第六节行列式按行列展开

1、第六节行列式按行列展开第1页，共18页。决这个问题决这个问题, ,先学习余子式和代数余子式的概念先学习余子式和代数余子式的概念. .一般来说一般来说, ,低阶行列式的计算比高阶行列式低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便的计算要简便, ,于是于是, ,自然地考虑用低阶行列式来自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题表示高阶行列式的问题. .本节我们要解决的问题本节我们要解决的问题是是, , 如何把高阶行列式降为低阶行列式如何把高阶行列式降为低阶行列式, ,从而把高从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算. .为了解为了解第2页，共18页。 求求余余

2、子子式式求求余余子子式式模模型型模模型型A=21-511-30-602-1214-76式式和和代代数数余余子子式式M-30-62-124-76=A-30-62-124-76=1 11 11 11 1元元素素a的的余余子子分分别别为为= 36= 361 11 1第3页，共18页。 D D = =a aijijA Aijij. .先先 证证aij 位位 于于 第第1行行 第第1列列 的的 情情 形形 , ,00212222111nnnnnaaaaaaaD二二 、 引引 理理二二 、 引引 理理一一 个个一一 个个n n阶阶 行行 列列 式式阶阶 行行 列列 式式 , , , , 如如 果果 其其

3、中中 第第如如 果果 其其 中中 第第 i i 行行 所所 有有 元元 素素 除除行行 所所 有有 元元 素素 除除a aij ij 外外 都都 为为 零零外外 都都 为为 零零 , , , , 那那 么么 这这 行行 列列 式式 等等 于于那那 么么 这这 行行 列列 式式 等等 于于a aijij与与 它它 的的 代代 数数 余余与与 它它 的的 代代 数数 余余子子 式式 的的 乘乘 积积子子 式式 的的 乘乘 积积 , , , , 即即即即此此 时时证证 明明证证 明明D D = =a aijijA Aijij. .先先 证证aij 位位 于于 第第1行行 第第1列列 的的 情情 形形

4、 , ,00212222111nnnnnaaaaaaaD二二 、 引引 理理二二 、 引引 理理一一 个个一一 个个n n阶阶 行行 列列 式式阶阶 行行 列列 式式 , , , , 如如 果果 其其 中中 第第如如 果果 其其 中中 第第 i i 行行 所所 有有 元元 素素 除除行行 所所 有有 元元 素素 除除a aij ij 外外 都都 为为 零零外外 都都 为为 零零 , , , , 那那 么么 这这 行行 列列 式式 等等 于于那那 么么 这这 行行 列列 式式 等等 于于a aijij与与 它它 的的 代代 数数 余余与与 它它 的的 代代 数数 余余子子 式式 的的 乘乘 积积

5、子子 式式 的的 乘乘 积积 , , , , 即即即即此此 时时证证 明明证证 明明第4页，共18页。 这个定理叫做这个定理叫做.第5页，共18页。任意输入一个三阶或四阶行列式，利用任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算行列式按行（列）展开法则计算.第6页，共18页。 行列式行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad称为称为 n 阶阶 (Vandermonde) 行列式行列式.证明证明. )(1nijjiaad证证 明明证证 明明对对 n 作作 归归 纳纳 法法 .当当 n = 2 时时 ，,111221aaaa结结 论论

6、成成 立立 .设设 对对 于于 n 1 阶阶 范范 德德 蒙蒙 德德 行行 列列 式式 结结 论论成成 立立 ， 现现 在在 来来 看看 n 阶阶 的的 情情 形形 .在在 n 阶阶 范范 德德 蒙蒙 德德 行行列列 式式 中中 ， 第第 n 行行 减减 去去 第第 n 1 行行 的的 a1倍倍 ， 第第 n 1 行行减减 去去 第第 n 2 行行 的的 a1倍倍 .也也 就就 是是 由由 下下 而而 上上 依依 次次 地地 从从每每 一一 行行 减减 去去 它它 上上 一一 行行 的的 a1倍倍 ， 有有第7页，共18页。由由或或或或D D= = a a1 1 j jA A1 1 j j+

7、+ a a2 2 j jA A2 2 j j+ + + + a an jn jA An jn j( ( j j = 1 , 2 ,= 1 , 2 , , , n n ) .) .定定理理定定理理3 3行行列列式式等等于于它它的的任任一一行行行行列列式式等等于于它它的的任任一一行行( ( ( ( 列列列列) ) ) ) 的的各各元元的的各各元元素素与与其其对对应应的的代代数数余余子子式式乘乘积积之之和和素素与与其其对对应应的的代代数数余余子子式式乘乘积积之之和和, , , ,D D= = a ai i 1 1A Ai i 1 1+ + a ai i 2 2A Ai i 2 2+ + + + a

