chap5-6麦克斯韦速率分布律

1、 偶然事件偶然事件：大量出现不可预测的事件。多次大量出现不可预测的事件。多次重复观察同样的事件，可获得该偶然事件的分布，重复观察同样的事件，可获得该偶然事件的分布，从而得到其统计规律。从而得到其统计规律。1.1.分布函数和平均值分布函数和平均值麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 分布函数分布函数: :它是一它是一统计规律统计规律，对大量偶然事，对大量偶然事件，按某一件，按某一性质（属性）性质（属性）研究其发生的几率的规研究其发生的几率的规律。律。例例: : 统计某城市中每个商店里职工的分布情况。统计某城市中每个商店里职工的分布情况。 可用下列方法。可用下列方法。表示该城市中的商店总数表示该城

2、市中的商店总数表示该城市中有表示该城市中有 个职工个职工的商店数，称分布数。的商店数，称分布数。iNiiNN商店的百分数名职工的表示有归一化的分布数,iNNfii,条件归一化,1)(NNfii例例: :我们以人的我们以人的身高身高为例，来引入分布函数。为例，来引入分布函数。 设设 N 为总人数，为总人数，dN（h）为身高在）为身高在 h-h+dh 间间 的人数。显然的人数。显然 NhN)(d令令 f（h）=dN（h）/ N dh，则，则1d)(hhf我们把我们把 f（h）称为归一化分布函数。）称为归一化分布函数。f（h）表征在单位高度内，身高为）表征在单位高度内，身高为 h 的人数占总的人数占

3、总人数的比率。人数的比率。h h f f（h h） h h+dhh h+dho oN 个人的平均身高个人的平均身高为为d( )( )dh N hhf h N hNNh( )dhhf hh推广至任一变量推广至任一变量x （或物理量（或物理量g(x)g(x)） 有有( )dxxf xx 对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数分布函数f f（x x），因此，写出分布函数），因此，写出分布函数f f（x x）是）是研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。( )( )( )dg xg x f xx2. 2. 测定气体分

4、子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验llvv2实验装置实验装置lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵分子速率分布图分子速率分布图N：分子总数分子总数 为速率在为速率在 区间的分子数区间的分子数.Nvvv)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比 . .NNSvvvv)(vfoSfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比vvvd00( )1NdNf v dvN归一化条件归一化条件vvv

5、 dSd 表示在温度为表示在温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近单位附近单位速率区间的分子数占总数的速率区间的分子数占总数的百分比百分比 . .v物理意义物理意义Tv)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子数内分子数vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分子数区间的分子数21vv vvvvvvd)()(2121fNNS速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比21vv 麦克斯韦麦克斯韦的生平与主要科学活动的生平与主要科学活动麦克斯韦麦克斯韦Maxwell，James Clerk(18

6、311879)0 3. 3. 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律 1859 1859年英国物理学家麦克斯韦、玻尔兹曼等年英国物理学家麦克斯韦、玻尔兹曼等（MaxwellMaxwell，BoltzmanBoltzman等）从理论上（概率论、统等）从理论上（概率论、统计力学）推导气体分子按速率分布的规律，即在平计力学）推导气体分子按速率分布的规律，即在平衡态下，当气体间的相互作用可忽略时，分布在任衡态下，当气体间的相互作用可忽略时，分布在任一速率区间一速率区间v-v+dvv-v+dv内的分子数占总分子数的百分比，内的分子数占总分子数的百分比，后被实验所证明。后被实验所证明。vvvde

7、)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麦氏麦氏分布函数分布函数热力学温度热力学温度单个分子的质量单个分子的质量玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量Tmk麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线1v2v)(vfvO)(vf面积面积NNvvfdd)( 面积面积NNvvfvv21d)(vdv速率在速率在 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的比例；或分子速率位占总分子数的比例；或分子速率位于于 区间内的几率。区间内的几率。),(vvvd),(vvvd速率在速率在 区间内的分子数占总分子数的比例；或区间内的分子数占总分子数的比例；或分子速率位于分子速率位于 区间内的几率

