热力学与统计物理第6章

1、1第六章 近独立粒子的最概然分布热力学与统计物理学的研究方法热力学与统计物理学的研究方法 热力学是研究热力学是研究热运动的宏观理论。它热运动的宏观理论。它以实验总结的以实验总结的定律出发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间定律出发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而揭示热现象的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而揭示热现象的有关规律。的有关规律。 统计物理统计物理是研究热运动的微观理论。它是研究热运动的微观理论。它从从宏观物质宏观物质系统由大量系统由大量微观粒子组成出发，认为微观粒子组成出发，认为宏观性质是大量微宏观性质是大量微观粒子的集体表现观粒

2、子的集体表现, 宏观热力学量则是相应微观力学量宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。的统计平均值。2第六章 近独立粒子的最概然分布3第六章 近独立粒子的最概然分布 孤立系统的熵永不减少。孤立系统的熵永不减少。孤立系统中发生的不可孤立系统中发生的不可逆过程总是朝着熵增加的方向进行的。这个宏观的不逆过程总是朝着熵增加的方向进行的。这个宏观的不可逆性不能由微观粒子遵循的具有可逆性的力学规律可逆性不能由微观粒子遵循的具有可逆性的力学规律得出。得出。4第六章 近独立粒子的最概然分布5第六章 近独立粒子的最概然分布6第六章 近独立粒子的最概然分布7第六章 近独立粒子的最概然分布第六章第六章 近独立粒

3、子的最概然分布近独立粒子的最概然分布8第六章 近独立粒子的最概然分布 微观粒子是指组成物质系统的基本单元（如分子、微观粒子是指组成物质系统的基本单元（如分子、原子、离子、电子、光子等）和准粒子（如声子、激原子、离子、电子、光子等）和准粒子（如声子、激子、极化子和旋子等）。子、极化子和旋子等）。粒子的运动状态是指它的力学运动状态。粒子的运动状态是指它的力学运动状态。 如果认为粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子如果认为粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。运动状态的描述称为经典描述。 如果认为粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子如果认为粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状

4、态的描述称为量子描述。运动状态的描述称为量子描述。6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述9第六章 近独立粒子的最概然分布123,rq q qq1212,rrq qqp pp（；） 自由度为自由度为r的的一个一个微观粒子的微观粒子的微观运动状态微观运动状态由由2r个个广义坐标和广义动量确定。广义坐标和广义动量确定。粒子的自由度数（粒子的自由度数（r） 能够完全确定一个质点空间位置的独立坐标数目。能够完全确定一个质点空间位置的独立坐标数目。123,rp ppp广义坐标广义坐标广义动量广义动量能量能量10第六章 近独立粒子的最概然分布 空间中空间中任何任何一点代表力学体系中一个粒子的一

5、点代表力学体系中一个粒子的一一个个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在时间改变时，代表点相应地在空间中移动，描画出空间中移动，描画出一条轨迹。一条轨迹。 1212,rrq qqp pp（；）空间空间 由由2r个广义坐标和广义动量构成的一个个广义坐标和广义动量构成的一个2r维直角维直角坐标空间。微观粒子的一个运动状态可由坐标空间。微观粒子的一个运动状态可由空间中一空间中一点表示。点表示。空间中一点的坐标空间中一点的坐标11第六章 近独立粒子的最概然分布（一）自由粒子（一）自由粒子自由度：自由度： 3 空间维数空间维数：

6、6zmppymppxmppzyx321 广义动量：zqyqxq321 广义坐标： 不受外力的作用而自由运动的粒子。例不受外力的作用而自由运动的粒子。例如当不存在外场时的理想气体分子或金属中如当不存在外场时的理想气体分子或金属中的自由电子。的自由电子。12第六章 近独立粒子的最概然分布能量：能量：)(21222zyxpppm13第六章 近独立粒子的最概然分布xxpoxpoxL0 xxLp 14第六章 近独立粒子的最概然分布（二）一维线性谐振子（二）一维线性谐振子 自由度：自由度：1 1 空间维数：空间维数：2 2pmxqx 质量为质量为m的粒子在弹性力的粒子在弹性力f=-Ax作用下作用下,将在将

7、在原点附近作圆频率为原点附近作圆频率为 的简谐振动，称为的简谐振动，称为线性谐振子。线性谐振子。 如在一定条件下的分子内原子的振动，晶体如在一定条件下的分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动。中原子或离子在其平衡位置附近的振动。mA广义坐标：广义坐标：广义动量广义动量：15第六章 近独立粒子的最概然分布能量能量222212xmmp具有确定能具有确定能量的代表点量的代表点的轨迹是一的轨迹是一个椭圆个椭圆122222mxmpxp16第六章 近独立粒子的最概然分布（三）转子（三）转子17第六章 近独立粒子的最概然分布1212m mmmm18第六章 近独立粒子的最概然分布sincos

