勾股定理的应用

1、数学来源于生活数学来源于生活 服务于生活服务于生活第十八章第十八章 勾股定理勾股定理18.1 18.1 勾股定理勾股定理( (二）二）勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角：如果直角三角形的两直角边为边为a,b,a,b,斜边长为斜边长为c c，那么，那么即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方复习 1abcABC如果在如果在Rt ABC中，中，C=90那么那么222.abc 222.abc 222.abc 结论变形结论变形c2 = a2 + b2abcABC（1）求出下列直角三角形中未知的边）求出下列直角三角形中未知的边610ACB8A15CB练练

2、 习习302245回答：回答：在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？直角三角形哪条边最长？直角三角形哪条边最长？（2）在长方形）在长方形ABCD中，宽中，宽AB为为1m，长，长BC为为2m ，求，求AC长长1 m2 mACBD2222125ACABBC在在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定理可知：由勾股定理可知：探究 1. 小明家装修时需要一块薄木板，已知小明家的门框尺寸是宽1 m，高2 m，如图所示，那么长3 m，宽2.2 m的薄木板能否顺利通过门框呢？探究探究2 2例例2如图，一架如图，一架2. .6米长的梯子米长的梯子AB 斜

3、靠在一竖直斜靠在一竖直的墙的墙AO上，这时上，这时AO 为为2. .4米米（1）求梯子的底端）求梯子的底端B距墙角距墙角O多少米？多少米？（2）如果梯子的顶端）如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑0. .5米，米， 那么梯子底端那么梯子底端B也外移也外移0. .5米吗米吗？探究探究3:在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术九章算术中记载了一道有趣的问题这中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这尺，如果把这根

4、芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC 探究探究4.一个圆柱形纸筒的底面周长是一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高，高是是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃处，它想吃到上底与下底面中间与到上底与下底面中间与A点相对的点相对的B点处的蜜糖，点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为高分别为20dm、3

5、dm、2dm，A和和B是这个台阶是这个台阶两个相对的端点，两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到点有一只蚂蚁，想到B点去点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最点的最短路程是短路程是_ 3 2 20 B A这节课你有什么收获？这节课你有什么收获？ 数学中的思想： 转化的思想 方程的思想 数形结合的思想实际问题数学问题如何运用勾股定理解决实际问题？ 1.审题 分析题目中的已知条件 2.把实际问题转化为 数学问题 3 .利用勾股定理建立数学模型转化练习1.（1）如图，池塘边有两点）如图，池塘边有两点A、B，点，点C是与是与BA方方向成直角的向成直角的AC方向上

6、的一点，测得方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出，你能求出A、B两点间的距离吗？两点间的距离吗？ （结果保留整数）（结果保留整数）练习练习2 有一个边长为有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）（结果保留整数）50dmABCD22225050500071()ACABBCdm 解：解：在在Rt ABC中，中，B=90, AC=BC=50,由勾股定理可知：由勾股定理可知：如图，受台风如图，受台风“麦莎麦莎”影响，一棵树在离地影响，一棵树在离地面面4米处断裂，

7、树的顶部落在离树跟底部米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米米处，这棵树折断前有多高？处，这棵树折断前有多高？练习练习34米米3米米例例2：如图，铁路上如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两庄，为两庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站上建一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到E站的距离相等，则站的距离相等，则E站应建在离站应建在离A站多少站多少km处？处？CAEBDx25-x解：解：设设AE= x km，根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=

8、CE2又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x)2答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处。处。 X=10则则 BE=（25-x）km1510例例4:矩形矩形ABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D落在落在BC边上的边上的点点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，求折痕，求折痕AE的长。的长。ABCDFE解解:设设DE为为X,X(8- X)则则CE为为 (8 X).由题意可知由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108 B=90 AB2+ BF2AF282+ BF2102 BF6CFBCBF106464 C=90 CE2+CF

9、2EF2(8 X)2+42=X264 16X+X2+16=X280 16X=016X=80X=5例6： 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B ) 5 （C）2 （D）1ABABC21分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B活 动 3（3）如图，分别以）如图，分别以Rt ABC三边为边三边为边向外作三个正方形，其面积分别用向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出表示，容易得出S1、S2、S3之间之间有的关系式为有的关系式为 123SSS活 动 3（3）变式：你还能

