newCh1-4无穷小量与无穷大量

1、1.1集合集合1.2函数函数1.4无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.3函数的极限函数的极限1.5函数的连续性函数的连续性一、无穷小量一、无穷小量二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较三、无穷大量三、无穷大量四、数列极限与函数极限的关系四、数列极限与函数极限的关系 1.4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量一、无穷小量1 定义定义1 在某一极限过程中在某一极限过程中, 以以0为极限的变量为极限的变量(数列数列)称为该极限过程的称为该极限过程的无穷小量无穷小量,简称简称无穷小无穷小.无穷小量的等价定无穷小量的等价定义义0( )f xxx为时的无穷小量为时的无穷小量nan 为时的无

2、穷小量为时的无穷小量lim0nna0lim( )0 xxf x00,0,0( )xxf x ，有有( )f xx 为时的无穷小量为时的无穷小量lim( )0 xf x 0,0,( )XxXf x 有有0,0,.nNnNa 有有1. 无穷小是无穷小是变量变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; 相对于某变化过程而言相对于某变化过程而言! 2.零是可以作为无穷小量的唯一的数零是可以作为无穷小量的唯一的数.注意注意11.2nnnnqqn 当时， ， ,()均是无穷小量当时， ， ,()均是无穷小量例如例如,20,sin,1cos.xx xxx 当当时时, ,均均是是无无穷穷小小量量0.xx当当时

3、时, ,是是无无穷穷小小量量1 sin.xxxx 当时， ，是的无穷小量当时， ，是的无穷小量2. 无穷小量的性质无穷小量的性质定理定理1 1 在在同同一极限过程中一极限过程中, ,（1 1）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小. . （2 2）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小. . （3 3）无穷小与有界量（函数）的乘积是无穷小）无穷小与有界量（函数）的乘积是无穷小. .注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个

4、个但但nn推论推论1 1 在同一极限过程中在同一极限过程中, ,有极限的变量与无穷有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小小的乘积是无穷小. .推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .定理定理1(3)无穷小无穷小与与有界量有界量(函数函数)的乘积是无穷小量的乘积是无穷小量.证证内内有有界界，在在设设函函数数),(100 xUu.0,0,0101MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则.0,0,0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx,0时时的的无无穷穷小小是是当当

5、又又设设xx 3.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32趋趋近近零

6、零的的速速度度要要快快得得多多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较0(4)lim,.xx 如果不则称 与 无法比较如果不则称 与 无法比较1.1.等价无穷小的性质等价无穷小的性质证证(1)定理定理300000 ( ) ( )(),(1)lim( ) ( )lim( ) ( );( )( )(2)( )0,( )0,limlim.( )( )xxxxxxxxxxxxx h xAx h xAh xh xxxAAxx设设若若若若2.2.常用等价无穷小常用等价无穷小,0时时当

7、当 x2sin, arcsin,tan, arctan,11cos,2111 ()nxxxxxxxxxxxxnNn 1sinxxx与 无法比较.与 无法比较.,0时时当当 x例例1 1.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解

8、解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 xxxxxarctan1sin1lim0 例例3 3练习练习 求求1320(1)1lim.cos1xxx xxxxxarctan1sin1lim20 3001122sinlimlimxxxxxx三、无穷大量三、无穷大量观察：观察：1 ,x 1 ,x 1( )1f xx 1( )1f xx 1,x 1( )1f xx 越来越大越来越大,x 2( )f xx 越来越大越来越大11, 2,3, 4,( 1),;nn 1(1)nn 越来越小越来越小越来越大越来越大0

9、,xx当时当时( )f x越来越大越来越大描述描述:000,0,0,(li).m( )xxMxxf xMf x 有有0,0,( ),(lim( )xMXxXf xfxxMf x 有有- - - - -称称当当时时为为无无穷穷大大量量. .类似地有类似地有M-X定义定义 ,类似地可定义：正无穷大，负无穷大类似地可定义：正无穷大，负无穷大00lim( )(lim( )xxxxf xf x 或或请同学自行思考写出精确数学定义请同学自行思考写出精确数学定义! !lim.nna 00lim( )(0,0,)0,.xxf xf xMxxM 有有00lim( )(0,0,)0,.xxf xf xMxxM 有

10、有()()lim( )(lim( )xxf xf x 或或000,0,0,(li).m( )xxMxxf xMf x 有有0,0,lim.nnnnMNnNaMana （无无论论多多么么大大）使使时时 恒恒有有则则称称数数列列当当时时为为，记记作作义义无无穷穷大大量量定定lim0,0,.nnnaMNnNaM 有有 同理可定义同理可定义lim0,0,.nnnaMNnNaM 有有12lim( 1)limlim()nnnnnnn (隐藏)注意注意1.无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大量是一种特殊的无界变量无穷大量是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是

11、无穷大无界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx1( 1)2nn 1( 1)0,2,0,4,2nn 例如例如.无穷大实质上是函数极限不存在的无穷大实质上是函数极限不存在的一种情况一种情况xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( nnxn取取,22)( nxyn.)(,Mxynn 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( nnxn取取,可以任意小可以任意小充分大时充分大时当当nxn nnxyn2sin2)(但

12、但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，(隐藏).11lim1 xx证明证明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy定理定理5 5 在同一自变量变化过程中在同一自变量变化过程中, ,无穷大的倒数无穷大的倒数为无穷小为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有时时使得

13、当使得当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由于由于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系得由无穷小

14、与无穷大的关系得例例5 5.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx例例6 6.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法

15、: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.极限求法极限求法小结小结:a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用无穷小与无穷大的关系求极限利用无穷小与无穷大的关系求极限;f.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限;g.夹逼性夹逼性;h.单调有界准则单调有界准则;i.两个重要极限两个重要极限关于复合函数极限性质的说明关于复合函数极限性质的说明四、数列极限与函数极限的关系