大学物理 第11章

1、本章内容本章内容11.1 电磁感应基本定律电磁感应基本定律11.2 动生电动势动生电动势 感生电动势感生电动势11.3 自感和互感自感和互感11.4 磁场的能量磁场的能量11.5 麦克斯韦电磁场理论简介麦克斯韦电磁场理论简介静电场、稳恒电流的磁场静电场、稳恒电流的磁场不随时间而变化不随时间而变化如果如果磁场磁场随时间而变化随时间而变化什么现象？什么规律？什么现象？什么规律？实实验验磁铁与线圈有相对运动，线圈中产生电流磁铁与线圈有相对运动，线圈中产生电流一线圈电流变化，在附近其它线圈中产生电流一线圈电流变化，在附近其它线圈中产生电流NSIv)(tI I不论用什么方法，只要使穿过闭合导体回不论用什

2、么方法，只要使穿过闭合导体回路的磁通量发生变化，此回路中就会有电路的磁通量发生变化，此回路中就会有电流产生。流产生。-电磁感应现象电磁感应现象结论结论11.1 电磁感应基本定律电磁感应基本定律（18311831年，法拉第）年，法拉第）关键：关键：11.1.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律t ddEt dd E在国际单位制中在国际单位制中 感应电动势的大小与通过导体回路的磁感应电动势的大小与通过导体回路的磁通量的变化率成正比通量的变化率成正比(3)(3)负号负号“” 表示感应电流的效果总是反抗引起感应表示感应电流的效果总是反抗引起感应电流的电流的 楞次定律楞次定律 (1) 若回路是若回路

3、是 N 匝密绕线圈匝密绕线圈tNddEtNd)d(t dd (2) 若闭合回路中电阻为若闭合回路中电阻为RtRRIiddEtqidd感应电荷为感应电荷为21d1RR21说明说明21dttiitIqE E 方向确定的具体方法方向确定的具体方法1.1. 选一绕行方向为正方向选一绕行方向为正方向, ,使感应电动势的方向与绕行使感应电动势的方向与绕行方向满足右手法则。方向满足右手法则。2.2.若穿过回路的磁通量增大若穿过回路的磁通量增大时，此时感应电流的磁场方时，此时感应电流的磁场方向和原磁场的方向相反，阻向和原磁场的方向相反，阻碍原磁场增强碍原磁场增强t ddt ddNSNS0E0EtddtddNN

4、SS0E0E 反之，穿过反之，穿过回路的磁通量减小时，此时回路的磁通量减小时，此时感应电流的磁场方向和原磁感应电流的磁场方向和原磁场的方向相同，阻碍原磁场场的方向相同，阻碍原磁场变小变小在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框，导体在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框，导体线框与载流导线共面。线框与载流导线共面。t=0 时，线框与导线紧靠，设线框以匀时，线框与导线紧靠，设线框以匀速度速度 垂直导线水平向右运动。垂直导线水平向右运动。Ivabxdx解解xbxISBddd20 通过面积元的磁通量通过面积元的磁通量 xbxIalldd 20 lalIbln20 t dd El ltl

5、altlIbdddd/20 )(allIab 20v （选顺时针方向为正）（选顺时针方向为正） 例例求求 线框中的感应电动势线框中的感应电动势v讨论：讨论：若导体线框不运动而是与长直导线保持相对静止，但长若导体线框不运动而是与长直导线保持相对静止，但长直导线通以电流，直导线通以电流， ，则结果如何？，则结果如何？tIsin0Iab B11.2 动生电动势动生电动势 感生电动势感生电动势两种不两种不同机制同机制1. 相对于实验室参照系，磁场不随时间变化，而相对于实验室参照系，磁场不随时间变化，而 导体回路运动（切割磁场线）导体回路运动（切割磁场线）-动生电动势动生电动势2. 相对于实验室参照系，

