中考数学第一轮复习第四单元 图形的认识与三角形部分

1、德州市陵城区第五中学 张付安 第13讲几何初步及平行线、相交线 第14讲三角形第15讲全等三角形第16讲等腰三角形第17讲直角三角形与勾股定理 第18讲相似三角形及其应用第19讲锐角三角函数第20讲解直角三角线及其应用德州市陵城区第五中学 张付安 第第17讲讲几何初步及平行线、相交线几何初步及平行线、相交线 德州市陵城区第五中学 张付安 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三种基本图形三种基本图形直线、射线、线段直线、射线、线段 直线公理直线公理经过两点有且只有经过两点有且只有_条直线条直线线段公理线段公理两点之间，两点之间，_最短最短两点间的两点间的距离距离连接两点

2、间的线段的连接两点间的线段的_，叫做，叫做这两点间的距离这两点间的距离一一 线段线段 长度长度 德州市陵城区第五中学 张付安 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 角角角的角的概念概念定义定义1 1有公共端点的两条有公共端点的两条_组成的图形叫做角这个公组成的图形叫做角这个公共端点叫做角的共端点叫做角的_，这两条射线叫做角的，这两条射线叫做角的_定义定义2 2一条射线绕着它的一条射线绕着它的_从一个位置旋转到另一个位从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角置所成的图形叫做角角的分类角的分类角按照大小可以分为平角、周角、角按照大小可以分为平角、周角、_、_、钝、钝角角角的大小比角的大小

3、比较较(1)(1)叠合法叠合法(2)(2)度量法度量法角平角平分线分线定义定义从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线性质性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等角平分线上的点到这个角两边的距离相等射线射线 顶点顶点 两边两边 端点端点 直角直角 锐角锐角 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点3 3 几何计数几何计数 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦1 1数直线的数直线的条数条数过任意三个不在同一直线上的过任意三个不在同一直线上的n n个个点中的两个点可以画点中的两个点可

4、以画_条条2 2数线段的数线段的条数条数线段上共有线段上共有n n个点个点( (包括两个端点包括两个端点) )时，共有线段时，共有线段_条条3 3数角的数角的个数个数从一点出发的从一点出发的n n条直线可组成条直线可组成_个角个角4 4数交点的数交点的个数个数n n条直线最多有条直线最多有_个交点个交点5 5数直线分数直线分平面的份数平面的份数平面内有平面内有n n条直线，最多可以把平条直线，最多可以把平面分成面分成_个部分个部分德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点4 4 互为余角、互为补角互为余角、互为补角 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦互为余互为余角角定义定义如果两个角的和等于如果两个角

5、的和等于9090，则这两个，则这两个角互余角互余性质性质同角同角( (或等角或等角) )的余角的余角_互为补互为补角角定义定义如果两个角的和等于如果两个角的和等于180180，则这两个，则这两个角互补角互补性质性质同角同角( (或等角或等角) )的补角的补角_拓展拓展一个角的补角比这个角的余角大一个角的补角比这个角的余角大9090相等相等 相等相等 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点5 5 邻补角、对顶角邻补角、对顶角 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦邻补角邻补角定义定义若两角有一条公共边，它们的另一边若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两互为反向延长线，具有这种关

6、系的两个角，互为邻补角个角，互为邻补角对顶角对顶角定义定义若两角有一个公共顶点，且两角的两若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角系的两个角，互为对顶角性质性质对顶角相等对顶角相等德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点6 6 “三线八角三线八角“的概念的概念 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦同位同位角角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的同侧，且在被截直的同侧，且在被截直线线a a、b b的同一方向叫做同位角的同一方向叫做同位角( (位置相同位置相同) )1 1和和5 5，4 4和和8 8，2 2和和6 6，3 3

7、和和7 7是同位角是同位角内错内错角角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的两旁的两旁( (交错交错) )，在被，在被截线截线a a、b b之间之间( (内内) )叫做内错角叫做内错角( (位置在内位置在内且交错且交错) )2 2和和8 8，3 3和和5 5是内错角是内错角同旁同旁内角内角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的同侧，在被截直线的同侧，在被截直线a a、b b之间之间( (内内) )叫做同旁内角叫做同旁内角5 5和和2 2，3 3和和8 8是同旁内角是同旁内角德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点7 7 平行平行 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦平行线的平行线的定义定义在同一平

