线性代数 第一章 行 列 式

1、 线性代数线性代数 线性代数的线性代数的主要研究对象主要研究对象是线性方程组，是线性方程组，线性代数的一个线性代数的一个重要任务重要任务就是就是给出线性方程组的解：给出线性方程组的解： 1.给出方程组有解、无解的充要条件；给出方程组有解、无解的充要条件；2.方程组有解时，给出方程组有解时，给出（1）有唯一解的充要条件及求解的方法；）有唯一解的充要条件及求解的方法；（2）有无穷多解的充要条件及解的结构）有无穷多解的充要条件及解的结构.并在此基础上，抽象出更一般的概念并在此基础上，抽象出更一般的概念线性空间的理论线性空间的理论 我们有解一个具体的二元、三元线性方程组的我们有解一个具体的二元、三元线

2、性方程组的经验经验 ，这是一个很重要的实践，这是一个很重要的实践. 下面我们下面我们 要研究的是更加广泛、更具一般性要研究的是更加广泛、更具一般性的的n元线性方程组元线性方程组. 我们就将从二元、三元线性方程组的解这一经我们就将从二元、三元线性方程组的解这一经验入手，逐步展开对验入手，逐步展开对n元线性方程组解的研究元线性方程组解的研究. 行列式和矩阵是研究线性方程解的主要工具行列式和矩阵是研究线性方程解的主要工具.为此，根据研究线性方程组解的需要，我们首先为此，根据研究线性方程组解的需要，我们首先要学好行列式和矩阵这二个基本概念及其运算性要学好行列式和矩阵这二个基本概念及其运算性质，会使用这

3、二个工具来研究问题质，会使用这二个工具来研究问题.第一章行列式第一章行列式本章主要内容：本章主要内容： 主要介绍阶行列式的定义、性质及其计算主要介绍阶行列式的定义、性质及其计算方法方法. .此外还要介绍用阶行列式求解元线性方此外还要介绍用阶行列式求解元线性方程组的克拉默（）法则。程组的克拉默（）法则。 行列式最早是由解线性方程组而引进的行列式最早是由解线性方程组而引进的 1 1行列式的定义行列式的定义一、二阶行列式的定义一、二阶行列式的定义Cramer 22221211212111bxaxabxaxa考察二元一次的联立方程组：考察二元一次的联立方程组：用加减消元法，可得，用加减消元法，可得，

4、211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa当当 a a1111a a2222- -a a1212a a2121 0 0 时，求得方程组的解为：时，求得方程组的解为：（1） （2） (2) 二元线性方程组的解的结构具有鲜明的特征：二元线性方程组的解的结构具有鲜明的特征： （2 2）式中的分子、分母都是四个数分两对，）式中的分子、分母都是四个数分两对， 相乘再相而得相乘再相而得. .其中分母是由方程组（其中分母是由方程组（1 1）的四个系数确定的）的四个系数确定的. .我们把这四个数按它们在方程组（我们把这四个数按它们在方程组（1 1）

5、中的位置，排成二）中的位置，排成二行二列的数表：行二列的数表： 22211211aaaa，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.22211211aaaa并称之为并称之为即即通常用字母通常用字母D D表示表示. .其中其中 为行列式为行列式ija的元素的元素，第一个下标第一个下标i i称为称为，表示该元素所在表示该元素所在的行，第二个下标的行，第二个下标j j称为称为，表示该元素所在的表示该元素所在的列列. .表达式表达式 称为该数表所确定的二阶称为该数表所确定的二阶行列式，并记作行列式，

6、并记作21122211aaaa 22211211aaaa= 21122211aaaa )2 , 1; 2 , 1(ji11a12a22a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 上述二阶行列式的计算上述二阶行列式的计算 对角线法则对角线法则21a5432D例例 1.4) 3(522212100)1(:,132 DD为为何何值值时时问问 例例 2. 2.0)2( D为为何何值值时时 ）（解解331322 D; 030 D时，时，或或 030 D时，时，且且 若记若记22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方

7、程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD 21122211aaaa .,22221211212111bxaxabxaxa2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD 212221baab .,22221211212111bxaxabxaxa2211112babaD 211211abba则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx 例例3 3 . 12,122

