数值积分与数值微分ppt课件

1、上页上页下页下页第第4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 4.1 引言引言 4.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式 4.3 复化求积公式复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式高斯求积公式 4.6 数值微分数值微分上页上页下页下页进展计算，但在工程计算和科学研讨中，经常会遇进展计算，但在工程计算和科学研讨中，经常会遇到被积函数到被积函数fx的以下一些情况：的以下一些情况：的原函数的原函数)()(d)(aFbFxxfIba 对定积分对定积分 baxxfId)(的被积函数的被积函数)(xf知，在高等数学中可用牛顿知，在高等数学中可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式

2、)(xF4.1 引引 言言 实践问题当中经常要计算积分，有些数值方法，实践问题当中经常要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联络联络.上页上页下页下页4 fx本身没有解析表达式，其函数关系由本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图形给出，列如为实验或丈量数据表格或图形给出，列如为实验或丈量数据.xxxexxfxsinsinln1)(22 , , , 2 fx的原函数不能用初等函数方式表示，例的原函数不能用初等函数方式表示，例如如411)(xxf 3 fx的原函数虽然可用初等函数方式表示，的原函数虽然可用初等函数方式表示

3、，但其原函数表示方式相当复杂，例如但其原函数表示方式相当复杂，例如cbxaxxf 2)(1 fx复杂，求原函数困难，列如复杂，求原函数困难，列如上页上页下页下页 以上的以上的 4种情况都不能用牛顿种情况都不能用牛顿莱布尼兹公莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分，满足不了实践需式方便地计算该函数的定积分，满足不了实践需求，因此，有必要研讨定积分的数值计算问题；求，因此，有必要研讨定积分的数值计算问题；另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研讨求导、微分的数值计算相当复杂，也有必要研讨求导、微分的数值计算问题。本章主要引见数值求积分和

4、数值求微分的问题。本章主要引见数值求积分和数值求微分的方法。方法。上页上页下页下页 由积分中值定理由积分中值定理, 对延续函数对延续函数fx, 在区间在区间a, b内至少存在一点内至少存在一点，使，使 bafabxxfI)()(d)( 只需对平均高度只需对平均高度 f 提供一种近似算法提供一种近似算法, 便可便可相应地获得一种数值求积方法相应地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式即所谓矩形公式.4.1.1 数值求积的根本思想数值求积的根本思想 几何图形见书几何图形见书p119.上页上页下页下页 例如例如, 用区间用区间a, b两端点的函数值两端点的函数值 fa与与fb的算术平均值作为的算术平

5、均值作为f 的近似值的近似值, 可导出可导出求积公式求积公式)()(2d)(bfafabxxfIba 这便是人们所熟知的梯形公式这便是人们所熟知的梯形公式. 假设改用区间假设改用区间a, b的中点的中点 c=a+b/2 处的函处的函数值数值fc近似替代近似替代f, 那么又可导出所谓中那么又可导出所谓中矩形公式矩形公式 babafabxxfI)2()(d)(上页上页下页下页 普通地普通地, 在区间在区间a, b上适中选取点上适中选取点xk k=0,1,n, 然后用然后用 fxk 的加权平均值作为的加权平均值作为f 的近似值的近似值, 可得到更为普通的求积公式可得到更为普通的求积公式 其中：点其中

6、：点xk叫求积节点叫求积节点, 系数系数Ak叫求积系数叫求积系数. Ak仅与仅与节点节点xk的选取有关的选取有关, 而与被积函数而与被积函数 fx无关无关.求积公式的截断误差为求积公式的截断误差为)(d)()(0kbankknxfAxxfIIfR Rf 又称为求积余项又称为求积余项.nkbankkIxfAxxfI )(d)(0 这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛了牛-莱公式寻求原函数的困难莱公式寻求原函数的困难.上页上页下页下页4.1.2 代数精度的概念代数

7、精度的概念 定义定义1 假设求积公式假设求积公式 bankkkxfAxxfI0)(d)(1 对一切次数不超越对一切次数不超越m的多项式都准确成立；的多项式都准确成立；2 至少对一个至少对一个m+1次多项式不准确成立，次多项式不准确成立，那么称该公式具有那么称该公式具有m次代数精度次代数精度. 数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对们自然希望求积公式能对“尽能够多的函数准确尽能够多的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念地成立，这就提出了所谓代数精度的概念.上页上页下页下页 普通来说，代数精度越高，求积公式越好。普通来说，代数

8、精度越高，求积公式越好。 定理定理1 一个求积公式具有一个求积公式具有m次代数精度的充要次代数精度的充要条件是该求积公式条件是该求积公式: 1 对对xkk=0,1,m准确成立；准确成立； 2 对对xm+1不准确成立不准确成立. 故普通地，要验证一个求积公式具有故普通地，要验证一个求积公式具有m次代数次代数精度，只需令对于精度，只需令对于 fx=1, x, , xm求积公式准确求积公式准确成立等式就行成立等式就行.上页上页下页下页 解解 当当 f x=1时时, 1d,baxb a 左左1 1,2baba 右右此时公式准确成立。此时公式准确成立。例例1 验证梯形公式验证梯形公式)()(2d)(bf