8、xrsinsinyrcosrz 用球极坐标表示用球极坐标表示xyzr设该质点在直角坐标下的坐标为设该质点在直角坐标下的坐标为x,y,z)(21222zyxm能量能量19第六章 近独立粒子的最概然分布sincoscoscossinsinxrrrsinsincossinsincosyrrrsincosrrz22222222211()(sin)22m xyzm rrr求直角坐标关于时间的一阶导数求直角坐标关于时间的一阶导数0r 222221(sin)2m rr考虑质点和原点的距离保持不变考虑质点和原点的距离保持不变 ，于是，于是20第六章 近独立粒子的最概然分布转子的自由度数：转子的自由度数：2 2

9、 空间维数：空间维数：4 4广义坐标：广义坐标：12 (0 ), (0 2 )qqqq广义动量：广义动量：21222sinppmrppmr22222222111(sin)()22sinm rrppI能量：能量：21第六章 近独立粒子的最概然分布rprM0,2pMMM2222211()2sin22pMppIII22第六章 近独立粒子的最概然分布转子不受外力时总角动量守恒转子不受外力时总角动量守恒xyzrpApMxyzr=/2P=0Ap=M=M23第六章 近独立粒子的最概然分布6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述（1 1）微观粒子具有波粒二象性（粒子性与波动性）微观粒子具有波粒二象

10、性（粒子性与波动性） 一方面它们是客观存在的单个实体，另一方面它们是客观存在的单个实体，另一一方面在适当的条件下又可以观察到微观粒子显方面在适当的条件下又可以观察到微观粒子显示干涉、衍射等为波动所特有的现象。所以微示干涉、衍射等为波动所特有的现象。所以微观粒子普遍具有波粒二象性。观粒子普遍具有波粒二象性。24第六章 近独立粒子的最概然分布25第六章 近独立粒子的最概然分布粒子性与波动性的联系粒子性与波动性的联系德布罗意关系德布罗意关系kp 其中其中sJ10055. 1234h具有角动量量纲，称为普朗克常数。具有角动量量纲，称为普朗克常数。德布罗意指出：德布罗意指出： 能量为能量为、动量、动量为

11、为p的自由粒子联系着圆频的自由粒子联系着圆频率为率为、波矢为、波矢为k k的平面波，称为的平面波，称为德布罗意波。德布罗意波。26第六章 近独立粒子的最概然分布27第六章 近独立粒子的最概然分布 微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标，这微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标，这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。数或量子数来描述的。 （2）微观粒子运动满足）微观粒子运动满足不确定关系不确定关系hpq 在量子力学中，微观粒子的运

12、动状态称为量子态。在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。粒子的自由度数。,0qopqp 28第六章 近独立粒子的最概然分布 微观粒子的能量是不连续微观粒子的能量是不连续的的,每一个不连续的能量值按每一个不连续的能量值按高低排序称为能级。高低排序称为能级。（3）能级与简并）能级与简并 量子态可以位于不同的能量子态可以位于不同的能级上。如果一个能级只有一个级上。如果一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。量子态，该能级称为非简并的。如果一个能级上的量子态不止如果一个能级上的量子态不

13、止一个，则该能级就称为简并的。一个，则该能级就称为简并的。一个能级上的的量子态数称为一个能级上的的量子态数称为该能级的简并度，该能级的简并度，g用表示。用表示。n=0n=1n=2n=3n=429第六章 近独立粒子的最概然分布（一）线性谐振子（一）线性谐振子, 2 , 1 , 0 )21(nnn圆频率为圆频率为的线性谐振子的能量可能值为的线性谐振子的能量可能值为 所有能级等间距，均为所有能级等间距，均为 。能级为非简。能级为非简并。一个确定的量子态表示为并。一个确定的量子态表示为n。30第六章 近独立粒子的最概然分布（二）转子（二）转子, 2 , 1 , 0 ) 1(22lllMlllmmMZ,

14、 1,转子的转子的自由度为自由度为2，一个量子态用一个量子态用( (l, m) )表示表示. .Illl2) 1(2, 2 , 1 , 0l基态非简并，激发态简并，基态非简并，激发态简并，简并度为简并度为12 l转子的能量转子的能量IM22量子理论要求量子理论要求 能级能级31第六章 近独立粒子的最概然分布（三）自旋角动量（三）自旋角动量 S称为自旋量子数，可以是整数或半整数。自旋量子称为自旋量子数，可以是整数或半整数。自旋量子数的数值是基本粒子的固有属性。数的数值是基本粒子的固有属性。22=S(S+1) S 自旋自旋角动量的状态由自旋角动量的状态由自旋量子数量子数S及其在本征方向的及其在本征

15、方向的投影量子数投影量子数Sz确定。以确定。以Z表征本征方向，表征本征方向，Sz的可能值为的可能值为Sm, mS, S-1, , -(S-1), -SzSS 某些基本粒子具有内禀某些基本粒子具有内禀角动量，称为角动量，称为自旋自旋角动量角动量S S。所以一个微观粒子的自旋量子态表示为所以一个微观粒子的自旋量子态表示为 ( (S, mS) )。对电子而言，对电子而言，S=1/2, mS=1/232第六章 近独立粒子的最概然分布自旋磁矩自旋磁矩在外场在外场B B中的能量为中的能量为02zeBBBBm 自旋磁矩自旋磁矩在在z z方向的投影为方向的投影为Sm2zzeeeSmmm 电子自旋电子自旋角动量

