中华民国第四十八届中小学科学展览会.

1、第1頁，共14頁中華民國第四十八屆中小學科學展覽會作品說明書類 別：科 別:數學科組 別:國小組作品名稱：料數如神的魔法地圖關鍵 詞：魔方陣、九宮算、幻方、縱橫圖、洛書（圖）編 號：第2頁，共14頁料數如神的魔法地圖摘要九宮之義，法之靈龜，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央這樣 的歌訣深深吸引我們，數學一門，包羅萬象，五花八門，從中發展出來的魔方陣，不僅激發 我們的邏輯思考，還在研究的過程中領略魔方陣的奧秘之處，一個個的魔方陣，就像引導我 們的魔法地圖，讓我們在這魔法般的世界徜徉。首先我們先探討魔方陣的意義與性質，再從基本的三階魔方陣，研究出各種加值變形的 規則，有了這個規則，就

2、像有了料數如神的魔力，並突發奇想的加入負數的元素，展開 了一段負數魔方陣之旅，我們把各種可能的排法紀錄下來，歸納出規則，藉以研究出快速排 出魔方陣的方法。壹、研究動機在一次上閱讀課時，無意間翻到數學好好玩這本書，發現有隻很可愛的烏龜圖案， 因為當時自然課養了一隻烏龜，所以對烏龜特別有感覺，書上的烏龜很特別，牠的背上有些 奇怪的符號，讓我們感到很好奇，才發現原來就是現在所說的三階魔方陣，不管直列、橫排 甚至對角線的和都相同，還有數學家為了方便記憶編成歌訣： 九宮之義，法之靈龜，二四為 肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。看起來很有趣，我們就決定要好好的研 究一番，於是展開了如魔法般的魔方

3、陣之旅。貳、研究目的一、探討魔方陣的意義與性質。二、找出三階魔方陣加質變形的規則。三、嘗試加入負數作不同變化。四、找出快速排出三階魔方陣的方法。參、研究設備及器材紙、筆。肆、研究過程首先我們討論三階魔方陣的成立方式，將最基本的19個數字填入492357816第3頁，共14頁（一）這是我們常見的三階方陣，以此為例我們可以列出8+1+6=3+5+7=4+9+2,也就是1+2+3+4+5+6+7+8+9=15X3=45。（二） 45剛好是15的3倍，只要把全部的數加起來然後除以3（行數或列數），就可以 得到行數或列數的和。、 三階魔方陣是否只有一個成立方式，19的數字只能填在固定位置嗎？（一）我們在

4、填製的過程，發現同樣的一組數字，可以放在不同位置而得到另一個魔方陣，仔細研究發現下面七種變化（在討論部份有更深入的研究）：原方陣旋轉90度旋轉180度旋轉270度816438294672357951753159492276618834鉛直水平左上右下右上左下618492834276753357159951294816672438（二）疑問：在八個三階方陣的填製中，發現一個相同點，就是三階方陣的中央方格一定只能放5這個數字嗎？、 接下來在老師指導下，證明中央方格的數字一定是5,剛好是三階方陣魔術數字15的三分之一：（一）假設三階魔方陣如下圖所示，魔術數字為SABCDEFGHI由魔方陣的定義，可知

5、：A+D+ G=S-(1)C+F+I=S(2)A+E+I=S-(3)C+E+ G=S(4)由(1)可得：D+G=SA由(3)可得：E+I=SA第4頁，共14頁D+ G=E+I-（5）由（2）可得：F+I=SC由（4）可得：E+G=SCF+I=E+G（6）（5） + （6）D+ G+F+I=2E+I+GD+F=2E（7）在（7）兩邊各加上ED+E+F=3E但D+E+F=SS所以3E=SE=3因S=15所以E=5（二）從這證明過程中，我們知道三階魔方陣正中央所填的數字一定是5,是魔術數字的三分之一，也剛好是是19的中間數。例如：所填的數為1321,魔術數字 會變為51,中間數為17。（三）利用這原