9、afabxxfIba 具有一次代数精度。具有一次代数精度。当当 fx=x时，时， 221d2baxxba 左左2222babaab 右右公式也准确成立。公式也准确成立。当当 fx= x2 时，时， 2331d3baxxba 左左22,2baab 右右公式对公式对x2不准确成立不准确成立.故由定理故由定理1知知, 梯形公式的代数精度为梯形公式的代数精度为1次次.上页上页下页下页 对于求积公式对于求积公式 给定给定n+1个互异的求积节点个互异的求积节点 x0 , x1, xn-1, xn ,令求积公式对令求积公式对 fx=1, x, , xn 准确成立准确成立,即得即得 1211110022110

10、010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn求解该方程组即可确定求积系数求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公所得到的求积公式至少具有式至少具有n 次代数精度次代数精度.nkbankkIxfAxxfI )(d)(0上页上页下页下页 例例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.)()()(d)(hfAfAhfAxxfIhh102210 解解 令令 f x=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，代入公式两端并令其相等，得得 hAAhhAhA

11、AAhAhAhAAA31623200411321211111101)()()( 解得解得hAhAA3438011,上页上页下页下页得求积公式为得求积公式为令令 f f x x=x3=x3，得，得)()()(d)(hhfhfhhfxxfIhh380343822038033223)(dhhhxxhh令令 f f x x=x4=x4，得，得544224531638564hhhhxxhhh)(d故求积公式具有故求积公式具有3 3次代数精度次代数精度. .上页上页下页下页 假设我们事先选定求积节点假设我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间，譬如，以区间a, b的等距分点作为节点，这时取的等距分点作为节点

12、，这时取m=n求解方程组求解方程组即可确定求积系数即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有，而使求积公式至少具有 n次次代数精度代数精度. 本章第本章第2节引见这样一类求积公式，梯形节引见这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例公式是其中的一个特例. 如为了构造出上面的求积公式，原那么上是一如为了构造出上面的求积公式，原那么上是一个确定参数个确定参数xk和和Ak的代数问题的代数问题.上页上页下页下页4.1.3 插值型求积公式插值型求积公式设给定一组节点设给定一组节点bxxxxann 110且且fx在这些节点上的函数值在这些节点上的函数值 fxk, 那么可求得那么可求得fx的拉格朗日插值多项

13、式由于的拉格朗日插值多项式由于Lnx的原函的原函数易求数易求 nkkknxlxfxL0)()()(其中其中lkx为插值基函数为插值基函数, 取取), 1 , 0d)()(d)(0nkxxlAIxfAxxfIbakknknkkba 由上式确定系数的公式称为插值型求积公式。由上式确定系数的公式称为插值型求积公式。xxLxxfbanbad)(d)( 即即那么那么 f xLnx上页上页下页下页由插值余项定理由插值余项定理, 其求积余项为其求积余项为() ( )( )dbnnaR fIIf xLxx (1)0( )()d(1)!nnbkakfxxxn 其中其中=x 假设求积公式是插值型的，按照插值余项式

14、假设求积公式是插值型的，按照插值余项式子，对于次数不超越子，对于次数不超越n的多项式的多项式fx，其他项，其他项 Rf 等于零，因此这时求积公式至少具有等于零，因此这时求积公式至少具有n次代次代数精度数精度.上页上页下页下页 反之，假设求积公式至少具有反之，假设求积公式至少具有n次代数精度，次代数精度，那么它必定是插值型的那么它必定是插值型的. 现实上，这时求积公式现实上，这时求积公式对于插值基函数对于插值基函数 lkx应准确成立，即有应准确成立，即有0( )().nbkj kjkajlx dxA lxA 留意到留意到lkxj=kj，上式右端实践上即等于，上式右端实践上即等于Ak，因此下面式子

15、成立因此下面式子成立., 1 , 0d)(nkxxlAbakk 上页上页下页下页 结论结论1 具有具有n+1个节点的数值求积公式个节点的数值求积公式 bankkkxfAxxfI0)(d)(是插值型求积公式的充要条件为是插值型求积公式的充要条件为: 该公式至少具有该公式至少具有n次代数精度。次代数精度。 综上所述，我们有结论为综上所述，我们有结论为 这时令这时令fx=1代入又有结论为代入又有结论为 结论结论2 对插值型求积公式的系数必有对插值型求积公式的系数必有.d0abxAbankk 上页上页下页下页其中其中h=maxxi-xi-1，那么称求积公式，那么称求积公式Akfxk是收敛的是收敛的.4

