大学物理第3章动量与冲量

1、3-1 冲量与动量定理冲量与动量定理3-2 动量守恒定律动量守恒定律3-3 火箭飞行原理火箭飞行原理3-4 质心质心3-5 质心运动定理质心运动定理3-6 质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理3-7 角动量守恒定理角动量守恒定理3-8 质点系的角动量定理质点系的角动量定理3-9 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量1 1、理解并掌握、理解并掌握牛顿第二定律的两个积分形式牛顿第二定律的两个积分形式2 2、掌握、掌握冲量和动量的概念，掌握动量定理及其应用冲量和动量的概念，掌握动量定理及其应用3 3、了解了解质心的概念及质心运动定律质心的概念及质心运动定律4 4、理解理解角动量概念，

2、掌握质点的角动量守恒问题角动量概念，掌握质点的角动量守恒问题. .5 5、掌握、掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，会计算运用守恒定律分析问题的思想和方法，会计算简单系统在平面内运动的简单力学问题简单系统在平面内运动的简单力学问题6 6、了解、了解质心的概念及质心运动定律质心的概念及质心运动定律 力的时间的累积效应力的时间的累积效应 ？由牛顿第二定律：Fdtvdm两边乘dt：dtFvmd)(tFvmvm12动量力在t时间内的积累：冲量在t时间内：动量定理F FFFFFFFv =v0v =vtF F 作用了时间作用了时间 t t 质量为质量为M M 的物体在水平恒力的物体在水平恒力F F 的作

3、用的作用下，经过时间下，经过时间t t，速度由，速度由v v0 0 变为变为 v vt t，动能定理的推导动能定理的推导: :FFv =v0v =vt F F 作用了时间作用了时间 t t 分析：分析：由牛顿第二定律知：由牛顿第二定律知： F F = = m m a a而加速度：而加速度：tvvat0tvvmFt00mvmvFtt整理得：整理得：0mvmvFttpI可以写成：可以写成：一一 动量动量 冲量冲量 质点的动量定理质点的动量定理 动量动量vmp 物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量动量是矢量，大小为动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向，方向

4、就是速度的方向动量表征了物体的运动状态动量表征了物体的运动状态 单位：单位： kgms-1量纲：量纲：MLT1 冲量冲量：力对时间的积分力对时间的积分（矢量矢量）t1F0tt2dtF21dtttFI方向：速度变化的方向方向：速度变化的方向单位：单位：Ns ，量纲：，量纲：MLT1说明说明冲量冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；是表征力持续作用一段时间的累积效应；冲量冲量是矢量：是矢量： 大小和方向；大小和方向；冲量冲量是过程量，是过程量， 改变物体机械运动状态的原因。改变物体机械运动状态的原因。121221dvvmmpptFtt 质点的动量定理质点的动量定理：在给定的时间内，外力作用在在给

5、定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .注意：注意：动量定理表达的含义有以下几方面：动量定理表达的含义有以下几方面：（1 1） 物体动量变化的大小和它所受合外力冲物体动量变化的大小和它所受合外力冲量的大小相等。量的大小相等。（2 2） 物体动量变化的方向和它所受合外力冲物体动量变化的方向和它所受合外力冲量的方向相同。量的方向相同。（3 3） 冲量是物体动量变化的原因。冲量是物体动量变化的原因。【说明【说明】1 1、动量定理可由牛顿第二定律以及加速度的定义式导、动量定理可由牛顿第二定律以及加速度的定义式导出，故它是牛顿第二定律

6、的另一种形式，但是两者仍有出，故它是牛顿第二定律的另一种形式，但是两者仍有很大区别：很大区别：（1 1）牛顿第二定律牛顿第二定律是一个是一个瞬时关系式瞬时关系式，它反映某瞬时，它反映某瞬时物体所受合外力与加速度之间关系（仅当合外力为恒定物体所受合外力与加速度之间关系（仅当合外力为恒定不变时，不变时，a a为恒量，整个过程与某瞬时是一致的）；为恒量，整个过程与某瞬时是一致的）；（2 2）而）而动量定理动量定理是研究物体在合外力持续作用下，在是研究物体在合外力持续作用下，在一段时间里的累积效应一段时间里的累积效应，在这段时间内，物体的动量获，在这段时间内，物体的动量获得增加得增加 （3 3）与牛顿

