数学极限运算实用教案

1、主要(zhyo)内容 1.3.1 1.3.1 极限的四则运算极限的四则运算 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限主要(zhyo)内容第1页/共53页第一页，共53页。注意：法则法则(fz) 1(fz) 1、2 2 可推广至有限个函数的情可推广至有限个函数的情形形. . 设在某极限过程中, 函数(hnsh)f (x)、g(x) 的极限存在,且limf（x)=A、limg(x)=B, 则1.1.3 极限的运算)(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxf)(lim)(lim)()(limxgxfABxgxf )(lim)(limxfcxcf nnxfxf)(lim)(lim )

2、(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxfB0123 推论第2页/共53页第二页，共53页。主要(zhyo)方法2.1.3 极限(jxin)的运算u多项式与分式函数代入法求极限;u消去零因子法求极限;u无穷小因子分出法求极限;u利用无穷小运算性质求极限;u利用左右极限求分段函数极限.第3页/共53页第三页，共53页。?,.)(. 1110nnnaxaxaxfnnxxnxxxxaxaxaxf.)lim()lim()(lim110000nnnaxaxa.10100).(0 xf则有且设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxx

3、xx)()(00 xQxP).(0 xf., 0)(0则商的法则不能应用若xQ一 、多项式与分式(fnsh)函数代入法求极限2.1.3 极限(jxin)的运算第4页/共53页第四页，共53页。解解)53(lim22xxx5lim3limlim2222xxxxx5limlim3)lim(2222xxxxx52322. 3).53(lim22xxx求例12.1.3 极限(jxin)的运算第5页/共53页第五页，共53页。 .35123lim2232xxxxxx求35123lim2232xxxxxx3163252122223223求有理分式函数求有理分式函数 x x0 的极限时的极限时, ,若分母不

4、等于若分母不等于零零, ,则可直接代值计算则可直接代值计算. .例2解2.1.3 极限(jxin)的运算第6页/共53页第六页，共53页。 )141.35115131(lim2nn求)12)(12(1141 2nnn) 12)(12(1.751531311141.35115131 2nnn121121.7151513131121nn121121n12112121nn例3解2.1.3 极限(jxin)的运算 . 21121121lim)141.35115131(lim2nnnn第7页/共53页第七页，共53页。 ).21(lim222nnnnn?解解是无限多个无穷小之和时,n2222.21lim

5、).21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形(bin xng)再求极限.例42.1.3 极限(jxin)的运算作业：教材P32 75-78)105(lim21xxx397lim530 xxxxx试一试试一试: 第8页/共53页第八页，共53页。（1）因式分解(yn sh fn ji)（2）有理化法 （3）变量替换法消去(xio q)零因子法：2.1.3 极限的运算二 、 消去零因子法求极限消去零因子法求极限)00(型型第9页/共53页第九页，共53页。 解解.321lim221xxxx求.,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零

6、的无穷小x) 1)(3() 1)(1(lim321lim1221xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型型(消去(xio q)零因子法)（1）因式分解(yn sh fn ji)例52.1.3 极限的运算第10页/共53页第十页，共53页。 . 1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx求 . , , 0lim 0不能直接用公式计算所以由于xxxxxxx1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx161161lim320 . 6)6116(lim20 xxx解解例62.1.3 极限(jxin)的运算第11页/共53页第十一页，共53页。 . 22325lim 2xxx? .

7、 , 0)22(lim 2故不能直接用公式计算由于xx)22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22xxxxxxxxxx)42)(325()22)(42(lim2xxxxx . 32)325(lim)22(lim32522lim222xxxxxxx（2）有理化(lhu)法解解例7将分子或分母有理化，约去极限(jxin)为零的因式。2.1.3 极限的运算第12页/共53页第十二页，共53页。 （3）变量(binling)替换法11lim31xxx解：令原式=11lim231ttt)1)(1()1)(1(lim21tttttt)1()1(lim21tttt2300

8、11,66txxttx，时且则例82.1.3 极限(jxin)的运算第13页/共53页第十三页，共53页。为非负整数时有和当nmba, 0, 000,0,.lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx?无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后然后(rnhu)(rnhu)再求极限再求极限. .1.3 极限(jxin)的运算)(型三、 无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限问题：求. nlim第14页/共53页第十四页，共53页。 .147532lim2323x

9、xxxx求解解.,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx.72(无穷小因子(ynz)分出法)例92.1.3 极限(jxin)的运算第15页/共53页第十五页，共53页。12423lim133xxxx、1242lim254xxxx、1213lim334xxxx、230课堂练习1.3 极限(jxin)的运算作业(zuy)：教材P33 81-84第16页/共53页第十六页，共53页。 xxysin .sinlimxxx求解解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxx例10