16、.1.4 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 在求积公式在求积公式Akfxk中，假设中，假设 nkbakkhndxxfxfA00.)()(lim 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，由于计算中，由于计算f(xk)能够产能够产生误差生误差k，实践得到，实践得到 ，即，即 . 记记kkkfxf )(kf.)(, )()(00 nkkknnkkknfAfIxfAfI假设对任给小正数假设对任给小正数0，只需误差，只需误差|k|充沛小就有充沛小就有,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI它阐明求积公式它阐明求积公式Akfxk计算是稳定的，由此给计算是稳定的，由此给出出

17、上页上页下页下页,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI 定义定义3 对任给小正数对任给小正数0，假设存在，假设存在0，只需，只需 就有就有), 1 , 0()(nkfxfkk 成立，那么称求积公式成立，那么称求积公式Akfxk是稳定的，是稳定的，上页上页下页下页 证明证明 对任给对任给0，假设取，假设取=/b-a, 对一切对一切k都有都有故求积公式是稳定的故求积公式是稳定的. 定理定理2 假设求积公式假设求积公式Akfxk中一切系数中一切系数Ak0，那么此求积公式是稳定的，那么此求积公式是稳定的.)()()()()(000 abAfxfAfxfAfIfInkknkkkknkkkknn

18、那么有那么有), 1 , 0()(nkfxfkk 上页上页下页下页 4.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式 为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们通常取等距节点，即将积分区间通常取等距节点，即将积分区间a,b划分划分n等分，等分，即令步长即令步长h=b-a/n，且记，且记x0=a, xn=b，那么节，那么节点记为点记为xk=x0+khk=0,1,n，然后作变换，然后作变换: t=x-x0/h, 代入求积系数公式，将会简化计算代入求积系数公式，将会简化计算.上页上页下页下页4.2.1 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式设将积分区间设将积分区间a, b划分成划分成

19、 n等分等分,步长步长h=,nab 求积节点取为求积节点取为xk=a+kh k = 0,1,n,由此构造插值由此构造插值型求积公式型求积公式, 那么其求积系数为那么其求积系数为( )ddbbjkkaaj kkjxxAl x xxxx 引入变换引入变换 x = a + th, 那么有那么有00( 1)d()d!()!n knnnnkj kj ktjbaAhttjtkjnk nk k=0,1, nk=0,1, n上页上页下页下页记记()0( 1)()d!()!n knnnkjkCtjtnknk k=0,1,n那那么么,)()(nkkCabA 于是得求积公式于是得求积公式)()(0)(knknknx

20、fCabI 称为称为n 阶牛顿阶牛顿-柯特斯柯特斯 (Newton-Cotes)公式公式, 称称为柯特斯系数。为柯特斯系数。)(nkC 显然显然, 柯特斯系数与被积函数柯特斯系数与被积函数 f x 和积分区和积分区间间a,b无关无关, 且为容易计算的多项式积分且为容易计算的多项式积分.0( 1)()d!()!n knnkj kbaAtjtnknk 上页上页下页下页n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/90 12/90 32/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272

21、/84027/840216/84041/840( )nkC常用的柯特斯系数表常用的柯特斯系数表上页上页下页下页 当当n=1时，柯特斯系数为时，柯特斯系数为这时的牛顿这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们所熟习的梯形公式，即所熟习的梯形公式，即).()(2bfafabT ,2121,21)1(21)1(10210)1(110210)1(0 ttdtCtdttC上页上页下页下页 当当n=2时，柯特斯系数为时，柯特斯系数为相应的牛顿相应的牛顿-柯特斯公式为二阶求积公式，就是辛普柯特斯公式为二阶求积公式，就是辛普森森simpson公式又称为抛物形求积公式，即公

22、式又称为抛物形求积公式，即,61)1(41,64)2(21,61)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0 dtttCdtttCdtttC).()2(4)(6bfbafafabS 上页上页下页下页)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC 式中式中khaxk k=0,1,2,3,4,h=b-a/4. n = 4 时的牛顿时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公柯特斯公式就特别称为柯特斯公式式. 其方式是其方式是 在柯特斯系数表中见书在柯特斯系数表中见书p124看到看到n 7时，柯时，柯特斯系数呈现负值，于是有特斯系数呈现负值，于是有, 1)(1100

23、)(0)( ababAabCCnkknknknknk上页上页下页下页.)()()()()()()()()()(0)(0)(0)(0)( abCabfxfCabfxfCabfxfCabfIfInknknkkknknkkknknkkknknn 特别地，假定特别地，假定,)(, 0)()( kkkknkfxffxfC且且那么有那么有这阐明在这阐明在b-a1时，初始误差将会引起计算结果误差时，初始误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故增大，即计算不稳定，故n 7的牛顿的牛顿-柯特斯公式是柯特斯公式是不用的不用的.上页上页下页下页由于牛顿由于牛顿-柯特斯公式对柯特斯公式对 f x = 1准确成立

