第五章解析函数的罗朗展式

1、西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦1第五章 解析函数的罗朗展式v一、一、双边幂级数双边幂级数v二、二、解析函数的罗朗展式解析函数的罗朗展式v三、三、解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类v四、四、解析函数解析函数在在无穷远点的性质无穷远点的性质西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦2第一节、解析函数的洛朗展式第一节、解析函数的洛朗展式v1、定义、定义nnnzzC)(0形如形如nnnnnnzzCzzC)()(0100被称为关于被称为关于0z

2、z 的双边幂级数。的双边幂级数。一、双边幂级数一、双边幂级数西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦3则有则有);()()(21zfzfzfnnnzzC)(100在在H内绝对收敛且内闭一致收敛于内绝对收敛且内闭一致收敛于);()(20HHzf在在H内逐项求导内逐项求导p次，次，p=1,2,nnnzzCzf)()(300 2、性质、性质定理定理5.1 设双边幂级数设双边幂级数RzzrH0:的收敛圆环为的收敛圆环为nnnzzC)(0西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教

3、师：卢谦4rR0zzp展开式是唯一的展开式是唯一的02)(10zf),0zz 可展开成双边幂级数（关于可展开成双边幂级数（关于即即其中其中ZndafiCnn,)()(211Rra,:若若),()(0RzzrHzf则则二、定理二、定理5.2(Laurent定理定理)(*),)()(0nnzzCzfRzzr|0西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦5注：注：（1）若）若),()(21RazRHzf)(zf在在21RazR内能展开成内能展开成Laurent级数级数;*（3）若）若nnnazCzf)()(),()(21RazRHzf

4、则展开式必为如下形式：则展开式必为如下形式：表示成表示成)(zf（4）展开法）展开法-根据展开式唯一，只须将根据展开式唯一，只须将(*)即为即为Laurent展开式。展开式。（2）Taylor级数与级数与Laurent级数的关系级数的关系;西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦6)2)(1(1)(zzzf;2 z（1）（2）. 52iz解解：1121)(zzzf例例1.求函数在下列区域内的罗朗展式求函数在下列区域内的罗朗展式（1） z2nnnzCzf)(在在)(zf内解析内解析 z2内可展开成罗朗级数，即内可展开成罗朗级数，

5、即)(zf在在 z2zzz211121西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦7在在在（1）)(zf内解析内解析 z2nnnzCzf)(内可展开成罗朗级数，即内可展开成罗朗级数，即 z2)(zf z2zzz21112100122122)(1nnnnnzzzzz00122122)(1nnnnnzzzzz西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦801001111212nnnnnnnnzzzzf)()(同理可得同理可得zzz111111211zz1121zzzf)(

6、1110uuunn,001111nnnzzzn西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦9其级数形式为其级数形式为nnnizCzf)()(11211121iizzzf)(52izii11111152令令, iz 则则, iz（2）52iz在)(Zf52iz内解析内解析)(Zf在52iz内可展成罗朗级，内可展成罗朗级，西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦10nnii)(021111即即01)1 (11nnnii(1)iii21121215又因又因nniii)2

7、(21012西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦1101)2(21nnnii(2)1121)(iizf由（由（1）、（）、（2）可知）可知010112nnnnnnii)()(0101)()1 ()2()(nnnnnn回代iziziiiz西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦12,)1 (1)(22zzf在在iz 处的去心邻展成罗朗级数。处的去心邻展成罗朗级数。解：解：22)1 (1)(zzfiz 以以和和iz为奇点为奇点iz 的的)(zf的去心邻域为的去

8、心邻域为20iz令令, iz 则有则有, 20且且2222)2(1)()(1)(iizizzf例例2. 将将nnnC0西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦13对于对于,)2(12i有有)21()2(12ii)2(112121iii022)2(21nniii01)2() 1(nnnni西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦14)21()2(12ii01)2() 1(nnnni onnnni1)2() 1(111)2() 1(nnnnin22)2(1)(iz

9、f20 ,)()2() 1(111izizinnnnn回代iz113)2() 1(nnnnin西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦15)(zf设设a为为的孤立奇点，即的孤立奇点，即, 00使使)(zf在去心在去心邻域邻域 aK 内可以展开成内可以展开成Laurent级数。级数。00 azaKazCzfnnn:,)()(此时，此时，为为)(zf在在a的正则部分。的正则部分。0)(nnnazC1)(nnnazC为为)(zf在点在点a处的主要部分。处的主要部分。第二节、解析函数的孤立奇点及其分类第二节、解析函数的孤立奇点及其分类

10、若若在点在点a处的主要部分为零，处的主要部分为零，)(zf的可去奇点；的可去奇点；则称则称az )(zf为为若在点在点a处的主要部分为处的主要部分为)(zf的的m级极点；级极点；则称则称az )(zf为为1111 )()()(azCazCazCmmmm若若在点在点a处的主要部分有无穷多项，处的主要部分有无穷多项，)(zf的本性奇点；的本性奇点；则称则称az )(zf为为1、定义定义5.3西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦16定理定理5.3为为az 设设的孤立奇点，则的孤立奇点，则)(zf)(zfaz 01的可去点的可去点

11、;为为)(20zf在在az 的主要部分为的主要部分为0;)(lim30bzfaz)(40zf在点在点a的去心邻域内有界。的去心邻域内有界。2、各类孤立奇点的特征、各类孤立奇点的特征西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦17zezzfzzz1100coslim)(lim解：解：10zzzsinlim01zzzzf,sin)()()()(coslimzezzz洛必塔法则1100z的可去奇点的可去奇点为为)(zf0112zzezzfz,cos)()(解：解：例例1.判别下列函数在指定奇点处的类型判别下列函数在指定奇点处的类型10z

