第九章光学孤立子

1、第九章第九章 光学孤立子光学孤立子 9.1 孤立子的概念孤立子的概念 1834年，英国造船工程师罗素观察到一个奇妙的年，英国造船工程师罗素观察到一个奇妙的现象：由两匹马拉着的一只船在窄河道中急速行驶，现象：由两匹马拉着的一只船在窄河道中急速行驶，当船突然停止时，有一圆滑的、轮廓分明的孤立突起当船突然停止时，有一圆滑的、轮廓分明的孤立突起波形离开船头继续前进，并保持形状不变。称之为波形离开船头继续前进，并保持形状不变。称之为“孤立波孤立波”。 1895年，科特维格和德夫瑞斯为解释一维浅水水年，科特维格和德夫瑞斯为解释一维浅水水波建立一个非线性微分方程，称为波建立一个非线性微分方程，称为KdV方程

2、，该方程方程，该方程有一个解刚好对应于罗素所看到的孤立波。有一个解刚好对应于罗素所看到的孤立波。 1965年，扎布斯基和克鲁斯卡尔发表论文，发年，扎布斯基和克鲁斯卡尔发表论文，发现两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变，说现两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变，说明孤立波有明显的粒子性，并由此提出明孤立波有明显的粒子性，并由此提出“孤立子孤立子”一词。一词。孤立波孤立波 solitary wave从波动观点看，孤立波是传播过程中保持自身形态不变的定域从波动观点看，孤立波是传播过程中保持自身形态不变的定域化的波。并且两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变。化的波。并且两个孤立波碰撞前后波形和速

3、度都保持不变。从粒子观点看，孤立子是能量被集中在有限时间和空间的从粒子观点看，孤立子是能量被集中在有限时间和空间的孤立波。并且两个孤立子间发生碰撞，碰撞后它们各自的孤立波。并且两个孤立子间发生碰撞，碰撞后它们各自的能量不会随时间扩散，保持着原来的速度和形状。能量不会随时间扩散，保持着原来的速度和形状。孤立子孤立子 soliton 孤立波问题涉及到自然界中的各方面现象，并且有若孤立波问题涉及到自然界中的各方面现象，并且有若干类非线性波动方程都存在稳定的孤波解。干类非线性波动方程都存在稳定的孤波解。 光学领域：自感应透明，光纤孤子。光学领域：自感应透明，光纤孤子。9.2 自感应透明自感应透明1(0

4、) sin2dAwAdz0( )lim ( , )( , )tA zz tEz t dth面积定理面积定理其中其中20(0)Ncgnh 共振吸收介质对入射的强激光脉冲的透过率与光脉冲共振吸收介质对入射的强激光脉冲的透过率与光脉冲的面积值大小有关。从面积定理中知道，当入射光脉冲面的面积值大小有关。从面积定理中知道，当入射光脉冲面积为积为的偶数倍时，光脉冲在共振吸收介质中传播其面积的偶数倍时，光脉冲在共振吸收介质中传播其面积值不变，即介质对光脉冲呈现出完全透明的特点。值不变，即介质对光脉冲呈现出完全透明的特点。定义整个光脉冲的面积定义整个光脉冲的面积 1(0) sin2dAwAdz面积定理面积定理

5、(0)1w 1sin2dAAdz 1sin2dAAdz(0)1w吸收介质吸收介质放大介质放大介质1sin2dAAdz （1）对于弱的光脉冲）对于弱的光脉冲sin AA/2( )(0)zA zAe（2）对于高功率的光脉冲）对于高功率的光脉冲/2( )(0)tantan22zA zAelim ( )2zA zn正常吸收的比尔定律正常吸收的比尔定律(0)1w 吸收介质吸收介质1sin2dAAdz 2An稳定稳定对于面积大于对于面积大于的脉冲，其面积向最近的偶数倍的脉冲，其面积向最近的偶数倍接接近，此后面积不变。近，此后面积不变。吸收介质：吸收介质：2An稳定稳定面积定理不能区分面积定理不能区分2，