6、理我們可以較容易去建構出另類的三階魔方陣。四、 我們開始對填入魔方陣的數字組作變化，並把各個魔方陣一一列出（一）先把公差為1的數字組一一排列出來：（表1）首項中數魔術數字總和12345678915450123456781236-101234567927-2-10123456618-3-2-101234539-4-3-2-10123400-5-4-3-2-10123-3-9-6-5-4-3-2-1012-6-18-7-6-5-4-3-2-101-9-27-8-7-6-5-4-3-2-10-12-36-9-8-7-6-5-4-3-2-1-15-451.從上表發現各數字組合中，其魔術數字皆相差3,其

7、總和皆相差92.各數字組的魔方陣列出如下：8163574927052463816-141352705-2302416-1第5頁，共14頁（二）再來討論公差為2的數字組，先以偶數部分-18018取連續9個偶數填入三階 魔方陣：（表2）首項中數魔術數字總和24681012141618309002468101214162472-2024681012141854-4-20246810121236-6-4-20246810618-8-6-4-20246800-10-8-6-4-20246-6-18-12-10-8-6-4-2024-12-36-14-12-10-8-6-4-202-18-54-16-14

8、-12-10-8-6-4-20-24-72-18-16-14-12-10-8-6-4-2-30-901.從上表發現各數字組合中，其魔術數字皆相差6,其總和皆相差182.各數字組的魔方陣列出如下：4-32-11305-23-41-202-14-32-50-3-11-23-41-6-1-4-20-32-50-7-2-5-3-1-41-6-1-8-3-6-4-2-50-7-2-9-4-7-5-3-6-1-816212610148184140104812616212-282610414010-46048212-28-64-226010-46-82-404-28-64-100-6-22-46-82-12

9、-2-8-40-64-100-14-4-10-6-2-82-12-2-16-6-12-8-4-100-14-4-18-8-14-10-6-12-2-16第6頁，共14頁（三）那是不是奇數的部分也符合，就再以-1717區間中的奇數部分填入試試看（表2-2)首項中數魔術數字總和13579111315172781-1135791113152163-3-11357911131545-5-3-11357911927-7-5-3-11357939-9-7-5-3-11357-3-9-11-9-7-5-3-1135-9-27-13-11-9-7-5-3-113-15-45-15-13-11-9-7-5-3-

10、11-21-63-17-15-13-11-9-7-5-3-1-27-811.從上表發現各數字組合中，其魔術數字皆相差6,其總和皆相差182.各數字組的魔方陣列出如下：（四）討論公差為3的數字組合（表3）首項中數魔術數字總和369121518212427451350369121518212436108-30369121518212781-6-3036912151818549-55-137111-31-13-3-9-5-1-73-11第7頁，共14頁-9-6-303691215927-12-9-6-303691200-15-12-9-6-30369-9-27-18-15-12-9-6-3036-1

11、8-54-21-18-15-12-9-6-303-27-81-24-21-18-15-12-9-6-30-36-1081.從上表發現各數字組合中，其魔術數字皆相差9,其總和皆相差272.各數字組的魔方陣列出如下：（五）公差為4的數字組合（表4）首項中數魔術數字總和48121620242832366018004812162024283248144-4048121620242836108-8-4048121620242472-12-8-40481216201236-16-12-8-4048121600-20-16-12-8-404812-12-36-24-20-16-12-8-4048-24-72

12、-28-24-20-16-12-8-404-36-108-32-28-24-20-16-12-8-40-48-144-36-32-28-24-20-16-12-8-4-60-1801.從上表發現各數字組合中，其魔術數字皆相差12,其總和皆相差362.各數字組的魔方陣列出如下：2431891521122762101561218924312-96-339015-69-123-606-312-915-690612318-33-18-3-12-60-96-150-21-6-15-9-3-123-18-3-24-9-18-12-6-150-21第8頁，共14頁（六）經過各表的整理，我們發現：1.從（表1