7、第二定律相比，优点在于：只需知道某）与牛顿第二定律相比，优点在于：只需知道某一过程的始末状态，而不需要知道中间状态一过程的始末状态，而不需要知道中间状态2 2、冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增量的、冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同方向相同3 3、动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间、动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素，即冲量决定的两个因素，即冲量决定的4 4、动量定理是矢量式，其分量式、动量定理是矢量式，其分量式zzttzzyyttyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI121212212121dddvvvvvv5 5

8、、物体作机械运动时，动量和位矢是描述物体运动状态的物体作机械运动时，动量和位矢是描述物体运动状态的状态参量状态参量世界公认万虎是世界公认万虎是“真正的真正的航天始祖航天始祖”，2020世纪世纪6060年年代，国际天文学会将月球代，国际天文学会将月球上的一座环行山命名为上的一座环行山命名为“万虎山万虎山”，以纪念这位，以纪念这位勇士。勇士。 1414世纪末，中国明代有一位木匠叫万虎，在几个世纪末，中国明代有一位木匠叫万虎，在几个徒弟的帮助下，造了一只徒弟的帮助下，造了一只“飞天椅飞天椅”。万虎让人把它。万虎让人把它绑在椅子上，并点着火箭。但不幸的是，火箭点完后，绑在椅子上，并点着火箭。但不幸的是

9、，火箭点完后，他坠地身亡。他坠地身亡。应用：应用： 利用冲力：增大冲力，减小作用时间利用冲力：增大冲力，减小作用时间冲床冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间避免冲力：减小冲力，增大作用时间轮船靠岸时的缓冲轮船靠岸时的缓冲 【例】【例】质量质量m=140g的垒球以速率的垒球以速率 v = 40m/s沿沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角仰角 60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。60ov2v1 因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动因打击力很大，所以由碰撞引起

10、的质点的动量改变，基本上由打击力的冲量决定。量改变，基本上由打击力的冲量决定。mv160omv2mg t打击力冲量打击力冲量12vmvmtF 重力、阻重力、阻力的冲量可以忽略。力的冲量可以忽略。F t F t合力冲量合力冲量)(101.8102.130cos4014.0230cos233N tmvF平均打击力约为垒球自重的平均打击力约为垒球自重的5900倍！倍！在碰撞过在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。12vmvmtF F tmv160omv230om=140gvvv 12一一 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系：由相互作用的若干个质点组成的系统质

11、点系：由相互作用的若干个质点组成的系统内力：质点系统内各质点间的相互作用力内力：质点系统内各质点间的相互作用力 (成对出现，成对出现， )外力：系统以外的物体对系统内任意一质点的作用力外力：系统以外的物体对系统内任意一质点的作用力质点系的动量：每个质点动量的矢量和：质点系的动量：每个质点动量的矢量和：0F 内n1iiin21n1iivmP.PPP质点系质点系1m2m12F21F1F2F 质点系动量定理质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量系统动量的增量.niiiiniittmmtF101ex21dvv)()(d)(20210122112121vv

12、vvmmmmtFFtt20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFtt因为内力因为内力 ，故，故02112 FF0ppI注意注意内力不改变质点系的动量内力不改变质点系的动量gbm2m000bgvv初始速度初始速度则则00pbgvv20p推开后速度推开后速度 且方向相反且方向相反 则则推开前后系统动量不变推开前后系统动量不变0pp1vm2vmvm12121221dttmmtttFFttvv动量定理常应用于碰撞问题动量定理常应用于碰撞问题F1tFmF2tFto 越小，则越小，则 越大越大 .例如人从高处跳下、飞例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰机与鸟相

13、撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很撞事件中，作用时间很短，冲力很大短，冲力很大 .注意注意tF在在 一定时一定时p iiiittiipptFI0ex0d质点系动量定理质点系动量定理 若质点系所受的若质点系所受的合外力为零合外力为零 则系统的总动量则系统的总动量守恒守恒，即，即 保持保持不变不变 .0exexiiFFiipp动量守恒定律动量守恒定律CPFtpF,0,ddexex力的瞬时作用规律力的瞬时作用规律 1）系统的系统的动量守恒动量守恒是指系统的是指系统的总动量不变，系总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必各物体的动量必相相 对于对于同一惯性参考

14、同一惯性参考系系 .3）若若某一某一方向方向合外力为零合外力为零, 则则此此方向动量方向动量守恒守恒 . 4） 动量守恒定律只在动量守恒定律只在惯性参考系惯性参考系中成立中成立, 是自是自然界最普遍，最基本的定律之一然界最普遍，最基本的定律之一 .zizizzyiyiyyxixixxCmpFCmpFCmpFvvv,0,0,0exexex 2）守恒条件守恒条件 合外力为零合外力为零 当当 时，可时，可 略去外力的作用略去外力的作用, 近似地近似地认为系统动量守恒认为系统动量守恒 . 例如在碰撞例如在碰撞, 打击打击, 爆炸等问题中爆炸等问题中. 0exexiiFFinexFF例例4：如图，质量为

