半导体物理学-chap3

1、第3章 半导体中载流子的统计分布半导体 物理 Semiconductor physics 3.1状态密度 Density of StatesDensity of Statesv假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g（E）为：v计算步骤计算单位k空间中的量子态数；计算单位能量范围所对应的k空间体积；计算单位能量范围内的量子态数；求得状态密度。dEdZEg)(Density of StatesDensity of States3.1.1 k空间中量子态的分布v对于边长为L的立方晶体Density of StatesDensity of States2(0,

2、 1, 2,)2(0, 1, 2,)2(0, 1, 2,)xxxyyyzzznknLnknLnknL 每个允许的能量状态在每个允许的能量状态在k空间中与由整数组（空间中与由整数组（nx，ny，nz）决）决定的一个代表点（定的一个代表点（ kx，ky，kZ ）相对应）相对应在在k空间中，电子的允许空间中，电子的允许量子态密度是量子态密度是Density of StatesDensity of Statesk空间状态分布328V任一代表点的坐标沿三条坐标轴方向均为任一代表点的坐标沿三条坐标轴方向均为 的整数倍。的整数倍。每一个代表点与体积为每一个代表点与体积为 的立方体相联系。的立方体相联系。K空

3、间中代表点密度为空间中代表点密度为38V38V2L3.1.2 状态密度v导带底E(k)与k的关系v能量E(E+dE)间的量子态数v可得22*( )2cnkE kEm23248VdZk dk11*222(2)(),ncnmEEm dEkkdkDensity of StatesDensity of States球形等能面情况， 假设导带底在k=0处v代入可得v导带底附近状态密度3*21223(2)()2ncmVdZEEdE3*21223(2)( )()2nccmdZVgEEEdEDensity of StatesDensity of StatesDensity of StatesDensity o

4、f Statesv对于实际半导体材料（旋转椭球等能面）v设导带底的状态有s个，根据同样方法可求得2222312( )()2ctlkkkE kEmm3*21223(2)( )()2nccmVgEEEDensity of StatesDensity of Statesv其中vmdn称为导带底电子状态密度有效质量。对于Si，导带底有六个对称状态，s=6mdn=1.08m0对于Ge，s=4mdn=0.56m031223*)(tldnnmmsmmDensity of StatesDensity of States导带底电子状态密度有效质量v同理可得价带顶附近的情况价带顶附近E(k)与k关系价带顶附近状态

5、密度2222*()( )2xyzvpkkkE kEm3*21223(2)( )()2pvvmVgEEEhDensity of StatesDensity of Statesv其中对于Si，mdp=0.59m0对于Ge，mdp=0.37m0232323*)()(hplpdppmmmm空穴状态密度有效质量Density of StatesDensity of States 状态密度g gC C（E E）和g gV V（E E）与能量E有抛物线关系，还与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态密度大。 3.2费米能级和载流子的统计分布 Fermi-Level and Distribution of C

6、arriers 3.2.1费米（Fermi）分布函数v服从泡利不相容原理的电子遵循费米-狄拉克（Fermi-Dirac）统计规律vK0玻尔兹曼常数，T绝对温度，EF费米能级)exp(11)(0TkEEEfFFermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质含量以及能费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质含量以及能量零点的选取有关量零点的选取有关系统粒子数守恒：fn（E）=N EF是决定电子在各能级上的统计分布的一个基本物理参量。Fermi-

7、Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriersv费米能级的物理意义：化学势当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起的系统的自由能的变化。TFNFE)(Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriersu费米能级费米能级EF的意义的意义T=0: fF(E)=1,当当EEF时时 fF(E)=0,当当E0: 1/2 fF(E)1,当当EEF时时 fF(E)=1/

8、2,当当E=EF时时 0 fF(E)EF时时EFFermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers例：例：005,( )0.0075,( )0.993FFEEk T f EEEk T f E EF的意义: EF的位置比较直观地反映了电子占据电子态的情况。即标志了电子填充能级的水平。 EF越高，说明有较多的能量较高的电子态上有电子占据。Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carri

9、ers3.2.2玻耳兹曼（Boltzmann）分布函数Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers )(TkEEeEfeEfEfFTkEEpBTkEEnFpFFF000111空穴的空穴的费米分布费米分布函数函数空穴的空穴的波尔兹曼分布波尔兹曼分布函数函数Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers 服从Boltzmann分布的电子系统 非简并系统非简并系统 相应的半

