内蒙古工业大学第三章误差分析与测量结果表示

1、误差的概念误差的概念 我们对自然界中所有的量进行实验和测量时，我们对自然界中所有的量进行实验和测量时，由于参与测量的五个要素：测量装置（或测量仪由于参与测量的五个要素：测量装置（或测量仪器）、测量人员、测量方法、测量环境和被测对器）、测量人员、测量方法、测量环境和被测对象自身都不能够做到完美无缺，使得对该量的象自身都不能够做到完美无缺，使得对该量的测测量结果量结果与该量的与该量的真实值真实值之间就存在一个差异，这之间就存在一个差异，这个差异反映在数学上就是测量误差。个差异反映在数学上就是测量误差。 测量误差测量误差=测量值测量值-真值真值0Ll 例：用台式血压计测量人体血压，例：用台式血压计测

2、量人体血压， 分析其测量误差：分析其测量误差：1、血压计自身存在一个固有误差 刻度误差 容器比误差 垂直性误差2 2、环境条件误差、环境条件误差 温度误差 重力加速度误差3 3、测量方法误差、测量方法误差 要求测量者听、看、读三者同步，实际测量时无法做到。不同测量方法的结果精度与误差均不同。4 4、人员读数误差、人员读数误差 由于人眼的分辨率最多只能读出分度值的110（通常是15），而给测量血压带来一个测量人员的读数误差.5 5、被测量者自身的血压、被测量者自身的血压的变化的变化 被测量者的血压值不仅受患者疾病因素的影响，同时还受被测量者的情绪、运动程度、测量时间等外界因素的影响，使被测量者的

3、自身血压也在变化。 误差公理：测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。 误差具有普遍性和必然性。误差公理误差公理n（一）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；n（二）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；n（三）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果研究误差的意义研究误差的意义一、计量与测量1.1. 计量计量2.2.测量测量 3.1基本概念与相关术语基本概念与相关术语3.3. 计量与测量的关系计量与测量的关系直直 接接 测测 量量间间 接接 测测 量量工工

4、 程程 测测 量量精精 密密 测测 量量电电 量量 测测 量量非非 电电 量量 测测 量量等等 精精度度 测测 量量不不等等 精精度度 测测 量量静静 态态 测测 量量动动 态态 测测 量量4.4. 测量的分类测量的分类二、真值与平均值 1. 1. 真值真值三角形内角之和恒为180 一个整圆周角为360 亦称亦称国家建立的实物基准所指定的千克的约定真值为1kg。在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为实际值。实际值实际值2、平均值n作为约定真值的实际值除利用高一级精度标准测量得到外，还可用多次测量的最佳估计值代替。n由概率论可知，当测量次数无限多时，根据正负误差出现的概率相等的误差分

5、布定律，在不存在系统误差的情况下，它们的平均值平均值极为接近真值。当测量数据符合正态分布时，其算术平均值最为接近被测真值，而且在大量测量时这一算术平均值具有稳定性。n工程测量中的大多数情况其测量数据符合正态分布，且其测量次数有限，因此常采用算术平均值作为约定真值。式中， 为算术平均值； -各次观测值； n观察的次数。0121Lnlnlllxniinxnlll,21三、误差的表示方法特点：绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。 适用于同一量级的同种量的测量结果的误差比较和单次测量结果的误差计算。 1. 绝对误差绝对误差absolute erro

6、rc修正值修正值【例【例】0100%Lx2. 相对误差相对误差（relative errorrelative error）641/0.6 10/0.010.6 10rl 652/10.5 10/11.1 10rl 绝对误差和相对误差的比较绝对误差和相对误差的比较mmmX3. 引用误差引用误差 fiducial error of a measuring instrument%sXmm绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比 电工仪表、压力表的精确度等级分为分为0.05，0.1，0.2，0.3，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，5.0等等11个等级。个等级。 【例】【例】【

