高等计算物理

1、非线性系统与混沌非线性系统与混沌制作：谭 琳2014.05.09非线性系统：动力学方程是非线性的系统非线性系统：动力学方程是非线性的系统 实际存在的许多系统都是非线性的 1、达芬方程：（弹性系统） 2、范德波尔方程：（系统受到非线性阻尼作用时） 3、化学反应 4、人口增长简单模型 5、洛特卡沃尔泰拉模型（捕食者与猎物系统）03xxxx 0) 1(22xxxx 非线性动力学方程解的一般形式非线性动力学方程解的一般形式 动力学的方程的标准形式： 定态：不随时间变化的状态，即 其在相空间的代表点称为定点 定态（点）有稳定与不稳定之分(1) )xf(x n2 , 1,0)(jixfdtdxiii定点稳

2、定定点稳定附近的轨线将趋于此定点定点不稳定定点不稳定1、轨线趋于另一稳定的定点（单摆）2、解发散（此种情况比较少见）3、解的取值在在有限范围内不断变化，即解是振荡的。周期振荡：方程的解在相空间的轨迹是围绕某一不稳奇点的闭曲线准周期振荡：两个或以上不可公度的振荡沿不同方向合成混沌：具有随机性的非周期运动范德波尔方程中=1时的解。此时，振荡在相平面上是用孤立的闭曲线受迫范德波尔方程的准周期振荡（=1，=1，F=1，= ）即：2）（txxxx2cos) 1(2 达芬方程： 的混沌解)2 . 1cos(4 . 03 . 03txxxx 设xi0(t)(i=1,2,.,n),为线性方程（1）的一个解，而

3、此解附近另一解： ， 为了研究定点的稳定性及在其邻域解的表现，将方程（1）线性化，并取定点作为参考点可得方程： （2） 也可写成矢量形式： 其中：)()()(0ttxtxiiijnjijinjjiiaxf11)(A0)(jiijxfannnnnnaaaaaaaaaA212222111211线性稳定性定理线性稳定性定理 若非线性方程（1）的线性化方程（2）的定点是渐次稳定的，则参考态xi0是非线性方程的渐进稳定解；若线性化方程的定点是不稳定的，则参考态也是非线性方程的不稳定解。 当n=2时，方程（2）可简化为： （3） 上述方程有如下形式的解： （4）将（4）代入（3）得到： 即： （5） 上式

4、有非平凡解的条件是是下述特征方程的解： 或： ，其中： 方程（5）的两个解为：221121122211aaTaaaa1、如果1、2的实部都是负的，解都是渐次稳定的2、若1、2中至少有一个实部是正的，非线性方程的的参考解是不稳定的3、若1、2中至少有一个的实部等于零，另一个的实部是负的，此时非线性方程的参考态属于临界状态，需作进一步分析。不变流形不变流形 当状态变量的个数大于2时，方程（2）的矢量形式： 有以下形式的基本解： 由以上两个式子，可得： 其对应的特征值是。上述方程有非平凡解的条件是：AnR0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa 易知所有特征失都分别张成n维相空间Rn

5、的不变子空间，这些不变子空间也称A的特征空间。 Rn的不变子空间可以根据其在A作用下的特征值的取值不同分为以下三类： ES：由所有特征值的实部小于零的特征失所张成的子空间 EU：由所有特征值的实部大于零的特征失所张成的子空间 EC：由所有特征值的实部等于零的特征失所张成的子空间 定义：定义： Rn中服从某规律 的子空间M称为中的一个d维流形。所以，我们称ES、EU、EC分别为稳定流形、不稳流形和中心流形。 非线性系统中也有类似的子空间，我们称之为稳定流形WS、不稳流形WU和中心流形WC。中心流形定理中心流形定理 对于n维非线性自治系统，其在定点的邻域的稳定流形WS、不稳流形WU和中心流形WC分