8、面内，在同一平面内，_的两条直线叫的两条直线叫做平行线做平行线平行平行公理公理经过直线外一点，有且只有经过直线外一点，有且只有_条直线条直线与这条直线与这条直线_平行公理平行公理的推论的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相么这两条直线也互相_不相交不相交 一一平行平行 平行平行德州市陵城区第五中学 张付安 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦平行线的平行线的判定判定同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行线的平行线的性质性质两直线平行，同位角相等两

9、直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点8 8 垂直垂直 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦垂直垂直定义定义如果两条直线相交成如果两条直线相交成_，那么这两条直，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做互相垂直的两条直线的交点叫做_特别特别说明说明(1)(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角；况，特殊在它们所交的角是直角；(3)(3)线段线段与线段、射

10、线与线段、射线与射线的垂直，与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在直线垂直都是指它们所在直线垂直垂直的性质垂直的性质在同一平面内，过一点有且只有在同一平面内，过一点有且只有_条直条直线与已知直线垂直线与已知直线垂直直角直角 垂足垂足 一一 德州市陵城区第五中学 张付安 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦垂线段垂线段定义定义从直线外一点引一条直线的垂线，这点从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做和垂足之间的线段叫做_性质性质直线外各点与直线上各点所连的线段中直线外各点与直线上各点所连的线段中，_最短最短点到直线的点到直线的距离距离直线外一点到这条直线的直线外一点到这条直

11、线的_的长的长度，叫做点到直线的距离度，叫做点到直线的距离垂线段垂线段 垂线段垂线段 垂线段垂线段 13陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 第第17讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一线与角的概念和基本性质类型之一线与角的概念和基本性质 命题角度：命题角度：1. 线段、射线和直线的性质及计算；线段、射线和直线的性质及计算；2. 角的有关性质及计算角的有关性质及计算德州市陵城区第五中学 张付安 第第17讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 类型之二直线的位置关系类型之二直线的位置关系 命题角度：命题角度：1. 1. 直线平行与垂直的判定及简单应用；直线

12、平行与垂直的判定及简单应用；2. 2. 角度的有关计算角度的有关计算. . 第第17讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 第第17讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 类型之三类型之三 度、分、秒的计算度、分、秒的计算 例例3 3 20112011芜湖芜湖 一个角的补角一个角的补角是是3635，这个角，这个角是是_. 第第17讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1度、分、秒的换算；度、分、秒的换算；2度、分、秒的计算度、分、秒的计算14325 解析解析 这个角为这个角为180363514325 德州市陵城区第五中学 张付安 第第1

13、8讲讲三角形三角形21陵城区第五中学 张付安 22陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点3 3 三角形的中位线三角形的中位线 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义连接三角形两边的连接三角形两边的_的线段叫三角的线段叫三角形的中位线形的中位线定理定理三角形的中位线三角形的中位线_于第三边，并且于第三边，并且等于它的等于它的_总结总结(1)(1)一个三角形有三条中位线一个三角形有三条中位线(2)(2)三角三角形的中位线分得三角形两部分的面积比形的中位线分得三角形两部分的面积比为为1313中点中点 平行平行 一半一半 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点4 4 三角形的三

14、边关系三角形的三边关系 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的两边之和三角形的两边之和_第三边第三边推理推理三角形的两边之差三角形的两边之差_第三边第三边三角形的三角形的稳定性稳定性三条线段组成三角形后，形状无三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现法改变是稳定性的体现大于大于 小于小于 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点5 5 三角形的内角和定理及推理三角形的内角和定理及推理 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的内角和等于三角形的内角和等于_推论推论1.三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它_的和的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它三角形的一个外角

15、大于任何一个和它_的内角的内角3.直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_4.三角形的外角和为三角形的外角和为_拓展拓展 在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角180 不相邻的两个内角不相邻的两个内角 不相邻不相邻 互余互余 360 德州市陵城区第五中学 张付安 第第18讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一三角形三边的关系类型之一三角形三边的关系命题角度：命题角度：1. 判断三条线段能否组成三角形；判断三条线段能否组成三角形；2. 求字母的取值范围；求字母