6、若导体回路静止，相对于实验室参照系，若导体回路静止， 但磁但磁场随时间变化场随时间变化-感生电动势感生电动势11.2.1 动生电动势动生电动势GfmFevI)(Befm vEeFe 当当 时达到平衡时达到平衡emFf BeeEv BEv BlElUv U: 动生电动势动生电动势洛伦兹力洛伦兹力非静电力非静电力,充当充当搬运电荷的力，产生了电场搬运电荷的力，产生了电场静电场静电场非静电性场强非静电性场强Ek为为)(BefEmk vLLiilBd)(dvEE闭合回路中的动生电动势为闭合回路中的动生电动势为动生电动势为动生电动势为lBlEbabakid)(dvE而而 适用于切割磁力线的导体适用于切割

7、磁力线的导体babakabablBlEUUd)(dvEabUU 0abUU 0(1) 适用于一切产生电动势的回路适用于一切产生电动势的回路t ddElBbaid)(vE(2)讨论讨论等效等效x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xB(3) (3) 洛伦兹力总是垂直与电子的速洛伦兹力总是垂直与电子的速度方向，对电子不作功，那么建立的度方向，对电子不作功，

8、那么建立的电场的能量从何而来？电场的能量从何而来？ 为使导体棒保持速度为为使导体棒保持速度为v的匀速运的匀速运动，必须施加动，必须施加外力外力f0以克服洛仑兹力的以克服洛仑兹力的一个分力一个分力feuB. 外力克服洛仑兹外力克服洛仑兹力的一个分量力的一个分量f所做的功转化为感应电所做的功转化为感应电流的能量流的能量. 洛仑兹力起到了能量转化的传递作用，但前提是运动洛仑兹力起到了能量转化的传递作用，但前提是运动导体中必须有能自由移动的电荷导体中必须有能自由移动的电荷.v-uu+vFfff0例例 在空间均匀的磁场中在空间均匀的磁场中 zBB lab设设导线导线 ab 绕绕 Z 轴以轴以 匀速旋转匀

9、速旋转导线导线 ab 与与 Z 轴夹角为轴夹角为 求求 导线导线 ab 中的电动势中的电动势解解 建坐标如图所示建坐标如图所示, ,则则dl处的非处的非BvabzBldrrBBBEivvBl)sin(2llO cosdlBvllBdsin2 lBid)(d vE静电场强为静电场强为于是于是导线的电动势为导线的电动势为LiillB02dsindEE0sin222LB方向从方向从 a b例例 电流为电流为I的长直载流导线近旁的长直载流导线近旁有一与之共面的导体有一与之共面的导体ab，长为，长为l.设导体的设导体的a端与长导线相距为端与长导线相距为d，ab延长线与长导线的夹角为延长线与长导线的夹角为

10、，如图所示如图所示.导体导体ab以匀速度以匀速度 v沿电沿电流方向平移流方向平移.试求试求ab上的感应电上的感应电动势动势.解解在在ab上取一线元上取一线元dl，它与长直导线的距离为，它与长直导线的距离为r，则该处，则该处磁场方向垂直向里，大小为磁场方向垂直向里，大小为02IBr电动势方向从电动势方向从b指向指向alrIlBbabad)2cos(90sin2d)(0vvabEsindsin20rrIbavdldrIsinln20v.vB的方向与的方向与dl方向之间夹角为方向之间夹角为2sindrdl且有且有于是有例例 在匀强磁场在匀强磁场 B 中，长中，长 R 的铜棒绕其一端的铜棒绕其一端 O

11、 在垂直于在垂直于 B 的的平面内转动，角速度为平面内转动，角速度为 B OR求求 棒上的电动势棒上的电动势解解 方法一方法一 ( (动生电动势动生电动势):):dlAlAOilBd)(vEROlBdvROlBld22BR方向方向OA 方法二方法二( (法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律):):d在在 dt 时间内导体棒切割磁场线时间内导体棒切割磁场线vdBR d212tiddEtBRdd212221BR方向由楞次定律确定方向由楞次定律确定11.2.2 感生电动势感生电动势 有旋电场有旋电场u感生电动势感生电动势：由于磁场变化在导体回路中产生的电动势：由于磁场变化在导体回路中产生的电动势谁提