10、1.3 极限(jxin)的运算四四 、利用、利用(lyng)无穷小运算性质求极限无穷小运算性质求极限第17页/共53页第十七页，共53页。 解解)32(lim21xxx, 0商的法则(fz)不能用) 14(lim1xx?, 031432lim21xxxx. 030由无穷小与无穷大的关系(gun x),得.3214lim21xxxx求.3214lim21xxxx例112.1.3 极限的运算第18页/共53页第十八页，共53页。 . 1211lim 31xxxx求这是两个无穷大量相减的问题这是两个无穷大量相减的问题. .我们首先进行通分我们首先进行通分运算运算, ,设法去掉设法去掉(q dio)(

11、q dio)不定因素不定因素, ,然后运用四然后运用四则运算法则求其极限则运算法则求其极限. . 11lim1211lim32131xxxxxxx . 3211lim21xxxx解解例121.3 极限(jxin)的运算() 型五 、 一般采用先通分法再求极限一般采用先通分法再求极限不定型的极限（如）)(型第19页/共53页第十九页，共53页。 . ) 12(lim 3xxx求121lim 3xxx) 12(lim 3xxx01121lim323xxxx或者用下面的方法) 12(lim3xxx)112(lim323xxxx解解例132.1.3 极限(jxin)的运算第20页/共53页第二十页，共

12、53页。 . )2( 1lim xxxx求) )( ( )2( 1lim xxxxxxxxxxxx2)2)(2( 1limxxxx2 12lim . 1111111 2limxxx 有理化(lhu)解解例142.1.3 极限(jxin)的运算试一试：教材P33 79、80。作业：85、86第21页/共53页第二十一页，共53页。复习回顾几种求函数极限(jxin)的方法1.代入法2.不定型（1）分解消去零因子（2）有理化(lhu)后消零因子（3）通分后消零因子（4）分子分母同除以最高次幂第22页/共53页第二十二页，共53页。 ).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx求设yox1x

13、y 112 xy解解两个单侧极限为是函数的分段点 ,0 x)1 (lim)(lim00 xxfxx, 1) 1(lim)(lim200 xxfxx, 1左右(zuyu)极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故例151.3 极限(jxin)的运算六六 、利用左右极限求分段函数在分段点的极限、利用左右极限求分段函数在分段点的极限第23页/共53页第二十三页，共53页。 , 0 ,0 , 1)(xbxxexfx问 b 取何值时,)(lim0 xfx存在, 并求其值.若 由函数的极限由函数的极限(jxin)(jxin)与其左、右极限与其左、右极限(jxin)(jxin)的关系的关系, , 得得 .

14、2)(lim 0 xfx b = 2 , )(lim 0 xfx2) 1(lim0 xxe,)(lim0 xfxbbxx)(lim0,解解例161.3 极限(jxin)的运算第24页/共53页第二十四页，共53页。 .lim sin0 xxe求 , 0sin , 0 ?xux , 1lim0uue所以(suy),由复合函数求极限法则 . 1limsin0 xxe这类复合(fh)函数的极限通常可写成 . 1lim0sinlimsin00eeexxxx解解例171.3 极限的运算七七 、复合函数求极限方法、复合函数求极限方法第25页/共53页第二十五页，共53页。 .lim cosxxx求xxxx

15、xexlncoscoslimlim . 1lnlncoslimeexxx解解例182.1.3 极限(jxin)的运算第26页/共53页第二十六页，共53页。课堂练习3.小结与练习1.3 极限(jxin)的运算2015limsin_xxx、3231lim_3xxx、一、填空题:3112lim_1xxx、21113lim(1)(2)_xxxx、3(1)(2)(3)4lim_5nnnnn、cos6lim_xxxxee、4220427lim_32xxxxxx、203050(23) (32)8lim_(21)xxxx、二、求下列(xili)各极限:)21.41211(lim1nn、hxhxh220)(l

16、im2、-53251002132121111n2 2x 第27页/共53页第二十七页，共53页。解：1)1)(1(lim11lim21231xxxxxxxx) 1(lim21xxx31.求极限：11lim231xxx? ?思考：能否用约分的方法求极限 ？为什么？ xxxsinlim01.0sinlim1xxx1.3 极限(jxin)的运算第28页/共53页第二十八页，共53页。时设有函数xxxfsin)(，观察下表并推测0 x)(xf的变化趋势：xxxfsin)(0.999990.999980.998330.841470.0010.010.11x1sin)(,0 xxxfx时1.0sinlim

17、1xxx1.3 极限(jxin)的运算第29页/共53页第二十九页，共53页。xxxfsin)(0.999990.99980.99830.8414-0.001-0.01-0.1-1x1sin)(,0 xxxfx时)(sinsin)sin()(xfxxxxxxxf因为xxxfsin)(是偶函数所以1sinlimsinlim00 xxxxxx由1.0sinlim1xxx1.3 极限(jxin)的运算第30页/共53页第三十页，共53页。1sinlim1sinlim00 xxxxxx或推出公式1.函数极限为 型且含有三角函数2.公式中出现的变量（可以是字母 或是其它的代数式）相同且该变量趋向于零.3