16、的取值范围；3. 三角形的稳定性三角形的稳定性例例1 2014长沙长沙现有现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是角形的个数是() A1 B2 C3 D4 B 德州市陵城区第五中学 张付安 第第18讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 类型之二三角形的重要线段的应用类型之二三角形的重要线段的应用 命题角度：命题角度：1. 1. 三角形的中线、角平分线、高线；三角形的中线、角平分线、高线；2. 2. 三角形的中位线三角形的中位线第第18讲讲 归类示例归类

17、示例图图181 例例2 2015盐城盐城如图如图181，在，在ABC中，中， D，E分别分别是边是边AB、AC的中点，的中点，B50.现将现将ABC沿沿DE折叠折叠，点，点A落在三角形所在平面内的点落在三角形所在平面内的点A1，则，则BDA1的度数的度数为为_ 80 德州市陵城区第五中学 张付安 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 由折叠的性质可知由折叠的性质可知ADA1D，根据中位线的，根据中位线的性质得性质得DEBC；然后由两直线平行，同位角相等推知；然后由两直线平行，同位角相等推知ADEB50；最后由折叠的性质知；最后由折叠的性质知ADEA1DE，所以，所以BDA11802B80.

18、 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 类型之三类型之三 三角形内角与外角的应用三角形内角与外角的应用 例例3 3 20142014乐山乐山 如图如图182，ACD是是ABC的外角，的外角，ABC的平分线与的平分线与ACD的平分线交于点的平分线交于点A1，A1BC的平的平分线与分线与A1CD的平分线交于点的平分线交于点A2，An1BC的平分的平分线与线与An1CD的平分线交于点的平分线交于点An. 设设A.则则(1)A1_； (2)An_.第第18讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 三角形内角和定理；三角形内角和定理；2. 三角形

19、内角和定理的推论三角形内角和定理的推论图图182德州市陵城区第五中学 张付安 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)根据角平分线的定义可得根据角平分线的定义可得A A1 1BCBCABCABC，A A1 1CDCDACDACD，再根据三角形的一个，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACDACDA AABCABC，A A1 1CDCDA A1 1BCBCA A1 1，整理即可得解；，整理即可得解；(2)(2)与与(1)(1)同理求出同理求出A A2 2，可以发现后一个角等，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚

20、码即可于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解得解 德州市陵城区第五中学 张付安 第第18讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 第第18讲讲 归类示例归类示例 综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系得到结论可以灵活的解决内外角的关系得到结论德州市陵城区第五中学 张付安 第第15讲讲全等三角形全等三角形 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 相等相等相等相等角角相等相等德州市陵城区第五中学

21、 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点4 4 利用利用“尺规尺规”作三角形的类型作三角形的类型 第第15讲讲 考点聚焦考点聚焦1已知三角形的三边，求作三角形已知三角形的三边，求作三角形2已知三角形的两边及其夹角，求作三角已知三角形的两边及其夹角，求作三角形形3已知三角形的两角及其夹边，求作三角已知三角形的两角及其夹边，求作三角形形4已知三角形的两角及其其中一角的对边已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形，求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边，求已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形作三角形德州市陵城区第五中

22、学 张付安 角平分线上一点到角两边的距离相等角平分线上一点到角两边的距离相等角的平分线角的平分线角两边的距离角两边的距离考点考点 5 5德州市陵城区第五中学 张付安 线段两个端点线段两个端点相等相等垂直平分线垂直平分线三个顶点三个顶点这条这条考点考点6 6德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 1（2013安顺）如图，已知AECF，AFDCEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ADF CBE的是（ ）AACBADCB CBEDF DADBC2（2013娄底）如图，ABAC，要使ABE ACD，应添加的条件是_（添加一个条件即可）考点1 全等三角形的判定（考查频率：）命题方

23、向：（1）判断一些条件是否能判定两个三角形全等；（2）补全判断两个三角形全等所需要的条件；（3）利用三角形全等证明线段相等或角度相等B答案不唯一，如：答案不唯一，如：CBC=B或或AEBADC,AEB=ADC或或CEBBDCCEB=BDC或或AEADAC=AB或或CEBE德州市陵城区第五中学 张付安 3(2013呼和浩特)如图，CD CA，1 2，ECBC 求证：DEAB 德州市陵城区第五中学 张付安 第第15讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 第第15讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 考点考点2全等三角形性质与判定的综合应用全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：命题角