8、32121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 完全完全 类似类似 地，地，可引入三阶行列式可引入三阶行列式.三阶行列三阶行列式的定义如下：式的定义如下：322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 三阶行列式所表示的三阶行列式所表示的6项的代数和，我们可以用两项的代数和，我们可以用两种方法来帮助记忆。种方法来帮助记忆。333231232

9、221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa D(1)(1)沙路法沙路法322113312312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2. 三

10、阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .计算三阶行列式计算三阶行列式 111312121 D 解解 由对角线法则由对角线法则, , 得得121) 1()3()2() 1(11D) 1(11) 1(2)2(1)3(1143261. 5例例 4. 4.例例5.5. 094321112 xx求解方程求解方程二、二、 n阶行列式的定义阶行列式的定义由二阶行列式和三阶行列式的形式，我们可以得到n阶行列式的形式：由n行n列（共 个元素）组成，形如nnnnn

11、naaaaaaaaaD212222111211称（1）式为n阶行列式。2n问题：n阶行列式的值又等于多少呢？（1）nnjnjnnnijijiinijijiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaaM1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 11111111 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和行和第第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫阶行列式叫做元素做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.ijM Aij = ( - 1 )i + j Mij 称称 Aij 为元为元 aij 的的代数余子式代数余子

12、式 ( i, j = 1, 2, , n ) .44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA 212112211MMA）（444342343332141312aaaaaaaaa例例 如如我们可以归纳的定义n阶行列式的值 11112121111111nniiAaAaAaAaaD当 1时nn当 =1时我们称上式为D依第一列的展开式。定义 由定义我们知道：由定义我们知道： (1)化高阶行列式的计算为低阶行列式的计算，反复化高阶行列式的计算为低阶行列式的计算，反复使用降阶表示法，将使用降阶表示法，将n阶行列式用三阶或二阶行列式表示阶行列式用三阶或二

13、阶行列式表示 最后算得行列式的值。最后算得行列式的值。 （2）一个）一个n阶行列式可以表示为阶行列式可以表示为n!项的代数和，其项的代数和，其中每一项是中每一项是D中的不同行不同列中的不同行不同列n个元素的乘积，一般可个元素的乘积，一般可以表示为：以表示为： nnjjjnaaaD2121 82266013462418063212602610524104560622156066135281085636261164例如60526210836540216218364021206056214021560562183611141211问题：在阶行列式的定义中是按第一列展开的，是 否可以依其他列展开呢？定

14、理1.1：niijijjiniijijMaAa11) 1(ijijaMijijaA 例例 2.用定义计算用定义计算n阶行列式阶行列式nnnnnaaaaaaaaaaD000000333223221131211 niaii, 2 , 1, 0 我们称上述主对角线下方的元素全为零形式我们称上述主对角线下方的元素全为零形式的行列式为的行列式为上三角形行列式上三角形行列式.nnaaaa332211nnnnnaaaaaaaaaaD321333231222111000000 nnaaa2211 例例3： 用定义计算用定义计算n阶行列式阶行列式niaii, 2 , 1, 0 我们称上述主对角线上方的元素全为零

15、形式我们称上述主对角线上方的元素全为零形式的行列式为的行列式为下三角形行列式下三角形行列式.nnaaaaD000000000000332211 nnaaa2211 例例4： 用定义计算用定义计算n阶行列式阶行列式niaii, 2 , 1, 0 我们称上述主对角线外的元素全为零形式我们称上述主对角线外的元素全为零形式的行列式为的行列式为对角形行列式对角形行列式.由上述三个例子我们可以得到三个结论： a:上三角形行列式的值等于其主对角线上元 素的乘积 b:下三角形行列式的值等于其主对角线上元素的乘积 c:对角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积.1)(212121)(nnnn 例例 5.?0000

16、0012 , 11 , 11, 2222111, 11211 nnnnnnaaaaaaaaaaD这类行列式称作反上三角行列式这类行列式称作反上三角行列式.思思 考：考：?0000000010020001000 nnDn2 2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算 定义定义 将行列式将行列式 D 的行列互换后得到的的行列互换后得到的行列式行列式,称为称为D的转置行列式的转置行列式,记为：记为：DDT 或或一一 行列式的性质行列式的性质nnaaa2211nnaaa21122121nnaaaD= TDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa性质性质1 1 行列式和其转置行列式的值相等行