24、准确成立, 即即 banknkCabx0)()(d1由此可得由此可得 nknkC0)(1( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC 设设 f xk 有误差有误差 k ,max0knk 那么计算误差为那么计算误差为另一种写法：另一种写法：上页上页下页下页( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC ( )( )00|1nnnnkkkkCC|Eba 只需只需f xk 获得足够准确获得足够准确,初始数据的误差对计初始数据的误差对

25、计算结果影响不大算结果影响不大,方法是稳定的。方法是稳定的。当当 全为正时全为正时 ,)(nkC从而从而上页上页下页下页( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC ( )01nnkkC 当当 有正有负时有正有负时 ,由于由于)(nkC而而 能够会很大能够会很大, f (xk) 可以获得足够准确可以获得足够准确,但初始数据的误差对计算结果影响会很大但初始数据的误差对计算结果影响会很大,方法能方法能够是不稳定的。够是不稳定的。( )0|nnkkC 上页上页下页下页4.2.2 偶数求积公式的代数精度偶数求积公式的

26、代数精度 作为插值型求积公式，作为插值型求积公式，n阶牛顿阶牛顿-柯特斯公式至柯特斯公式至少具有少具有n次代数精度推论次代数精度推论1. 实践的代数精度能实践的代数精度能否进一步提高呢？否进一步提高呢？ 先看辛普森公式，它是二阶牛顿先看辛普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度因此至少具有二次代数精度. 进一步用进一步用fx=x3进进展检验，按辛普森公式计算得展检验，按辛普森公式计算得.246333 bbaaabS上页上页下页下页.246333 bbaaabS另一方面，直接求积得另一方面，直接求积得.4443abdxxIba 这时有这时有S=I，即辛普森公式对不

27、超越三次的多项式均，即辛普森公式对不超越三次的多项式均能准确成立，又容易验证它对能准确成立，又容易验证它对fx=x4通常是不准通常是不准确的如取确的如取a=0,b=1进展验证有，进展验证有，S=5/24I=1/5，因此，辛普森公式实践上具有三次代数精度因此，辛普森公式实践上具有三次代数精度. 普通地，我们可以证明下述结论：普通地，我们可以证明下述结论：上页上页下页下页 定理定理3 n 阶牛顿阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为柯特斯公式的代数精度至少为 证明证明 由推论由推论1，无论，无论n为奇数或偶数，插值型求为奇数或偶数，插值型求积公式都至少具有积公式都至少具有n次代数精度次代数精度. 因此

28、我们证明因此我们证明n为为偶数的情形，即对偶数的情形，即对n+1次多项式余项为零次多项式余项为零. 令令n=2k，设，设 101)(nkkknxaxq为任一为任一n+1次多项式，其最高次系数为次多项式，其最高次系数为an+1，那么，那么它的它的n+1阶导数为阶导数为)!1()(1)1(1 naxqnnn 为奇数为奇数当当为偶数为偶数当当nnnnm., 1上页上页下页下页由余项公式由余项公式.)()!1()()()!1()()1(0)1(dxxnfdxxxnffRbannkkban (1)111012210R( )( )()()()(1)!(1)(2)()nbbnnnnaaknnqqxx dxa

29、xxxxxx dxnaht tttn dt 有有这里变换为这里变换为x=a+th，留意，留意xj=a+jh.下面我们证明下面我们证明20(1)(2)()0kt tttn dt 上页上页下页下页作变换作变换u=t-k，那么，那么20(1)(2)()0kt tttn dt 20(1)(1)()(1)(21)(2 )()(1)(1) (1)(1)()kkkt ttktk tktktk dtuk ukuu uu ku k du ( )()(1)(1) (1)(1)()uu k u kuu uu ku k 记记容易验证容易验证u为奇函数，即为奇函数，即-u=-u，而奇函数在对称区间上的积分为零，所以而奇

30、函数在对称区间上的积分为零，所以. 0)(1证证毕毕 xqRn上页上页下页下页 定理定理3阐明，当阐明，当n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式对不超越对不超越n+1次的多项式均能准确成立，因此，其次的多项式均能准确成立，因此，其代数精度可到达代数精度可到达n+1.正是基于这种思索，当正是基于这种思索，当n=2k与与n=2k+1时具有一样的代数精度，因此在适用中常时具有一样的代数精度，因此在适用中常采用采用n为偶数的牛顿为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式柯特斯公式，如抛物形公式n=2等等.上页上页下页下页4.2.3 几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项 首先调查梯形公

