双曲型方程的差分方法Ippt课件

1、1第三章第三章 双曲型方程定解问题双曲型方程定解问题 的有限差分法的有限差分法3.1 一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程3.2 一阶线性常系数双曲型方程组一阶线性常系数双曲型方程组3.3 变系数双曲型方程及方程组变系数双曲型方程及方程组2双曲型方程初值问题双曲型方程初值问题一阶偏微分方程隶属于双曲型微分方程一阶偏微分方程隶属于双曲型微分方程222222uuuuuabcdefugxx yyxy 20bac例如例如动摇方程动摇方程:222(0)uauf at 二阶线性微分方程是双曲型微分方程二阶线性微分方程是双曲型微分方程3u定义在定义在xt平面上的一个区域内平面上的一个区域内.(一

2、一) 一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程下面调查方程解下面调查方程解u在定义域内直线在定义域内直线x=at+C上的变化规律上的变化规律.( , )( ( ), )uu x tu x t tduu dxudtx dttuuaxt0 解解u在直线在直线x=at+C上的等于常数上的等于常数.00,0( ,0)(x),.uuaxR ttxu xuxR 4解解u在直线在直线x=at+C上的等于常数上的等于常数恣意在恣意在xt平面上方程定义域内取点平面上方程定义域内取点在此点做特征线在此点做特征线x=at+C, 那么那么与与t=0交于点交于点00(, ).x t-特征线特征线00Cxat00

3、(,0).xat 0000000(, )(,0)().u x tu xatu xat由点由点00(, )x t恣意性恣意性, 可知可知0( , )().u x tu xat解解u在直线在直线x=at+C上的等于常数上的等于常数.511110,0,0,0.nnnnjjjjnnnnjjjjuuuuaahuuuuaah 1.迎风格式迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来替代。来替代。61100nnnnjjjjuuuuaah 11()nnnnjjjjnnikjhjuuauuuv e 取取( , )1(1)1(1cos)i(sin)ikhGkaea

4、khakh 722222222422222| ( , )|1(1 cos)sin(1 4sin4sin) 4sin(1 sin)22221 4(1)sin2Gkakhakhkhkhkhkhaaakhaa ( , )1(1)1(1cos)i(sin)ikhGkaeakhakh 条件稳定条件稳定条件满足条件满足1,| ( , )|1,Von NeumannaGk8110,nnnnjjjjuuuuaah 条件稳定条件稳定10a 1(1)nikhnvaa ev 0,|1|( , )| 1.aaG k 222222|( , )|(1cos)sin=1+4(1+)sin2G kaakhakhkhaa911

5、00,( , )1,nnnnjjjjikhuuuuaahG kaa e ：2222222|( , )|(1cos)sin=1+4(1+)sin2sin0,0 |( , )| 12G kaakhakhkhaakhaG k ，绝对不稳定绝对不稳定绝对不稳定绝对不稳定110:0,nnnnjjjjuuuuaah 同理同理10绝对不稳定绝对不稳定110:0,nnnnjjjjuuuuaah 课堂练习课堂练习证明：证明：11差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。110:0,nnnnjjjjuuuuaah 1100nnnnjjjjuuuuaah ：110:

6、0nnnnjjjjuuuuaah 所用网格点所用网格点1211111(| |)()(| |)() ,22nnnnnnjjjjjjuuaauuaauu 1111111()| | (2).22nnnnnnnjjjjjjjuuauuauuu 迎风格式一致方式迎风格式一致方式1311-1232232232320211(,)(,)(,)11(, )( ,)26(, )( ,)26,(,).(,)()nnnnjjjjjntjnoxjnnjnjjnnnjjjnuuuuahT x tu x tau x thuuuuaxahttxtxuahuxttxttxh xhT x tOh 中中心心差差分分格格式式其其中中

7、（）2 Lax-Friedrichs格式格式142222( , )1()1i(sin)2| ( , )|1sin.ikhikhaGkeeakhGkakh 改进：绝对不稳定绝对不稳定sin0, | ( , )|1khGk 11-102nnnnjjjjuuuuah中心差分格式111111()202nnnnnjjjjjuuuuuah 1511111221()202( , )()()nnnnnjjjjjuuuuuahhT x tOhO 222222221( , )()()22cossin,|( , )|cossin1(1)sin1.|1ikhikhikhikhaG keeeekhiakhG kkhak

8、hakha nnikjhjuv e 取取11()()22nikhikhikhikhnaveeeev 那么稳定那么稳定16Lax-Friedrichs格式可以不思索特征线走向，格式可以不思索特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。但截断误差比迎风格式的截断误差大。173. Lax-Wendroff格式格式2阶精度阶精度22312(,)(, )().2nnjnjnjjuuu x tu x tOtt 211221121(, )(, )(),21(, )2 (, )(, )()2njnjnjnjnjnjnjuu xtu xtO hxhuu xtu x tu xtO hxh 22222,uuuuu

