第6节高阶线性微分方程(新)

1、1高阶线性微分方程7.6 一、二阶线性齐次方程解的结构二、二阶线性非齐次方程解的结构2 二阶线性微分方程的标准形式二阶线性微分方程的标准形式)()()(xfyxQdxdyxPdxyd22时，当0)(xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n 阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 一、二阶线性齐次方程解的结构一、二阶线性齐次方程解的结构( )0f x 当时，3 二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构12.CC其中，、也是方为任程的解，意常数12( )( )y xyx若函数，是二阶线性

2、齐次方程定定理理1 1( )( )0yP x yQ x y的两个解，则1122( )( )yC y xC yx412( ),( ),( )ny xyxyIxn设是定义在区间 上的 个函数.1122( )( )( )0nnk y xk yxk yx则称这 n 个函数在区间 I 上线性相关线性相关 ， 否则称为线性无关线性无关. 函数组的线性相关性函数组的线性相关性12,0,nk kkxI若存在不全为 的常数使得当时，有5如如 ，xx22sin,cos,1在 ( , ) 上都有0sincos122xx故，在任何区间 I 上都线性相关线性相关 ;又如又如 ,12xx若在某区间 I 上21230.kk

3、 xk x根据二次多项式至多只有两个零点可知：2.1, ,x xI故，在任何间 上都线性无关区123,0.k kk 必需全为612( )( )y xyx函数和线性相关12112200.kkk yk yxI 不全为 的和使，1221( ).( )y xkxIyxk ，10k (无妨设)1122( )( )( )( ).y xy xyxyx函数和线性无关常数1212( )( )( )( )0y xyxy xyx若中有一个恒为 ，则 必线相关.和和性注注释释： I 区间 上两个函数线性相关性的判别方法7121122( )( )( )( )0( )( ).y xyxyP x yQ x yyC y xC

4、 yx若和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，的则是通解定定理理2 20yy如，方程有特解12cossinyxyx，21tanyxy且常数12cossinyCxCx则该方程的通解为：812( )(1)11122( ),( ),( )( )( )0( )( )( )nnnnnny xyxyxyP x yP x yyC y xxnC yxnC y设是 阶线性非齐次方程的 个线性无关的特解，则是该方程的通解.推推论论92221214(42)0(0)0(0)2.xxyxyxyyeyxeyy例已知有两个特解，求该方程满足，的特解:解解2212xxyeyxe，是两个线性无关的解 方程的通解2212

5、xxyC eC xe(0)0(0)2yy又，22xyxe得特解：10)()(xQyxPy其通解为yxdxPe)(CxdexQxdxP)()(xdxPe)(xdexQxdxP)()(xdxPeC)(Y线性齐次方程通解y线性非齐次方程特解二、二阶线性非齐次方程解的结构二、二阶线性非齐次方程解的结构回顾：一阶线性非齐次方程解的结构11*( )( )( )( ).( )yxyP x yQ x yf xY x设是二阶线性非齐次方程的一个特解，是相应的线性齐次方程的通解定定理理3 3( ).*( )yY xyx则是线性非齐次方程的通解*yyxyx如，方程有特解，xCxCYsincos210yy对应的线性齐

6、次方程有通解12cossinyCxCxx故，该方程的通解为：1212( )(1)1( ),( ),( )( )( )0nnnny xyxyxyP x yP x yn设是对应线性齐次方程 的 个线性无关的特解，则线性非齐次方程的通解为：)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn( )(1)1( )( )( )*( ).nnnyP x yPyf xnxyx的一个特给定 阶线性非方程解齐次定定理理 4 4)(xY)(* xy13*( )kyx设分别是二阶线性微分方程定定理理5 5( )( )( )(1,2, )kyP x yQ x yfxkn*1nkkyy的特解，则是二阶线性微分方程的特

7、解.)()()(1xfyxQyxPynkk 14212211( )( )( )(1)1)(2( )( )( )( )( )( )( )( )0yyxyxyP x yQ x yxf xyP x yQyxyyxyxx设是二阶线性非齐次方程的两个特解，则是相应的线性齐次方程的特解.是的特解，其中，0和其1.推推论论15.3)0(1)0(,)()()(22321的特解，求此方程满足初始条件的有三个解，若方程例 yyeyeyxyxfyxQyxPyxx解解:程的两个特解是该方程对应的齐次方与1312yyyy常数xexeyyyyxx21312.1312线性无关与故，yyyy.)()(221xxeCxeCyxx原方程通解为：2, 121CC代入初始条件得：xeyx22特解为：16123123,( )( )( ),y yyyP x yQ x yf xC C例设线性无关的函数都是二阶线性非齐次方程的解，为任意的常数，则该方程的通解是( )112231122123(1);(2)();C yC yyC yC yCCy1122123(3)(1);C yC yCCy1122123(4)(1);C yC yCCy(4)正确提示提示:3231,yyyy都是对应齐次