12、供非静电力？谁提供非静电力？有旋电场有旋电场麦克斯韦提出麦克斯韦提出: 不论有无导体或导不论有无导体或导体回路，变化的磁场都将在其周围体回路，变化的磁场都将在其周围空间产生具有闭合电场线的电场空间产生具有闭合电场线的电场有旋电场有旋电场与静电场与静电场的比较的比较相同相同客观存在客观存在对处于其中的电荷施加力的作用对处于其中的电荷施加力的作用不同不同有旋电场线为有旋电场线为闭合曲线闭合曲线，0d lELw0dswSE感生电场或感生电场或有旋电场有旋电场激励源不同激励源不同非保守场非保守场wE和法拉第电磁感应定律和法拉第电磁感应定律 LilEdvEu 感生电动势的计算感生电动势的计算SSBtdd

13、dtdd因为回路固定不动，上式积分与因为回路固定不动，上式积分与面源面源S及及夹角夹角与与时间时间t无关无关 SLiStBlEddvE在变化的磁场中，有旋电场强度对任意闭合路径在变化的磁场中，有旋电场强度对任意闭合路径 L L 的线积分的线积分等于这一闭合路径所包围面积上等于这一闭合路径所包围面积上磁通量的变化率磁通量的变化率。根据电动势的定义根据电动势的定义SLwiStBlEddE说明说明BtBEwBtBEwwEtB符合符合左螺旋左螺旋法则法则, ,此关系满足楞次定律此关系满足楞次定律与与（1 1）（2）在一般情况下，当空间同时存在静电场）在一般情况下，当空间同时存在静电场Ee和涡旋电场和涡

14、旋电场EW SLwLweiStBlElEEddd)(EweEEE根据矢量分析的斯托克斯定理，应有根据矢量分析的斯托克斯定理，应有SLSElEd)(d其中其中zkyjxi叫做叫做哈尔米顿哈尔米顿（Hamilton）算子。记号是一个微分运算符）算子。记号是一个微分运算符号，但同时又要当做矢量看待。其运算规则是：号，但同时又要当做矢量看待。其运算规则是：所以所以uzkyjxiu)(kzujyuixu)()(kAjAiAzkyjxiAzyxkzAjyAixAzyxkyAxAjxAzAizAyAAAAzyxkjiAxyzxyzzyx)()()(ddSt BESSt BE（积分形式）（积分形式）（微分形式

15、）（微分形式）所以有所以有tB /一半径为一半径为R 的长直螺线管中载有变化电流，当磁感应强度的长直螺线管中载有变化电流，当磁感应强度的变化率的变化率以恒定的速率增加以恒定的速率增加 时，时，例例管内外的管内外的VErEwR 求求解解SLStBlEddw在管内在管内22rtBrEwtBrE2w在管外在管外2w2RtBrEtBrREw22OrVER得管内得管内得管外得管外RtBR20 CtB长直螺线管磁场长直螺线管磁场例例Uab (1) 在如图在如图1所示的直径上放所示的直径上放一导体杆一导体杆ab ， ab 端电压端电压RbadlEw(2) 导体杆位置如图导体杆位置如图2所示时，距环所示时，距

16、环心处为心处为h时的电压时的电压 Uab图1求求解解0d bawiablEuE(1)杆在直径时，电场线处杆在直径时，电场线处处和杆垂直。所以处和杆垂直。所以(2) 方法方法1 1：bawlEdcosltBrbadcos2balrtBdsin21balhtBd21abuu bawiablEudE EtBhl2Chl2Rba Ewrh图2方法方法2 2：构造闭合回路构造闭合回路L LRba lEwdEbawlEdStBSdtBlhStBS2d，并判断，并判断b，c 两点的电势高低。两点的电势高低。bcE求求 bacOStBSbcdE解解221RtBE0tBbcuu Eu 涡旋电场的应用涡旋电场的应