15、如图，质量为M的物体有一个四分之一滑槽，静止在光的物体有一个四分之一滑槽，静止在光滑水平面上，质量为滑水平面上，质量为m的滑块自其顶部由静止开始下滑。的滑块自其顶部由静止开始下滑。求：求：当当m滑至滑槽底部时，滑至滑槽底部时，M移动的距离。移动的距离。 v vx 解：解：选择选择M、m为物体系，由于物体系在水平方向不受外力作为物体系，由于物体系在水平方向不受外力作 用，因而动量守恒用，因而动量守恒xmvMV 两边同时对时间积分两边同时对时间积分 ttxdtmvMVdt00令令 tVdtS0 txdtvs0于是：于是： sMmSmsMS (1)注意，注意，vx、s是相对于地面的水平速度和位移，相

16、对于滑槽的是相对于地面的水平速度和位移，相对于滑槽的水平位移为：水平位移为： Rs 而而 mMmRSSssSss )(讨论：讨论：A.对中间过程是变力的运动过程，用牛顿定律求解，往往很繁对中间过程是变力的运动过程，用牛顿定律求解，往往很繁杂，此时，应考虑用动量定理或动量守恒求解。杂，此时，应考虑用动量定理或动量守恒求解。B.求解过程中，并没有考虑求解过程中，并没有考虑m与与M之间是否存在摩擦力，因而，之间是否存在摩擦力，因而，即便存在摩擦力，上述结果同样成立。即便存在摩擦力，上述结果同样成立。C.此题一个此题一个重要技巧重要技巧用到用到(1)式，即两物体水平位移成比例。这式，即两物体水平位移成

17、比例。这在许多问题中经常用到。类似的还有速度、加速度成比例。在许多问题中经常用到。类似的还有速度、加速度成比例。4 4、5 5 质心质心 质心运动定律质心运动定律一、质心一、质心1 1、引入、引入水平上抛三角板水平上抛三角板运动员跳水运动员跳水投掷手榴弹投掷手榴弹2 2、质心的位置、质心的位置代表质点系质量分代表质点系质量分布的平均位置，质布的平均位置，质心可以代表质点系心可以代表质点系的平动的平动niiniiicmrmr11离散质点组离散质点组成的系统：成的系统：对连续分布的物质，分成对连续分布的物质，分成N 个小质元计算个小质元计算mdmrmmrrNiiic 1trvcCd dd d 3、

18、质心的速度、质心的速度mvmNiii 1ccvmP 4、质心的动量、质心的动量PpvmNiNiiii 11 在任何参考系中，质心的动量都等于质点系在任何参考系中，质心的动量都等于质点系的总动量。的总动量。mamtvaNiiicc 1d dd d5、质心的加速度、质心的加速度cccaMdtvdMF 质心运动定律：质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统的总作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。质量与系统质心加速度的乘积。二、质心运动定律二、质心运动定律 质心运动定理描述了物体质心的运动。体系质心运动定理描述了物体质心的运动。体系的内力不影响质心的运动。的内力不影响质心的运

19、动。 力的位置矢量累积效应力的位置矢量累积效应 ？ 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. 由牛顿第二定律：FdtvdmFrdtvdmr)()(vmdtrddtvdmrdtvmrddtvdmrvmvdtvdmr)(即有：Frdtvmrd)(MdtLd)(角动量角动量力矩力矩角动量角动量定理定理两边 X：r(方向用右手螺旋法规定方向用右手螺旋法规定)FrM矢量矢量FrFrMsin方向方向大小大小Fr 1. 垂直于垂直于 构成的平面。构成的平面。MFr,2. 必须指明对那一固定点必须指明对那一固定点.单位：单位：N m3.MF, 0 可能为零可能为零一、力对参

20、考点的力矩一、力对参考点的力矩orF MrM练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg和合力F对o 点、o 点、oo 轴的力矩 v讨论力矩时，必须明确指出是对那点或那个轴的力矩ooTLFmg力矩力矩拉力拉力T重力重力mg合力合力Fo点点o点点mgLsinmgLsin000TLcossin FLcos有心力：有心力：orFF当力当力 的作用线与矢径的作用线与矢径 共线时的力共线时的力 r有心力的力矩有心力的力矩0M恒为恒为:力矩合成：力矩合成： 当质点受到当质点受到n个力，如：个力，如：F1、F2Fn力同时作用时，则力同时作用时，则n个个力对参考点力对参考点O的力矩为：的力矩为：nFFFrFrM

