用频率估计概率

1、2 用频率估计概率第三章 概率的进一步认识 经历试验、统计等活动，能用试验的方经历试验、统计等活动，能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率法估计一些复杂的随机事件发生的概率学习目标学习目标 1. 1.重点：用试验的方法估计一些复杂重点：用试验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率。随机事件发生的概率。 2.2.难点：试验方案的设计。难点：试验方案的设计。教学重点和难点教学重点和难点 必然事件必然事件发生的概率为发生的概率为1(1(或或100%),100%), 记作记作P(P(必然事件必然事件)=1;)=1; 不可能事件不可能事件发生的概率为发生的概率为0,0, 记作记作P(P(不可能事件

2、不可能事件)=0;)=0; 随机事件随机事件(不确定事件不确定事件) )发生的概率介于发生的概率介于0 0到到1 1之之间间, ,即即0P(0P(不确定事件不确定事件)1.)1. 如果如果A A为为随机事件随机事件(不确定事件不确定事件),),那么那么0P(A)1.0P(A)1.复习回顾复习回顾事件事件A的的概率概率的定义的定义: : 一般地，在一般地，在大量重复试验大量重复试验中，如果中，如果事件事件A A发生的频率发生的频率 会稳定在某个会稳定在某个常常数数p p附近，那么这个附近，那么这个常数常数p p叫做事件叫做事件A A的的概率概率。nm记为记为P(A)=p 或或 P(A)=nm概率

3、概率: :事件发生的可能性事件发生的可能性, ,也称为事件发生的概率也称为事件发生的概率. .频数频数:在实验中在实验中, ,每个对象出现的次数称为频数。每个对象出现的次数称为频数。频率频率:所考察对象出现的次数与实验的总次数的比所考察对象出现的次数与实验的总次数的比叫做频率。叫做频率。频率频率=A可能发生的情况可能发生的总情况下列事件下列事件, ,是确定事件的是是确定事件的是( )( )A.A.投掷一枚图钉投掷一枚图钉, ,针尖朝上、朝下的概率一样针尖朝上、朝下的概率一样B.B.从一副扑克中任意抽出一张牌从一副扑克中任意抽出一张牌, ,花色是红桃花色是红桃C.C.任意选择电视的某一频道任意选

4、择电视的某一频道, ,正在播放动画片正在播放动画片D.D.在同一年出生的在同一年出生的367367名学生中名学生中, ,至少有两人的生日是同至少有两人的生日是同一天一天D D你认为在多少个同学中，才一定会有你认为在多少个同学中，才一定会有2 2个同学的生日个同学的生日相同呢相同呢? ?300300位同学中一定会有位同学中一定会有2 2个同学的生日相同吗个同学的生日相同吗? ?400400位呢位呢? ?你是怎么想的？你是怎么想的？生日相同的概率生日相同的概率 这是老师统计的某班的这是老师统计的某班的5555位同学的生日位同学的生日这能说明这个班这能说明这个班5555位同学中有位同学中有2 2个同

5、学的生日相同的个同学的生日相同的概率是概率是1 1吗？吗？04.2004.2006.2806.2809.1609.16有人说有人说:“50:“50个同学中，就很有可能有个同学中，就很有可能有2 2个同学的个同学的生日相同生日相同.”.”这话正确吗？为什么？这话正确吗？为什么？【猜想猜想】每个同学课外调查每个同学课外调查1010个人的生日个人的生日, ,从全班的调查结果中从全班的调查结果中随机选取随机选取5050个被调查人个被调查人, ,看看他们中有无看看他们中有无2 2个人的生日相个人的生日相同同. .将全班同学的调查数据集中起来将全班同学的调查数据集中起来, ,设计一个方案设计一个方案, ,

6、估估计计5050个人中有个人中有2 2个人的生日相同的概率个人的生日相同的概率. .在另一个班中的在另一个班中的5050位同学中没有任何位同学中没有任何2 2个同学的生日相同个同学的生日相同. .那么能说明那么能说明5050个同学中有个同学中有2 2个同学生日相同的概率是个同学生日相同的概率是0 0吗？吗？【验证验证】1.1.要想使这种估计尽可能精确要想使这种估计尽可能精确, ,就需要尽可能多就需要尽可能多地增加调查对象地增加调查对象, ,而这样做既费时又费力而这样做既费时又费力. .2.2.有没有更为简洁的方法呢？有没有更为简洁的方法呢？3.3.能不能不用调查即可估计出这一概率呢？能不能不用