17、用1. 1. 电子感应加速器电子感应加速器rreEF电电子子 v v v f f 电电子子束束 靶靶 电子电子枪枪 环形真空室环形真空室 B Bv v结构：结构：工作原理：工作原理：圆形电磁铁，环型真空室圆形电磁铁，环型真空室 交变磁场作用于电子的交变磁场作用于电子的洛仑兹力洛仑兹力作为电子圆周运动向心力作为电子圆周运动向心力；涡旋电场；涡旋电场提供与电子速度方向相同的提供与电子速度方向相同的电场力使电场力使电子被加速电子被加速。o E E感 TtB 电子得到加速的时间最长只是交流电电子得到加速的时间最长只是交流电流周期流周期T的四分之一。的四分之一。在在 T/4 结束时应把结束时应把电子引向

18、靶枪。电子引向靶枪。 小型电子感应加速器可把电子加速到小型电子感应加速器可把电子加速到0.11MeV,用来用来产生产生x射线。大型的加速器可使电子能量达射线。大型的加速器可使电子能量达数百数百MeV，即可把电子加速到即可把电子加速到0.99998c，百分之几秒时间内电子在，百分之几秒时间内电子在加速器内的行程达几千米。用于科学研究。加速器内的行程达几千米。用于科学研究。 将金属导体快置入非均匀磁场中将金属导体快置入非均匀磁场中切割磁力线，则会在导体块内形成自成切割磁力线，则会在导体块内形成自成回路的电流，这种电流就叫回路的电流，这种电流就叫涡电流涡电流。 2. 2. 涡电流的应用涡电流的应用涡

19、电流：涡电流：dBdt0抽真空抽真空 高频感应炉；高频感应炉； 优点是加热速度快，温度均匀，材料不优点是加热速度快，温度均匀，材料不受污染且易于控制。受污染且易于控制。 可用作一些特殊要求的热源可用作一些特殊要求的热源涡电流利用涡电流利用 在冶金工业中，熔化某些活泼的在冶金工业中，熔化某些活泼的稀有金属时，在高温下容易氧化，稀有金属时，在高温下容易氧化，将其放在真空环境中的坩埚中，坩将其放在真空环境中的坩埚中，坩埚外绕着通有交流电的线圈，对金埚外绕着通有交流电的线圈，对金属加热，防止氧化。属加热，防止氧化。电子元件中的高纯真空电子元件中的高纯真空抽真空抽真空接高频发生器接高频发生器显像管显像管

20、 在制造电子管、显像管或激光管时，在做在制造电子管、显像管或激光管时，在做好后要抽气封口，但管子里金属电极上吸附好后要抽气封口，但管子里金属电极上吸附的气体不易很快放出，必须加热到高温才能的气体不易很快放出，必须加热到高温才能放出而被抽走放出而被抽走, ,利用涡电流加热的方法，一利用涡电流加热的方法，一边加热，一边抽气，然后封口。边加热，一边抽气，然后封口。涡电流的防止涡电流的防止涡电流的弊端是消耗能量，发散热量。涡电流的弊端是消耗能量，发散热量。 例如在各种电机，变压器中。就例如在各种电机，变压器中。就必须尽量减少铁芯中的涡流，以免过必须尽量减少铁芯中的涡流，以免过热而烧毁电气设备。热而烧毁

21、电气设备。 因此在制作变压器铁心时，用多片硅钢片叠合而成，使因此在制作变压器铁心时，用多片硅钢片叠合而成，使导体横截面减小，涡电流也较小。导体横截面减小，涡电流也较小。11.3 自感和互感自感和互感11.3.111.3.1自感现象自感现象 通电线圈由于自身电流的变化而通电线圈由于自身电流的变化而引起本线圈所围面积里磁通的变化，引起本线圈所围面积里磁通的变化，并在回路中激起感应电动势的现象，并在回路中激起感应电动势的现象，叫叫自感现象。自感现象。BI当当)(tBB)(tII )(t 自LI 自 L: :自感系数自感系数tdd自EtLItILdddd若回路周围不存在铁磁质若回路周围不存在铁磁质,