13、）公差為1,其魔術數字皆相差3,其總和皆相差92.從（表2）公差為2,其魔術數字皆相差6,其總和皆相差183.從（表2-2）公差為2,其魔術數字皆相差6,其總和皆相差184.從（表3）公差為3,其魔術數字皆相差9,其總和皆相差275.從（表4）公差為4,其魔術數字皆相差12,其總和皆相差366.從上述中可歸納三階魔方陣加值變形，含括負數部分可以得到下列規則：魔術數字是中數的3倍，而總和一定是魔術數字的3倍，所以得知總和為中數的9倍，且公 差不會影響這之間的關係，並從上述的整理得知，數列公差為5、6、7.皆可以 此類推，得知魔術數字、中數、及總和之間的關係。伍、研究結果一、三階魔方陣加值變形的規

14、則-般n階魔方陣，是指1n2數字組的魔方陣，這些數為首項是1,公差也是1的數列。（一）從研究過程中發現，魔方陣的數字組若同時加減乘除某數後，還是符合魔方陣的 條件，只是不再是一個正規的魔方陣，原始魔方陣為a,每一個數=a某數；每 個數二ax某數；每一個數二a*某數；（二）魔方陣的數字組若改變首項為a,公差為r，還是符合魔方陣的條件，只是不再 是一個正規的魔方陣， 改變首項和公差後， 我們把數字組想為排隊的間隔問題，可以發現新數=a+ （原數-1）X。（三）且這個變化的規則可以適用於負數的範圍。二、數字組與魔術數字的關係在研究過程的討論中，我們利用表格一一列出魔方陣的數字組，包含負數的部分，可以

15、324241220281636828020816241232424-41641220828020-8120816424-416-128-4412020-812-164-808-416-128-200-12-44-812-164-24-4-16-80-128-200-28-8-20-12-4-164-24-4-32-12-24-16-8-200-28-8-36-16-28-20-12-24-4-32觀察出一些規則：（一）魔術數字是中數的3倍， 而總和一定是魔術數字的3倍， 所以得知總和為中數的9倍，且公差不會影響這之間的關係。（二）三階魔方陣正中央所填的數字會是數字組的中數，也正是魔術數字的三分

16、之一， 我們可以透過這個關係檢驗數字組是否可排成魔方陣。三、快速排列三階魔方陣的方法，此法適用負數範圍（一）先檢驗數字組是否能排成三階魔方陣：魔術數字是否存在?（魔術數字就是總和 的三分之一。）（二）將數字組從小到大依序排列。（三）將數字組編號（19號），中數就是5號填中央，在按照下圖號碼填入就可以成為 一個魔方陣。294753618（四）研究過程中，我們實際去排列魔方陣，雖然找到許多可以快速排列的方法，也研 究出魔術數字和總和等等的關係，不過由我們的經驗發現，利用口訣二四為肩, 六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央 。還是最快速的方法之一。陸、討論我們把研究的魔方陣設定在三階魔方陣，在討論

17、的過程中，發現在同一組數字組可排成 魔方陣的方法不只一種，所以我們先釐清相等的魔方陣是指相對位置完全相同數字，而若是 同一組數字經過旋轉或鏡射的方式變成另一個魔方陣，則稱為這兩個方陣為全等魔方陣（同義 魔方陣），在計算魔方陣的個數時，全等魔方陣只計算為一種。一、相同魔方陣（一）定義每一個對應方格所填的數字都相同的兩個魔方陣。（二）舉例兩個相等的三階魔方陣、全等魔方陣（同義魔方陣）（一）定義若一個魔方陣透過旋轉或鏡射（翻轉）的方式變成另一個魔方陣，兩個魔方陣的第9頁，共14頁第11頁，共14頁各相對方格的數字一樣，則稱為這兩個方陣為全等魔方陣或同義魔方陣。（二）舉例我們分別到圖書館與上網找尋資料

