ch1-3函数限的概念

1、2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第1章章 函数、极限、连续函数、极限、连续第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数第第2节节 数列的极限数列的极限第第3节节 函数的极限函数的极限第第4节节 无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量第第5节节 连续函数连续函数2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系2第第3节节 函数的极限函数的极限n3.1 函数极限的概念函数极限的概念n3.2 3.2 函数极限的性质函数极限的性质n3.3 3.3 两个重要极限两个重要极限n3.4 3.4 函数极限的存在准则函数极限的存在准则2008年10月15日南京航空航天大学 理学院

2、数学系3 nxf n ,nN .,f na. n nn nn n 实实际际上上, ,数数列列极极限限可可以以看看作作是是函函数数极极限限的的特特殊殊情情况况, ,因因为为数数列列 x x可可以以看看作作自自变变量量为为n n的的函函数数所所以以数数列列 x x的的极极限限为为a a就就是是指指当当n n取取正正整整数数且且无无限限增增大大即即n n时时 对对应应的的函函数数值值x x无无限限接接近近于于常常数数 ,x,y=f x. 将将上上述述思思想想一一般般化化后后可可考考虑虑所所谓谓的的函函数数极极限限问问题题即即讨讨论论在在自自变变量量 的的某某个个变变化化过过程程中中函函数数的的极极限

3、限2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系4 , 事事实实上上 我我们们主主要要讨讨论论自自变变量量的的两两种种变变化化过过程程: : 000 2xxxx,f x自自变变量量 任任意意地地接接近近于于定定值值, ,或或者者说说x x趋趋向向于于记记为为x x时时 对对应应函函数数值值的的变变化化趋趋势势; ; 1x|x|,f x 自自变变量量 的的绝绝对对值值无无限限增增大大 记记为为x x时时 对对应应函函数数值值的的变变化化趋趋势势. .2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系53.1 3.1 函数极限的概念函数极限的概念1 自变量自变量x趋于趋于时函数的极限时

4、函数的极限2 自变量自变量x趋于有限值趋于有限值x0时函数的极限时函数的极限2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系61 1、自变量自变量x趋于趋于时函数的极限时函数的极限sin.xxx 观察函数当时的变化趋势观察函数当时的变化趋势xxysin 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系7( )( );f xaf xa 表示任意小表示任意小.xMx 表示的过程表示的过程. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.20

5、08年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系8定义1 ( )设 f (x)在 充分大时有M 定义定义x0,0,( ),MxMf xa当时当时使恒有使恒有定义,a是一个常数.若则称当则称当x趋向于无穷时趋向于无穷时, f (x)的的极限是极限是a, 记作记作lim( )( )().xf xaf xa x 或或0,0,( ).MxMf xa使当时 恒有使当时 恒有lim( )xf xa2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系9 x limf xa:,xyaya- , M0,x-MxM,yf x. 的的几几何何意意义义 任任意意给给定定正正数数作作平平行行于于 轴轴的的两两条条直

6、直线线和和介介于于这这两两条条直直线线是是一一带带形形区区域域 由由定定义义知知存存在在一一正正数数使使当当或或时时 函函数数的的图图形形落落在在这这一一区区域域内内aaMMa2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系10 xxysin 例例1 1. 0sinlim xxx证明证明证证sin0 xx 要要使使1x 只须只须1,X 取取xX 当当则则时，恒有时，恒有,sin0 xx . 0sinlim xxx故故:lim( ),( ).xf xcycyf x如果则直线是函数如果则直线是函数的图形的水平的图形的水平定定渐近线渐近线义义0, 1x 即即2008年10月15日南京航空航天大

7、学 理学院 数学系11MM,: 用用方方法法证证题题, ,也也就就是是由由 找找一一般般步步骤骤为为(1)f(x)a( x ),: f(x)a( x ); 将将化化简简或或适适当当放放大大成成即即(2)( x )xM( ); 令令，解解出出(3)MM( )0; 取取(4)M由由语语言言的的叙叙述述可可得得到到证证明明. .2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系12xx 当当时时或或当当时时, ,函函数数的的极极限限xay )1 , 0( xay)1( 注意：另两种情形注意：另两种情形2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系130,0,( ).MxMf xa 使当时

8、 恒有使当时 恒有0,0,( ).MxMf xa 使当时 恒有使当时 恒有lim( )lim( )lim( ).xxxf xaf xaf xa定定且且理理lim( )( )()xf xaf xa x 或或lim( )( )()xf xaf xa x 或或:.10情形情形x:.20情形情形x2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系14 f x0 00 0设设函函数数在在点点x x的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义( (在在x x 处处可可以以无无定定义义) )2、自变量、自变量x趋于有限值趋于有限值x0时的函数极限时的函数极限 00 : 1xx ,xx,f x?问问题题当