22、且回路大小、形状及周围磁介质分且回路大小、形状及周围磁介质分布不变布不变tILdd自E自感电动势自感电动势 自感电动势的计算自感电动势的计算说明说明（2）实验表明，）实验表明，L与回路几何形状、尺寸、磁介质的磁与回路几何形状、尺寸、磁介质的磁导率有关。导率有关。（3）当线圈的匝数为）当线圈的匝数为N时时NLI 自(4) 在在(SI)制中，制中，L的单位：的单位： 亨利亨利(H)，1H=1韦伯韦伯/1安培安培 (5)(5)自自感具有使回路电流保持不变的性质感具有使回路电流保持不变的性质 电磁惯性电磁惯性(1) 负号：楞次定律负号：楞次定律例例 同轴电缆由半径分别为同轴电缆由半径分别为 R1 和和

23、R2 的两个无限长同轴柱面组成的两个无限长同轴柱面组成求求 无限长同轴电缆单位长度上的自感无限长同轴电缆单位长度上的自感II解解设电缆中通以电流设电缆中通以电流I，由安培环由安培环路定理可知路定理可知21RrRrIBr2021,RrRr0BSdSBddrlrIrd2021d20RRrrlrI120ln2RRIlr120ln2RRIlLrrl1R2Rr取截面取截面dS11.3.2.互感现象互感现象1B1I1L2L线圈线圈 1 中的电流变化中的电流变化引起线圈引起线圈 2 的磁通变化的磁通变化线圈线圈 2 中产生感应电动势中产生感应电动势穿过线圈穿过线圈 2线圈线圈1 中电流中电流 I 12121

24、IMtIMd)(d1212EtMItIMdddd211121若两线圈结若两线圈结 构、相对位置构、相对位置及其周围介质分布不变时及其周围介质分布不变时tIMdd1212E的磁通量正比于的磁通量正比于tIMdd2121E互感电动势互感电动势（M21：互感系数互感系数）12互感现象互感现象 互感电动势的计算互感电动势的计算(1) 可以证明：可以证明：MMM1221(2) 两个线圈的互感与各自的自感有一定的关系两个线圈的互感与各自的自感有一定的关系讨论讨论21LLkM k 为两线圈的为两线圈的耦合系数耦合系数改变两线圈的相对位置改变两线圈的相对位置, ,可改变两线圈之间的耦合程度。可改变两线圈之间的

25、耦合程度。21LLM k =1 两线圈为完全耦合：两线圈为完全耦合：0Mk =0 两线圈间无相互影响：两线圈间无相互影响：) 10( k例例 一无限长导线通有电流一无限长导线通有电流 tII sin0 现有一矩形线框与长直现有一矩形线框与长直导线共面。导线共面。求求 互感系数和互感电动势互感系数和互感电动势解解rIB20rdr穿过线框的磁通量穿过线框的磁通量2/52/daaSB5ln20Ialn520aIMtIMddEtIacos5ln200互感系数互感系数互感电动势互感电动势oraSddIaa2 直导线两边的磁感应强度方向相反且以导线为轴对称分布，通过直导线两边的磁感应强度方向相反且以导线为

26、轴对称分布，通过矩形线圈的磁通链为零，所以矩形线圈的磁通链为零，所以Mo.这是消除互感的方法之一这是消除互感的方法之一.建立坐标系，在线框上取窄建立坐标系，在线框上取窄条条dr2a25a2a由于由于232220)(2daIaNB)(2SBNcos2BSNcos)(222322202bdaIaNNcos)(222322202bdaaNNIM互感系数互感系数求求解解由由 ，小线圈处可视为，小线圈处可视为均匀磁场均匀磁场ab 2N)(ab 在半径为在半径为a 的的N 匝载流线圈的轴线上匝载流线圈的轴线上d 处，有一半径为处，有一半径为b 、的圆线圈的圆线圈，且两线圈法线间夹角为，且两线圈法线间夹角为

27、例例匝数为匝数为abndI11.4 磁场的能量磁场的能量11.4.1.自感磁能自感磁能v实验分析实验分析 当当K1 接通时接通时:iRLEEtRititiLtidd)dd(d 2E000200ddidtIttRiLitiE电源作电源作的功的功自感电动势反抗自感电动势反抗电流建立作的功电流建立作的功电阻消耗的电阻消耗的焦耳热焦耳热 电源为克服电源为克服L的自感电动势所付出的电能，则转变为磁场的自感电动势所付出的电能，则转变为磁场能储存在螺绕环内的磁场中能储存在螺绕环内的磁场中 RLBXK2K1oiIi(t)t0t1t电场能量电场能量磁场能量磁场能量外力克服静电场力作功转化为静电场的能量。外力克服