24、度：1. 利用利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；判定三角形全等；2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题例例1 2014重庆重庆 已知：如图已知：如图191，ABAE，12，B E，求证：，求证：BCED.图图191德州市陵城区第五中学 张付安 第第15讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 考点3 全等三角形的性质（考查频率：）命题方向：给出一对全等三角形，要求找出对应边或对应角4（2013天津）如图，已知CD，ABCBAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段_5（2013柳州

25、）如图，ABC DEF，请根据图中提供的信息，写出x_ACBD或或BCADODOC或或OAOB20德州市陵城区第五中学 张付安 三种基本思路(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件德州市陵城区第五中学 张付安 四种思考方法(1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，分别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；(2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系

26、，从而找到证明方法；(3)顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法德州市陵城区第五中学 张付安 六种全等模式(1)“公共角”模式；(2)“公共边”模式；(3)“对顶角”模式；(4)“角平分线”模式；(5)“平移”模式；(6)“旋转”模式德州市陵城区第五中学 张付安 考点4等腰、等边三角形与全等的综合（考查频率：）命题方向：（1）等腰直角三角形与全等三角形的综合问题；（2）等边三角形与全等的综合问题6（2013内江）如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACBDC

27、E90，D为AB边上一点求证：BDAE德州市陵城区第五中学 张付安 考点5 角平分线的性质与判定（考查频率：）命题方向：（1）直接考查角平分线基本图形能得到的一些基本结论；（2）角平分线与其它知识（如中位线、等腰、垂直平分线等）的综合（后面再列举）7（2015温州）如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，交CB于点D，过点D作DEAB于点E（1）求证：ACDAED；（2）若B30，CD1，求BD的长C德州市陵城区第五中学 张付安 9（2014临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）AABAD BAC平分BCD CABBD DBEC DEC10（2

28、013仙桃）如图，在ABC中，AB=AC，A120，BC6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 （ ） A4cm B3cmC2cm D1cm考点6 垂直平分线（考查频率：）命题方向：（1）筝形常见结论的讨论；（2）垂直平分线的计算问题CC德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 例例1：如图，：如图，AD是等腰直角三角形是等腰直角三角形ABC的底角的平分线，的底角的平分线，C90，求证：，求证：ABACCD【思维模式】（1）不管是过点D作AB的垂线也好，还是延长AC也好，实际上

29、都是利用了角平分线的轴对称性构造的全等三角形，得出一些相等的线段或相等的角解决问题；（2）人教课本书后习题给出了角平分线的另一条性质，即图中CD BDAC AB，这一结论在解决很多面积有关问题的时候，也能带来方便德州市陵城区第五中学 张付安 例2：（2015凉山州）如图，ABO与CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AFCE求证：FDBE 【解题思路】首先根据ABO与CDO关于O点中心对称可得ABO CDO，然后由全等三角形的性质得到OAOC，再结合已知和图形信息即可得到证明FOD EOB的条件，进而由全等三角形的性质即可证明结论【思维模式】在证明线段相等或角相等的题目中，通常通过证

30、明这两条线段或角所在的三角形全等来得到线段相等或角相等，若这两条线段或角在不可能全等的两个三角形中，还可寻求题目中的已知条件或图形中的隐含条件通过等量代换来达到证明全等的目的德州市陵城区第五中学 张付安 例3：（2014湖州）第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在RtABC中，ABBC，ABC90，BOAC于点O点P，D分别在AO和BC上，PBPD，DEAC于点E求证：BPO PDE（1）理清思路，完成解答本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论 若BP平分ABO，其余条件不变求证：APCD德州市陵城区第五中学 张付安

31、（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系（不必写解答过程）德州市陵城区第五中学 张付安 例例4：如图，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD求证：BCABCD【解析】要证明“BCABCD”有两种思路，思路一：（截长法）将BC分成两部分，一部分等于AB，一部分等于CD；思路二：（补短法）将AB或CD补长，使这条线段等于ABCD，然后证明这条线段等于BC德州市陵城区第五中学 张付安 第第15讲讲直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 考点聚焦考

