等变换的联系引例引例 0010010010000001 1514131211aaaaa4544434241aaaaa3534333231aaaaa2524232221aaaaa)4 , 2(4E 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaa

22、aaaa说明说明 用用 左左乘矩阵乘矩阵 ，相当于对矩阵，相当于对矩阵 施行施行一次初等一次初等行行变换：将变换：将 的第的第 2、4 两行对调两行对调. )4 , 2(4EAAA26 1000000010001000100000001 1512131411aaaaa4542434441aaaaa3532333431aaaaa2522232421aaaaa)4 , 2(5E 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa说明说明 用用 右右乘矩阵乘矩阵 ，相当于对矩阵，相当于对矩阵 施行施行一次初等一次初等列列变换：将变

23、换：将 的第的第 2、4 两列对调两列对调. )4 , 2(5EAAA 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa271. 用初等矩阵用初等矩阵 左乘矩阵左乘矩阵 ，其结果相，其结果相当于将矩阵当于将矩阵 的第的第 两行对调；两行对调；),(jiEmnmA Aji, 用初等矩阵用初等矩阵 右乘矩阵右乘矩阵 ，其结果相，其结果相当于将矩阵当于将矩阵 的第的第 两列对调；两列对调；),(jiEnnmA Aji,)( kiEmnmA k2.用用 左乘矩阵左乘矩阵 ，其结果相当于以数，其结果相当于以数乘矩阵的第乘矩阵的第 行

24、；行；i 用用 右乘矩阵右乘矩阵 ，其结，其结果相当于以数果相当于以数 乘矩阵的第乘矩阵的第 列列.)( kiEnnmA ki3. 用用 左乘矩阵左乘矩阵 ，其结果相当于把，其结果相当于把 的第的第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上；行上；)(kijEmnmA kiAj 用用 右乘矩阵右乘矩阵阵阵 ，其结果相当于把，其结果相当于把 的第的第 列的列的 倍加到第倍加到第 列上列上.)(kijEnnmA kAij28定理定理1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一次初等行变施行一次初等行变 换，换，相当于在相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初

25、等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相的右边乘以相应的应的 阶初等矩阵阶初等矩阵.Anm AAmAAn注意注意以上结论都遵循以上结论都遵循“左行右列左行右列”的规则的规则.29三、初等矩阵的应用三、初等矩阵的应用1. 有关结论有关结论定理定理2 方阵方阵 可逆的充要条件是存在有限个初等可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵矩阵 ，使，使AlPPP,21.21lPPPA 证证 析：这是一条十分重要的定理，它反映了可逆析：这是一条十分重要的定理，它反映了可逆矩阵的一个特性：可以分解为初等矩阵的乘积矩阵的一个特性：可以分解为初等矩阵的乘积.先证充分性先证充分性.,21lPPPA 设

26、设A 因为初等矩阵可逆，有限个因为初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故可逆矩阵的乘积仍可逆，故 可逆可逆.再证必要性再证必要性.设设 阶方阵阶方阵 可逆，且可逆，且 的标准形矩阵为的标准形矩阵为 ，nAAF则有则有 ，也就是，也就是 经过有限次初等行变换和经过有限次初等行变换和AFF30初等列变换可化为初等列变换可化为 ， 根据定理根据定理1知，即有初等矩知，即有初等矩阵阵 使使A,;,121lssPPPPP .21lPPPA 因为因为 可逆，可逆， 也都可逆，所以也都可逆，所以AlPPP,21可逆，即有可逆，即有F, 0 F因此在因此在 中既没有零行又没有零列，中既没有零行又没有零列

27、，F再注意到再注意到F是矩阵是矩阵 的标准形，故必有的标准形，故必有 ，从而，从而AEF APFPPPPlss 121说明说明上述的证明显示，可逆矩阵的标准形为单位阵；其上述的证明显示，可逆矩阵的标准形为单位阵；其实还可以证明可逆矩阵的行最简形也是单位阵实还可以证明可逆矩阵的行最简形也是单位阵.31推论推论1推论推论2 方阵方阵 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A.ErA 矩阵矩阵 与与 等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 及及 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使使nm ABmPnQ.BPAQ 证明证明证明证明322. 初等变换法初等变换法求可逆矩阵的逆阵和

