数学多维随机变量特征数实用教案

1、一、多维随机变量一、多维随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的数学期望函数的数学期望问题问题(wnt)： 设设 维维随随机机变变量量的的函函数数，如如何何求求？有有两两个个思思路路：用用的的联联合合分分布布先先求求随随机机变变量量的的函函数数的的分分布布，而而后后用用期期望望定定义义求求. .用用类类似似于于定定理理2 2. .2 2. .1 1一一维维随随机机变变量量函函数数的的期期望望求求法法，不不求求随随机机变变量量的的函函数数的的分分布布. .前前者者无无需需再再讲讲，下下面面介介绍绍后后一一种种方方法法. .主主要要研研究究二二维维情情形形. .121

2、2(,)()(,)nnnZg XXXE ZXXX 第1页/共63页第一页，共63页。.dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 设设连连续续型型随随机机变变量量（）的的联联合合分分布布密密度度为为为为二二元元函函数数 则则的的数数学学期期望望为为(2),( , ), ( , ),(, )X Yf x y g x yZg X Y 二维随机变量函数二维随机变量函数(hnsh)的数学期望的数学期望(所涉及的数学期望所涉及的数学期望存在）存在）(1),(,)( , ),(, (,)(,iijijijijjX YpP Xx Yyg x yZg X YE g X Yg xyp 设设离离散散型型随随机

3、机变变量量（）的的联联合合分分布布列列为为，为为二二元元函函数数 则则的的数数学学期期望望为为 这就是(jish)P166的定理第2页/共63页第二页，共63页。( )iijijE Xx p (1)(,),当当时时， 离离散散型型随随机机变变量量（）的的联联合合分分布布列列为为，关关于于 的的边边际际分分布布列列为为, ,则则ijijig X YXX YpP Xx YyXP或或( )iiiE XxP 同同理理： ( )jijjijijjjjijE Yyy py Pp 说明说明(shumng)：iijijxp 第3页/共63页第三页，共63页。 当当时时, ,连连续续型型随随机机变变量量（）的的

4、联联合合分分布布密密度度为为关关于于 的的边边际际分分布布密密度度为为则则(, ),( , ),( ),Xg X YXX Yf x yXfx ( )( , )d dE Xxf x yx y 同同理理：d( , )( )( , )d d( )ddYy yE Yyf x yx yyfyfxyx y d( , )dx xf x y y 或或( )( )d .XE Xxfxx 第4页/共63页第四页，共63页。 当当时时, ,离离散散型型随随机机变变量量 联联合合分分布布列列为为， 关关于于 的的边边际际分分布布列列为为, ,则则 的的方方差差为为2(2) (,)()(,)ijijig X YXE X

5、pP Xx YyXPX 22()()()iijijxD XE XE XE Xp 或或 22()iijiiiijxExE XXpp 关关于于 的的边边际际分分布布列列为为, ,则则 的的方方差差为为jYPY 或或22( )( )()jijjjijjyED YyYpE Yp 第5页/共63页第五页，共63页。 当当时时, ,连连续续型型随随机机变变量量（）的的联联合合分分布布密密度度为为 关关于于 的的边边际际分分布布密密度度为为则则 的的方方差差为为2(2) (,)(),( , ),( ),Xg X YXE XX Yf x yXfxX 22()()( , )d dxE XfD Xx yx yE

6、XE X 或或22()d( , )d()( )dXxE Xxf x yyxE Xfxx 第6页/共63页第六页，共63页。 关关于于 的的边边际际分分布布密密度度为为则则 的的方方差差为为( ),YYfyY 22( )( )( , )d dyE YfD Yx yx yE YE Y 或或22( )d( , )d( )( )dYyE Yyf x yxyE Yfyy 第7页/共63页第七页，共63页。XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.求求2:(),( ),(),() .E XE YE X YE YX 例例1 1 设设 ( X , Y ) ( X , Y ) 的分布的分布