8、ai ni nA Ai ni n( ( i i = 1 , 2 ,= 1 , 2 , , , n n ) ,) ,还可得下述重要推论还可得下述重要推论.证证 明明证证 明明把把 行行 列列 式式 D = d et( aij) 按按 第第 j 行行 展展 开开 ，有有,1111112211nnnjnjininjnjnjjjjaaaaaaaaAaAaAa在在 上上 式式 中中 把把 ajk换换 成成 aik( k = 1, 2 , 贩 , n )， 可可 得得证证 明明证证 明明把把 行行 列列 式式 D = d et( aij) 按按 第第 j 行行 展展 开开 ，有有,1111112211nn

9、njnjininjnjnjjjjaaaaaaaaAaAaAa在在 上上 式式 中中 把把 ajk换换 成成 aik( k = 1, 2 , 贩 , n )， 可可 得得第8页，共18页。综合综合及其推论，有关于代数余子及其推论，有关于代数余子式的重要性质：式的重要性质：；当当jijiDDAaijnkkjki,0,1；当当jijiDDAaijnkjkik,0,1.,0,1jijiij当当或或或或D D= = a a1 1 j jA A1 1 j j+ + a a2 2 j jA A2 2 j j+ + + + a an jn jA An jn j( ( j j = 1 , 2 ,= 1 , 2

10、, , , n n ) .) .定定理理定定理理3 3行行列列式式等等于于它它的的任任一一行行行行列列式式等等于于它它的的任任一一行行( ( ( ( 列列列列) ) ) ) 的的各各元元的的各各元元素素与与其其对对应应的的代代数数余余子子式式乘乘积积之之和和素素与与其其对对应应的的代代数数余余子子式式乘乘积积之之和和, , , ,D D= = a ai i 1 1A Ai i 1 1+ + a ai i 2 2A Ai i 2 2+ + + + a ai ni nA Ai ni n( ( i i = 1 , 2 ,= 1 , 2 , , , n n ) ,) ,第9页，共18页。仿照上述推论证

11、明中所用的方法，在行列式仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式det(aij) 按第按第 i 行展开的展开式中，用行展开的展开式中，用 b1 , b2 , , bn依次代替依次代替 ai1 , ai2 , , ain ，可得，可得.221111 , 11 , 11, 11 , 1111inniinnniinniinAbAbAbaaaabbaaaa第10页，共18页。类似地，用类似地，用 b1 , b2 , , bn 代替代替 det(aij) 中的中的第第 j 列，可得列，可得.22111,1,111, 111, 111njnjjnnjnnjnnnjjAbAbAbaabaaaabaa第11页，

12、共18页。设设,3142313150111253DD 的（的（i , j）元的余子式和代数余子式依次记作）元的余子式和代数余子式依次记作 Mij和和 Aij ，求，求A11 + A12 + A13 + A14 及及 M11 + M21 + M31 + M41 .第12页，共18页。 到现在为止到现在为止, ,我们已能计算任意阶的行列式我们已能计算任意阶的行列式. .行列式的计算是我们这一章的重点行列式的计算是我们这一章的重点, ,也是同学们必也是同学们必须掌握的基本技能须掌握的基本技能. .行列式有以下三种计算方法行列式有以下三种计算方法: :第13页，共18页。行列式时行列式时, ,应根据实

13、际情况灵活选择计算方法应根据实际情况灵活选择计算方法. .在这三种方法中在这三种方法中, ,主要用于理论分析主要用于理论分析, ,很少用来计算具体的行列式很少用来计算具体的行列式, ,但对于低阶行列式但对于低阶行列式( (如二阶、三阶如二阶、三阶) )或有很多零元素的高阶行列式或有很多零元素的高阶行列式, ,有时也可用此方法来计算有时也可用此方法来计算; 适用于行列式适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算的阶不确定的高阶行列式的计算;主要用主要用于阶为已知的高阶行列式的计算于阶为已知的高阶行列式的计算. .当然在计算一个当然在计算一个下面看几个例子下面看几个例子. .第14页，共18页。 下面再举几个下面再举几个 n 阶行列式计算的例子阶行列式计算的例子. . 设设.111222333222111nnnnnnnnnD第15页，共18页。证明递推关系式证明递推关系式 Dn = nDn- -1 - - n- -1n- -1Dn- -2 ( n 2 ).1222333222111nnnnnnnD按按Dn的的 第第n列列 展展 开开 , ,得得证证 明明证证 明明关系式在计算数学中常被引用关