9、当 任任意意地地接接近近于于即即时时 对对应应函函数数值值是是否否会会无无限限接接近近于于常常数数a a 2 ?如如何何用用数数学学语语言言对对上上述述过过程程加加以以描描述述2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系15 0:xx,f xa, 分分析析 设设当当过过程程中中对对应应函函数数值值无无限限接接近近于于常常数数 0 xx, |f xa| 当当过过程程中中能能任任意意地地小小 0 xx,0, f xa 当当过过程程中中对对于于任任意意给给定定的的正正数数 00 xx,xx,f xA 注注意意到到当当过过程程中中只只有有充充分分接接近近 的的那那些些 才才能能使使000 x

10、x:0,0 |x-x |,xx . 充充分分接接近近 的的那那些些存存在在一一个个很很小小的的正正数数使使得得2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系16.000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx ( )( );f xaf xa 表示与的接近程度表示与的接近程度2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系17 定义定义定义定义2 2( )设设 f (x)在在x0的附近有定义的附近有定义（在点在点x0处可能没有定义处可能没有定义），a是一个常数是一个常数. .若若则称当则称当x趋向于趋向

11、于x0时时, f (x)的的极限是极限是a, 记作记作00,0,0,( ).xxf xa当时 恒有当时 恒有00lim( )( )()xxf xaf xaxx或当或当定义定义 00,0,0,( ).xxf xa当时 恒有当时 恒有0lim( )xxf xa.与任意给定的正数 有关与任意给定的正数 有关注意注意:2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系18几何解释几何解释)(xfy 0 x0 x0 xxyo0,( ),2.xxyf xya 当 在 的去心 邻当 在 的去心 邻域时 函数域时 函数图形完全落在以直图形完全落在以直线为中心线线为中心线宽为的带形区域内宽为的带形区域内,.

12、显显然然 找找到到一一个个 后后 比比 更更小小的的正正数数也也适适合合 a aa 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系19例例2 2).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任任给给0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例3 3.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成成立立 .lim00 xxxx 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系20000:(1)f(x)A( xx )(2)( xx )xx( )(

13、3)( );(4) 用用方方法法证证题题，也也就就是是由由 找找 ，一一般般步步骤骤为为将将化化简简或或适适当当放放大大成成；令令，解解出出；令令由由语语言言的的叙叙述述可可下下结结论论。2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系21例例4 421231lim1.1xxxx 证证明明证证2231( )11xxf xax 0, ,/2 取取01,x 当时当时函数在点函数在点x =1处没有定义处没有定义. .21x ( ),f xa 要使要使223111,xxx 就就有有21231lim1.1xxxx 21x 即即2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系22例例5 500

14、00,limlimsinsincoscos.xxxxxxxx 证证明明证证sin,xx xR0, , 取取00,xx 当当时时先建立如下不等式先建立如下不等式: :0sinsin,xx 要要使使0sinsin,xx 就就有有00limsinsin.xxxx 0000sinsin2 cossin22xxxxxxxx2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系23圆扇形圆扇形AOB的面积的面积证证: : 当当即即12sin x 12x12tan x 2( 0 ,)x 时，时，显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DCBAx1o2x 当当时时sin1xx0 x 当当时时, ,

15、sin,xx sin,xx 即即综上有综上有sin,xx xRx=0时等号成立时等号成立2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系24例例6 622lim15.xx证明（）证明（）22lim15.xx（）（）证证0, min1,5, 取取 02,x 当时当时22154,xx 要要使使24,x 就就有有(-2)(2)xx 即即-21x 限限制制2245xx则则2.x 只只5 5须须2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系25例例7 7.lim00 xxxx 证证0( )f xaxx0, ,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ( ),f xa 要使要使

16、0,xx 就就有有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx000:0,lim.xxxxx证明 当时证明 当时2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系26小结小结.)4(min)()3()()()2()()()1(:000语言的叙述可下结论语言的叙述可下结论由由；，或，或令令；，解出，解出令令；化简或适当放大成化简或适当放大成将将，一般步骤为，一般步骤为找找方法证题，也是由方法证题，也是由用用 xxxxxxAxf2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系2700R,lim( )xxxD x不 ,不 ,EX.EX.用定义证明用定义证明( )D xDiri

17、chlet其中其中为函数.为函数.证明证明*10 ,|,R Q,2ax 对于任意的若取对于任意的若取满足满足,|00* xx0,xR01,2aR 以及取以及取*01|()| |.2D xaa 则则*01|,Q,0|,2axxx 若若取取满满足足则则*01|()| |1|.2D xaa 00lim( ),0,0,(, ),() 不不aaxxaaf xaRxU xf xa2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系28 000 xx00 limf xA,xxxxxx . 在在函函数数极极限限的的定定义义中中是是指指 既既从从的的左左侧侧也也从从 的的右右侧侧趋趋近近于于 但但有有时时某某