31、式，设首先调查梯形公式，设 fxC2a,b ，按余，按余项公式有项公式有.,)(12)(3baabf ,)(2)()( baTdxbxaxfTIfR 这里函数这里函数x-ax-b在区间在区间a,b上保号非正上保号非正，运用积分中值定理，在，运用积分中值定理，在a, b内至少存在一点内至少存在一点，得梯形公式余项为得梯形公式余项为 baTdxbxaxffR)(2)()( 上页上页下页下页 再研讨公式辛普森公式的余项再研讨公式辛普森公式的余项R=I-S，为此构造，为此构造次数不超越次数不超越3的多项式的多项式Hx，使满足，使满足);()(),()(bfbHafaH 这里这里c=a+b/2. 由于辛

32、普森公式具有三次代数精由于辛普森公式具有三次代数精度度,它对于这样构造出的三次多项式是准确成立的，它对于这样构造出的三次多项式是准确成立的，即即).()(),()(cfcHcfcH ).()(4)(6)(bHcHaHabdxxHSba 而利用插值条件知，上式右端实践上等于按辛普森而利用插值条件知，上式右端实践上等于按辛普森公式求得的积分值公式求得的积分值S，因此积分余项为，因此积分余项为上页上页下页下页 .)()( baSdxxHxfSIR这里这里x-a x-c2x-b在区间在区间a,b上保号非上保号非正，运用积分中值定理，得辛普森公式余项为正，运用积分中值定理，得辛普森公式余项为 对于插值多

33、项式对于插值多项式Hx，设，设 fxC4a,b ，由插值余项表达式得，由插值余项表达式得).()(! 4)()()(2)4(bxcxaxfxHxf .)()(! 4)(2)4( baSdxbxcxaxfR 就有就有上页上页下页下页 关于柯特斯公式的积分余项，这里不再详细推关于柯特斯公式的积分余项，这里不再详细推导，仅给出结果如下导，仅给出结果如下.)()(! 4)(2)4( baSdxbxcxaxfR .,),()2(180)()4(4bafabab (6)62()( )()( ), , 9454CbabaRfICa bf 假设假设 fxC6a, b，那么柯特斯公式余项为，那么柯特斯公式余项为

34、上页上页下页下页 解解 ：由梯形公式得：由梯形公式得2210.6110.2470588210.611IT 由辛普森公式得由辛普森公式得2221 0.611140.244954661 0.61 0.81 1IS 例题例题 分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分式计算积分120.61d1Ixx 上页上页下页下页由柯特斯公式得由柯特斯公式得8 . 011127 . 011326 . 0117906 . 01222 CI22113270.244978710.911积分的准确值积分的准确值24497866. 0arctand116 . 0116 . 02 xx

35、xI上页上页下页下页4.3 复化求积公式复化求积公式 从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高越高. .另一方面，插值节点的增多另一方面，插值节点的增多n n的增大，在运的增大，在运用牛顿用牛顿- -柯特斯公式时将导致求积系数呈现负数当柯特斯公式时将导致求积系数呈现负数当n8n8时时, , 牛顿牛顿- -柯特斯求积系数会呈现负数，即牛柯特斯求积系数会呈现负数，即牛顿顿- -柯特斯公式是不稳定的，不能够经过提高阶的方柯特斯公式是不稳定的，不能够经过提高阶的方

36、法来提高求积精度法来提高求积精度. .上页上页下页下页 为了提高精度，通常在实践运用中往往采用将积为了提高精度，通常在实践运用中往往采用将积分区间划分成假设干个小区间，在各小区间上采用低分区间划分成假设干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式梯形公式或抛物形公式，然后再利次的求积公式梯形公式或抛物形公式，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的根本思想新的求积公式，这就是复化求积公式的根本思想. 为为表达方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求表达方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的

37、复化求积公式积公式的复化求积公式对各小区间也可分别采用不对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实同的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实践问题的详细情况讨论践问题的详细情况讨论.上页上页下页下页 将积分区间将积分区间a, bn等分等分, 步长步长nabh xk=a+kh k=0,1,n , 那么由定积分性质知那么由定积分性质知110( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx , 分点为分点为每个子区间上的积分每个子区间上的积分用低阶求积公式用低阶求积公式, 然后把一切区间的计算结果求和然后把一切区间的计算结果求和,就得到整个区间上积分就得到整个区间上

38、积分I的近似值。的近似值。1( )dkkxxf xx 所用方法所用方法:上页上页下页下页4.3.1 复化梯形公式复化梯形公式110( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx 每个子区间每个子区间xk, xk+1上的积分用梯形公式上的积分用梯形公式, 得得11( )d ()()2kkxkkxhf xxf xf x 111100( )d ()()2kknnxkkxkkhIf xxf xf x 将积分区间将积分区间a, b划分为划分为n等分等分, 那么那么上页上页下页下页 假设假设 fxC2a,b, 其求积余项其求积余项Rnf 为为p128321100()()1212nnnkkkkbahhI