10、求出）变式：你还能求出S1、S2、S3之间之间的关系式吗？的关系式吗？S1S2S3补充练习及书后部分习题补充练习及书后部分习题1在在RtABC中中, C=90,(1) 已知已知: a=5, b=12, 求求c;(2) 已知已知: b=6, c=10 , 求求a;(3) 已知已知: a=7, c=25, 求求b;(4) 已知已知: a=7, c=8, 求求b 2 一直角三角形的一直角边长为一直角三角形的一直角边长为7, 另两条另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长周长8.一架一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子

11、下端距离墙的底端上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子，若梯子顶端下滑了顶端下滑了1,则梯子底端将外移（则梯子底端将外移（ ）9.如图，要在高如图，要在高3m,斜坡斜坡5m的楼梯表面铺的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需（地毯，地毯的长度至少需（ ）米）米10.把直角三角形两条直角边把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的同时扩大到原来的3倍，则其倍，则其斜边（斜边（ ）A.不变不变 B.扩大到原来的扩大到原来的3倍倍C.扩大到原来的扩大到原来的9倍倍 D.减小到原来的减小到原来的1/3ABC17B4如图如图:是一个长方形零件图，根据所给的是一个长方形零件图，根据所给的尺寸尺寸,求两孔中心求两孔中

12、心A、B之间的距离之间的距离ABC409016040应用知识回归生活应用知识回归生活 5小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）的电视厘米）的电视机小明量了电视机的屏幕，发现屏幕只有机小明量了电视机的屏幕，发现屏幕只有58厘米厘米长和长和46厘米宽他觉得一定是售货员搞错了厘米宽他觉得一定是售货员搞错了，你同意你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？他的想法吗？你能解释这是为什么吗？应用知识回归生活应用知识回归生活在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距红莲被吹到一边

13、，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为离为2米，问这里水深是米，问这里水深是_m。 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开米，当他把绳子的下端拉开5米后，米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。小东拿着一根长竹竿进一个宽为小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多

14、少米？的对角，问竹竿长多少米？解解:设竹竿长设竹竿长X米米,则城门高为则城门高为 (X1)米米.根据题意得根据题意得:32+ (X1) 2 =X29+X2 2X+1=X210 2X=02X=10X=5答答:竹竿长竹竿长5米米有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与尺，求竹竿高与门高门高.解解:设竹竿高设竹竿高X尺尺,则门高为则门高为 (X1)尺尺.根据题意得根据题意得:42+ (X1) 2 =X216+

15、X2 2X+1=X217 2X=02X=17X=8.5答答:竹竿高竹竿高8.5尺尺,门高为门高为 7.5尺尺.13在一棵树的在一棵树的10米高处有两只猴子，一只米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树猴子爬下树走到离树20米处的池塘的米处的池塘的A处。处。另一只爬到树顶另一只爬到树顶D后直接跃到后直接跃到A处，距离以直处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高则这棵树高_米。米。 15ABCDEF如右图将矩形如右图将矩形ABCD沿直线沿直线AE折叠折叠,顶点顶点D恰好落在恰好落在BC边上边上F处处,已知已知CE=3,AB=8,则则BF=_

16、。如图，有一个直角三角形纸片，两直如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边现将直角边AC沿沿CAB的的角平分线角平分线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上，且上，且与与AE重合，你能求出重合，你能求出CD的长吗？的长吗？AECDB一只蚂蚁从长为一只蚂蚁从长为4cm、宽为、宽为3 cm，高是，高是5 cm的的长方体纸箱的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到点沿纸箱爬到B点，那么点，那么它所行的最短路线的长是它所行的最短路线的长是_cm。AB.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为高分别为20dm、3d

17、m、2dm，A和和B是这个台阶是这个台阶两个相对的端点，两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到点有一只蚂蚁，想到B点去点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最点的最短路程是短路程是_ 3 2 20 B A如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高，高是是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃处，它想吃到上底与下底面中间与到上底与下底面中间与A点相对的点相对的B点处的蜜糖，点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？在长长30cm30cm、宽、宽50 cm50 cm、高、高40 cm40 cm