7、(fnb)(fnb)律为律为解解的的分分布布律律为为XX1 01p3 . 04 . 03 . 0第8页/共63页第八页，共63页。得得()1 0.3 0 0.4 1 0.30.E X 得得( )1 0.42 0.23 0.42.E Y 1 0121 21031X Y(1,3)p(, )X Y( 1,1) 2 . 0(0,1)1 . 0)1 , 1(1 . 0( 1,2) 1 . 0(1,2)1 . 0(0,3)3 . 01 . 0由于的的分分布布律律为为YY123p4 . 02 . 04 . 0第9页/共63页第九页，共63页。(, )X Y( 1,1) (0,1)1 , 1( 1,2) (1

8、,2) (0,3) (1,3)p2 . 01 . 01 . 01 . 01 . 03 . 01 . 0由于于于是是1111 0.2 0 0.1 1 0.10.10.1 0 0.30.1223XEY .151 2()YX 4109194得得2() 4 0.3 1 0.20 0.19 0.4E YX . 5 第10页/共63页第十页，共63页。例例2 卖卖报报问问题题 设设某某卖卖报报人人每每日日的的潜潜在在卖卖报报数数服服从从参参数数为为的的泊泊松松分分布布 如如果果每每卖卖出出一一份份报报可可得得报报酬酬卖卖不不掉掉而而退退回回则则每每份份赔赔偿偿若若某某日日卖卖报报人人买买进进份份报报 试试

9、求求其其期期望望所所得得 进进一一步步 再再求求最最佳佳的的卖卖报报份份数数().,.,.abn 解解:,的关系如下的关系如下与与则则若记其真正卖报数为若记其真正卖报数为 , nnn 的分布为的分布为则则 第11页/共63页第十一页，共63页。e,!e,.()!kii nknkPkkn kni :,的关系如下的关系如下与与则则记所得为记所得为 .,),()(nannnbag 因此(ync)期望所得为)()( gEnM 10e() (e)!kknkknkank bnakk 第12页/共63页第十二页，共63页。+ +e ee e2100( ) ( )()()!kknnkkM nE gabn ab

10、nakk .)(,达到极大达到极大使使求求给定后给定后当当nMnba 101101() !()!(1)!knkkknnkkkan k bknbabkk 而而e ee ee e ；11000()()!kkkknnk nkkknanananakkkk e ee ee e，第13页/共63页第十三页，共63页。利用软件包求解(qi ji),并演示计算结果.单击图形播放单击图形播放(b fn)/(b fn)/暂停暂停 ESC ESC键退出键退出第14页/共63页第十四页，共63页。在在上上任任取取 个个点点，求求其其中中最最远远两两点点例例的的距距离离的的数数学学期期望望题题181()0,1.33nP

11、设设为为区区间间上上任任取取的的第第 个个点点的的坐坐标标，则则为为相相互互独独立立的的随随机机变变量量，令令解解，0,1(0,1)1,2, .iiiXiXXUin 则则与与的的密密度度函函数数分分别别为为：(1)12( )12(1)( )min(,),max(,).nnnnXX XXXX XXXX 其其他他. .(1)1(1),01;( )0,nXnxxfx 第15页/共63页第十五页，共63页。其其他他. .( )1,01;( )0,nnXnxxfx 11(1)011( )01()(1)d.1()d.1nnnE XxnxxnnE Xxnxxn 令令则则题题目目所所求求的的是是( )(1),

12、nXXX( )(1( )(1)( )()(1.1)()nnE XE XE XXnnE X 第16页/共63页第十六页，共63页。二、数学期望与方差的运算二、数学期望与方差的运算(yn sun)(yn sun)性质性质（多维）（多维）1. 设( X, Y) 是二维随机变量(su j bin lin), 则有).()()(YEXEYXE 证证为为离离散散型型随随机机变变量量，其其联联合合分分布布列列为为，关关于于 、 的的边边际际分分布布列列为为和和, ,令令由由定定理理，则则(, )(,)(, ),3.4.1ijijijX YpP Xx YyXYPPg X YXY （ ）()ijijiijjij