18、.公式的等价形式为tx 或001sinlim0 xxx注意(zh y)1.0sinlim1xxx1.3 极限(jxin)的运算第31页/共53页第三十一页，共53页。 xxx5sinlim0求xxx5sinlim0解：xxx55sin5lim0 xxx55sinlim500,0,5txtx有时当令5sinlim5,0ttt原式所以注：在运算(yn sun)熟练后可不必代换，直接计算：xxx5sinlim0555sinlim50 xxx例11.0sinlim1xxx1.3 极限(jxin)的运算第32页/共53页第三十二页，共53页。 求极限:xxxxxxtanlim22sin3sinlim10

19、0、xxx2sin3sinlim10、解：xxxxxxx222sin333sinlim0 xxxxxx22sinlim233sinlim300231213xxxxxxxcossinlimtanlim200、xxxxcossinlim0 xxxxxcos1limsinlim00111 例21.0sinlim1xxx1.3 极限(jxin)的运算第33页/共53页第三十三页，共53页。 求极限:xxx3sinlimxxx3sinlim:解xxx33sinlim3)333sin(limxxxxx313例31.0sinlim1xxx1.3 极限(jxin)的运算第34页/共53页第三十四页，共53页。

20、xxxxxx35sinlim23sinlim100、333sin3lim3sinlim100 xxxxxx、35)35)(55sin(lim35sinlim200 xxxxxx、课堂练习1.0sinlim1xxx1.3 极限(jxin)的运算练习(linx)P33 89-92第35页/共53页第三十五页，共53页。设有函数,时x，根据下表观察xxxf11)(的变化趋势。)(xfxxxf11x2.718152.716922.704812.5937410000100010010.2.718282.7182710000001000001lim(1)xxex2.1.3 极限(jxin)的运算第36页/

21、共53页第三十六页，共53页。 xxxf11x2.718152.716922.704812.59374-10000-1000-100-10.2.718282.71827-1000000-100000 x时xx)11(均趋于一个确定的数2.71828用e表示(biosh)该数,e是无理数。 e = 2.718281828459045e = 2.7182818284590451lim(1)xxex2.1.3 极限(jxin)的运算第37页/共53页第三十七页，共53页。exxx)11 (lim得到公式注意(zh y)：2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是 代数式）和指数互为倒数。tx或1.公式中

22、底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为 型1exxx10)1 (lim. 3 ?1lim(1)xxex2.1.3 极限(jxin)的运算exfxfx)(10)(1(lim第38页/共53页第三十八页，共53页。 xxx)31(lim)1(xxx1)31(lim)2(0 xxx)31(lim)1(33)31(limxxx3exxx1)31(lim)2(0)3(31)3(1lim0 xxx3)3(1lim31xxx3 e解：例41lim(1)xxex2.1.3 极限(jxin)的运算第39页/共53页第三十九页，共53页。复习(fx)回顾 两个重要(zhngyo)极限及其特征1sinlim

23、1sinlim00 xxxxxx?1lim(1)xxexexxx10)1 (lim?第40页/共53页第四十页，共53页。 34)211 (limxxx求34)211 (limxxx34)211 ()211 (limxxxx322)211 (lim)211(limxxxxx221ee解：例51lim(1)xxex2.1.3 极限(jxin)的运算第41页/共53页第四十一页，共53页。 xxxx2)12(lim求2exxxx2)12(limxxx2)111 (lim2)1(2)111 (limxxx解：2)1(2)111 ()111 (limxxxx221)111 (lim)111(limxx

24、xxx例61lim(1)xxex2.第42页/共53页第四十二页，共53页。 xxxx2)12(lim求2exxxx2)12(lim221lim11xxxx2221lim11xxxxx另解：42ee例61lim(1)xxex2.第43页/共53页第四十三页，共53页。xxxxxx)21 (lim2)31 (lim110、3331010)31(lim)31 (limexxxxxx222)21(lim)21 (limexxxxxx课堂练习1lim(1)xxex2.作业(zuy) P33 91、92、105、107第44页/共53页第四十四页，共53页。设和是同一(tngy)变化过程中的两个无穷小，

25、 即lim =0和lim=0() 如果，那么称 是 的高阶无穷小0lim() 如果，那么称 是 的低阶无穷小lim() 如果，那么称 是 的同阶无穷小)0(limcc特别是当c=1时，即当时，则称 与 是等价无穷小,记作： 1lim定义(dngy)18.无穷小量阶的比较第45页/共53页第四十五页，共53页。 xxxxxxarcsinlim)2(sinlim)1(.:100计计算算下下列列极极限限例例xxsin0 x时时11xxarcsin0 x时时1x1e0 xx 时时 xxx)1ln(lim )3(0 xxx)1ln(0 时时1 axaxxln1lim01axaxxln10 时 20 x21cos1lim )5(xx1221cos10 xxx 时 xexx1lim)4(0第46页/共53页第四十六页，共53页。常用常用(chn yn)(chn yn)等等价无穷小价无穷小: :,0时时当当 x.1)1(,ln1a ,21cos1 ,1,)1ln( ,arc