6、4，6 的脉冲，进一步的数值计算的脉冲，进一步的数值计算和实验证明，只有和实验证明，只有2波形是稳定的，波形是稳定的， 4，6 的脉冲波形是的脉冲波形是不稳定的，在吸收介质中传播时会发生分裂。不稳定的，在吸收介质中传播时会发生分裂。对于对于2脉冲，布洛赫矢量转角是脉冲，布洛赫矢量转角是2 ，回到原来位置。吸收，回到原来位置。吸收介质不能从光脉冲中得到能量。介质不能从光脉冲中得到能量。自感应透明脉冲是面积自感应透明脉冲是面积2的双曲正割脉冲。的双曲正割脉冲。/2sec ( / )hee 1sin2dAAdz(21)An稳定稳定放大介质放大介质对于给定的初始面积，随着对于给定的初始面积，随着z的增

7、加脉冲面积将趋向的增加脉冲面积将趋向最近的奇数倍最近的奇数倍。9.3 光纤中孤立子的形成机理光纤中孤立子的形成机理光学孤子光学孤子空间孤子空间孤子当光场在光纤中传播时，由于光纤的色散效应会发当光场在光纤中传播时，由于光纤的色散效应会发生脉冲展宽。生脉冲展宽。时间孤子时间孤子当强光在光纤中传播时，会引起一系列的非线性效当强光在光纤中传播时，会引起一系列的非线性效应，其中之一就是压缩脉冲宽度。应，其中之一就是压缩脉冲宽度。当展宽作用与压缩作用恰好抵消时，光脉冲形状保当展宽作用与压缩作用恰好抵消时，光脉冲形状保持不变。光纤孤子。持不变。光纤孤子。时间孤子时间孤子光纤横截面结构光纤横截面结构色散色散脉

8、冲展宽脉冲展宽knc20001()()2kkkkL001gdkkdv 00022211()gggdvd kdkddvvd 0k0gdvd0k0gdvd正常色散正常色散反常色散反常色散02322222d kd nkdc d 220d nd220d nd002221ggdvd kkdvd 总的群延时差总的群延时差mnw m多模色散多模色散n光纤材料色散光纤材料色散w光纤波导结构色散引起光纤波导结构色散引起mnw 群延时群延时1ggvconstantg群延时差群延时差克尔效应克尔效应02nnn I0n线性折射率线性折射率2n克尔系数克尔系数设光脉冲在光纤中传播长度为设光脉冲在光纤中传播长度为 ，则由

9、克尔效应引起的相位移动为，则由克尔效应引起的相位移动为l202n Il自相位调制自相位调制附加相位引起的频移附加相位引起的频移202In ltt 附加相位引起的频移附加相位引起的频移202In ltt 脉冲前沿脉冲前沿0It0脉冲后沿脉冲后沿0It0反常色散反常色散0gdvd脉冲前沿速度变小，脉冲后沿速度变大脉冲前沿速度变小，脉冲后沿速度变大脉冲压缩脉冲压缩当展宽作用与压缩作用恰好抵消时，光脉冲形状保当展宽作用与压缩作用恰好抵消时，光脉冲形状保持不变。（时间孤子）持不变。（时间孤子）空间孤子空间孤子空间衍射空间衍射克尔效应克尔效应02nnn I自聚焦自聚焦空间衍射与自聚焦相平衡时，产生空间孤子

10、。空间衍射与自聚焦相平衡时，产生空间孤子。脉冲啁啾脉冲啁啾脉冲的不同部位具有不同频率的现象称为脉冲的频率啁啾。脉冲的不同部位具有不同频率的现象称为脉冲的频率啁啾。正啁啾，前沿正啁啾，前沿-低频，后沿低频，后沿-高频高频无啁啾脉冲，脉冲各部分频率成分相同无啁啾脉冲，脉冲各部分频率成分相同自相位调制自相位调制光谱超连续光谱超连续色散色散负啁啾，前沿负啁啾，前沿-高频，后沿高频，后沿-低频低频线性啁啾线性啁啾9.4 光纤中孤立子的非线性薛定谔方程光纤中孤立子的非线性薛定谔方程不考虑损耗项和横截面上的光场变化时不考虑损耗项和横截面上的光场变化时从麦克斯韦方程出发，得到波动方程从麦克斯韦方程出发，得到波