13、ijijijE X Yxypx py p 第17页/共63页第十七页，共63页。iijjijijijxpyp iijjiix py p ( )( ).E XE Y 此性质可以(ky)推广有限维情形：1212()()()()nnE XXXE XE XE X 2. 设 X, Y 是相互(xingh)独立的随机变量, 则有).()()(YEXEXYE 第18页/共63页第十八页，共63页。证证()ijijijijijijE XYx y px y p p ( ) ( ).iijjijx py pE X E Y 上述性质上述性质(xngzh)当当( X, Y) 是连续型随机变量情是连续型随机变量情形，见

14、书上已证形，见书上已证.设设，相相互互独独立立，推推：则则广广121212,()()()().nnnXXXE X XXE XE XE X 第19页/共63页第十九页，共63页。).()()(YDXDYXD 3. 设 X, Y 相互(xingh)独立, D(X), D(Y) 存在, 则证证)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE 22()( )()(2)E XEXE XYE YE XE YE Y ).()(YDXD 这一项运用(ynyng)性质2为零注注：一一般般地地 ()( )( )( ) 2D X YD XDYE XE XYE Y第20页/共63页第二十页，共63页。设设，

15、相相互互独独立立，推推广广：则则121212,()()()().nnnXXXD XXXD XD XD X 设设 、 、 相相互互独独立立，且且求求例例2(2),( 2,4),(3),(2 )3 ,(23 ).4XYZXPYNZExpE XYZ D XYZ 解解222(2 )3 () 4 ( ) ( ) 4 () 3 ( )E XYZE XE X E YE YE Z (23 )() 4 ( ) 9 ( )2 16 1 19.D XYZD XDYD Z 12 4 4 2 ( 2) 4(4 4)355;3 第21页/共63页第二十一页，共63页。1. 问题问题(wnt)的提出的提出 那么那么相互独立

16、相互独立和和若随机变量若随机变量,YX).()()(YDXDYXD 不相互独立不相互独立和和若随机变量若随机变量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 协方差协方差三、协方差三、协方差第22页/共63页第二十二页，共63页。二二维维随随机机变变量量，若若量量存存在在，则则称称 它它为为随随机机变变量量与与的的协协方方差差记记为为即即C C(,)()( ).Cov(,),ov(,)()( ).X YEXE XYE YXYX YX YEXE XYE Y 2. 定义定义(dngy)特特别别地地，即即方方差差是是协协方方差差的的特特例例. .说

17、说明明：Cov(,) =().X XD X协协方方差差可可正正、可可负负、也也可可为为零零，其其意意义义如如下下：当当时时，称称与与 正正相相关关，说说明明偏偏差差与与同同时时增增加加或或同同时时减减少少 又又Cov(,)0()( ),X YXYXE XYE Y 第23页/共63页第二十三页，共63页。与与是是常常数数，故故等等价价于于与与 同同时时增增加加或或同同时时减减少少. .()( )E XE YXY负负相相关关当当时时，称称与与，说说明明增增加加减减少少或或减减少少 增增加加Cov(,)0.X YXYXYXY 不不相相关关当当时时，称称与与. .Cov(,)0X YXY 3. 性质性

18、质(xngzh);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX 证证 Cov( , )( )( )X YE XE XYE Y 第24页/共63页第二十四页，共63页。)()()()(YEXEYXEXYEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE ).()()(YEXEXYE 若若随随机机变变量量和和相相互互独独立立，则则(2)Cov(,)0.XYX Y 证证 Cov( , )( )( )X YE XE XYE Y ()() ( )E XYE X E Y 1( ) ( )Cov( , )0.E XYE X E YX Y 由由（）（）第25页/共63页第二十五页，共63页。若若明明：，

19、说说Cov(, )=0X Y与与 相相互互独独立立. .XY不不相相关关独独由由此此看看出出，是是比比更更弱弱的的一一个个立立新新概概念念. .（ ）. .3()()( )2Cov(,)D XYD XD YX Y证证2()()() D XYEXYE XY 2()( ) EXE XYE Y )()(22YEYEXEXE 2()()EXE XYE Y ()( ) 2Cov( , ).D XDYX Y 第26页/共63页第二十六页，共63页。设设任任意意 个个随随机机变变量量，则则推推：广广12112111,()()2Cov(,).nnniniijiijnXXXD XXXD XXX 即即协协方方差差