7、例【例 】 检定一只检定一只1.51.5级、量程为级、量程为100V100V的电压表，发现在的电压表，发现在50V50V处误差最大，其值为处误差最大，其值为2V2V，而其他刻度处的误差均，而其他刻度处的误差均小于小于2V2V，问这只电压表是否合格？，问这只电压表是否合格？ 该电压表的引用误差（即满度相对误差）为该电压表的引用误差（即满度相对误差）为 由于由于所以该电压表不合格。所以该电压表不合格。2%1.5%【解【解】HOME22%100mmmrX四、 误差来源测量方法误差测量方法误差测量环境误差测量环境误差测量人员误差测量人员误差被测对象变化误差被测对象变化误差分析误差来源注意事项分析误差来

8、源注意事项0lL 误差误差 系统 误差粗大 误差随机 误差五、 误差分类 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差1、系统误差、系统误差（systematic errorsystematic error）系统误差举例系统误差举例2、随机误差、随机误差（random errorrandom error）3、粗大误差、粗大误差（gross error）误差性质的相互转化误差性质的相互转化 对于含有粗大误差的测量值，一经确认后，应当对于含有粗大误差的测量值，一经确认后，应当首先予以剔除；首先予以剔除；对于随机误差采用统计学求平均值的方

9、法来消弱对于随机误差采用统计学求平均值的方法来消弱它的影响；它的影响；系统误差难以发现，是测量中的最大危险，需在系统误差难以发现，是测量中的最大危险，需在测量工作过程中采取一定的技术措施来减小它的测量工作过程中采取一定的技术措施来减小它的影响。影响。六、精度六、精度 反应测量结果与被测真值间的一致程度的量称之反应测量结果与被测真值间的一致程度的量称之为准确度（或精确度），即通常所说的精度。为准确度（或精确度），即通常所说的精度。精度分为：精度分为：- - 系统误差大小的反映系统误差大小的反映 正确度：表征测量结果接近真值的程度正确度：表征测量结果接近真值的程度 精密度：反映测量结果的分散程度（

10、针对重复精密度：反映测量结果的分散程度（针对重复测量而言）测量而言）- - 随机误差大小的反映随机误差大小的反映 精确度：表征测量结果与真值之间的一致程度精确度：表征测量结果与真值之间的一致程度- - 系统误差和随机误差的综合反映系统误差和随机误差的综合反映准确度、正确度和精密度三者之间的关系准确度、正确度和精密度三者之间的关系(a)(b)(c)弹着点全部在靶上，弹着点全部在靶上，但分散。相当于系但分散。相当于系统误差小而随机误统误差小而随机误差大，即精密度低，差大，即精密度低，正确度高。正确度高。弹着点集中，但偏向弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。一方，命中率不高。相当于系统误差大而相当于

11、系统误差大而随机误差小，即精密随机误差小，即精密度高，正确度低。度高，正确度低。弹着点集中靶心。相弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机当于系统误差与随机误差均小，即精密度、误差均小，即精密度、正确度都高，从而准正确度都高，从而准确度亦高。确度亦高。 随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给

12、测量带来误差。而这些微小变化又给测量带来误差。 随机误差的本质特征随机误差的本质特征 1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符号以不可预知形式的形式出现。2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因素在测量开始之后体现出来。3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减小随机误差对测量结果的影响。一、随机误差的正态分布一、随机误差的正态分布1、 测量列测量列 数据特点数据特点v数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。 v但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规律可以用统计直方图来表示。 随机误差的分析

13、处理随机误差的分析处理 - 统计方法统计方法N次测量结果次测量结果 - xi ( i =1, 2, , n ) 测量列图示 测量结果与直方图2 统计直方图统计直方图v统计直方图在对称性方面有一统计直方图在对称性方面有一些偏离理想正态分布的情形。些偏离理想正态分布的情形。 对于测量状态比较完好的光电对于测量状态比较完好的光电类测量仪器，其随机误差的分类测量仪器，其随机误差的分布往往较好的呈现正态分布的布往往较好的呈现正态分布的特征特征 对于测量状态不完好的光电类对于测量状态不完好的光电类测量仪器，特别是对传动机械测量仪器，特别是对传动机械部件磨损较严重而规律尚未掌部件磨损较严重而规律尚未掌握的仪

