数电逻辑代数及其应用实用教案

1、2.1 逻辑代数(dish)的基本公式和导出公式 基本概念 逻辑(lu j)：事物的因果关系逻辑(lu j)运算的数学基础：逻辑(lu j)代数在二值逻辑(lu j)中的变量取值： 0/1第1页/共88页第一页，共88页。2.1.1 逻辑(lu j)代数的三种基本运算 与（AND） 或（OR） 非（NOT）第2页/共88页第二页，共88页。与与 条件同时具备(jbi)，结果发生 Y=A AND B = A&B=AB=AB第3页/共88页第三页，共88页。或或 条件(tiojin)之一具备，结果发生 Y= A OR B = A+B第4页/共88页第四页，共88页。非非 条件(tiojin

2、)不具备，结果发生 AYNOTA 第5页/共88页第五页，共88页。几种常用(chn yn)的复合逻辑运算 与非 或非 与或非第6页/共88页第六页，共88页。几种常用(chn yn)的复合逻辑运算 异或Y= A B第7页/共88页第七页，共88页。几种常用(chn yn)的复合逻辑运算 同或Y= A B第8页/共88页第八页，共88页。 基本(jbn)公式 导出公式2.1.2 基本(jbn)公式和若干导出公式第9页/共88页第九页，共88页。基本(jbn)公式 根据(gnj)与、或、非的定义，得表2.1.4的逻辑代数的基本公式序号公 式公 式1 1 A = A证明(zhngmng)方法：真值

3、表第10页/共88页第十页，共88页。公式(gngsh)（8a）的证明（真值表法）：BBAA)(AB第11页/共88页第十一页，共88页。常用(chn yn)的导出公式序号公 式公 式A + A B = AA ( A + B) = AA +A B = A + BA (A+ B) = A BA B + A B= A( A + B)(A + B) = AA B + AC + B C = A B + ACA B + AC + B CD = A B + AC(A + B) (A+ C ) (B + C )= (A + B) (A+ C)(A + B) (A+ C) (B + C + D)= (A +

4、B) (A+ C)证明方法(fngf)：推导 真值表第12页/共88页第十二页，共88页。公式（12a）的证明(zhngmng)（公式推导）：右右左左 BABABAAABAA)( 1)(第13页/共88页第十三页，共88页。2.2 代入定理(dngl)及其应用 代入定理 -在任意(rny)一个包含变量A的等式中，若用任何一个逻辑式代替等式中的A，则等式仍然成立。第14页/共88页第十四页，共88页。代入定理(dngl) 应用(yngyng)举例： 式（8a） (AB)= A+B (A (BC) = A+(BC) = A+B+C 第15页/共88页第十五页，共88页。代入定理(dngl) 应用(

5、yngyng)举例： 式 （8b）CBABCACBABCBBABA )() )()()代入以(第16页/共88页第十六页，共88页。 逻辑函数(hnsh) Y=F(A,B,C,) -当表示“原因”的变量（也称为输入逻辑变量）取值确定以后，表示“结果”的变量（也称为输出逻辑变量）取值便随之确定。因而输出逻辑变量与输入逻辑变量之间是一种函数(hnsh)关系。 第17页/共88页第十七页，共88页。逻辑函数(hnsh)的表示方法 真值表 逻辑(lu j)式 逻辑(lu j)图 波形图 卡诺图 硬件描述语言 各种表示方法之间可以相互转换第18页/共88页第十八页，共88页。2.3.1 用真值表描述(m

6、io sh)逻辑函数第19页/共88页第十九页，共88页。2.3.2 用逻辑(lu j)函数式描述逻辑(lu j)函数 将逻辑函数的输出写成输入逻辑变量的代数运算(yn sun)式 例如： DBABCACBADCBAY),(第20页/共88页第二十页，共88页。最小项 m： m是乘积项包含n个输入变量(binling)n个输入变量(binling)都以原变量(binling)或反变量(binling)的形式在m中出现一次第21页/共88页第二十一页，共88页。 两变量(binling)A, B的最小项 三变量(binling)A, B, C的最小项）4个（22ABBABABA,）8个（32AB

7、CCABCBACBABCACBACBACBA,最小项举例(j l)：第22页/共88页第二十二页，共88页。最小项的编号(bin ho)：ABCCABCBACBABCACBACBACBA 第23页/共88页第二十三页，共88页。最小项的性质(xngzh)： 在输入变量的任何取值下，必有一个、而且仅有一个最小项取值为1。 全部最小项之和为1 。 任意两个最小项之积为0 。 具有相邻(xin ln)性的两个最小项之和可以合并为一项，合并后的结果中只保留这两项的公共因子。 -相邻(xin ln)性：两个最小项之间仅有一个变量不同 如 ACCBAABC 第24页/共88页第二十四页，共88页。2. 逻