7、调查即可估计出这一概率呢？1.1.分别在表示分别在表示“月月”和和“日日”的盒子中各抽出一张的盒子中各抽出一张纸片，用来表示一个人的生日日期，并将这个结果纸片，用来表示一个人的生日日期，并将这个结果记录下来，为一次试验抽完后分别放回相应的盒记录下来，为一次试验抽完后分别放回相应的盒子中子中2.2.将上面的操作进行将上面的操作进行5050次，这样我们就可以得到次，这样我们就可以得到5050位同学的模拟生日位同学的模拟生日3.3.检查上面的检查上面的5050个模拟生日，其中有没有个模拟生日，其中有没有2 2个人的生个人的生日是相同的？日是相同的？【模拟模拟】5050个人中，有个人中，有2 2个人生

8、日相同是非常可能的，（实个人生日相同是非常可能的，（实际上该问题的理论概率约为际上该问题的理论概率约为9797）课外调查的课外调查的1010个人的生肖分别是什么？他们中有个人的生肖分别是什么？他们中有2 2个人个人的生肖相同吗？的生肖相同吗？6 6个人呢？利用全班的调查数据设计一个人呢？利用全班的调查数据设计一个方案，估计个方案，估计6 6个人中有个人中有2 2个人生肖相同的概率个人生肖相同的概率【结论结论】【跟踪训练跟踪训练】先考虑一个比较简单的问题先考虑一个比较简单的问题: :一个口袋中有一个口袋中有8 8个黑球和若干个白球个黑球和若干个白球, ,如果不许将如果不许将球倒出来数球倒出来数,

9、 ,那么你能估计出其中的白球数吗那么你能估计出其中的白球数吗? ?小明是这样做的小明是这样做的: :从口袋中随机摸出一球，记下从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中其颜色，再把它放回口袋中. .不不断重复上述过程断重复上述过程. .我共摸了我共摸了200200次次, ,其中有其中有5757次摸到黑球次摸到黑球, ,因此因此我估计口袋中大约有我估计口袋中大约有2020个白球个白球. .你能说说小明这样做的道理吗你能说说小明这样做的道理吗? ?假设口袋中有假设口袋中有x x个白球个白球, ,通过多次试验通过多次试验, ,我们可以估计出我们可以估计出从口袋中随机摸出一球从口袋中随机摸出一

10、球, ,它为黑球的概率它为黑球的概率；另一方面另一方面, ,这个概率又应等于这个概率又应等于 , ,据此可估计出白球数据此可估计出白球数x.x.x88【解析解析】设口袋中有设口袋中有x x个白球，得个白球，得x8820057解得解得: x 20: x 20答答: :口袋中的白球大约有口袋中的白球大约有2020个个用频率估计概率：试验频率用频率估计概率：试验频率 理论概率理论概率小亮是这样做的小亮是这样做的: :利用抽样调查的方法利用抽样调查的方法, ,从口袋中一从口袋中一次随机摸出次随机摸出1010个球，求出其中黑球个球，求出其中黑球数与数与1010的比值的比值, ,再把球放回口袋中再把球放回

11、口袋中. .不断重复上述过程不断重复上述过程. .我总共摸了我总共摸了2020次次, ,黑球数与黑球数与1010的比值的平均数为的比值的平均数为0.25,0.25,因此我估计口袋中大约有因此我估计口袋中大约有2424个白球个白球. .你能说说小亮这样做的道理吗你能说说小亮这样做的道理吗? ?假设口袋中有假设口袋中有x x个白球个白球, ,通过多次抽样调查通过多次抽样调查, ,求出样本中求出样本中黑球黑球数数与总球数比值的与总球数比值的“平均水平平均水平”, ,这个这个“平均水平平均水平”应接近于应接近于 , ,据此据此, ,我们可以估计出白球数我们可以估计出白球数x x的值的值. .x88【解

12、析解析】设口袋中有设口袋中有x x个白球，得个白球，得x8825.0解得解得x24x24答答: :口袋中的白球大约有口袋中的白球大约有2424个个用样本估计总体用样本估计总体: : 样本平均数样本平均数 总体平均数总体平均数 一个口袋中有一个口袋中有8 8个黑球和若干个白球个黑球和若干个白球, ,如果不许将球倒出如果不许将球倒出来数来数, ,那么你能估计出其中的白球数吗那么你能估计出其中的白球数吗? ?小明：小明：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中口袋中. .不断重复上述过程不断重复上述过程. .我共摸了我共摸了200200次次, ,

13、其中有其中有5757次摸到次摸到黑球黑球, ,因此我估计口袋中大约有因此我估计口袋中大约有2020个白球个白球. .解：解：设口袋中有设口袋中有x x个白球，得个白球，得 解得解得: x 20: x 20答答: :口袋中的白球大约有口袋中的白球大约有2020个个 一个口袋中有一个口袋中有8 8个黑球和若干个白球个黑球和若干个白球, ,如果不许将球倒出如果不许将球倒出来数来数, ,那么你能估计出其中的白球数吗那么你能估计出其中的白球数吗? ?小亮：小亮：利用抽样调查的方法利用抽样调查的方法, ,从口袋中一次随机摸出从口袋中一次随机摸出1010个个球，求出其中黑球数与球，求出其中黑球数与1010的