10、导体 非简并半导体非简并半导体 服从Fermi分布的电子系统 简并系统简并系统 相应的半导体 简并半导体简并半导体Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers本征载流子的本征载流子的产生产生与与复合复合：Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers3.2.3导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度Fermi-Level and Distribution of Carrie

11、rsFermi-Level and Distribution of Carriers 在一定温度在一定温度T下，产生过程与复合过程下，产生过程与复合过程之间处于动态的平衡，这种状态就叫之间处于动态的平衡，这种状态就叫热平热平衡状态衡状态。 处于处于热平衡状态热平衡状态的载流子的载流子n0和和p0称为称为热平衡载流子热平衡载流子。它们保持着一定的数值。它们保持着一定的数值。电子电子空穴空穴Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of CarriersdEEgEfdNcB)()(3*212230(2)

12、exp()()2nFcmEEVdNEEdEk TVdNdn Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers波尔兹曼分布函数TkBFeEf0EE)(3*21223(2)( )()2nccmdZVgEEEdE单位体积的电子数n0和空穴数p0： 211100VdEEgEfpVdEEgEfnVVCCEEvpBEEcB是价带底的能量是导带顶的能量1V1CEEFermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution

13、 of CarriersFermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers Egc103*E E21223212FccEnk TEmEEcedE VdEEgEfn1CCEEcB0Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers03*EE2132200230212CFnk Txmnk Tex e dx则 0EfEEBC1C处远离由于1CE有Fermi-Level and Dis

14、tribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers0cEExk T令利用2dxexx021Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers3*020202() exp()2ncFm k TEEnk T*3020202() exp()2pVFm k TEEpk T同理 4eNp3eNnTkEEv0TkEEc00vF0Fc则价带顶有效状态密度导带底有效状态密度令3230*pv3230*nchTkm22NhTkm22N

15、Fermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers3.2.4 载流子浓度乘积n0p0v热平衡状态下，对于一定的半导体材料，浓度积只由温度决定，而与所含杂质无关。000033*30220exp()exp()24() ()exp()gcvcvcvgnpEEEn pN NN Nk Tk TEkm mThk TFermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers （1）当材料一定时，）当

16、材料一定时，n0、p0随随EF和和T而而变化；变化； （2）当温度）当温度T一定一定时，时， n0p0仅仅仅仅与本征材料相关。与本征材料相关。TkEEv0TkEEc00vF0FceNpeNnTkEgvc000eNNpnFermi-Level and Distribution of CarriersFermi-Level and Distribution of Carriers3.3 本征半导体的载流子浓度 Carriers Density of Intrinsic Semiconductors本征半导体：本征半导体：满足满足 n0=p0=ni 的半导体就是的半导体就是本征半导体。本征半导体。

17、ni= ni（T） 在室温（在室温（T=300K）下：）下： ni （Ge） 2.41013cm-3 ni （Si） 1.51010cm-3 ni （GaAs） 1.6106cm-3 在热平衡态下，半导体是电中性的： n0=p0 （1） 3eNp2eNnTkEEv0TkEEc00vF0Fc而 TkEEvTkEEc0vF0FceNeN1式此二式代入Carriers Density of Intrinsic SemiconductorsCarriers Density of Intrinsic Semiconductors即得到即得到： 之积只与本征材料相关与式说明非简并半导体的00pn6 4NN

18、ln2TkENNln2TkEE21Ecv0icv0vcF 就得到本征载流子浓度或式又代回324 6npn2i00且2(5)goEk TioocvnnpN N eCarriers Density of Intrinsic SemiconductorsCarriers Density of Intrinsic Semiconductors 一般温度下，Si、Ge、GaAs等本征半导体的EF近似在禁带中央Ei，只有温度较高时，EF才会偏离Ei。 但对于某些窄禁带半导体则不然，如InSb： Eg=0.18eV EiCarriers Density of Intrinsic Semiconductors

19、Carriers Density of Intrinsic Semiconductors由（5）式可以见到：1、温度一定时，Eg大的材料，ni小； 2、对同种材料， ni随温度T按指数关系上升。 Tk2Evc00i0geNNpnnCarriers Density of Intrinsic SemiconductorsCarriers Density of Intrinsic Semiconductors本征载流子浓度和样品温度的关系本征载流子浓度和样品温度的关系Carriers Density of Intrinsic SemiconductorsCarriers Density of Int