32、点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 直角三角形的概念、性质与判定直角三角形的概念、性质与判定 定义定义有一个角是有一个角是_的三角形叫做直角三角形的三角形叫做直角三角形性质性质(1)直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于那么它所对的直角边等于_(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于在直角三角形中，斜边上的中线等于_斜边的一半斜边的一半 直角直角 斜边的一半斜边的一半 德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦

33、考点考点2 2 勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理勾股勾股定理定理直角三角形两直角边直角三角形两直角边a a、b b的平方和，等于斜边的平方和，等于斜边c c的平方即：的平方即：_勾股勾股定理定理的逆的逆定理定理逆定逆定理理如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a、b b、c c有关系：有关系： _ _ ，那么这个三角形是直角三角，那么这个三角形是直角三角形形用途用途(1)(1)判断某三角形是否为直角三角形；判断某三角形是否为直角三角形；(2)(2)证明两条线段垂直；证明两条线段垂直；(3)(3)解决生活实解决生活实际问题际问题勾股数勾股数能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称能构成直角三

34、角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数为勾股数a2b2c2 a2b2c2 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点3 3 互逆命题互逆命题 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦互逆互逆命题命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做把其中一个叫做_，那么另一个叫做它，那么另一个叫做它的的_互逆互逆定理定理若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的这个定理的_，称这两个定理为互逆，称这两个定理为互逆定理定理原命题原命题 逆命题逆命题 逆

35、定理逆定理 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点4 4 命题、定义、定理、公理命题、定义、定理、公理 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义义命命题题定义定义判断一件事情的句子叫做命题判断一件事情的句子叫做命题分类分类正确的命题称为正确的命题称为_错误的命题称为错误的命题称为_组成组成每个命题都由每个命题都由_和和_两个部分组成两个部分组成公理公理公认的真命题称为公认的真命题称为_定理定理除公理以外，

36、其他真命题的正确性都经过推理的方法证除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为实，推理的过程称为_经过证明的真命题称为经过证明的真命题称为_真命题真命题 假命题假命题 条件条件 结论结论 公理公理 证明证明 定理定理 德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 归类示例归类示例中考中的常见题型中考中的常见题型 类型之一利用勾股定理求线段的长度类型之一利用勾股定理求线段的长度命题角度：命题角度：1. 利用勾股定理求线段的长度；利用勾股定理求线段的长度；2. 利用勾股定理解决折叠问题利用勾股定理解决折叠问题例例1 2013黄石黄石 将一个有将一个有45度角的三角板的直角顶点

37、度角的三角板的直角顶点放在一张宽为放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图度角，如图211，则三角板的最大边的长为，则三角板的最大边的长为()图图211D 德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 归类示例归类示例 勾股定理的作用：勾股定理的作用：(1)(1)已知直角三角形的两边求第已知直角三角形的两边求第三边；三边；(2)(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；已知直角

38、三角形的一边求另两边的关系；(3)(3)用于证明平方关系的问题用于证明平方关系的问题德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 折叠问题折叠问题德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 求最短路线问题求最短路线问题德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 归类示例归类示例 利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度短长度 德州市陵城区第五中学 张付安 德

39、州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 回归教材回归教材巧用勾股定理探求面积关系巧用勾股定理探求面积关系 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版八下人教版八下P71T11如图如图21213 3，C C9090，图中有阴影的三个半圆的，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？面积有什么关系？图图21213 3德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 回归教材回归教材 点析点析 若将半圆换成正三角形、正方形或任意的若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，相似形，S S1 1S S2 2S S3 3都成立都成立德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 回归教材回归教材中考变式12015贵阳贵

40、阳 如图如图214，已知等腰，已知等腰RtABC的直的直角边长为角边长为1，以，以RtABC的斜边的斜边AC为直角边，画第二为直角边，画第二个等腰个等腰RtACD，再以，再以RtACD的斜边的斜边AD为直角边为直角边，画第三个等腰，画第三个等腰RtADE，依此类推直到第五，依此类推直到第五个等腰个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为成的图形的面积为_图图214德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 回归教材回归教材德州市陵城区第五中学 张付安 第第21讲讲 回归教材回归教材2 220132013乐山乐山 勾股定理揭示了直勾股定理揭示了直