20、计计算算与与变变量量次次序序无无关关. .(4) Cov( , )Cov( ,),X YY X 即即随随机机变变量量与与常常数数的的协协方方差差为为零零(5)Cov(, )0,.X a ，其其中中为为常常数数(6)Cov(,)Cov(, ),.aX bYabX Ya b 第27页/共63页第二十七页，共63页。由由协协方方差差性性质质（证证），1212121Cov(, )() () ( )XX YE XX YE XXE Y 1212()()() ( )() ( )E XYE X YE X E YE X E Y 112212 ()() ( ) ()() ( )Cov(, ) Cov(, ).E

21、XYE X E YE X YE X E YX YX Y 1212(7)Cov(,)Cov(,)Cov(,).XXYX YXY 第28页/共63页第二十八页，共63页。例例5 设设随随机机变变量量求求( ( , ,) ). .设设随随机机变变量量和和的的联联合合概概率率密密度度为为 其其他他问问是是否否相相互互独独立立 是是否否不不相相关关 并并求求22(1) ( , ),Cov(2)11(),1,1,( , )40,.,?(2310).Xb n pX nXXYxy xyxyf x yX YDXY 解解),(Cov),(Cov),(Cov)1(XXnXXnX 0()D X ).1(pnp 第29

22、页/共63页第二十九页，共63页。,1)2(时时当当 xyyxxyxfXd)(1 41)(2211 yd4111 .21 知知时时当当同样同样.21)(,1, yfyY),()(),(yfxfyxfYX .不是相互独立的不是相互独立的和和故故YXxxfxXEXd)()(11 又又xx d2111 , 0 第30页/共63页第三十页，共63页。. 0)( YE同样有同样有yxyxyxxyXYEdd)(41)(11112222 而而yxyxyxdd )(10104224 , 0 于是(ysh), 0)()()( YEXEXYE.,不相关不相关所以所以YX第31页/共63页第三十一页，共63页。(2

23、310)(2 )(3 ) 0 2Cov(2 , 3 ) 0D XYD XD YXY 4()9()12Cov(,)D XD YX Y 又又d d1221()( )XE Xx fxx 12111d =;23xx 4 ()9 ( ).D XD Y 1( ).3D X 同同理理1( ).3D Y 故故413(2310)4 ()9 ( )3.33DXYD XD Y 第32页/共63页第三十二页，共63页。四、相关系数四、相关系数1. 定义定义设设二二维维随随机机变变量量，且且，则则称称(, )()0, ( )0Cov(, )Cov(, )Corr(, )()( )XYX YD XD YX YX YX Y

24、D XD Y 相相关关系系数数为为随随机机变变量量与与的的或或记记为为.XYXY 第33页/共63页第三十三页，共63页。是是有有量量纲纲的的量量，说说明明：而而是是无无量量纲纲的的量量. .Cov(,)Corr(,)X YX Y 相相关关系系数数与与协协方方差差同同号号，其其取取值值意意义义也也反反映映出出正正相相关关、负负相相关关和和不不相相关关. . 相相关关系系数数是是标标准准化化随随机机变变量量的的协协方方差差. .若若记记标标准准化化随随机机变变量量分分别别为为(),( ),XYXYXYE XE YXYXY 第34页/共63页第三十四页，共63页。Cov(, )Cov(,)Cov(

25、,)Corr(, ).XYXYXYXYX YX YX Y .),(),(222121相关系数相关系数的的与与试求试求设设YXNYX例例6由由21222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy 解解第35页/共63页第三十五页，共63页。,e21)(21212)(1 xxfxX.,e21)(22222)(2 yyfyY.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而而第36页/共63页第三十六页，共63页。122121()()21xy ,1111222 xyt令令,11xu 2212122