39、Tffn 11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf b 11101 ()() ( ) 2()( )22nnkkkkkhhIf xf xf af xf b 称为复化梯形公式称为复化梯形公式. 记记 )( fRn.,),(12)(2nabhbafhabfRn 上页上页下页下页当当n时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数的积分，所以复化梯形公式收敛数的积分，所以复化梯形公式收敛. 此外，此外，Tn的求的求积系数均为正，由定理积系数均为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的知复化梯形公式是稳定的.)(lim banndxxfT 可以看出误差是可以看出误差

40、是h2阶，且由误差公式得到，当阶，且由误差公式得到，当fxC2a, b 时，那么有时，那么有即复化梯形公式是收敛的即复化梯形公式是收敛的. 现实上只需现实上只需fxCa, b, 那么可得到收敛些，由于只需把那么可得到收敛些，由于只需把Tn改写为改写为.)()(21110 nkknkknxfnabxfnabT上页上页下页下页4.3.2 复化辛普森公式复化辛普森公式22210( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx 每个子区间每个子区间x2k, x2k+2上的积分用辛普森公式上的积分用辛普森公式, 得得222221222( )d ()4 ()()6kkxkkkxhf xxf xf xf

41、x 将积分区间将积分区间a, b 划分为划分为2n等分等分, 那么那么122122012212202 ()4 ()()6 ()4 ()()3nkkkknkkkkhIf xf xf xhf xf xf x 上页上页下页下页称为复化辛普森公式称为复化辛普森公式. 记记1122110 ( )2()4()( )3nnnkkkkhSf af xf xf b 2bahn 1221220 ()4 ()()3nkkkkhIf xf xf x 假设假设 fxC 4a,b, 其求积余其求积余项为项为54(4)(4)42()()( )( )18022880nbahbaISffn 1122110 ( )2()4()(

42、 )3nnkkkkhf af xf xf b )( fRn上页上页下页下页 例例1 对于函数对于函数fx=sinx/x，给出，给出n=8的函数表，的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普森公式试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分计算积分 10.sindxxxIxfx01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709 解解 将积分区间将积分区间0,1划分为划分为8等分，用复化梯形公式求得等分，用复化梯形公式求得.9456909. 08 T而将积分区间而将

43、积分区间0, 1划分为划分为24等分，等分，用复化辛普森公式求得用复化辛普森公式求得.9460832. 04 S上页上页下页下页 比较上面两个计算结果比较上面两个计算结果T8与与S4，它们都需求提，它们都需求提供供9个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值准确值I=0.9460831比较，运用复化梯形公式计算的比较，运用复化梯形公式计算的结果结果T8=0.9456909只需只需2位有效数字，而运用复化辛位有效数字，而运用复化辛普森公式计算的结果普森公式计算的结果S4= 0.9460832却有却有6位有效数字位有效数字. 为了利用余项公式估计误差

44、，要求为了利用余项公式估计误差，要求fx=sinx/x的高阶导数，由于的高阶导数，由于.)cos(sin)(10 dtxtxxxf所以有所以有.2cos)cos()(1010)( dtkxttdtxtdxdxfkkkk 上页上页下页下页于是于是.112cos)(max10)(10 kdtkxttxfkkx 复化梯形公式误差为复化梯形公式误差为.000434. 03181121)(max12)(210288 xfhTIfRx复化辛普森公式误差为复化辛普森公式误差为.10271. 0514128801)(6444 SIfR上页上页下页下页 例例2 利用复化梯形公式计算利用复化梯形公式计算 使其误使

45、其误差限为差限为10-4，应将区间，应将区间0, 1几等分几等分?,sin10 dxxxI 解解 利用例利用例1 1的结果的结果222410111()10.12122136nR Thfhh 取取n=17可满足要求可满足要求.67.1610611,10622 hnh由复化梯形公式的余项得由复化梯形公式的余项得.11)(max)(10 kxfkx上页上页下页下页 例例3 利用复化辛普森公式计算利用复化辛普森公式计算 使其使其误差限为误差限为10-4，应将区间，应将区间0, 1几等分几等分?,sin10 dxxxI由复化辛普森公式的余项得由复化辛普森公式的余项得4(4)244410()1801111

46、0180.41900mR Sh fhh 13010,101021.83.30hnmnh 因此只需将区间因此只需将区间0, 1二等分，即取二等分，即取m=1n=2. 解解 利用例利用例1 1的结果的结果.11)(max)(10 kxfkx上页上页下页下页 前面用复化梯形公式计算此题，满足一样的精度前面用复化梯形公式计算此题，满足一样的精度需求将区间需求将区间0, 1划分划分17等分，可见复化辛普森公式的等分，可见复化辛普森公式的精度确实比复化梯形公式精度高同样也可用精度确实比复化梯形公式精度高同样也可用| S4m-S2m |来控制计算的精度来控制计算的精度. 这就是下面要引见的龙贝格求积这就是下