41、角三角形三边之间的关系，其中蕴含着角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值图丰富的科学知识和人文价值图21215 5是一棵由正方形和含是一棵由正方形和含3030角的直角三角角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为形的面积之和为S S1 1，第二个正方形和第，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为二个直角三角形的面积之和为S S2 2，第第n n个正方形和第个正方形和第n n个直角三角形的面积个直角三角形的面积之和为之和为S Sn n. .设第一个正方形

42、的边长为设第一个正方形的边长为1.1.请解答下列问题：请解答下列问题：(1)(1)S S1 1_；(2)(2)通过探究，用含通过探究，用含n n的代数式表示的代数式表示S Sn n，则，则S Sn n_._.图图21215 5德州市陵城区第五中学 张付安 第第16讲讲等腰三角形等腰三角形 德州市陵城区第五中学 张付安 第第16讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 定义定义有有_相等的三角形是等腰三角形相等的两相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边为底边叫腰，第三边为底性质性质轴对轴对称性称性等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角

43、形是轴对称图形，有_条条对称轴对称轴定理定理1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简称为简称为：_)定理定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的的_和底边上的高互相重合，和底边上的高互相重合，简称简称“三线合一三线合一”两边两边 一一 等边对等角等边对等角 中线中线德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展拓展(1)(1)等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等(2)(2)等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等(3)(3)等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等(4)(4)等腰三角形一腰上的高

44、与底边的夹角等于顶等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半角的一半(5)(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高和等于一腰上的高(7)(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高离之差等于一腰上的高德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个

45、角所对的边也相等所对的边也相等(简写成：简写成：_)拓展拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点3 3 等边三角形等边三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形性质性质等边三角

46、形的各角都等边三角形的各角都_，并且每一个，并且每一个角都等于角都等于_等边三角形是轴对称图形，有等边三角形是轴对称图形，有_条对条对称轴称轴判定判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形边三角形相等相等 60 3 德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线性质性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端

47、点的线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离距离_判定判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的段的_上上实质实质构成构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点_的所有点的集合的所有点的集合相等相等 垂直平分线垂直平分线 距离相等距离相等 德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一等腰三角形的性质的运用类型之一等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1. 等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2. 等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质；的性质；3. 等

48、腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质. 图图201德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 类型之二等腰三角形判定类型之二等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定第第20讲讲 归类示例归类示例图图202 例例2 2013扬州扬州 已知：如图已知：如图202，锐角，锐角ABC的两条的两条高高BD、CE相交于点相交于点O，且，且OBOC.(1)求证：求证：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在BAC的平分线上

49、，并说明理由的平分线上，并说明理由 德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 (1)利用利用BDC CEB 证明证明DCBEBC；(2)连接连接AO，通过，通过HL证证明明ADO AEO，从而得到，从而得到DAOEAO，利用角平分线上的点到两边的距，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论离相等，证明结论解：解：(1)证明：证明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，是两条高，BDCCEB90.又又BCCB，BDC CEB (AAS)DBCECB, ABAC.ABC是等腰三角形是等腰三角形德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例(2)点

50、点O是在是在BAC的平分线上的平分线上连接连接AO.BDC CEB，DCEB.OBOC， ODOE.又又BDCCEB90，AOAO，ADO AEO(HL)DAOEAO. 点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有而得到两边相等的方法主要有(1)(1)通过等角对等边得两边通过等角对等边得两边相等；相等；(2)(2)通过三角形全等得两边相等；通过三角形全等得两边相等；(3)(3)利用垂直平利用垂直平分线的性质得两边相等分

51、线的性质得两边相等德州市陵城区第五中学 张付安 类型之三类型之三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例3 3 20142014广安广安 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于点于点D，且且AD0.5 BC，则，则ABC底角的度数为底角的度数为()A45 B75C45或或75 D60第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；有底角和顶角之分；2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况C 德州市陵城区第五中学 张付安

52、 第第20讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例 因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况题，才能避免漏解情况德州市陵城区第五中学 张付安 类型之四等边三角形的判定与性质类型之四等边三角形的判定与性质 例例4 4 2014绍兴绍兴 数学课上，李老师出示了如下框中数学课上，李老师出示了如下框中的题目的