20、rinsic Semiconductors3.4 杂质半导体的载流子浓度Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors化规律随杂质浓度和温度的变性条件电中根据FiTkEEvTkEEcEpnnpneNpeNnvFFc002000000重点：3.4.1杂质能级上的电子和空穴杂质能级 最多只能容纳某个自旋方向 的电子。 简并度分别是施主和受主基态和EgEgAD 1eEg111EfETkEEDDD0FD的几率电子占据施主能级 2e

21、Eg111EfETkEEAAA0AF的几率空穴占据受主能级Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors对于Ge、Si和GaAs： gA=4 gD=2简并度：Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsND：施主浓度NA：受主浓度（1）杂质能级上未离

22、化的 载流子浓度nD和pA ： 4EfNp3EfNnAAADDD受主能级上的空穴浓度施主能级上的电子浓度Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors（2）电离杂质的浓度 1516DDDDDAAAAAnNnNfEpNpNfE 电离施主的浓度电离受主的浓度Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impur

23、ity-Doped Semiconductors01expDDFDNEEgk T01expAFAANEEgk T3.4.2 n型半导体的载流子浓度 假设只含一种n型杂质。在热平衡条件下，半导体是电中性的： n0=p0+nD+ （电中性条件） 电子浓度电子浓度空穴浓度空穴浓度电离施主浓度电离施主浓度 Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors当温度从高到低变化时，对不同温度还可将此式进一步简化当温度从高到低变化时，对不同

24、温度还可将此式进一步简化 8e21NeNeN75TkEEDTkEEvTkEEc0FD0vF0Fc即式中性条件式一起代入上页的电中将上面二式和TkEEv0TkEEc00vF0FceNpeNn而Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors(2)Dgn型型Si中电子浓度中电子浓度n与温度与温度T的关系：的关系：杂质离化区杂质离化区过渡区过渡区本征激发区本征激发区Carriers Concentration of Impurit

25、y-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors即： 本征激发区过渡区强电离区中间电离区低温弱电离区杂质离化区Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors1、杂质离化区、杂质离化区特征：本征激发可以忽略， p0 0 导带电子主要由电离杂质提供。强电离区中间电离区低温弱电离区杂质离化区电中性条件 n0=p0+nD+ 可

26、近似为 n0=nD+ （9） Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors见下图所示：见下图所示： Ec ED ED Ev 10e21NeNTkEEDTkEEc0FD0FcCarriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors（1）低温弱电离区：）低温弱电离

27、区：特征：特征： nD+ p0，这时的过渡区接近于强电离区。多数载流子（多子多子） n0 少数载流子（少子少子） p0Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors征激发区显然这时过渡区接近本 时当iDnN2iiDD00iiD2i2DiD0nn2NNnpnn2Nn4N1n2Nn也可得到Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concen

28、tration of Impurity-Doped Semiconductors3、高温本征激发区、高温本征激发区（1）杂质全电离 nD+=ND （2）本征激发的载流子浓度剧增n0 ND 电中性条件：电中性条件： n0=ND+p0 p0 特征特征Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors 320000TkEEvTkEEcvFFceNpeNn而 TkEEvTkEEc0vF0FceNeN1式此二式代入 4NNln2TkEN

29、Nln2TkEE21Ecv0icv0vcFCarriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors杂质离化区杂质离化区 过渡区过渡区 本征激发区本征激发区 n0=nD+ n0=ND+p0 n0=p0= ni Carriers Concentration of Impurity-Doped SemiconductorsCarriers Concentration of Impurity-Doped Semiconductors4.p

30、p型半导体的载流子浓度型半导体的载流子浓度低温弱电离区：低温弱电离区： TkENNpNNTkEEE0A21vA0vA0AvF2exp22ln22强电离（饱和区）：强电离（饱和区）： v0vFAlnNNTkEEA0Np TkENNDv0AAexp2AANDp过渡区：过渡区： 1212A2iA2i0212A2iA0iA10iF411241122NnNnnNnNpnNTshkEE高温本征激发区；（同前）高温本征激发区；（同前）讨论：u 杂质半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定。杂质半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定。(与本征区别与本征区别)u 对于对于杂质浓度一定的半导