17、列式和其转置行列式的值相等,即即DDT 113421 例如例如113241 说明：由性质说明：由性质1知行列式的行与列地位相等，也知行列式的行与列地位相等，也即行列式的即行列式的行行具有的性质，它的具有的性质，它的列列也具有同样的也具有同样的性质。性质。推论：推论： 行列式行列式D亦可以按行展开，即亦可以按行展开，即njijijAa1 性质性质2 2 交换行列式的两行或两列交换行列式的两行或两列,行列式的值反号行列式的值反号.nnnnsnssiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 （i 行）行）(s 行行)nnnniniisnssnaaaaaaaaaaaaD21212111

18、2111 （i 行）行）(s 行行)DD 1Daaaannnnn 1111已知已知DaaaaaaDnnnnnnn_1,11, 11111 问：问： 推论推论1 如果行列式有两行（或两列）的对应如果行列式有两行（或两列）的对应 元素相同，则行列式的值为零。元素相同，则行列式的值为零。 推论推论2 行列式任一行（列）的所有元素与另行列式任一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。等于零。由定理由定理1.1及推论及推论2可得：可得：定理定理1.2 n阶行列式阶行列式D任意一行（列）的元素与其对任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘

19、积之和等于应的代数余子式乘积之和等于D，某一行的（列），某一行的（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于积之和等于0，即，即kninkikiAaAaAa2211nlnjljljAaAaAa2211;,0,ikikD若若;,0,jljlD若若 性质性质3 用一个数用一个数k乘以行列式等于将行列式的乘以行列式等于将行列式的某一行某一行(列列)的元素都乘以的元素都乘以k，即，即nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 也即也即 ：如果行列式某行：如果行列式某行(或某

20、列或某列)的所有元素有公的所有元素有公因子因子,则可以将公因子提到行列式外面则可以将公因子提到行列式外面. 推论推论1 若行列式有一行若行列式有一行(或一列或一列)元素全为零元素全为零, 则则该行列式的值为零该行列式的值为零. 推论推论2 若行列式有两行若行列式有两行(列列)元素对应成比例，元素对应成比例，则行列式的值全为零。则行列式的值全为零。nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211 nnnnnnaaabbbaaa212111211 .212111211nnnnnnaaacccaaa ijajjcb 和jjijcba510312332211 bababa510312321

21、 aaa510312321 bbb性质，性质性质，性质4说明行列式关于它的说明行列式关于它的一行（列）是线性的，且利用性质一行（列）是线性的，且利用性质4，每次只能每次只能分拆一行（列）分拆一行（列）。注意行列式注意行列式相加的特殊性相加的特殊性 性质性质5 将行列式第将行列式第j行（列）元素的行（列）元素的k倍加到倍加到第第i行的对应元素上，行列式的值不变。即行的对应元素上，行列式的值不变。即nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211nnnnjnjjnaaaaaaaa

22、a212111211nnnnjnjjnaaaaaaaaa212111211iniiaaa.21jnjjkakaka.21nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211二、行列式的计算：二、行列式的计算：计算行列式的两种办法：1： 运用行列式的性质，将某一行（列）的元素尽可能多地化为零，然后按这一行（列）展开。2： 运用性质将行列式化为上、下三角行列式，然后直接给出结果。107825513713913152例例1 计算 D= 方法一 D= 243326026342607139117251303122433262634261725131112方法二

23、：107825513315271391D24332602634260172513071391101700816001725130713911017002/11001725130713911631223)13(162/30002/110017251307139116例例2 证明 3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 但是有时候对于一些结构比较特殊的行列式单用性质还不行，计算时还需要一定的技巧和方法。比如下面几种： （一）行列式的每行（列）元素之和为常数例3abbbbbabbbbaDnabbbnabbabnabbbbnaDn