8、辑(lu j)函数式的最小项之和形式： 例： )6 , 5 , 4 , 3 , 1()()(),(15463mmmmmmCBACBACBACABBCAAACBBBCABCACBCABCACBAY利用公式可将任何一个(y )函数化为1 AA im第25页/共88页第二十五页，共88页。 )6 , 5 , 4 , 3 , 1()()(),(15463mmmmmmCBACBACBACABBCAAACBBBCABCACBCABCACBAY 例：2. 逻辑(lu j)函数式的最小项之和形式：利用公式可将任何一个(y )函数化为1 AA im第26页/共88页第二十六页，共88页。 例： )6 , 5 ,

9、 4 , 3 , 1()()(),(15463mmmmmmCBACBACBACABBCAAACBBBCABCACBCABCACBAY2. 逻辑函数(hnsh)式的最小项之和形式：利用公式(gngsh)可将任何一个函数化为1 AA im第27页/共88页第二十七页，共88页。 例： )6 , 5 , 4 , 3 , 1()()(),(15463mmmmmmCBACBACBACABBCAAACBBBCABCACBCABCACBAY2. 逻辑函数(hnsh)式的最小项之和形式：利用(lyng)公式可将任何一个函数化为1 AA im第28页/共88页第二十八页，共88页。 )14,10, 7 , 5(

10、)()()( )( )( )()( )( )( )( )(),(mDCBADABCDCBABCDABBDACCCBDADACBDADCDBDADADCDBDAADDCDBDAADDCBAY2. 逻辑函数(hnsh)最小项之和的形式： 例：第29页/共88页第二十九页，共88页。 )14,10, 7 , 5()()()( )( )( )()( )( )( )( )(),(mDCBADABCDCBABCDABBDACCCBDADACBDADCDBDADADCDBDAADDCDBDAADDCBAY2. 逻辑函数(hnsh)最小项之和的形式： 例：第30页/共88页第三十页，共88页。 )14,10,

11、 7 , 5()()()( )( )( )()( )( )( )( )(),(mDCBADABCDCBABCDABBDACCCBDADACBDADCDBDADADCDBDAADDCDBDAADDCBAY2. 逻辑函数(hnsh)最小项之和的形式： 例：第31页/共88页第三十一页，共88页。2.3.3 用逻辑图描述(mio sh)逻辑函数 用逻辑图形符号连接起来表示逻辑函数，得到(d do)的连接图 称为逻辑图。BABABABABABAY )( )(),(第32页/共88页第三十二页，共88页。BABAY ),(第33页/共88页第三十三页，共88页。2.3.5 用卡诺图描述逻辑(lu j)函

12、数 1. 最小项的卡诺图表示法实质：将逻辑函数式的最小项之和形式以图形的方式表示出来。以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（即只有(zhyu)一个变量不同），就得到了表示n变量全部最小项的卡诺图。 第34页/共88页第三十四页，共88页。表示(biosh)最小项的卡诺图 二变量(binling)卡诺图 三变量(binling)的卡诺图第35页/共88页第三十五页，共88页。表示(biosh)最小项的卡诺图 二变量(binling)卡诺图 三变量(binling)的卡诺图第36页/共88页第三十六页，共88页。表示(b

13、iosh)最小项的卡诺图 二变量(binling)卡诺图 三变量(binling)的卡诺图第37页/共88页第三十七页，共88页。 五变量(binling)的卡诺图第38页/共88页第三十八页，共88页。2. 用卡诺图表示(biosh)逻辑函数 im第39页/共88页第三十九页，共88页。2. 用卡诺图表示逻辑(lu j)函数 )15,12,10, 8 , 4 , 1 , 0( ),(mDCABDCBADCBAABCDDCBADCBADCBADCABCDDCBACBADCBAY第40页/共88页第四十页，共88页。2. 用卡诺图表示逻辑(lu j)函数第41页/共88页第四十一页，共88页。

14、EDA中的描述(mio sh)方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL EDIF DTIF 。 HDL及其应用可参见第8章2.3.6 用硬件(yn jin)描述语言描述逻辑函数第42页/共88页第四十二页，共88页。2.3.7 逻辑函数(hnsh)描述方法间的转换同一逻辑(lu j)函数式的不同描述方法，相互之间可以互相转换。1. 真值表 逻辑(lu j)式例：给出逻辑(lu j)函数的真值表， 试写出它的逻辑(lu j)函数式。这三个乘积项的任何一