28、矩阵方程的解求可逆矩阵的逆阵和矩阵方程的解问题：问题：.BAXXBsnAn 使使求求矩矩阵阵，矩矩阵阵及及阶阶矩矩阵阵设设有有当当 不可逆时，在后面章节讨论；不可逆时，在后面章节讨论；A当当 可逆时可逆时A,2121llPPPAPPP 使使有初等矩阵有初等矩阵,111211 PPPAl BABPPPEAPPPll1111211112112),(),(111121BAEBAPPPl 333 BABPPPEAPPPll1111211112112),(),(111121BAEBAPPPl 3由于由于 是初等矩阵，是初等矩阵，所以所以 也是初等矩阵也是初等矩阵. 因此因此kP1 kP 式表明式表明 经

29、过一系列初等行变换可化为经过一系列初等行变换可化为 ；AE1 式表明式表明 经过与上面相同的一系列初等行变换经过与上面相同的一系列初等行变换 可化为可化为 ；2BBA1 式表明对矩阵式表明对矩阵 作初等行变换，当把作初等行变换，当把 化化 成成 时，时， 就化成就化成3),(BAAEB.1BA 34初等变换法解矩阵方程初等变换法解矩阵方程 ：BAX 1）写分块矩阵）写分块矩阵 ；),(BA2）用初等行变换化为行最简形；）用初等行变换化为行最简形；A3）写出结果：如果）写出结果：如果 的行最简形为的行最简形为 ， 即即 ，则，则 可逆，且可逆，且),(BA),(XE),(BA),(XEr.1BA

30、X 说明说明 的行最简形不是的行最简形不是 的情形，后面讨论；的情形，后面讨论；),(BA),(XE当当 时，上述的过程就是求可逆矩阵时，上述的过程就是求可逆矩阵 的逆的逆 阵阵EB A.1 A当当 时，上述的过程就是求方程组时，上述的过程就是求方程组 的的 唯一解唯一解 B Ax.1 Ax35 21,sPP PAE 即，即， 1, AEEA，初等行变换初等行变换 1AEEA初初等等列列变变换换或或,可逆时AEA行sPP,1存在初等矩阵EPPPs)(1212PPPs.1 A1AE同样的行变换36. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 1003

31、43010122001321EA213123rrrr 1232r rr r 37 111100012520011201 111100563020231001.111253232311 A10013235010322001111 132325rrrr 23( 2)( 1)rr 38例例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若方法方法1：先求出先求出 ，再计算，再计算 。1A 1A B 方法方法2：直接求直接求 。1A B 1()()A BE A B 初等行变换初等行变换39132325rrrr 1232r rr r 2

32、13123rrrr 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 31100640202300113223 .13XA B 23( 2)( 1)rr ， 31100320102300140例例 求解矩阵方程求解矩阵方程 ，其中，其中XAAX 010312022A解解XAAX AXAX AXEA )(),(AEA 110302021 010312022在矩阵运算时，在矩阵运算时，要注意左乘与右要注意左乘与右乘乘41),(AEA 122rr 022021332340 010110 32rr 01011031230202202142122r

33、r 33234001011002202132rr 234rr 022021010110 312100 )1(3 r),(AEA 01011031230202202143 312100010110022021234rr )1(3 r32rr 312100302010022021212rr ),(AEA 010110312302022021122rr 33234001011002202132rr 4432rr 312100302010622001212rr ),(AEA 010110312302022021122rr 33234001011002202132rr 31210001011002202

34、1234rr )1(3 r45可见可见 ，EEAr 因此因此 可逆，且可逆，且EA 312100302010622001AEAX1)( .312302622 46总结总结 这个例题是一个非常简单的矩阵方程求解问题，这个例题是一个非常简单的矩阵方程求解问题，但与上一章计算方法不同，这里是用初等变换法，但与上一章计算方法不同，这里是用初等变换法，具体方法是具体方法是),(),(BEAEAr ,)(1AEAB 则则即解决了即解决了是可逆的，是可逆的，EA )1),()2AEA BBBE满足满足中中的行最简形的行最简形),(,)(1AEA 这比上一章先判定这比上一章先判定 的可逆性，的可逆性，进而求其

35、逆，再计算乘积进而求其逆，再计算乘积 计算上要简计算上要简单许多单许多.在解类似问题时多采用此方法。在解类似问题时多采用此方法。,)(1AEA EA 47矩阵方程矩阵方程 的初等变换解法：的初等变换解法：BXA 1. 用初等列变换用初等列变换 XEBAc则则 ，EAc且且.1 BAX2. 用初等行变换用初等行变换BXA TTTBXA ),(),(YEBArTTEArT则则 ，且且,)(1TTBAY .1TYBAX 48四、小结四、小结v初等矩阵是比较重要的一类矩阵，它与初等变换初等矩阵是比较重要的一类矩阵，它与初等变换 的联系是：的联系是：对对 施行一次初等施行一次初等行变换行变换，相当于在，相当于在