18、些些函函数数在在其其定定义义域域上上某某些些点点左左侧侧与与右右侧侧的的解解析析式式不不同同( (如如分分段段函函数数定定义义域域上上的的某某些些点点) ), ,或或函函数数在在某某些些点点仅仅在在其其一一侧侧有有定定义义( (如如在在定定义义区区间间的的端端点点处处) ), ,这这时时函函数数在在那那些些点点上上的的极极限限只只能能单单侧侧的的给给出出定定义义. .2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系29 22x , x0 f x,x, x 0 x00, f xxx00, f xx 例如函数例如函数当而趋于 时 应按照来考虑函数值的变当而趋于 时 应按照来考虑函数值的变化趋

19、势;而当而趋于 时 应按照来考察.化趋势;而当而趋于 时 应按照来考察. 000:f xx,A. 0,xxx, f(x)A 定定义义 设设函函数数在在点点 的的某某一一左左邻邻域域内内有有定定义义为为常常数数 若若对对于于任任意意给给定定的的正正数数总总存存在在正正数数使使得得当当时时 有有 000 xxAf xxx, limf xA f xA xx. 则则称称常常数数 为为函函数数当当时时的的左左极极限限 记记作作或或 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系30 000:f xx,A. 0,xxx, f(x)A 定定义义 设设函函数数在在点点 的的某某一一右右邻邻域域内内有有

20、定定义义为为常常数数 若若对对于于任任意意给给定定的的正正数数总总存存在在正正数数使使得得当当+ + 时时 有有 000 xxAf xxx, limf xA f xA xx. 则则称称常常数数 为为函函数数当当时时的的右右极极限限 记记作作或或 00000 xxxx: , fxf x0limf x , f x0 limf x 注注左左极极限限和和右右极极限限统统称称为为单单侧侧极极限限 函函数数 在在点点 的的左左、右右极极限限又又分分别别记记为为 = = =2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系31右极限右极限00000,0,( ).xxf xAxxx 当时 恒有当时 恒有（

21、）（）000:000 xxxxxxxxx 注意注意00lim( )(0).xxf xaf xa 记作或记作或左极限左极限00000,0,( ).()xxf xaxxx 当时 恒有当时 恒有00lim( )(0).xxf xaf xa 记作或记作或000lim( )(0)(0).xxf xaf xf xa定理定理2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系320lim0.xxxxx验证不存在 函数在 处无定义yx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,.)(lim0不存在不存在xfx例例8 8证证1)1(lim0 xxxxxxx 00liml

22、im11lim0 x000(0)(0)lim( ).xxf xf xf x若不若不注意：注意：2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系33函数极限的归并原理函数极限的归并原理目的：将目的：将函数极限函数极限归结为归结为数列极限数列极限0lim( )xxf xa O00(), lim ()()nnnnxU xxxf xa n 若若就有就有HeineHeine定理：定理：-函数极限与数列极限之间的关系函数极限与数列极限之间的关系2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系34(),nf xa 从而有从而有证证0lim( )xxf xa 00,0,0,( ).使使有有xxf

23、xa00lim,nnnxxxx又且又且00,0. 对对上上述述使使nNNnNxxlim().nnf xa 故故0o0o00:()lim( )(),(),lim().xxnnnnfU xRf xaxU xxx nf xa 设为一函数，则设为一函数，则满足有满足有定理定理3.1(Heine定理）定理）2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系35证证用反证法！用反证法！00,(),lim()lim( )nnnnxxxxx nf xaf xa 若满足有，若满足有，则则o0000,0,(, ),()使使xU xf xa0lim( )xxf xa设设o001(),(,),() 取取则则使使n

24、nnnnNxU xf xan o0()nxU x 0()nxx n lim()nnf xa 与条件矛盾！与条件矛盾！即，要证2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系36用Heine定理判断函数极限不存在0lim( )xxf xa 000()0, lim()nnnnxD fxxf xa 及满足且 o(1)(2)(1)(2)(1)(2)00,(, )limlim,limlimnnnnnnnnnnxxU xxxxfxfx 满足且2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系3701limsinxx证明极限不存在证明极限不存在(1)(2)11, 22nnxxnn 分分别别取取 (

25、1)(2)limlimsin0, limlimsin 21.2nnnnnnfxnfxn 则则 例例9 9证明证明limsinxx同理可证证明极限不存在同理可证证明极限不存在：2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系383.2 3.2 函数极限的性质函数极限的性质(1) 唯一性唯一性(2) 有界性有界性(3) 保号性保号性(4) 保不等式性保不等式性(5) 夹逼性夹逼性(6) 四则运算法则四则运算法则(7) 复合函数极限性质复合函数极限性质2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系39(2) 局部有界性局部有界性() 唯一性唯一性定理定理3.2(1) 3.2(1) (极

