数学建模效益分配实用教案

1、)(1Ivxniiniivxi, 2 , 1),( 212121),()()(0)(sssvsvssvv,2, 1nI集合 (1) Shapley合作合作(hzu)对策对策满足实函数，子集)(svIs I,v n人合作(hzu)对策，v特征函数),(21nxxxxn人从v(I)得到的分配，满足v(s) 子集(z j)s的获利第1页/共21页第一页，共21页。!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi, 2 , 1),()()(公理化方法(fngf) s 子集 s中的元素数目(shm)， Si 包含i的所有子集)( sw由 s 决定的“贡献”的权重 Shapley值)()(is

2、vsv i 对合作s 的“贡献”)(siShapley合作合作(hzu)对策对策第2页/共21页第二页，共21页。三人(I=1,2,3)经商中甲的分配(fnpi)x1的计算 1/3 1/6 1/6 1/3)1()()(svsvsw)( sws)1()(svsv)1(sv)(sv1S1 1 2 1 3 I1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3类似(li s)可得 x2=23/6, x3=17/6)1()()(11svsvswxSs1 2 2 3第3页/共21页第三页，共21页。合作合作(hzu)对策的应用对策的应用 例例1 污水处理费用的合污水

3、处理费用的合理分担理分担20km38km河流三城镇地理位置示意图123 污水处理(w shu ch l)，排入河流三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水(w shu)由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，L管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L第4页/共21页第四页，共21页。230)3(,160)2(,230573) 1 (712. 0CCC35020566. 0)35(73)2 , 1 (51. 0712. 0C36538366. 0)53(73)3 , 2(51. 0712. 0C46358566. 0)55(73) 3 ,

4、1 (51. 0712. 0C460)3() 1 (CC污水处理污水处理(w shu (w shu ch l)ch l)的的5 5 种方案种方案1）单独(dnd)建厂620)3()2() 1 (1CCCD总投资2）1, 2合作(hzu)3）2, 3合作4）1, 3合作580)3()2 , 1 (2CCD总投资595) 3 , 2() 1 (3CCD总投资合作不会实现第5页/共21页第五页，共21页。55638) 35(66. 020566. 0)535(73) 3 , 2 , 1 (51. 051. 0712. 05CD5）三城合作(hzu)总投资D5最小, 应联合(linh)建厂 建厂费：d

5、1=73(5+3+5)0.712=453 12管道(gundo)费：d2=0.66 50.51 20=30 23管道(gundo)费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城3建议：d1 按 5:3:5分担, d2,d3由城1,2担负城2建议：d3由城1,2按 5:3分担, d2由城1担负城1计算：城3分担d1 5/13=174C(3), 城2分担d1 3/13+d3 3/8 =132C(1)不同意D5如何分担？230) 3(160) 2(230) 1 (CCC第6页/共21页第六页，共21页。0)3()2()1(,0)(vvvv3 ,2, 1I集合特征函数v(s)联合(linh)

6、(集s)建厂比单独建厂节约的投资),(321xxxx 三城从节约投资v(I)中得到的分配40350160230)2 , 1 ()2() 1 ()21 (CCCv 64556230160230) 3 , 2 , 1 () 3 () 2() 1 ()(0) 31 (25365230160) 3 , 2() 3 () 2() 32(CCCCIvvCCCv Shapley合作合作(hzu)对策对策第7页/共21页第七页，共21页。计算(j sun)城1从节约投资中得到的分配x1)1()()(svsvsw)( sws) 1()(svsv) 1(sv)(svs1 1 2 1 3 I 0 40 0 640

7、0 0 250 40 0 39 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1 =19.7,城1 C(1)-x1=210.4, 城2 C(2)-x2=127.8, 城3 C(3)-x3=217.8三城在总投资556中的分担x2 =32.1, x3=12.2第8页/共21页第八页，共21页。合作对策的应用合作对策的应用 例例2 派别在团体派别在团体(tunt)中的中的权重权重 90人的团体由3个派别组成，人数分别(fnbi)为40, 30, 20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。1)()32()31 ()21 (, 0)3()2() 1 (, 0)(Ivvvvvv

8、vv虽然3派人数(rn sh)相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重。3/1321xxx权重团体 I=1,2,3，依次代表3个派别否则，的成员超过定义特征函数045, 1)(ssv第9页/共21页第九页，共21页。优点：公正(gngzhng)、合理，有公理化基础。如n个单位治理污染(wrn), 通常知道第i方单独治理的投资yi 和n方共同治理的投资Y, 及第i方不参加时其余n-1方的投资zi (i=1,2, n). 确定共同治理时各方分担的费用。iijjzyiIv)(其它(qt)v(s)均不知道, 无法用Shapley合作对策求解Shap