14、比值的比值, ,再把球放回口袋中再把球放回口袋中. .不断重不断重复上述过程复上述过程. .我总共摸了我总共摸了2020次次, ,黑球数与黑球数与1010的比值的平均数为的比值的平均数为0.25,0.25,因此我估计口袋中大约有因此我估计口袋中大约有2424个白球个白球. .答答: :口袋中的白球大约有口袋中的白球大约有2020个个解：解：设口袋中有设口袋中有x x个白球，得个白球，得解得解得x24x24方法对比方法对比: :一个口袋中有一个口袋中有8 8个黑球和若干个白球个黑球和若干个白球, ,如果不许将球如果不许将球倒出来数倒出来数, ,那么你能估计出其中的白球数吗那么你能估计出其中的白球

15、数吗? ?小亮：小亮：利用抽样调查的方法利用抽样调查的方法, ,从从口袋中一次随机摸出口袋中一次随机摸出1010个球，求个球，求出其中黑球数与出其中黑球数与1010的比值的比值, ,再把球再把球放回口袋中放回口袋中. .不断重复上述过程不断重复上述过程. .我总共摸了我总共摸了2020次次, ,黑球数与黑球数与1010的比的比值的平均数为值的平均数为0.25,0.25,因此我估计口因此我估计口袋中大约有袋中大约有2424个白球个白球. .答答: :口袋中的白球大约有口袋中的白球大约有2020个个解：解：设口袋中有设口袋中有x x个白球，得个白球，得解得解得x24x24小明：小明：从口袋中随机摸

16、出一球，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中记下其颜色，再把它放回口袋中. .不断重复上述过程不断重复上述过程. .我共摸了我共摸了200200次次, ,其中有其中有5757次摸到黑球次摸到黑球, ,因此我估计因此我估计口袋中大约有口袋中大约有2020个白球个白球. .解：解：设口袋中有设口袋中有x x个白球，得个白球，得 解得解得: x 20: x 20答答: :口袋中的白球大约有口袋中的白球大约有2020个个分组活动分组活动: :在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球. .(1)(1)分别利用上述两种方法估计口袋中所放

17、的白球的分别利用上述两种方法估计口袋中所放的白球的个数个数. .(2)(2)各个小组记录试验次数与试验数据各个小组记录试验次数与试验数据. .(3)(3)根据小组收集的数据，估计出口袋里的白球根据小组收集的数据，估计出口袋里的白球【实验实验】(5)(5)将各组的数据汇总将各组的数据汇总, ,并根据这个数据估计一个口并根据这个数据估计一个口袋中的白球数袋中的白球数, , 看看估计结果又如何看看估计结果又如何. .(6)(6)为了使估计结果较为准确为了使估计结果较为准确, ,应该注意些什么应该注意些什么? ?(4)(4)打开口袋，数数口袋中白球的个数，你的估计打开口袋，数数口袋中白球的个数，你的估

18、计值和实际一致吗？为什么？值和实际一致吗？为什么？ 从理论上讲从理论上讲, ,如果试验总次数足够多如果试验总次数足够多, ,那么小明的方法那么小明的方法应当是比较准确的应当是比较准确的, ,但实践中人们不能无限度地重复试验但实践中人们不能无限度地重复试验，故其实际意义不大，故其实际意义不大 相比较而言相比较而言, ,小亮的方法具有现实意义小亮的方法具有现实意义. .当然当然, ,当总数当总数较小时较小时, ,用小亮的方法估计用小亮的方法估计, ,其精确度可能较差其精确度可能较差, ,但对于许但对于许多实际问题多实际问题( (其总数往往较大其总数往往较大),),这种精确度是允许的这种精确度是允许

19、的, ,而而且这种方法方便可行且这种方法方便可行. .应用的是：应用的是：试验频率试验频率理论概率理论概率应用的是：应用的是：样本平均数样本平均数总体平均数总体平均数1.1.如果口袋中只有若干个白球如果口袋中只有若干个白球, ,没有其他颜色的球没有其他颜色的球, ,而且不允许将球倒出而且不允许将球倒出, ,那么你如何估计出其中的白球那么你如何估计出其中的白球数呢数呢? ?方法一方法一: : 向口袋中另放几个黑球向口袋中另放几个黑球; ;方法二方法二: : 从口袋中抽出几个球并将它们染成黑色或从口袋中抽出几个球并将它们染成黑色或做上标记做上标记【跟踪训练跟踪训练】【解析解析】设鱼塘里有设鱼塘里有