26、限的唯一性极限的唯一性) 00lim( )lim( ).xxxxf xaf xbab 若若，00 lim( )0( )xxof xaf xU x若若, ,在 （, )是有界的.在 （, )是有界的.定理定理3.2(2) 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系40推论推论(3) 局部保号性局部保号性00lim( )(0)0( )0(, ),(0).0 xxoafxUxfxx 定定理理3 3. .3 3( (1 1) )若若或或有有或或 ，00( )00,(, ),(0)lim( )(0)0.oxxxUfxf xaxaa 若 若 且且或或推广推广000lim( )(lim( )0(

27、, ),( ).( )xxxxof xf xarxUarf xrxf xr 若或，有或2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系41定理定理3.3(2)3.3(2) (4) 保不等式性质保不等式性质000lim( )lim( )0(,),).( )(xxxxoaf xag xbxU xbf xg x 已已知知，且且有有推论推论 0000,(,),lim( )lim( )( )( ).,oxxxxxU xf xagf xg xabxb 有有且且，2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系42(5) (5) 夹逼准则夹逼准则00000,(, ),lim( )( )( )li

28、m()l)im( ).oxxxxxxf xxg xaxU xf xgxaxa （夹逼准则）（夹逼准则）若有若有且，且，定理3.3(3)定理3.3(3)2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系43因此由夹逼性得因此由夹逼性得0lim(1 cos )1 ;xx解解 由由22201 cos2sin2.222xxxx 则则0limcos1xx例例 证明证明0limcos1xx2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系44(6) 极限的有理运算法则极限的有理运算法则00000lim( ),lim( ),(1) lim ( )( );(2) lim ( )( );( )(3) l

29、im,0.( )xxxxxxxxxxf xag xbf xg xabf xg xa bf xabg xb 设则设则其中其中定理3.4定理3.42008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系45推论推论1 1000lim( ),lim( )lim( ).xxxxxxf xccf xcf x 如果存在 而 为常数 则如果存在 而 为常数 则常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.000lim( ),lim ( )lim( ) .xxnnxxxxf xnf xf x 如果存在 而 是正整数 则如果存在 而 是正整数 则推论推论2 22008年10月15日南京航空航天大学 理

30、学院 数学系46Z 思考思考 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系47思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系48例例2 2.531lim232 xxxx求求解解)53(l

31、im22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系49小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )

32、()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系50解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零零的的无无穷穷小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型0()0型未定式2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系510(1)11.lim()nxxnNx n 31312.lim()11xxx 2331

33、1213(1)(1)(1)limlim(1)(1)(2)lim1xxxxxxxxxxxx 练练 习习1 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系52例例4 4).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系53() 复合函数极限性质复合函数极限性质2008年

34、10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系5400lim( ),( )000uufafuuuua 恒恒有有00lim( )xxg xu 又10,0, 对对于于上上面面的的0100,( )xxg xu恒有恒有00( )lim ( )lim( )( ),!xxuuf uaf g xf uaf g xa 有有由极限定义得得证由极限定义得得证证明证明1,00000min,(),(00)0(),g xug xugxxux 当当时时取取有有即即2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系5500lim ( )lim( ),xxuuf g xf ua： 复合函数求极限性质： 复合函数求极限性质注

35、意注意表明：表明：0000lim ( )( )lim( )lim( )xxuuxxf g xug xf uug x 求可作变量代换：求可作变量代换：将其化为求，这里将其化为求，这里.求极限可作变量代换的理论依据求极限可作变量代换的理论依据意义意义2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系56解解: : 令2233lim.9xxx求31lim93lim323 xxxxxux3lim61 原式原式 =162limuu216 136 例例5 523:( )9xug xx 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系57解解: : 令.93lim23 xxx求求31lim93li

36、m323 xxxxxux3lim61 原式原式 =16limuu16 66 例例6 623:( )9xug xx 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系583.3 3.3 两个重要极限两个重要极限11sinlim0 xxx2exxx )11(lim2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系5911sinlim0 xxxsincos1xxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积证证: : 当当即即12sin x 12x12tan x 2( 0 ,)x 时，时，2(0)x 0limcos1 ,xx 0sinlim1xxx显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积DCBA

37、x1o故有故有注注211(0)sincosxxxx (P50,例例3.8)2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系60例例1 10sin 3lim.xxx求求解解0sin3lim33xxx 原式原式0sin33lim3xxx 3 13. 000tansin1limlimlim1.cosxxxxxxxx 类类似似地地，2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系61例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 2008年10月15日南京航空航天大学 理学院 数学系622exxx )11(lim证明思路证明思路: (1)利用数列极限利用数列极限 证明证明 1lim(1)xxex ennn )11(lim1lim(1)xx