53、题目在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在在AB上，点上，点D在在CB的延长的延长线上，且线上，且EDEC，如图，如图203.试确定线段试确定线段AE与与DB的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：等边三角形的判定与性质的综合等边三角形的判定与性质的综合图图203德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论特殊情况，探索结论当点当点E为为AB的中点时，如图的中点时，如图204，确定线段，确定线段AE与与DB的大小关系，

54、请你直接写出结论：的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB(填填“”“”“”或或“”)理由如下理由如下：如图：如图204，过点，过点E作作EFBC，交，交AC于点于点F.(请你完成以下解答过程请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题拓展结论，设计新题在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在直线在直线AB上，点上，点D在直线在直线BC上，且上，且EDEC.若若ABC的边长为的边长为1，AE2，求，求CD的长的长(请你直接写出结果请你直接写出结果) (3)1或或3.德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例方法一：等边三角形方法一：等边三角形ABCABC中，中，ABC

55、ABCACBACBBACBAC6060，ABABBCBCACAC. .EFEFBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是等边三角形，是等边三角形，AEAEAFAFEFEF，ABABAEAEACACAFAF，即，即BEBECFCF. .又又ABCABCEDBEDBBEDBED6060，ACBACBECBECBFCEFCE6060，且且EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDFCEFCE. .又又DBEDBEEFCEFC120120，DBEDBEEFCEFC，DBDBEFEF，AEAEBDBD. .德州市陵城区第五中学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类

56、示例方法二：在等边三角形方法二：在等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACB6060，ABDABD120120. .ABCABCEDBEDBBEDBED，ACBACBECBECBACEACE，EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDACEACE. .FEFEBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是正三角形，是正三角形，EFCEFC180180ACBACB120120ABDABD. .EFCEFCDBEDBE，DBDBEFEF，而由而由AEFAEF是正三角形可得是正三角形可得EFEFAEAE. .AEAEDBDB. . 德州市陵城区第五中

57、学 张付安 第第20讲讲 归类示例归类示例 等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于6060的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等构造全等 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 德州市陵城区第五中学 张付安 第第16讲讲锐角三角函数锐角三角函数 德州市陵城区第五中学 张付安 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 德州市陵城区第五中学 张付安 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 特殊角三角函数值特殊

58、角三角函数值 sincostan304560德州市陵城区第五中学 张付安 考点考点3 3 解直角三角形解直角三角形 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦解直角三角解直角三角形的定义形的定义在直角三角形中，除直角外，共有在直角三角形中，除直角外，共有5 5个个元素，即元素，即3 3条边和条边和2 2个锐角由这些元个锐角由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形元素的过程叫做解直角三角形德州市陵城区第五中学 张付安 第第23讲讲 考点聚焦考点聚焦解直角三角解直角三角形的常用关形的常用关系系在在RtABC中，中，C90，则：，则：(1)三边关系：三边

59、关系：a2b2_；(2)两锐角关系：两锐角关系：AB_；(3)边与角关系：边与角关系：sinAcosB_，cosAsinB_，tanA_；(4)sin2Acos2A1解直角三角解直角三角形的题目类形的题目类型型(1)已知斜边和一个锐角；已知斜边和一个锐角；(2)已知一直角边和一个锐角；已知一直角边和一个锐角；(3)已知斜边和一直角边已知斜边和一直角边(如已知如已知c和和a)；(4)已知两条直角边已知两条直角边a，bc2 90 德州市陵城区第五中学 张付安 第第23讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一求三角函数值类型之一求三角函数值 命题角度：命题角度：1. 正弦值的计算；正弦值的计

60、算；2. 余弦值的计算；余弦值的计算；3. 正切值的计算正切值的计算 例例1 2012内江内江 如图如图231所示，所示，ABC的顶点是正方的顶点是正方形网格的格点则形网格的格点则sinA的值为的值为()B 图图23231 1德州市陵城区第五中学 张付安 第第23讲讲 归类示例归类示例德州市陵城区第五中学 张付安 第第23讲讲 归类示例归类示例 解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长，所给的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长，依据三角函数的定义进行求解依据三角函数的定义进行求解德州市陵城区