47、面要引见的龙贝格求积公式公式.上页上页下页下页4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.4.1 梯形法的递推化梯形法的递推化 上节引见的复化求积方法可提高求积精度，实践上节引见的复化求积方法可提高求积精度，实践计算时假设精度不够可将步长逐次分半计算时假设精度不够可将步长逐次分半. 设将区间设将区间 a, b分为分为n等分，共有等分，共有n+1个分点，假设将求积区间个分点，假设将求积区间再分一次，那么分点增至再分一次，那么分点增至2n+1个，我们将二分前后个，我们将二分前后两个积分值联络起来加以思索两个积分值联络起来加以思索. 并留意到每个子区并留意到每个子区间间xk, xk+1经过二分只添加了一

48、个分点经过二分只添加了一个分点)(/12121kkkxxx上页上页下页下页 设设hn=b-a/n, xk=a+khn k=0,1,n,在在xk, xk+1上用梯形公式得上用梯形公式得 )()(211 kknxfxfhT在在xk, xk+1上用复化梯形公式得上用复化梯形公式得)2/ )()()(2)(22/12/112/12 kkkkkknxxxxfxfxfhT所以所以)(2212/112 knxfhTT上页上页下页下页从从0到到n-1对对k累加求和得累加求和得 )(2212/112 knxfhTT121/201()22nnnnkkhTTf x 这就是递推的复化梯形公式这就是递推的复化梯形公式.

49、 从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值梯形公式的值Tn作为一个整体保管作为一个整体保管. 只需计算出新只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需反分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需反复计算原节点的函数值，从而减少了计算量复计算原节点的函数值，从而减少了计算量. 参见书参见书p132-例例2题题. 上页上页下页下页4.4.2 龙贝格算法龙贝格算法 梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度以节省计算量是本节要讨论的中心问题以节省计算量是本节要讨论的中心问题. 根据复化根据复化梯形公式

50、的余项式表达式可知梯形公式的余项式表达式可知)()2(12)(1222122 fhabfhabTITInn 设设f x在在a, b上变化不太大上变化不太大f 1 f 2, 那么得那么得 , 42 nnTITI221()3nnnITTT 上页上页下页下页 由此可见，只需二分前后的两个积分值由此可见，只需二分前后的两个积分值Tn与与T2n相当接近，就可以保证计算结果相当接近，就可以保证计算结果T2n的误差很小的误差很小. 这这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法，上面就是复化梯形法的事后误差估的事后估计法，上面就是复化梯形法的事后误差

51、估计式计式. 由由 可知积分近似值可知积分近似值T2n的误差的误差大致等于大致等于 ，因此假设用这个误差值作为，因此假设用这个误差值作为T2n的一种补偿，可以期望，所得到的的一种补偿，可以期望，所得到的)(3122nnnTTTI )(312nnTT .3134)(31222nnnnnTTTTTT 能够有更好的结果能够有更好的结果.上页上页下页下页 由书例由书例2，所求得的两个梯形值，所求得的两个梯形值T4=0.9445和和T8=0.9456909的精度都很差与准确值的精度都很差与准确值I=0.9460831比较，只需两、三位有效数字，但假设将它们按比较，只需两、三位有效数字，但假设将它们按上式

52、做线性组合，那么新的近似值上式做线性组合，那么新的近似值.9460833. 031342 nnTTT却有却有6位有效数字位有效数字.24133nnnSTT 可以直接验证可以直接验证就是复化辛普森积分公式就是复化辛普森积分公式. Sn的精度为的精度为Oh4.上页上页下页下页 这就是说，用复化梯形法二分前后的两个积分这就是说，用复化梯形法二分前后的两个积分值值Tn与与T2n ，按上式做线性组合，结果得到了复化，按上式做线性组合，结果得到了复化辛普森积分公式辛普森积分公式.那么那么 同理由辛普森法，用二分前后的两个积分值同理由辛普森法，用二分前后的两个积分值Sn与与S2n，由误差公式即有，由误差公式

53、即有162nnSISInnnnnSSSSSI1511516151222)( 不难直接验证就是复化柯特斯积分公式不难直接验证就是复化柯特斯积分公式. Cn的的精度为精度为Oh6.15115162nnnSSC 上页上页下页下页那么那么 同理由柯特斯法，用二分前后的两个积分值同理由柯特斯法，用二分前后的两个积分值Cn与与C2n，由误差公式即有，由误差公式即有642 nnCICInnnnnCCCCCI6316364)(631222 nnnCCR63163642 这就是复化龙贝格积分公式这就是复化龙贝格积分公式. Rn的精度为的精度为Oh8.上页上页下页下页 普通我们将这种龙贝格算法做成表格普通我们将这