8、。区间内的几率。 ),(21vv),(21vv(1)( )nfv dv( ),dNNf vnNdvV( )nf v dvdNV 表示单位体积内分布在速率区间表示单位体积内分布在速率区间 内的分子数。内的分子数。vv dv f(v) f(v)为速率分布函数，为速率分布函数， n n为分子数密度，为分子数密度，说明下式的物理意义：说明下式的物理意义：(2)( )N fv dv( )dNf vNdvd N()N fv d v表示分布在速率区间表示分布在速率区间 内的分子数。内的分子数。vv dv f(v) f(v)为速率分布函数，为速率分布函数， n n为分子数密度，为分子数密度，说明下式的物理意义

9、：说明下式的物理意义：21(3)( )vvnf v dv( ),dNNf vnNdvV21( )vvnfv dvNNNVNV 表示分布在单位体积内，速率区间表示分布在单位体积内，速率区间 内的分子数。内的分子数。21vv f(v) f(v)为速率分布函数，为速率分布函数， n n为分子数密度，为分子数密度，说明下式的物理意义：说明下式的物理意义：2121(4)d( )d(vvvvfvvvvfv21dNNNNNvN表示速率在区间表示速率在区间 内的分子的平均速率。内的分子的平均速率。)(21vv，( )dNf vNdv21NNNNv d f(v) f(v)为速率分布函数，为速率分布函数， n n

10、为分子数密度，为分子数密度，说明下式的物理意义：说明下式的物理意义：)(vfvpvO最最 概概 然然 速速 率率4. 4. 气体的三种统计速率气体的三种统计速率32222()42m vkTmfvevkT 速率分布函数速率分布函数 中的极大值对应的分子速中的极大值对应的分子速率率 。pv)(vf0d)(dvvf极值条件极值条件(1)最概然速率最概然速率:2pkTvm21.41molmolRTRTMM)(vfvvO平平 均均 速速 率率平平 均均 速速 率率气体分子速率的算术平均值。气体分子速率的算术平均值。NNvvN0dvNNvfdd)( 8kTmv(2)平均速率：平均速率：0d)(vvvf22

11、32224)(vekTmvfkTmv81.60molmolRTRTMM2v)(vfvO方方 均均 根根 速速 率率方方 均均 根根 速速 率率气体分子速率平方的平均值的平方根。气体分子速率平方的平均值的平方根。2331.73molmolkTRTRTmMMvNNvvN022d02dv)v( fvmkT3(3)方均根速率：方均根速率：vNN)v( fdd32222()42m vkTmfvevkT平均速率平均速率088( )d1.60molmolkTRTRTvvf vvmMM方均根速率方均根速率22033( )d1.73molmolkTRTRTvv f vvmMM最概然速率（最可几速率最概然速率（最

12、可几速率) )221.41pmolmolkTRTRTvmMM小结：小结：2v)(vfvpvvO2vvvp三种速率均与三种速率均与 ,成反比，但三者有一个成反比，但三者有一个确定的比例关系确定的比例关系;三种速三种速率使用于不同的场合。率使用于不同的场合。mT三种速率比较三种速率比较2vvvp三种速率均与三种速率均与 ,成反比，但三者有一个成反比，但三者有一个确定的比例关系确定的比例关系;三种速三种速率使用于不同的场合。率使用于不同的场合。mT)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2pvf)(3pvf3T2T1T321TTT温度越高，速率温度越高，速率大的分子数越多大的分子数越多同一气体

13、同一气体(m)不同温度下速率分布比较不同温度下速率分布比较同一温度同一温度T下不同种气体速率分布比较下不同种气体速率分布比较321mmm)(vfvO3m2m1m分子质量越小，速率分子质量越小，速率大的分子数越多。大的分子数越多。同一温度下不同气体同一温度下不同气体的速率分布的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfomkT2pvmkT8vmkT32vN N2 2 分子在不同温度下分子在不同温度下的速率分布的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo例：例： 例例: 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均根时，氢气和氧气分子的方均根速率速率 。vC2710.002HMkg mol1

14、0.032oMkg mol118.31RJ Kmol300TK3RTvM311.93 10vm s氢气分子氢气分子-1483vms氧气分子氧气分子讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率；是气体分子中大部分分子所具有的速率；（B B） 是速率最大的速度值；是速率最大的速度值；（C C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值；是麦克斯韦速率分布函数的最大值；（D D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率 最大。最大。pvpvpvpvp

15、()dN fvvvv1）p21()( )d2mNfvvvv2） 例：例： 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd 例：例： 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 。vv )( fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o例题：例题： 试计算气体分子热运动速率的大小介于试计算气体分子热运动速率的大小介于 v vp p- v- vp p/100 /100 和和 v vp p