15、个取值为1时都使Y=1，所以1CBA1 CBA1CBACBACBACBACBAY ),(第43页/共88页第四十三页，共88页。真值表 逻辑式：从真值表中找出所有使函数值等于1 的输入变量取值。上述(shngsh)的每一组变量取值下，都会使一个乘积项的值为1。在这个乘积项中，取值为1的变量写入原变量，取值为0的写入反变量。将这些乘积量相加，就得到了所求的逻辑函数式。第44页/共88页第四十四页，共88页。 逻辑(lu j)式 逻辑(lu j)图 1. 用图形符号代替逻辑(lu j)式中的代数运算符号，并依照逻辑(lu j)式中的运算优先顺序将这些图形符号连接起来。)(CBABY第45页/共88

16、页第四十五页，共88页。 逻辑式 逻辑图 2. 如果给出逻辑图，则只要(zhyo)从输入端到输出端 写出每个图形符号所表示的逻辑运算式。A )( DBCDABAYDB A CDA BA D 第46页/共88页第四十六页，共88页。 逻辑式 卡诺图 1. 将给定的逻辑函数式表示(biosh)为卡诺图。 2. 如果给出了卡诺图，则只要将卡诺图中填入1的位置上 的那些最小项相加即可。第47页/共88页第四十七页，共88页。 逻辑(lu j)式 卡诺图 例： )15,10, 5 , 0( ),(mABCDDCBADCBADCBACBAY第48页/共88页第四十八页，共88页。 波形图 真值表 1. 按

17、给出的函数真值表，画出波形图。 2. 如果(rgu)给出了函数的波形图，则需要将每个时间段的输 入与输出的取值列表。第49页/共88页第四十九页，共88页。 波形图 真值表 例：将ABC的取值顺序(shnx)按表中自上而下的顺序(shnx)排列，即得到波形图。第50页/共88页第五十页，共88页。 波形图 真值表 例：将波形图上不同(b tn)时间段中A、B、C与Y的取值对应列表，即得到真值表。第51页/共88页第五十一页，共88页。2.4 逻辑(lu j)函数的化简方法 逻辑函数的最简形式 最简与或 -使函数式中所包含的乘积项最少，同时(tngsh)每个乘积项所包含的因子最少，称为最简的与或

18、逻辑式。CBAYACDCBABAY )(第52页/共88页第五十二页，共88页。2.4.1 公式(gngsh)化简法利用逻辑代数的基本公式(gngsh)和常用公式(gngsh)对逻辑代数式进行运算，消去式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。 例： DCBADCBBADCBDCBBADCBDCBBAADCBDCABADCBADCABAAY )()(第53页/共88页第五十三页，共88页。2.4.1 公式化简法利用逻辑代数(dish)的基本公式和常用公式对逻辑代数(dish)式进行运算，消去式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。 例： DCBADCBBADCBDCBBADCBDCBBAAD

19、CBDCABADCBADCABAAY )()(第54页/共88页第五十四页，共88页。2.4.1 公式化简法利用逻辑代数的基本(jbn)公式和常用公式对逻辑代数式进行运算，消去式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。 例： DCBADCBBADCBDCBBADCBDCBBAADCBDCABADCBADCABAAY )()(第55页/共88页第五十五页，共88页。2.4.1 公式化简法利用逻辑代数的基本公式和常用公式对逻辑代数式进行运算，消去(xio q)式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。 例： DCBADCBBADCBDCBBADCBDCBBAADCBDCABADCBADCABAAY

20、 )()(第56页/共88页第五十六页，共88页。2.4.1 公式化简法利用逻辑代数的基本公式和常用公式对逻辑代数式进行(jnxng)运算，消去式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。 例： DCBADCBBADCBDCBBADCBDCBBAADCBDCABADCBADCABAAY )()(第57页/共88页第五十七页，共88页。2.4.1 公式化简法利用逻辑代数(dish)的基本公式和常用公式对逻辑代数(dish)式进行运算，消去式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。 例： DCBADCBBADCBDCBBADCBDCBBAADCBDCABADCBADCABAAY )()(第58页/共

21、88页第五十八页，共88页。最简式的标准(biozhn) 首先(shuxin)是式中乘积项最少 乘积项中含的变量少 与或表达式的简化(jinhu)代数法化简函数与门的输入端个数少 实现电路的与门少 下级或门输入端个数少方法： 并项：利用ABABA将两项并为一项，且消去一个变量B。 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB。 配项：利用AB AC BC AB AC和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项BC。 消元：利用A+A B = A+B消去多余变量A。第59页/共88页第五十九页，共88页。代数(dish)法化简函数CBDBDAACF例：试简化函数解：CBDBDAACF利用反演律)B

22、A(DCBACABDCBAC配项加ABABDABCBAC消因律DABCBAC消项ABDCBAC 或与表达式的简化(jinhu)F（或与式）求对偶式 F（与或式）简化 F（最简与或式）求对偶式 F（最简或与式）第60页/共88页第六十页，共88页。代数(dish)法化简函数F A AB A CDABCD例：试简化(jinhu)函数解：A B(A CD) BCDAAB+BCDBCDA+B+BCD+BCDA B+CDF A AB(A CD) ABCD第61页/共88页第六十一页，共88页。代数(dish)法化简函数例：试简化(jinhu)函数解：AB+DBCD ABCD ABCAB+DBCABCAB