54、种龙贝格算法做成表格 我们在变步长的过程中运用了三个公式，就能我们在变步长的过程中运用了三个公式，就能将粗糙的梯形值将粗糙的梯形值Tn 逐渐加工成精度较高的辛普森值逐渐加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值、柯特斯值Cn和龙贝格值和龙贝格值Rn.T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2 见书见书p例题例题3. 上页上页下页下页例例4 利用龙贝格方法计算利用龙贝格方法计算i2iT序列序列 S序列序列 C序列序列 R序列序列013.00000123.100003.13333243.131183.141573.14212383.138993.141593.141593.141594

55、163.140943.141593.141593.14159这一结果与这一结果与I=相比较已有较好的精度相比较已有较好的精度.解解 计算结果列如下表计算结果列如下表:.14102dxxI 上页上页下页下页4.4.3 理查森外推加速法理查森外推加速法.,),(12)(2nabhbafhabTIfRnn 上面讨论阐明由梯形公式动身，将区间上面讨论阐明由梯形公式动身，将区间a, b逐逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其实际根据是梯形公式的余项展开，设继续下去，其实际根据是梯形公式的余项展开，设假设记假设记Tn=Th，当区间，当区间a,

56、 b划分为划分为2n等分时，等分时，那么有那么有).2(2hTTn 并且有并且有.)0()(lim),(12)(02IThTfhabIhTh 可以证明梯形公式余项可展开成级数方式，即可以证明梯形公式余项可展开成级数方式，即上页上页下页下页 定理定理4 设设fxCa, b，那么有，那么有式中式中I为积分值，系数为积分值，系数k与与h 无关无关.误差量级为误差量级为Oh2.,)(2634221 llhhhhIhT 此定理可利用此定理可利用fx的泰勒展开推导得到，证的泰勒展开推导得到，证略略. 定理定理4阐明阐明ThI是是Oh2阶，假设阶，假设h/2用用替代替代h, 有有,2164224221 ll

57、hhhIhT 用用4乘此式，减去上式再除乘此式，减去上式再除3记为记为T1h，那么得，那么得)(31)2(34)(1hThThT 上页上页下页下页改记为改记为4681123( )T hIhhh 这里系数这里系数k与与h无关，这样构造的无关，这样构造的T1h与积分与积分值值I近似的阶为近似的阶为Oh4.比较比较T1h与与Sn可知可知, 这样构造的序列这样构造的序列T1h,T1h/2,.就是辛普森公式序列就是辛普森公式序列Sn, S2n,.根据根据4681123( )( )( )( )2222hhhhTI)(151)2(1516)(112hThThT 令令那么又可进一步从余项展开式中消去那么又可进

58、一步从余项展开式中消去h4项项, 从而从而有有上页上页下页下页68102123( )T hIhhh 这样构造出的这样构造出的T2h，其实就是柯特斯公式序列，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值它与积分值I的逼近阶为的逼近阶为Oh6. 如此推下去，每如此推下去，每加速一次，误差的量级便提高加速一次，误差的量级便提高2阶，速度较快，普通阶，速度较快，普通地，假设记地，假设记T0h=Th，那么有，那么有)(151)2(1516)(112hThThT )(31)2(34)(001hThThT 误差量级为误差量级为Oh6误差量级为误差量级为Oh4上页上页下页下页如此继续下去，可得如此继续下去，可得1141

59、( )( )( )41241mmmmmmhT hTTh 用用mh作为作为I 的近似值的近似值, 误差量级为误差量级为Oh2m+1.2(1)2(2)12( )mmmThIhh 经过经过mm=1,2,次加速后，余项便取以下方式次加速后，余项便取以下方式用：用： 这种处置方法通常称为理查森这种处置方法通常称为理查森Richardson外外推加速方法推加速方法.上页上页下页下页即即( )(1)( )1141(1,2,)4141mkkkmmmmmTTTm 又称为逐次分半外推加速求积法，简称外推加速法又称为逐次分半外推加速求积法，简称外推加速法. 也称为龙贝格求积算法也称为龙贝格求积算法. 以以0k表示二

60、分表示二分k次后求得的梯形值次后求得的梯形值, 以以mk表示序列表示序列0k的的m次加速值，次加速值，上页上页下页下页 龙贝格求积算法的计算过程如下：龙贝格求积算法的计算过程如下： 1 取取k=0,h=b-a，求，求).()(2)0(0bfafhT 令令1kk记区间记区间 a, b的二分次数的二分次数. (2) 求值求值 ，按梯形递推公式计算，按梯形递推公式计算0(k) . kabT20 3 求计算值，按加速公式逐个求出数表的求计算值，按加速公式逐个求出数表的第第k行其他各元素行其他各元素jk-j j=1,2,k. 4 假设假设|k0 -k-10|预先给定预先给定的精度，那么终止计算，并取的精