20、x x条鱼条鱼, ,则则2.2.现在你能设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数吗？请现在你能设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数吗？请写出你的方案写出你的方案. .方案方案: : 可以先捞出可以先捞出m m条鱼，将它们作上标记，然后放回池条鱼，将它们作上标记，然后放回池塘经过一段时间后，再从中随机捞出塘经过一段时间后，再从中随机捞出b b条鱼，其中有标记条鱼，其中有标记的鱼有的鱼有a a条条, , 并以并以 比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此估计鱼塘里鱼的数量比例，据此估计鱼塘里鱼的数量bax xm mb ba a= =答答: :鱼塘中鱼的数量大约有鱼塘中鱼的数量大约

21、有 条条 a abmbm解得解得 x=bma 【例例1 1】小明小明想知道自家鱼塘中鱼的数量，她想知道自家鱼塘中鱼的数量，她先从鱼塘中捞出先从鱼塘中捞出100100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出，等鱼完全混合后，第一次捞出100100条鱼，其中有条鱼，其中有4 4条带标记的鱼，放回混合后，第二次又捞出条带标记的鱼，放回混合后，第二次又捞出100100条鱼条鱼，其中有，其中有6 6条带标记的鱼，请你帮她估计鱼塘中鱼的条带标记的鱼，请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少？数量是多少？【例题例题】解解:设鱼塘中鱼的数量有设鱼塘中鱼的数量有x x条，依题

22、意得，条，依题意得， 解得解得x=2000.x=2000.所以估计鱼塘中鱼的数量大约有所以估计鱼塘中鱼的数量大约有20002000条条. .【例例2 2】一个口袋中有一个口袋中有1010个红球和若干个白球，请通过以个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中共摸了试验中共摸了200200次，其中次，其中5050次摸到红球次摸到红球. .求口袋中有多少求口袋中有多少个白球个白球. .【解析解析】设口袋中有白球

23、设口袋中有白球x x个，则有个，则有200501010 x解得：解得：x=30. x=30. 所以口袋中大约有白球所以口袋中大约有白球3030个个. .【例题例题】某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉2020只黄羊给它只黄羊给它们分别作好记号然后放还，带有标记的黄羊完全混合于们分别作好记号然后放还，带有标记的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉黄羊群后，第二次捕捉4040只黄羊，发现其中有只黄羊，发现其中有2 2只有标只有标记记. .从而估计这个地区有黄羊多少只？从而估计这个地区有黄羊多少只？解：解：设该地区有黄羊设该地区有黄羊x x只，则有只，则有20240

24、 x解得：解得：x=400. x=400. 所以该地区大约有黄羊所以该地区大约有黄羊400400只只. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.（郴州（郴州中考）小颖妈妈经营的玩具店某次进了一中考）小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球箱黑白两种颜色的塑料球3 0003 000个，为了估计两种颜个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.70.7附近波附近波动

25、，据此可以估计黑球的个数约是动，据此可以估计黑球的个数约是 210021002.2.小明家是养鸭专业户，有一天小亮到他家去玩，看到小明家是养鸭专业户，有一天小亮到他家去玩，看到他家门前的水库里黑压压的一片鸭群，他先捕了他家门前的水库里黑压压的一片鸭群，他先捕了100100只作只作好标记，然后放回水库，经过一段时间，第二次捕了好标记，然后放回水库，经过一段时间，第二次捕了100100只，其中带标记的鸭子有只，其中带标记的鸭子有2 2只，小亮可估计出小明家有多只，小亮可估计出小明家有多少只鸭子？少只鸭子？解：解：设小明家有鸭子设小明家有鸭子x x只，则有只，则有1002100 x解得：解得：x=5

26、 000. x=5 000. 所以小明家大约有鸭子所以小明家大约有鸭子5 0005 000只只. .3.3.某鱼塘放养鱼苗某鱼塘放养鱼苗1010万条，根据这几年的经验知道，鱼万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为苗成活率为95%95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出4040条，称得平均每条鱼重条，称得平均每条鱼重2.5kg2.5kg，第二网捞出，第二网捞出2525条，称条，称得平均每条鱼重得平均每条鱼重2.2kg2.2kg，第三网捞出，第三网捞出3535条，称得平均每条条，称得平均每条鱼重鱼重2.8kg2.8kg，试估计鱼塘中鱼的总质量，试估计鱼塘中鱼的总质量. .解：解：设鱼塘有鱼设鱼塘有鱼xkgxkg，则有，则有100 000 95%40253540 2.525 2.235 2.8x解得：解得：x=240 350. x=240 350. 答：该鱼塘中鱼的总质量约为答：该鱼塘中鱼的总质量约为240 350kg.240 350kg.频率与概率的异同频率与概率的异同 事件发生的概率是一个定值。事件发生的