28、静电场力作功转化为静电场的能量。电源克服感应电动势所作的功转化为磁场的能量。电源克服感应电动势所作的功转化为磁场的能量。当当K1 断开，接通断开，接通K2时时iRLE21dd20ttItRiiLitRiiLidd2储存于线圈磁储存于线圈磁场中的磁场能场中的磁场能电阻消耗的电阻消耗的焦耳热焦耳热结论：结论：通有电流的线圈存在能量通有电流的线圈存在能量 磁能磁能 自感为自感为 L 的线圈中通有电流的线圈中通有电流 I 时所储存的磁能为电流时所储存的磁能为电流 I 消失时自感电动势所做的功消失时自感电动势所做的功0ddIiLiAA221LImW(自感磁能公式自感磁能公式)RLBXK2K1oiIi(t

29、)t0t1t)(tit2讨论讨论221LIWm与电容储能比较与电容储能比较CQWe22自感线圈也是一个储自感线圈也是一个储能元件，自感系数反能元件，自感系数反映线圈储能的本领映线圈储能的本领11.4.2.互感磁能互感磁能 当一个线圈中的电流发生变化时，在周围空间会产生当一个线圈中的电流发生变化时，在周围空间会产生变化的磁场，从而在处于此空间的另一个线圈中会产生感应变化的磁场，从而在处于此空间的另一个线圈中会产生感应电动势，在这样的互感现象中磁场能量在线圈电动势，在这样的互感现象中磁场能量在线圈1 1和线圈和线圈2 2中相中相互转换，这时线圈中的能量就是互感磁能互转换，这时线圈中的能量就是互感磁

30、能 11.4.3 11.4.3 磁场能量密度磁场能量密度 以无限长直螺线管为例以无限长直螺线管为例rnInIBr0IBVnnISInlINLr20长直螺线管的自感长直螺线管的自感2222121VInLIWm222221nBVnVB22Vwm222BHBVWwmm磁场能量密度的普遍计算公式磁场能量密度的普遍计算公式(适用于均匀与非均匀磁场适用于均匀与非均匀磁场)BHBwm2122磁场能量密度与电场能量密度公式的比较磁场能量密度与电场能量密度公式的比较EDEwre212120在有限区域内在有限区域内dVVwVBHVwWVVmmd21dVEDVwWVVeed21d 磁场能量公式与电场能量公式具有完全

31、对称的形式磁场能量公式与电场能量公式具有完全对称的形式BHwm21解解 根据安培环路定理根据安培环路定理rNIBr2021RrRrNIH222220421rINr1R2RhrrhVd2d取体积元取体积元VmmVwWd21d2822220RRrrrhrIN1222ln4RRhINI例例一由一由 N 匝线圈绕成的矩形螺绕环，通匝线圈绕成的矩形螺绕环，通有电流有电流 I ，其中充有均匀磁介质，其中充有均匀磁介质求求 磁场能量磁场能量Wm11.5 麦克斯韦电磁场理论简介麦克斯韦电磁场理论简介11.5.1 11.5.1 位移电流假设位移电流假设u 问题的提出问题的提出LIRLIlHd对稳恒电流对稳恒电流对对S1面面LIlHd对对S2面面LlH0d矛矛盾盾稳恒磁场的安培环路定理已稳恒磁场的安培环路定理已不适用于非稳恒电流的电路不适用于非稳恒电流的电路结论：结论：u 位移电流假设位移电流假设 非稳恒电路中，在传导电流中断非稳恒电路中，在传导电流中断处必发生电荷分布的变化，处必发生电荷分布的变化，而电荷而电荷的变化必引起电场的变化的变化必引起电场的变化。StDD)(D ttDDDI