18、，數學魔方陣一書搭配尤怪魔宮的網站的資料，發現 都有介紹各種魔方陣的變形，我們取其中瞭解的剛性變形法、田字變形法、互補變形法、井 字變形法等變形法，開始探討三階魔方陣的變形與各變形法間的關係，發現剛性變形法中旋 轉180。後與其他三階魔方陣的變化都相同，並將其作比較：（各變形法定義與舉例取自尤怪魔宮）一、魔方陣的鋼性變形（一）定義利用旋轉、鏡射等方式對魔方陣所做的變化。利用一個魔方陣做鋼性變形共可得出八個相異的魔方陣，但通常把這些魔方陣 看成同一個魔方陣（即全等魔方陣）（二）舉例、魔方陣的互補變形（一）定義就是將魔方陣中的每一個數字都替換成互補數的變形方式 在n階魔方陣中，數字k的互補數=（1

19、+ n2） - k。例：在5階方陣中，8的互補數=（1+52） - 8 = 18294A53618兩個全等的618753294勺三階魔方陣13161413 15 248611 912 105712 813110 615 35 11 2167 94 1414 49716 2 11 53 156 101 138 12旋轉90。後的方陣旋轉180。後的方陣旋轉270。後的方陣1416 3I14215 13911687 510 12水平鏡射垂直鏡射右斜鏡射左斜鏡射原始方陣第12頁，共14頁（二）舉例1416313114164215 1313 15 24911 6886 11 97510 1210 12

20、 75原始魔方陣互補變形魔方陣三、魔方陣的田字變形（一）定義n階魔方陣的田字變形步驟如下：1、以中心點為準將魔方陣分成四個相等的小方陣。當n為奇數時，中央的行列要獨 立出來。各區域的命名如下：A_BCn為偶數時n為奇數時2、將魔方陣重組即可如下：（一）定義n為偶數時n為奇數時（二）舉四、魔方陣的井字對換變形第13頁，共14頁n階魔方陣的井字對換變形步驟如下:第14頁，共14頁原始的三階魔方陣互補變形法與剛性變形中的順時鐘旋轉180。相同1、任選一數1 = k = n。2、 將方陣的第k行和其互補行（第n + 1 - k行）對換。3、 將方陣的第k列和其互補列（第n + 1 - k列）對換。4、

21、為方便稱呼，此時姑且命名為k值井字對換變形。若同時取兩個以上的行列做對換變形時，記錄時以,分隔，例如圖五的1,2值井字對換變形。我們先將三階魔方陣的八種剛性變形法列出（表一），與利用其他三種的變形法作比較（表二），發現利用互補變形法、田字變形法及各種井字對換變法變形後的全等魔方陣，都跟 剛性變形法順時鐘旋轉180。的魔方陣相同（二）舉（表二）與其他變形法比較第15頁，共14頁與剛性變形中的順時鐘旋轉180。相同（不管1值、2值、3值、1,2值、2,3值的井字對換變形都變成相同魔方陣）在研究各種變形法時，有個疑問：為什麼不舉例最單純的三階魔方陣，這樣不是比較淺顯易懂，所以我們實際的利用三階魔方陣去作這些變形規則，才發現原來都是剛性變形中順時鐘旋轉180。的相同魔方陣，也就不能凸顯該變形法的特色。一邉研究資料，一邊實際操作， 才更加能體會及真正的去瞭解，尤其當發現三階魔方陣經由各變形法後竟然變成相同的魔方 陣，是雀躍的心情，也是豁然開朗的成就感，經過這些討論才發現魔方陣的奧妙，心裡也種 下挑戰更高階魔方陣的動力。田字變形法井字對換變形（1值變形）（2值變形）（3值變形）816357【492816357492與剛性變形中的順時鐘旋轉180。相同第16頁，共14頁柒、結論在找尋資料的過程中，發現已經有各種研究魔方陣的資料，甚至還有各種特殊的魔方陣， 所以我們打算