11、动方程22002221,EEPEcttt 222000222,EEPztt 00( , )Re( , )it kzE z tEz t e0nkc2021()( , )02gkiE z tzvtt极化强度极化强度研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程1( , )( ,)2i tP z tP zed0( ,)( ) ( ,)P zE z 1( )n 2021()( , )02gkiE z tzvtt研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程其中其中01gdkvd 002221ggdvd kkdvd 引入

12、以群速度移动的参考系引入以群速度移动的参考系gzTtv 202()( , )02kiE z TzT研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程202()( , )02kiE z TzT001( , )( ,)2i TE z TA zed200( , )( , )2A zkiA zz200( , )(0, )exp()2kA zAiz对光场傅里叶变换：对光场傅里叶变换：对于初始无啁啾高斯脉冲对于初始无啁啾高斯脉冲2020(0, )exp()2TE zTT可以求得可以求得2002200( , )exp()2()TTE z TTik zTik z脉宽随传输

13、距离的变化：脉宽随传输距离的变化：210( )1 ( /)DT zTz L20DTLk色散长度色散长度对于初始无啁啾高斯脉冲对于初始无啁啾高斯脉冲210( )1 ( /)DT zTz L对于初始无啁啾高斯脉冲，无论在光纤的正常色散对于初始无啁啾高斯脉冲，无论在光纤的正常色散区域还是反常色散区域，对于一给定的色散长度，区域还是反常色散区域，对于一给定的色散长度，脉冲有相同的展宽量。脉冲有相同的展宽量。20DTLk0k0gdvd正常色散正常色散220d ndttt0k0gdvd反常色散反常色散220d ndttt对于初始为线性啁啾高斯脉冲对于初始为线性啁啾高斯脉冲20201(0, )exp()2i

14、C TE zTT0C 0C 正啁啾，前沿正啁啾，前沿-低频，后沿低频，后沿-高频高频负啁啾，前沿负啁啾，前沿-高频，后沿高频，后沿-低频低频脉宽随传输距离的变化：脉宽随传输距离的变化：22102200( )(1)()Ck zk zT zTTT存在脉宽变窄的条件：存在脉宽变窄的条件：0Ck对于线性啁啾高斯脉冲对于线性啁啾高斯脉冲20201(0, )exp()2iC TE zTT0C 0C 正啁啾，前沿正啁啾，前沿-低频，后沿低频，后沿-高频高频负啁啾，前沿负啁啾，前沿-高频，后沿高频，后沿-低频低频存在脉宽变窄的条件：存在脉宽变窄的条件：0Ck0C 0k即即0C 0k图中图中2()k0k0gdv

15、d正常色散正常色散220d ndttttttttt0C 0C 0C 02001CTTC脉宽（高斯脉冲）脉宽（高斯脉冲）频谱宽度（高斯脉冲）频谱宽度（高斯脉冲）02001/1/CTCT色散引起的展宽色散引起的展宽自相位调制产生的频率啁啾自相位调制产生的频率啁啾 无量纲化无量纲化910z4.51/210()()gztkv4.51/22010()unE无量纲化的非线性薛定谔方程无量纲化的非线性薛定谔方程222102uuiu u若考虑损耗若考虑损耗22212uuiu ui u 若考虑克尔效应若考虑克尔效应22020021()( , )02gkiinEE z tzvttc对于其他非线性介质对于其他非线性

16、介质如飞秒激光与空气相互作用的非线性薛定谔方程：如飞秒激光与空气相互作用的非线性薛定谔方程：Phys. Rev. Lett. 92, 225002 (2004).9.5 光纤中孤立子的传输性质光纤中孤立子的传输性质孤子形成和保持的条件孤子形成和保持的条件色散长度色散长度20DTLk0T脉冲为脉冲为 强度处的半宽度强度处的半宽度1/eDlL光纤色散不显著光纤色散不显著非线性长度非线性长度01NLLP0P入射到光纤的光功率的峰值入射到光纤的光功率的峰值NLlL光纤的非线性效应不显著光纤的非线性效应不显著非线性系数非线性系数对于对于DNLLlL 则光脉冲通过长度为则光脉冲通过长度为 的光纤，色的光纤，色散起主要作用，将导致脉冲展宽散起主要