26、211()122(1)eed d .x y x y x 第37页/共63页第三十七页，共63页。 ututuYXtudde )1(21),Cov(2222122122 tuutudede22222122 ttuutudede212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有第38页/共63页第三十八页，共63页。Cov(, )Corr(, ).()( )X YX YD XD Y 于是结论结论(jiln);,)1(的相关系数的相关系数与与代表了代表了参数参数中中二维正态分布密度函数二维正态分布密度函数YX. )2(相互独立相互独立与与等价于等价于相关系数为零相关系数为零与与二维正态

27、随机变量二维正态随机变量YXYX .XYXY二二维维正正态态随随机机变变量量与与不不相相关关与与相相互互独独立立即即第39页/共63页第三十九页，共63页。2. 性质性质(xngzh)（）对对任任意意二二维维随随机机变变量量若若 与与 的的方方差差存存在在，且且记记则则有有施施瓦瓦茨茨不不等等式式22222(,),(),( ),Cov(,).XYXYX YXYD XD YX Y 引引理理若若，则则 几几乎乎处处处处是是常常数数，因因而而 与与 的的协协方方差差为为 ，所所证证不不等等式式成成立立. .证证200XXXY 若若考考虑虑 的的二二次次函函数数：222220,( ) ()( )2Co

28、v(,).XXYtg tE t XE XYE YttX Y 第40页/共63页第四十页，共63页。由由于于二二次次三三项项式式，所所以以判判别别式式( )0g t 即即2222222Cov(,)40,Cov(,).XYXYX YX Y 1Corr(,)1.X Y （）证证明明只只需需用用施施瓦瓦茨茨不不等等式式即即可可.的的充充要要条条件件是是 与与 几几乎乎处处处处有有线线性性关关系系，即即存存在在常常数数与与 使使得得(2) Corr(,)1(0)1.X YXYabP YaXb 第41页/共63页第四十一页，共63页。其其中中当当时时, ,有有当当时时, ,有有Corr(,)10;Corr

29、(,)10.X YaX Ya 充充分分性性 若若也也证证一一样样 ，则则.()YaXb XcYd1,0;Cov(,)()Corr(,)()1,0.XYaX YaD XX Ya D Xa 2( )(),Cov(,)Cov(,)(),D Ya D XX YaX XaD X 必必要要性性因因为为，.()22Cov(,)21 Corr(, )XYXYXYXYDX Y 第42页/共63页第四十二页，共63页。所所以以当当时时 有有Corr(,)1,()0,XYX YXYD 由由此此得得()1.XYXYPc 或或()1.YYXP YXc 即即证证明明了了当当时时与与 几几乎乎处处处处线线性性正正相相关关C

30、orr(,)1,.X YXY 当当时时 有有Corr(,)1,()0,XYX YXYD 由由此此得得()1.XYXYPc 或或()1.YYXP YXc 即即证证明明了了当当时时与与 几几乎乎处处处处线线性性负负相相关关Corr(,)1,.X YXY 第43页/共63页第四十三页，共63页。（ ） 设设与与不不相相关关等等价价于于与与独独立立2212123(,) (, ),.X YN XYXY由由例例6 6知知 ， 与与 不不相相关关，即即 ，两两个个边边际际分分布布：联联合合分分证证布布，从从而而有有即即 与与 独独立立. .2211222212122Corr(, )0(,),(,),(, )

31、(, )( , )( )( ),(, ).XYX YXYXNYNX YN f x yfx fyX YRXY 反反之之，若若 与与 独独立立，则则于于是是即即 与与 不不相相关关. .Cov(, )0,Corr(, )0.XYX YX YXY 第44页/共63页第四十四页，共63页。.),(的的关关系系相相关关系系数数的的概概率率密密度度曲曲面面与与二二维维正正态态随随机机变变量量 XYYX单击图形播放单击图形播放(b fn)/(b fn)/暂停暂停ESCESC键退出键退出第45页/共63页第四十五页，共63页。3.相关系数的意义相关系数的意义(yy)当当较较大大时时的的线线性性相相关关程程度度