21、.21nFrFrFr.21nMMM.21矢量和矢量和mPorL角角动动量量的的大大小小sinrmsinrPLmrPrLL注意注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的二、质点角动量：二、质点角动量：右手螺旋角动量的方向:例例2 2 匀速圆周运动OO选择圆心O为参考点力矩0M角动量mvRL R心Fv其它任何点则没有这种情况其它任何点则没有这种情况练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，速率为v，求圆锥摆对o点,o点,oo轴的角动量 v在讨论质点的角动量时，必

22、须指明是对那点或那个轴的角动量oolvmoLooL oL ,sinmvl ,mvl ,sinmvl 例：长为例：长为l的轻杆，其两端分别固定有质量为的轻杆，其两端分别固定有质量为m和和3m的物体，的物体，取与杆垂直的固定轴取与杆垂直的固定轴O，重物，重物m与与O轴的距离为轴的距离为 ，绕轴，绕轴l43转动的线速度为转动的线速度为 。求它们对转轴的总角动量。求它们对转轴的总角动量。vOl43m3m解：两球的角速度相等解：两球的角速度相等4344lvllv故故3m质点线速度为：质点线速度为：3v总角动量为：总角动量为：vmlmvlL344333443vmlmvllmv方向：沿转轴方向方向：沿转轴方

23、向43lv v 二、力对点的力矩二、力对点的力矩FrMsinFrMMrF o定义为力对固定点定义为力对固定点O的力矩的力矩大小：大小：方向用右手螺旋法规定方向用右手螺旋法规定FrM 合外力矩：合外力矩：prL ，角动量：，角动量：M 和和L都是相对都是相对惯性系中同一定点惯性系中同一定点定义的。定义的。 21tttMd d冲量矩，力矩的时间积累。冲量矩，力矩的时间积累。三、三、质点的角动量定理：质点的角动量定理： 质点所受的合外力矩，等于质点角动量对质点所受的合外力矩，等于质点角动量对时间的变化率时间的变化率: :tLMd dd d 积分形式：积分形式：1221LLtMtt d d说明v质点角

24、动量定理从牛顿第二定律导出，故只适质点角动量定理从牛顿第二定律导出，故只适用惯性系；用惯性系；v定理中涉及的两个量：力矩与角动量，都是对定理中涉及的两个量：力矩与角动量，都是对参考点的量，并且是对同一参考点的；参考点的量，并且是对同一参考点的；v角动量定理的矢量方程式在直角坐标系中的分角动量定理的矢量方程式在直角坐标系中的分量式，可表为：量式，可表为：;dtdLMdtdLMdtdLMzzyyxx 3-7、8 角动量守恒定律、质点系的角动量定理角动量守恒定律、质点系的角动量定理 和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自然界的一条最基本的定律。自然界的一条最基

25、本的定律。【例例】证明开普勒第二定律：证明开普勒第二定律：行星相对太阳的矢行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。径在相等的时间内扫过相等的面积。LM,0 恒矢量恒矢量 一、一、 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对的合力矩为零时，质点对该参考点该参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. L常数常数 sintrrmL ,sintrrm tSm2常数常数 sin21rrS 行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。等的面积。mvr r S sinr L太阳太阳行星行星在

26、近日点转得快，在远日点转得慢。在近日点转得快，在远日点转得慢。角动量为常矢量角动量为常矢量 tS 常数。常数。所以，面速度所以，面速度角动量方向不变：角动量方向不变：行星轨道平面方位不变行星轨道平面方位不变角动量大小不变：角动量大小不变：力矩为零力矩为零有心力有心力rrff )( 二、二、 质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量定理和角动量守恒定律 一个质点系对某点的角动量定义为其中各质点一个质点系对某点的角动量定义为其中各质点对该质点的角动量的矢量和：对该质点的角动量的矢量和：iiiiiprLL对系内任意第对系内任意第i个质点，由个质点，由iiiprLijijiiiijijiiif

27、rFrfFrdtLd)(内力矩之和等于零内力矩之和等于零对整个质点系对整个质点系 iiiFrdtLdexMdtLd 当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量将不随时间改变将不随时间改变孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。 宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它们具宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它们具有旋转盘状结构，成因是角动量守恒。有旋转盘状结构，成因是角动量守恒。 内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但合内力矩等于零，对总角动量无影响。合内力矩等于零，对总角动量无影响。