31、体，随着温度的升高，载流子则是从以的半导体，随着温度的升高，载流子则是从以杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程，杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程，EF从从杂质能级附近杂质能级附近禁带中线处。禁带中线处。u 温度一定时，费米能级的位置由杂质的种类和浓度决定，费米能时，费米能级的位置由杂质的种类和浓度决定，费米能级的位置反映级的位置反映导电类型和和掺杂水平。(图图3-13)不同掺杂情况下的费米能级电子填充水平最低，电子填充水平最低，EF最低最低过渡区过渡区 导带电子来源于全部杂质电离和部分本征激发强电离（饱和）强电离（饱和）导带电子浓度等于施主浓度高温本征激发区高温

32、本征激发区n0NDp0ND同上中间电离中间电离导带电子从施主电离产生 p0=0 n0=弱电离弱电离导带电子从施主电离产生费米能级费米能级载流子浓度载流子浓度电中性电中性特征特征Dn TkENNn0D21cD02exp2cD0DcF2ln22NNTkEEE2cFk0limDtEEE)(31,32DFD0DDEENnNnDFDcFDc22EEEEENN极限以下下降到DDNn D0Nn DFcD0cFlnEENNTkEE0D0pNnD2iD0NnNniD10iF2nNTshkEE00pn iFEE TkENNngVCi0212exp72v少数载流子：n型半导体中的空穴，p型半导体中的电子 少数载流子

33、浓度(强电离区为例)知少数载流子浓度随温度迅速变化；知少数载流子浓度随温度迅速变化；73v少数载流子与温度的关系743.5 一般情况下载流子统计分布v一般情况的电中性条件 同时含一种施主杂质和一种受主杂质 同时含若干种施主杂志和若干种受主杂质75同样可以按如下温区进行讨论，同样可以按如下温区进行讨论， 低温弱电离区（部分电离区）；低温弱电离区（部分电离区）； 强电离区（非本征区）；强电离区（非本征区）； 过渡区；过渡区； 高温本征区；高温本征区；下面讨论下面讨论NDNA的半导体情况。的半导体情况。76vNDNA情况（含少量受主杂质的n型半导体）1exp200TkEENNnDFDA杂质弱电离情况

34、下杂质弱电离情况下： NDNA，则受主完全电离，则受主完全电离，pA=0 由于本征激发可以忽略由于本征激发可以忽略( (p0=0) )，则，则电中性条件电中性条件为为DDDADDAnnNNnNnNn00则有则有2)(4)(22120ADcAcAcNNNNNNNn施主杂质未完全电离情况下载流子浓度的普遍公式)exp(210TkENNDCc77讨论讨论: : 极低温区电离情况，极低温区电离情况，假定假定NDNA在极低的温度下，电离施主提供的电子，除了填满在极低的温度下，电离施主提供的电子，除了填满NA个受个受主以外，激发到导带的电子只是极少数，即主以外，激发到导带的电子只是极少数，即n0NA，于是

35、，于是有：有：TkEENNNNnDCAADC00exp2 将其代入电子浓度公式中，得出费米能级将其代入电子浓度公式中，得出费米能级EF为为AADDFNNNTkEE2ln0在这种情况下，当温度趋向于在这种情况下，当温度趋向于0K时，时，EF与与ED重合。在极低重合。在极低的温度范围内，随着温度的升高，费米能级线性地上升的温度范围内，随着温度的升高，费米能级线性地上升. .78TkEENNnDCDC02102exp2这种情况与只含一种施主杂质这种情况与只含一种施主杂质ND时一致，这种条件下，时一致，这种条件下，施主主要是向导带提供电子，少量受主的作用可以忽施主主要是向导带提供电子，少量受主的作用可

36、以忽略，此时费米能级也在施主能级略，此时费米能级也在施主能级ED之上变化。之上变化。当温度继续上升当温度继续上升, ,进入进入NANcND的温度范围内的温度范围内(3-85)(3-85)式简化为式简化为此时的费米能级的为此时的费米能级的为: :cDDCFNNTkEEE2ln221079杂质饱和电离情况杂质饱和电离情况: : 当温度升高使施主全部电离，所提供的当温度升高使施主全部电离，所提供的ND个电子，除了个电子，除了填满填满NA个受主外个受主外, ,其余全部激发到导带，半导体进入饱和电离其余全部激发到导带，半导体进入饱和电离区（强电离区），本征激发可忽略。电中性条件区（强电离区），本征激发可