6、别与其线性化方程的稳定流形ES、不稳流形EU和中心流形EC相切，而且WS、WU和WC的维数分别与ES、EU和EC相同，WS、WU都是唯一的，WC则不一定是唯一的。同宿点、同宿轨道、异宿点、异宿轨道同宿点、同宿轨道、异宿点、异宿轨道 同宿点：同时是稳定流形和不稳流形归宿的点为同宿点 同宿轨道：通过同宿点的轨道既有稳定轨道，又有不稳定轨道 异宿轨道：一个定点的稳定轨道与另一定点的不稳定轨道相连接 异宿点：用异宿轨道连接的两定点称为异宿点 在某些情况下，同宿轨道与异宿轨道可能不停地纠缠，使得运动复杂化，从而形成混沌混沌，因此同宿轨道和异宿轨道的纠缠在研究混沌发生时十分重要。同宿点和同宿轨道举例（当球

7、的初速达到刚好能越过左边低峰时，其轨线是图b中向左过原点的曲线，此轨线就是同宿轨道，这时的原点O就是同宿点）如图所示的单摆在相平面的定点（，0）就是异宿点，通过它们的轨道就是异宿轨道。混沌混沌 洛伦茨方程（两平行板之间对流和热传导） 式中x表示对流运动的振幅，y表示对流式上升与下降流体的水平方向温差，z表示对流引起的垂直方向温差对线性情形的偏离，为普朗特数，r表示瑞利数，b是与容器大小形状有关的量。 当=10、b=8/3时，只要r超过24.74，解便会变得混乱不规则，且解很不稳定而敏感地与初始条件有关。 表中为当=10、b=8/3时，r取不同值时洛伦茨方程定态的性质及相应的流体运动 混沌是服从

8、确定性规律但具有随机性的的运动。混沌是服从确定性规律但具有随机性的的运动。 特点： 1、是决定性和随机性的对立统一 服从确定性规律：系统的运动可以用确定的动力学方程表述 运动具有随机性：运动状态不可预言即在相空间中没有确定的轨道。 2、对初始状态的敏感依赖（蝴蝶效应） 是区别混沌同其他确定性运动的最重要标志。 3、只有非线性系统才可能作混沌运动 只有3个或3个以上变量的自治的非线性系统才有可能做混沌运动 同一系统的运动性质还与其所处的条件密切相关达芬方程达芬方程 中F取不同值时的x-t曲线)2 . 1cos(3 . 03tFxxxx 0.200.270.280.28670.320.3650.4

9、00.6450.85 上图中部分F取值时在 相平面上的轨线xx , 若斯勒方程 在z=0的平面上，可得到在原点的邻域内的系数矩阵是 其特征值是：aA1104/ ) )4(2aa 若斯勒方程（a=0，b=0.2，c=5.7）在相空间中的轨线若斯勒方程在参数c取不同值时在（x，y）平面上的轨道（a=b=0.1）混沌的应用混沌的应用 混沌应用可分为混沌综合和混沌分析。前者利用人工产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的功能，如人工神经网络的联想记忆等。后者分析由复杂的人工和自然系统中获得的混沌信号并寻找隐藏的确定性规则，如时间序列数据的非线性确定性预测等。混沌的具体的潜在应用可概括为： 优化（利用混沌运动的随机性Z遍历性和规律性寻找最优点，可用于系统辨识Z最优参数设计等众多方面） 神经网络（将混沌与神经网络相融合，使神经网络由最初的混沌状态逐渐退化到一般的神经网络，利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网络逃离局部极小点，从而保证全局最优，可用于联想记忆、机器人的路径规划等） 高速检索（利用混沌的遍历性可以进行检索，即在改变初值的同时，将要检索的数据和刚进入混沌状态的值相比较检索出接近于待检索数据的状态。这种方法比随机检索或遗传算法具有更高的检索速度） 非线性时间序列的预测（任何一个时间序列都可以看成是一个由非线性机制确定的输入输出系统，如果不规则的运动现象是一种混沌现