12、zzzsinlim)()sin(lim10zz洛必塔法则ez10)cos(limzzez0z为为)(zf的可奇点。的可奇点。西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦18Schwarz引理zezfzzfzzfzzzffzzfi)( 01|. 1| )0(| |,| )(| 1|),1|(|1| )(| , 0)0( 1|)( 0当）等号成立，则（当且仅处前一式内一点圆若上式等式成立，或在且内恒有则在单位圆内解析，并且满足条件在单位圆若函数西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-2

13、3主讲教师：卢谦19设设)(zf以以az 为孤立奇点，则下列命题等价为孤立奇点，则下列命题等价)(10zf以以az 为为m级极点级极点;)(20zf在在az 处的主要部分：处的主要部分：定理定理5.40,)()(111mmmmmCazCazCazC)(,)()()(30zazzzfm; 0)(a在点在点a处解析，处解析，为为m级零点级零点;以以az )(1)(40zfzg.)(lim50zfaz西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦20解：解：izizzzf,cos)() 1 (izzzfcos)(iz 仅以仅以为奇为奇点点

14、例例2. 判断下列函数在指定点处的性质判断下列函数在指定点处的性质)(z在在iz 处解析，且处解析，且0cos)(ii记记zzizzzfcos)(,)()()(zfiz 的孤立奇点。的孤立奇点。为为为为的一级极点。的一级极点。iz )(zf西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦211 , 0,1)()2(23zzzzf解：解：231)(zzzf以以 z = 0, 1 为奇点为奇点1, 0zz)(zf为为的孤立奇点。的孤立奇点。例例2. 判断下列函数在指定点处的性质判断下列函数在指定点处的性质111122zzzzzzzf)(,

15、)()(我们有我们有，z0对于对于为为的二级极点。的二级极点。0z)(zf11zz)(在在处解析，处解析，0)0(0z西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦22221)(,1)(11)(zzzzzzzf21)(zz 在在1z处解析，处解析，01) 1 (, 1z同理我们有同理我们有对于对于为为的一级极点。的一级极点。1z)(zf)(zf定理定理5.5 设设 的某邻域内不恒等于零的某邻域内不恒等于零 ，则，则 在在 az )(zf以以 az 为为 m 级极点级极点 )(zf1以以 az 为为 m 级零点级零点 西南科技大学大学

16、本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦230,sin1)()3(2zzzf解：解： 记记则则zzg2sin)(,)(1)(zfzg)(sinzzz，z)(所以存在所以存在zsin为一级零点为一级零点以以0z处解析，且在处解析，且在0z0z处的函数值不等于处的函数值不等于零的函数零的函数使得使得为为的二级零点。的二级零点。)(zg0z2)()(zzzg)(22zz在在)(2z0)0(2处解析，且处解析，且0z为为故故)(zf为二级极点。为二级极点。0z西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-2

17、3主讲教师：卢谦24)(limzfaz不存在且不为不存在且不为定理定理5.7az 为为)(zf的本性奇点，且在点的本性奇点，且在点a的充分小去的充分小去的本性奇点的本性奇点)(1zf心邻域内不为零，则心邻域内不为零，则az 也必为也必为定理定理5.6为为az )(zf的本性奇点的本性奇点本性奇点的特征：本性奇点的特征：西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦25不存在且不为不存在且不为zze10lim0)(zf为为故故)(zf的本性奇点。的本性奇点。0z),1lim(0zze)(lim0zfz不存在且不为不存在且不为.的本性奇

18、点的本性奇点)(1zf所以由定理所以由定理5.7可知可知为为0z)(zg即即也为也为的本性奇点。的本性奇点。0z0z均为均为zzezf1)(与与zzezg1)(的本性奇点的本性奇点.证明证明:0z为为ze1的本性奇点的本性奇点.例例3. 证明：证明：西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦26Weierstrass定理.)(lim ,)( 5.8nAzfzazfann使得的点列，都有收敛于不论它是有限还是无穷何常数，的本性奇点，则对于任为函数若定理预先给定的任何数值。可以取任意接近域内，函数即在本性奇点的任意邻)(zf )()

19、,(),(2.2) )(),(),(2.1) 2 ),()(,10000AzfaNzaNAzfaNzaNAaNzfA使得使得无界；在证明：西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦27Picard定理.)( ,)( )5.9(Picard0AzfzaAAzfann使得的点列于，必有收敛，可能出去一个例外对于任何常数的本性奇点，则为函数若大定理定理必为常数。函数，则为不取两个值的整若函数小定理定理)()( )(Picard95.zfzf西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主

20、讲教师：卢谦28, 0r分析：分析：在在关键是讨论是存在关键是讨论是存在使使内解析。内解析。 zr)(zf解：解：下列函数是否以下列函数是否以例例4.为孤立点？为孤立点？，zzzfa11)(.2ziz在有限复平面上仅以在有限复平面上仅以为奇点为奇点11)(2zzf)(zf在在 z1内解析内解析)(zfz为为的孤立奇点。的孤立奇点。为为 z)(1的孤立奇点的定义：的孤立奇点的定义：)(zfz内解析，则称为)(zf的一个孤立奇点。 0:rzN定义5.4 若函数)(zf在无穷远点（去心）邻域第三节、解析函数在无穷远点的性质第三节、解析函数在无穷远点的性质西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦29为奇点为奇点)(zf在有限复平面内在有限复平面内kzk以以zzzfb,sin1)(.解：解：而而时时,kzkz的非孤立奇点的非孤立奇点故故)(zf为为西南科技大学大学本科理科数学类专业课程西南科技大学大学本科理科数学类专业课程2022-6-23主讲教师：卢谦30(2) 无穷远点的分类与判定方法无穷远点的分类与判定方法在在)(zf为孤立奇点，则为孤立奇点，则)(zf