第二章行列式克拉默法则

1、克拉默法则克拉默法则un 阶行列式的定义、性质及计算方法 u克拉默（Cramer）法则第二章第二章 行列式行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组11112212112222,.a xa xba xa xb 1 2一、二阶行列式第一节第一节 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式其系数矩阵是一个二阶方阵。11122122aaAaa 211:a :212a ,2212221212211abxaaxaa ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x用消元法求解线性方程组用消元法求解线性方程组;212221121122211baabxaaaa ）（，得，

2、得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（上式中上式中 的系数的系数 称为由二阶方称为由二阶方阵阵12xx和和11221221a aa a A 所确定的二阶行列式所确定的二阶行列式.时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. .记为记为: :11122122aaDaa 矩阵矩阵 还记作还记作 , ,即即AdetAA或或1112112212212122det.aaAAa aa

3、aaa 11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式2112aa .,22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22

4、221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 1212241,32.xxxx 解解2413D 64 2 0, 11423D 5, 22112D 3 , DDx11 55,22 DDx22 3.2 求解二元线性方程组二、三阶行列式333231232221131211339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,3122133

5、32112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa上式称为数表所确定的.定义定义 1三阶行列式的计算三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以

6、正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式;322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行、每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正、三项其中三项为正、三项为为负负. .123D312231 计计算算三三阶阶行行列列式式按对角线法则，有按对角线法则，有 D1 1 12 2 23 3 3 1 2 32 3 13 1 2 1827666

7、18. . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211a

8、abaabaabD 若记若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxa

9、xa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112aba

10、abaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 例例4 4 解线性方程组解线性方程组123123123241,532,1.xxxxxxxxx 由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式241153111D 251 43 1 1 11 151 312 141 8 , 0 同理可得同理可得1141253111D 11, 2211152111D 9, 3241152111D

11、6, 故方程组的解为故方程组的解为: 3121231193,.884TTTDDDxxxDDD 引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有6123 一、概念的引入一、概念的引入第二节第二节 排列排列同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排

12、列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4

13、逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排

14、列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列45321的逆序数的逆序数.解解在排列在排列45321中中,4排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;5是最大数，故逆序数为是最大数，故逆序数为0;4 5 3 2 10234于是排列于是排列45321的逆序数为的逆序数为0

15、0234t 9. 3的前面比的前面比3大的数有两个大的数有两个:4 , 5 ,故逆序数为故逆序数为2;2的前面比的前面比2大的数有三个大的数有三个:4 , 5 , 3,故逆序数为故逆序数为3;1的前面比的前面比1大的数有大的数有4个个:4,5,3,2,故逆序数为故逆序数为4.0例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性. 2179863541解解453689712544310010 t18 此排列为此排列为偶排列偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排

16、列时为奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k三、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111

17、baab四、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性证明证明设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除 外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba当当 时，时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为nmlcbcbabaa111当当 时，时，ba 现来对换现来对换 与与a.b次相邻对换次相邻对换mnmlccbbaba

18、a111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数, 而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0)

19、,因此因此知推论成立知推论成立.一、n 阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积第三节 n 阶行列式的定义和性质（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为

20、 , 211312 t322311aaa列标排列的逆序数为 , 101132 t偶排列奇排列正号正号 ,负号负号 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaannnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa定义定义 1为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排

21、列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、

22、的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t n 21 .12121nnn ;21n n 21例例1 证明证明对角行列式对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕例例2 2计算对角行列式0004003002001000分析展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa从而这个项不为零，所以 只能等于 , 1p4同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002

23、001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例3 3 计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例4?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa

24、32122211100000.2211nnaaa nppptnaaaD21211 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .tnppp21证明证明按行列式定义有按行列式定义有定理定理 1 nnppptaaaD21211 nppptnaaaD211211 记记对于对于D中任意一项中任意一项 ,12121nnppptaaa 总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项1D ,12121nqqqsnaaa 与之对应并相等与之对应并相等;反之, 对于 中任意一项1D ,12121nppptnaaa 也总有且仅有D中的某一项 ,12121nnqqqsaaa

25、 与之对应并相等,于是D与1D中的项可以一一对应并相等, 从而.1DD 注：注： 更一般地，行列式也可定义为 121 12 21nni ji ji jDaaa 其中 为行排列 的逆序数 ， 为列标排列 的逆序数.12niii2 1 12nj jj二、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等.行列式 称为行列式 的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211证明证明 的的转转置置行行列列式式记记ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabi

26、jij 即即按定义按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为 .12121 nppptnaaaD故.TDD 证毕 互换行列式的两行（列）,行列式变号.设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式 变换 两行得到的, ijaDdet ji,例如例如 ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.825825 36156756736126

27、6853 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论推论 2 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则D等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 1

28、22211111122211111例如例如性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如例例5 5 计算2522173429571642D 解：解：D13cc1522173429571642 21rr 312rr 41rr 1522021601130120 计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 43

29、rr 1522012000330003 9 24rr1522012001130216 32rr 422rr 1522012000330036 例例6 计算 阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第 都加到第一列得n,3 ,2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例7nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbb

30、bD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD ,31221333211232231132211331231233

31、2211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式与代数余子式第四节第四节 行列式的展开与计算行列式的展开与计算在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如4443424134

32、3332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 定义定义1 1,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别引理引理 一个 阶行

33、列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如证证当 位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有.1111MaD 又 1111111MA ,11M 从而.1111AaD 再证一般情形,此时nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行对调行对调第第行行第第行行行依次与第行依次与第的第的第把把 iiiD得

34、得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1对对调调列列第第列列第第列列列列依依次次与与第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjni

35、jijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证明证明nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 行列式按行(列)展开法则定理定理 1nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaa

36、aaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,0221

37、1jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中例例2 设3521110513132413D 求 及 .11121314AAAA11121314MMMM解解 按(1)式可知 等于用11121314AAAA1,1,1,1代替 D 的第一行的所用行列式，即11121314AAAA1111110513132413 按(2)式可知43rr 31rr 11

38、11110522021100 115222110 21cc 125202100 2502 4 11213141MMMM11213141AAAA1521110513131413 1521110513130100 43rr 1211105113 132rr 105105113 0 例例 计算行列式计算行列式277010353 D解解按第一行展开，得按第一行展开，得27013 D27005 77103 .27 0532004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .108012

39、4220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 二、行列式的计算0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立时（当12n例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(111nnx假设（ ）

40、对于阶范德蒙德行列式成立，从行始，后行减去前行的倍：)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnn

41、bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 定理定理 1第五节第五节 克拉默法则克拉默法则.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为 1证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa2211222222212111112121