24、) 1() 1() 1(abbbbabbbbna111) 1(1100001) 1(nbabnababbbabbbbnaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaax又如又如1)()1( naxanx（二）行列式的形状形如： 的行列式例4000000000nD由于每行（列）仅有两个非零元素，故可由第1行展开111000000) 1(0000000nnnnDnnn11例50,0000002122112101nnnnnzzzzyzyzyxxxzD将 的第i+1列的 倍都加到第1列上， 得1nDiizyni, 2 , 1niiiinnnniiiinzyxzzzzzzzxxxzyxzD102121

25、2110100000000例6nnxaaaaaxaaaaaxaaaaaxaD321方法一：将第1行的（-1）倍加到各行上得：nnxxxxxxaaaxaD000000131211nniixxxaaaxaxxa00000000032211niinxaxxx1211方法二：升阶法，把原行列式增加一行一列，且保持行列式的值不变的方法。将 加上一行一列得nD1210001nnnxaaaaaxaaaaxaaaaD将第1行的（-1）倍加到各行上，得1321121000000000000000100100010011nnniinnnxxxaaaxaxxxaaaDniinxaxxx1211例7210001021

26、001210012nD可由底1列展开得：1 -121 -21000120210012100011) 1-(2100102100122nnnD+=21210010210122nnD212nnDD212nnnDDD211nnnnDDDD1231232211DDDDDDDDnnnnnn即 因而有 由此递推得 ： 故有 再递推得： 11nnDD1) 1(2) 1(1) 1(1121nnnDDDDnnn从此例可以看出：如果原行列式可以表示成若干个与原行列式结构相同的低阶行列式的线性表达式时，即递推关系时，可以用递推法 。 （三）一些行列式的证明题例8 证明：nDncoscos210010cos21001

27、cos21001cos证：用第二类数学归纳法：（1）当n=1时， 结论成立（2）假设对阶数小于n的行列式结论成立。（3）下证当阶数为n时，结论成立.1coscos1D将 按第n列展开nD1111000001cos210000101cos21001cos) 1()cos2(nnnnnDD21cos2nnDD因为 都为阶数小于n的, 由（2）假设知nnnDncos2coscos1cos221,nnDD例9 证明范得蒙德行列式：nijjinnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaD111211222212222121111证：用数学归纳法：（1）当n=2时， 结论成立（2）假设对阶数为n-1

28、的行列式结论成立。（3）下证当阶数为n时，结论成立.1221211aaaaD从最后一行开始，每一行加上上一行 的倍1a21122112312321221221221120000111nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD12112211231232122122122112nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1222233221131211nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa由（2）假设可知：nijjinnaaaaaaaaD211312nijjiaa1 从上面的一系列解法中可以看出：从上面的一系列解法中可以看出：

29、（1）用行列式的运算法则把行列式化为用行列式的运算法则把行列式化为 一个三角一个三角行列式是行列式计算最基本的方法；行列式是行列式计算最基本的方法；（2）识别行列式结构的特殊性，从而把握它们的识别行列式结构的特殊性，从而把握它们的解，是提高行列式计算能力的重要途径解，是提高行列式计算能力的重要途径.（3）行列式的计算方法总的来说有以下几种行列式的计算方法总的来说有以下几种 定义法；用性质化为三角形法；拆项法；定义法；用性质化为三角形法；拆项法； 升阶法；递推法；数学归纳法；利用范德蒙德升阶法；递推法；数学归纳法；利用范德蒙德公式；公式；注意注意： 行列式的计算没有固定的程式行列式的计算没有固定

30、的程式. 三元线性方程组三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa系数行列式系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD ,11DDx ,22DDx .33DDx ,3332323222131211aabaabaabD 对于未知量个数和方程个数相等的二元线性方程组对于未知量个数和方程个数相等的二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa22211211

31、aaaaD 02221211ababD 2211112babaD ,11DDx .22DDx 若若则方程组的解为：则方程组的解为：其中其中类似的求解公式类似的求解公式克莱姆法则克莱姆法则. .Cramer)定义了定义了 n 阶行列式以后阶行列式以后, , 对于对于含有含有 n 个未知数个未知数 n 个方程的线性方程组个方程的线性方程组, , 也有也有 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121110212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD,DDx11 ,DDx22 ,DDxnn nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111 另外另外, , 当方程组中方程的个数