9、aaatxttxx 222312(,)(, )().2nnjnjnjjuauu x tu x taOxx 18 22111112(2)22nnnnnnnjjjjjjjaauuuuuuuhh )(),(3222 hhOtxT2222224( , )1(cos1)isin14(1)sin2G kakhakhkhaa| ( , )|1| |1G ka19左偏心格式左偏心格式110nnnnjjjjuuuuah P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上的函数值内节点上的函数值-依赖区域依赖区域( , )j k4. Courant-Friedrichs-Lewy条件条件C.F.L条件条件xt( , )j

10、 k(, )jkx t (,0)j kD x (,0)jC xP20P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上的函数值内节点上的函数值-依赖区域依赖区域点点 的微分方程解依赖区域的微分方程解依赖区域应在差分方程的依赖区域应在差分方程的依赖区域DC内内, 否那么解不收敛否那么解不收敛. 即即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域 PCD微分方程微分方程的解的解C.F.L条件条件,xtPjn jDDCn21.h 其其中中0ha jjjxnhxanx natPDDCn001aa 0jjaxanx 不收敛不收敛D22微分方程解的依赖区域不属于差分方

11、程解的依赖区域右偏心格式右偏心格式C.F.L条件条件jjnj njjjxxatxxxanxnh 0100:jjaaaxanx ：不不收收敛敛10,.ah 其其中中110nnnnjjjjuuuuah 23Lax-Wendroff格式的格式的C.F.L条件条件j njnj njjjxxatxxnhxanxnh hah | |1,.ah 其其中中24C.F.L条件条件差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域CFL是格式收敛的必要条件是格式收敛的必要条件.251Lax-Wendroff（ ）格格式式：22( , )1(cos-1)-isin| ( , )|1|

12、|1G kakhakhG kaLaxC.F.L由由等等价价定定理理，条条件件是是收收敛敛充充分分条条件件。C.F.L| |1a 条条件件也也是是稳稳定定性性条条件件26111202nnnnjjjjuuuuah （ ）中心差分格式，不稳定，不稳定，| |1a ，C.F.L条件下不收敛条件下不收敛C.F.L条件仍为条件仍为( , )1()21i(sin)ikhikhaGkeeakh 2222| ( , )|1sinsin0,Gkakhkh，| ( , )|1Gk 27课堂练习课堂练习1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的心格式、中心差分

13、格式的C.F.L条件。条件。285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式11111)( kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL两点式，29)()()(111112 kkkkkkkxxxxxxxxyxL)()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxy.)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy 30PBAC)1( ,(),(:),)1(),(:),(),(:),)1(),(:111 njhtxPnhjtxCnjhtxBnhjtxAnjnjnjnj设设A,B,C处的值知，下面来确定点处的值知，下面来确定点P处的值处的值u(P)31-,- (1

14、),BCQ(-,)x atCCjh a njh a n （）与相交于PBCDQ1.由由B、C线性插值求线性插值求u(Q)2.由由B、D线性插值求线性插值求u(Q)3.由由B、C、D二次插值求二次插值求u(Q)过过P做特征线做特征线( )(Q)u Pu32B，C点插值点插值PBCD11111( )kkkkkkkkxxxxL xyyxxxx Q( )( )( )( )xxxxxxxxCQQBu Pu Qu Bu CCBCB(-,)Q jh a n1111(1)(1)()nnnjjjnnjjnnnjjjjhjhajhajhuuuhhaua uuauu 0a 时时的的迎迎风风格格式式33B，D点插值点

15、插值PBCD11111( )( -,)( )( )( )( )kkkkkkkkxxxxxxxxxxxxL xyyxxxxQ jh a nDQQBu Pu Qu Bu DDBDB Q111111111(1)(1)2211(1)(1)2211()()22nnnjjjnnjjnnnnjjjjjhjhajhajhuuuhhauauuuauu Lax Friedrichs 格格式式34B，C, D点插值点插值)()()(111112 kkkkkkkxxxxxxxxyxL)()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxy.)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy 35)()()()(2xxxxxxxxDBCBDQCQBuxL )()()(xxxxxxxxDCBCDQBQCu .)()()(xxxxxxxxCDBDCQBQDu )2(2211222111njnjnjnjnjnjnjuuuhauuhauu Lax-Wendroff格式格式366.蛙跳格式蛙跳格式111-1022nnnnjjjjuuuuah 111-1()nnnnjjjjuuauu 11-11().nnnnjjjjnnjjuvauuhvu 111 , 0010001000Tnnn