32、较较高高，越越接接近近于于 ，则则线线性性相相关关程程度度越越高高Corr(,),Corr(,)1.X YX YX Y当当较较小小时时的的线线性性相相关关程程度度较较差差. .越越接接近近于于 ，则则线线性性相相关关程程度度越越低低. .Corr(, ),Corr(, )0X YX YX Y当当时时和和不不相相关关Corr(,)0,.X YXY 相相关关系系数数刻刻画画了了 与与 之之间间具具有有线线性性关关系系的的程程度度，因因此此也也称称“线线性性相相关关系系数数”. .Corr(, )X YXY第46页/共63页第四十六页，共63页。例例7 ?,),cos(,cos,2, 0的相关系数的

33、相关系数和和求求是常数是常数这里这里的均匀分布的均匀分布服从服从设设 aa 解解, 0dcos21)(20 xxE ,21dcos21)(2022 xxE , 0d)(cos21)(20 xaxE ,21d)(cos21)(2022 xaxE 第47页/共63页第四十七页，共63页。,cos21d)cos(cos21)(20axaxxE 数为数为由以上数据可得相关系由以上数据可得相关系.cosa , 1,0 时时当当a, 1, 时时当当a .存在线性关系存在线性关系, 0,232 时时或或当当aa.不相关不相关与与 但但22221,1, .不独立不独立与与因此因此 第48页/共63页第四十八页

34、，共63页。.的相关关系的相关关系与与动画演示动画演示 单击图形单击图形(txng)(txng)播放播放/ /暂停暂停 ESC ESC键退出键退出第49页/共63页第四十九页，共63页。算算得得很很小小，即即 与与 的的线线性性相相关关性性微微弱弱，可可以以忽忽略略不不计计；而而，即即 与与 的的正正线线性性相相关关性性很很强强. .究究其其原原因因在在于于前前者者没没有有考考虑虑标标准准差差，若若两两个个标标准准差差都都很很小小，即即使使协协方方差差小小些些，相相关关系系数数也也能能显显示示一一定定程程度度的的相相关关性性. .由由此此可可见见，在在协协方方差差的的基基础础上上定定义义相相关

35、关系系数数更更具具有有其其例例合合理理性性. .1763.4.6Cov(,)0.0471Corr(,)0.8243X YXYXYPX Y 第50页/共63页第五十页，共63页。五、随机向量的数学五、随机向量的数学(shxu)(shxu)期望与期望与协方差阵协方差阵1.定义定义(dngy)设设维维随随机机变变量量，记记 维维若若其其每每个个分分量量（也也是是随随机机变变量量）的的均均数数学学期期望望向向量量值值都都存存在在，则则称称为为 维维随随随随机机向向机机向向量量 的的，简简称称 的的. .量量数数学学期期望望12T12T12(,)X(,) ,(X)(),(),()XXnnnnXXXnXX

36、XEE XE XE Xn 二二称称 为为 维维随随机机变变量量的的（存存在在的的话话）中中. .阶阶混混合合心心矩矩12Cov(,)()(),1,2, .(,)ijijiijjncX XE XE XXE Xi jnnX XX 第51页/共63页第五十一页，共63页。方方差差协协方方差差矩矩阵阵协协方方差差阵阵（ ）令令矩矩阵阵，称称 为为随随机机向向量量 的的，简简称称. .记记为为. .111212122212CovXXnnnnnnccccccCcccC 说说明明：TCov(X) =(X -(X)(X -(X) .EEE 协协方方差差阵阵中中对对角角线线元元素素为为方方差差非非对对角角线线元元素素为为协协方方差差(),Cov(,).iiiijijcD XcXX 第52页/共63页第五十二页，共63页。的协方差矩阵为的协方差矩阵为二维随机变量二维随机变量例如例如),(21XX 22211211ccccC,)(21111XEXEc 其中其中),()(221112XEXXEXEc ),()(112221XEXXEXEc .)(22222XEXEc 2.性质性质(xngzh)第53页/共63页第五十三页，共63页。XCov(X) = (Cov(,).ijn nnXXn 维维随随机机向向量量的的协协方方差差阵阵是是一一个个 阶阶对对称称的的非非负负定定矩矩阵阵定定理理