23、CAB+DBCABCAB BCAC+DFAB DABCBCD ABCD DAB BCDFAB DABCBCD ABCD D第62页/共88页第六十二页，共88页。K图的特点图形(txng)法化简函数 k图为方形图，n个变量的函数k图有2n个小方格，分别(fnbi)对应2n个最小项； k图中行、列两组变量取值按循环码规律(gul)排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。 有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻。0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11

24、ABCD四变量K图 两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量。ABD ADA1 四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量。 八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量。卡诺图化简函数规则： 几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n - i）个变量的积项标注该圈。动画 上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同。 十六个相邻格圈在一起，结果mi=1。第63页/共88页第六十三页，共88页。 根据(gnj)函数填写卡诺图1. 已知函数(hnsh)为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。2. 若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那

25、些(nxi)最小项对应的方格填1，其余格均填0。3. 函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。图形法化简函数第64页/共88页第六十四页，共88页。化简步骤：1. 用卡诺图表示逻辑(lu j)函数2. 将卡诺图中按矩形排列的 相邻的1圈成若干个相邻 组，原则是： 3. 化简后的乘积项相加 用卡诺图化简函数(hnsh)这些相邻组必须(bx)覆盖卡诺图上所有的1。每个相邻组中至少有一个1不包含在其他相邻组内。相邻组的数目应最少。每个相邻组应包含尽可能多的1。第65页/共88页第六十五页，共88页。图形(txng)法化简函数 与或表达式的简化(jinhu)步骤 先将函数(hnsh

26、)填入卡诺图中，最小项对应的方格填1，其它填0。 合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。 按取同去异原则, 每个圈写出一个乘积项。 最后将全部积项求和，即得最简与或表达式。第66页/共88页第六十六页，共88页。两个(lin )相邻最小项可合并为一项，消去一对因子第67页/共88页第六十七页，共88页。例： )15,14,12,10, 8 , 7 , 6 , 3 , 1( ),(mABCDDABCDCABDCBADCBABCDADBCACDBADCBADCABABCDBABCADBADCBAY第68页/共88页第六十八页，共88

27、页。ABCD例：第69页/共88页第六十九页，共88页。ABCDBCDADBA 例：第70页/共88页第七十页，共88页。 约束项 任意项 逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此(ync)统称为无关项。第71页/共88页第七十一页，共88页。2.5.2 具有无关(wgun)项的逻辑函数的化简 合理地利用无关项，可得更简单(jindn)的化简结果。 加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少 从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为了使矩形圈最大，矩形组合数最少。 填函数的卡诺图时，在无关(wgun)项对应的格内填任意符号“”、“d”或“”。处

28、理方法： 化简时可根据需要，把无关项视为“1”也可视为“0”，使函数得到最简。第72页/共88页第七十二页，共88页。ABCD )15,14,13,12,11,10()9 , 8 , 7 , 6 , 5(dmY例：例：第73页/共88页第七十三页，共88页。ABCD )15,14,13,12,11,10()9 , 8 , 7 , 6 , 5(dmY例：例：第74页/共88页第七十四页，共88页。ABCDBDBCA )15,14,13,12,11,10()9 , 8 , 7 , 6 , 5(dmY例：例：第75页/共88页第七十五页，共88页。例：0:0),(1514131211731050 m

29、mmmmmmCDABmmmDCBADCBADCBADCBAY之和形式得到之和形式得到将约束条件化为约束项将约束条件化为约束项ABCDACBDDCBAY DCBA BDAC第76页/共88页第七十六页，共88页。函数(hnsh)表达式的常用形式 五种(w zhn)常用表达式F(A,B,C)=AB+AC“与或”式(AC)(AB)“或与”式ABAC“与非与非”式 A+CA +B“或非或非”式ACAB“与或非”式基本形式 表达式形式(xngsh)转换 F=ABACAB+ACABAC利用还原律利用反演律第77页/共88页第七十七页，共88页。逻辑(lu j)函数式形式的变换例：将与或形式(xngsh)的逻辑函数化成与或非形式(xngsh)5 , 4 , 3 , 2 , 1( )()()( ),( mCCBABBCACCBABACABACBAY)(),()7 , 6 , 0(),( CBAABCBAYCBAAB mCBAY将上式求反，得到将上式求反，得到第78页/共88页第七十八页，共88页。逻辑函数(hnsh)式形式的变换例：将与或形式(xngsh)的逻辑函数化成或非或非形式(xngsh)( ,) ( ,) Y A B CABABCABABCY A B CABABCABABCABABC第79页/共88页第七十九页，共88页。例：将F(A，B，