37、忽略。电中性条件: : ADNNn0费米能级在费米能级在ED之下之下CADCFNNNTkEEln0由由n0p0=ni2得出空穴浓度得出空穴浓度ADiNNnp20 在杂质饱和电离区，有补偿的在杂质饱和电离区，有补偿的N型半导体的载流子浓度和型半导体的载流子浓度和费米能级公式，同只含一种施主杂质的费米能级公式，同只含一种施主杂质的N N型半导体对应的公型半导体对应的公式具有相同的形式式具有相同的形式, ,但用有效施主浓度但用有效施主浓度ND-NA代替了代替了ND80过渡区（杂质饱和电离过渡区（杂质饱和电离本征激发）本征激发）当温度继续升高，是本征激发也成为载流子的重要来源时，当温度继续升高，是本征

38、激发也成为载流子的重要来源时，半导体进入了过渡区，电中性条件为半导体进入了过渡区，电中性条件为：将上式与将上式与 联立，得到电子和空穴浓度为：联立，得到电子和空穴浓度为： DANpNn00200inpn24)(22/1220iADADnNNNNn24)(22/1220iADADnNNNNp该形式与一种杂质半该形式与一种杂质半导体的过渡区载流子导体的过渡区载流子浓度公式相似，只不浓度公式相似，只不过把过把ND换为有效杂质换为有效杂质浓度浓度ND-NA而已。而已。 81此时的费米能级为：此时的费米能级为：E EF F在施主能级在施主能级EDED之下，随着温度升高不断向之下，随着温度升高不断向E E

39、i i靠近。靠近。24)()(ln2/1220iiADADiFnnNNNNTkEE高温本征激发区高温本征激发区（本征区）：（本征区）：当温度很高时，本征激发成为产生载流子的主要来源，半导体进入当温度很高时，本征激发成为产生载流子的主要来源，半导体进入本征区，此时费米能级本征区，此时费米能级EF=Ei。载流子浓度为：。载流子浓度为：inpn0082小结：求解热平衡半导体载流子浓度的思路：一、对只含一种杂质的半导体：一、对只含一种杂质的半导体： 首先判断半导体所处的温度区域（四个）； 杂质弱电离区、饱和电离区、过渡区、本征区 写出电中性条件； 利用该温度区域的载流子浓度计算公式求解。二、含多种（不

40、同）杂质的半导体：二、含多种（不同）杂质的半导体： 首先判断材料的导电类型及有效杂质浓度； 判断半导体所处的温度区域（四个）； 杂质弱电离区、饱和电离区、过渡区、本征区 写出电中性条件； 利用该温度区域的载流子浓度计算公式求解。831.1.简并半导体简并半导体费米能级进入导带（或价带）的情况（重掺杂条件下）玻尔兹曼分布TkEE0FTkEENpTkEENn0Fvv00Fcc0expexp)0( ,lnAcD0cFNNNTkEE0,lnAAD0FNNNNTkEEcc一般情况下：一般情况下：NDNc或者或者(NDNA)Nc,EF在在Ec下下在在NDNc时：时：EF与与Ec重合或在之上，进入导带重合或

41、在之上，进入导带N型半导体处型半导体处于饱和区于饱和区84说明n型掺杂水平高，导带底附近的量子态基本上已被电子占据导带中电子数目很多，导带中电子数目很多，f f( (E E)1)1不满足不满足玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布不成立不成立考虑泡利不相容原理的作用不能用玻耳兹曼分布，必须用费米分布载流子的简并化同理可以讨论价带同理可以讨论价带852.简并半导体载流子浓度 求解简并半导体的载流子浓度的思路和前面非简并半求解简并半导体的载流子浓度的思路和前面非简并半导体中载流子浓度的求解一样。导体中载流子浓度的求解一样。导带电子浓度导带电子浓度 dEEfENnCCEEC0dETkEEEEmCnEFC1exp220213223*引入无量纲的变数引入无量纲的变数kTEExC和和简约费米能级简约费米能级TkEECF0再利用再利用N Nc c的表达式，导带电子浓度为的表达式，导带电子浓度为02101exp2x