9、ley合作对策小结若定义特征函数为合作的获利(节约的投资)，则有,)(), 2 , 1(0)(1YyIvniivnii缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I=1,2,n的所有子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。第10页/共21页第十页，共21页。),(1nbbb记设只知道)(iIvbi无 i 参加时n-1方合作的获利)(IvB及全体合作的获利0),(21inxxxxxB的分配求各方对获利),(),7 , 5 , 4(11321xxxxbB求，即已知求解合作求解合作(hzu)对策的其对策的其他方法他方法例. 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元

10、，三人合作获利11元。问三人合作时如何(rh)分配获利？第11页/共21页第十一页，共21页。（2）协商）协商(xishng)解解00,AbAxTT11nniiibxxbxxBx11将剩余获利 平均分配 ixBnBbbnxBnxxiiiii1)(111),7 , 5 , 4(.Bb例模型(mxng)以n-1方合作的获利(hu l)为下限TTbxA求解iiibbnx11 xi 的下限, 3),1 , 3 , 4(ixBx) 2 , 4 , 5() 1 , 1 , 1 ( xx第12页/共21页第十二页，共21页。（3）Nash解解 ),(1nddd记为现状点（谈判时的威慑点）iiiiiidxBx

11、tsdxxma. .)(iixd 在此基础上“均匀地”分配全体合作(hzu)的获利B模型(mxng)0id)(1iiidBndx平均分配获利B3）Nash解 2）协商解第13页/共21页第十三页，共21页。（4）最小距离）最小距离(jl)解解的上限为记xxxxn),(1iiiiiixxBxtsxxnmi. .)(2模型(mxng) 第i 方的边际(binj)效益iibBx若令nBbbnxiii111),7 , 5 , 4(.Bb例)(1Bxnxxiii4）最小距离解 2）协商解, 6),4 , 6 , 7(Bxxi) 2 , 4 , 5 () 2 , 2 , 2(xx第14页/共21页第十四页

12、，共21页。（5）满意）满意(mny)解解iiiiidedxu满意度Bxtsunmixmaiii. .)(di现状(xinzhung)点(最低点)ei理想点(最高点)模型(mxng)iiiixexd,5）基于满意度的解 2）协商解iiixed , 0)(iiiiiiiiideudxdedBu的比例分配中在按iiiiixxBxxx第15页/共21页第十五页，共21页。（6）Raiffa 解解jjxbBnjj获利为方合作时的原来无参与当,1)(jininxxxxxjiijj, 1,) 1(2,2:)1的分配基础上进行方合作获利的分配（在Bnx方再等分方平分，和先由11nnjxj得到再平均取,2,

13、1njijjiiixnxnxnnx) 1(21211) 4 , 6 , 7 (),1 , 3 , 4(xx与协商(xishng)解x=(5,4,2)比较11),7 , 5 , 4(.Bb例)1252,12113,324（x第16页/共21页第十六页，共21页。求解合作对策的求解合作对策的6种方法（可分为种方法（可分为(fn wi)三类）三类）Shapley合作(hzu)对策A类B类!)!1()!()(nssnswniisvsvswxiSsi, 2 , 1),()()()(),(IvBiIvbi只需Issv),(需要所有协商解)(1iiixBnxx下限ixNash解 )(1iiidBndx现状i

14、d最小距离解)(1Bxnxxiii上限ix满意解)(iiiiiiiiideudxdedBudi现状, ei理想iiiixexd,iibBx,1bAxB类4种方法相同第17页/共21页第十七页，共21页。Raiffa解C类)(),(IvBiIvbi只需方再等分方平分，和先由上限对每个11,nnjxjj第18页/共21页第十八页，共21页。例：有一资方(甲)和二劳方(乙,丙), 仅当资方与至少一劳方合作(hzu)时才获利10元，应如何分配该获利？10)(),10,10, 0(),(.IvBbiIvbBi)67. 1 ,67. 1 ,67. 6().(xShapleyA)0 , 0 ,10(,xbBxii)0 , 0 ,10(1TTbAx)83. 0 ,83. 0 ,34. 8(xijjiiixnxnxnnxRaiffiC) 1(21211)