14、器，其测量随机误差可握的仪器，其测量随机误差可能就呈现其他分布的特征。能就呈现其他分布的特征。 0.114 0.116 0.118 0.12 0.122 0.124 0.126 0.128 0 10 20 30 40 50 样本n无限增加，分段间隔区域趋于0，直方图就形成了一条光滑连续的曲线，即概率密度曲线。3、随机误差的正态分布)(f由于多数随机误差都服从正态分布，所以在误差理论中正态分布占有十分重要的地位。22221)(ef概率密度函数概率密度函数dedfF22221)()(概率分布函数概率分布函数)(f误差误差 = l L0均方根误差均方根误差/标准差标准差 nnii12正态分布计算服从

15、正态分布随机误差的特征：对称性：对称性：曲线相对于纵轴对称，即：绝对值相等的正误差 与负误差出现的概率相等；单峰性：单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，即随机误差具有集中趋势的性质。有界性：有界性：随机误差一般都分布在 的区间内，若测量中发现有的数据其误差超出此范围，那么此数据就可认为是异常数据，是过失误差，可将此数据舍掉。抵偿性：抵偿性：相同条件下对同一样本进行测量时，各误差的代数和随着测量次数的无限增加而趋于零。即：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。 3,3二、 算术平均值11niixxn在等精度测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取

16、算术平均值作为测量结果的最佳估计。12, .,nxxx（一）算术平均值的意义（一）算术平均值的意义无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据 根据大数定律可证明：1.若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值2. 因为11nniiTiixnx根据随机误差的抵偿性随机误差的抵偿性，当n充分大时，有 11niTixxxn10niinTnnnxxxx)(2121Tiixx n当 时，有 ， n 若能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值。但由于实际上是有限次测量，所以只能将算术平均值近似地作为被测量的真值。n 在实际测量工作中

17、，采用某些技术措施基本消除系统误差的影响，并且剔除疏失误差后，虽然有随机误差存在，但可以用多次测量值的算术平均值作为最后测量结果。nnii10Txx 。残余误差（残差） 由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。 在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，xn有算术平均值： 则称 为残余误差。xxviiniixnx11残余误差可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性： 1.残余误差具有低偿性残余误差代数和等于零 2.残余误差平方和为最小 021nvvvmin22221nvvv3.3 3.3 系统误差的处理系统误差的处理一、

18、系统误差的特征一、系统误差的特征iix绝对误差绝对误差绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。 当测量次数当测量次数n n足够大时，并考虑到在系统误差不变的情况下，足够大时，并考虑到在系统误差不变的情况下，绝对误差绝对误差xxi i的算术平均值为：的算术平均值为：niiniinxn1111 由于随机误差的抵偿性，当由于随机误差的抵偿性，当n n足够大时，足够大时，i i的算术平均值的算术平均值 趋于趋于0 0，则：，则：011011AxAxnxnniniiHOME011011AxAxnxnninii 可见，当可见，当与与i i同时存在，并在同时存在，并在n n足够大时，各次测量绝对误足够大时，各次测量绝对误差的算术平均值就等于系统误差差的算术平均值就等于系统误差，说明测量结果的精确度不仅取，说明测量结果的精确度不仅取决于随机误差，更重要的是受系统误差的影响。由于系统误差不容决于随机误差，更重要的是受系统误差的影响。由于系统误差不容易被发现，所以更要重视。易被发现，所以更要重视。 由于系统误差不具有抵偿性，所以取平均值对它无效，即多次由于系统误差不具有抵偿性，所以取平均值对它无效，即多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏使得系统误差