16、和角动量和自旋自旋磁矩的关系为磁矩的关系为 = =2eeeSSmmm 作业：作业：6.1，6.2，6.3，6.4，自学附录，自学附录B 1，2，3，4，533第六章 近独立粒子的最概然分布四、自由粒子四、自由粒子波矢量可能值波矢量可能值, 2 , 1 , 0,xxnnL 考虑处于长度为考虑处于长度为L的一维容器中自由粒子的运的一维容器中自由粒子的运动状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状动状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状态，其德布罗意波长态，其德布罗意波长 满足满足2xk, 2, 1, 0,2xxxnnLkxxkp, 2, 1, 0,2xxxnnLp动量可能值动量可能值34第六章 近

17、独立粒子的最概然分布2222222Lnmmpxxnx, 2, 1, 0 xn基态能级为非简并，激发态为二度简并基态能级为非简并，激发态为二度简并。能量可能值能量可能值一维自由粒子的运动状态由一个量子数一维自由粒子的运动状态由一个量子数nx描述。描述。35第六章 近独立粒子的最概然分布三维自由粒子三维自由粒子zzyyxxnLpnLpnLp222,0, 1, 2, xyzn n n L 考虑处于线度为考虑处于线度为L的三维容器中自由粒子的运动状态。的三维容器中自由粒子的运动状态。 假设粒子被限制在一个边长为假设粒子被限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿的方盒子中运动，仿照一维粒子的情形，该粒子在三

18、个方向动量的可能值为照一维粒子的情形，该粒子在三个方向动量的可能值为36第六章 近独立粒子的最概然分布一个量子态由一个量子态由3 3个个量子数量子数描述描述),(zyxnnn2222222222222xyzxyzpppnnnpmmmL能量的可能值为能量的可能值为2221,1,1,22232xyzxyzxyznnnnnnnnnmL相邻两个能级的能级差为相邻两个能级的能级差为37第六章 近独立粒子的最概然分布（1）在微观体积下，粒子的动量值和能量值的不连续在微观体积下，粒子的动量值和能量值的不连续 性很显著，粒子量子运动状态由三个量子数表征性很显著，粒子量子运动状态由三个量子数表征222zyxnn

19、n例如对于例如对于1222zyxnnn2222mL有六个量子态与之对应，有六个量子态与之对应，) 1 , 0 , 0() 1, 0 , 0()0 , 1 , 0()0 , 1, 0( )0 , 0 , 1 ()0 , 0 , 1(所以该能级为六度简并，所以该能级为六度简并，g=6。能级决定于能级决定于 ),(zyxnnn38第六章 近独立粒子的最概然分布对于对于能级能级2223xyznnn22223mL有八个量子态与之对应，有八个量子态与之对应，(1,1,1),( 1,1,1),(1, 1,1),(1,1, 1),( 1, 1,1),(1, 1, 1),( 1,1, 1),( 1, 1, 1)

20、所以该能级为八度简并，所以该能级为八度简并，g=8。39第六章 近独立粒子的最概然分布（2 2）在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是准连续的）在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是准连续的 这时往往考虑体积这时往往考虑体积在在V=LV=L3 3内，在动量内，在动量PxPx到到Px+dPxPx+dPx， PyPy到到Py+dPyPy+dPy，PzPz到到Pz+dPzPz+dPz范围内自由粒子的量子态数目。范围内自由粒子的量子态数目。zzyyxxnLpnLpnLp2222222222Lnnnmzyxn40第六章 近独立粒子的最概然分布zzyyxxdpLdndpLdndpLdn222 在体积在体积V=

21、L3内，分别在内，分别在PxPx到到Px+dPxPx+dPx， PyPy到到Py+dPyPy+dPy，PzPz到到Pz+dPzPz+dPz间间可能的可能的PxPx， Py Py， Pz Pz的数目分别为的数目分别为 在体积在体积V V内，动量分量在内，动量分量在 PxPx到到Px+dPxPx+dPx， PyPy到到Py+dPyPy+dPy，PzPz到到Pz+dPzPz+dPz间自由粒子间自由粒子可能可能的量子态数：的量子态数：33)2(hdpdpVdpdpdpdpLdndndnzyxzyxzyx41第六章 近独立粒子的最概然分布hpqhpqr3123123qqqppph 相格大小为相格大小为

22、因此因此dnxdnydnz 的含义为的含义为空间体积元空间体积元Vdpxdpydpz 中中包含的量子态数。包含的量子态数。42第六章 近独立粒子的最概然分布 空间由位形空间和空间由位形空间和动量空间构成。动量空间构成。动量空间动量空间采用采用球极坐标。球极坐标。, ,p zyxppp,sincossinsincosxyzpppppppxpypzp43第六章 近独立粒子的最概然分布23( , , )sinVdn ppdpd dh 22300( )sinVdn ppdpd dh dpphV234两边完成全空间方位角的积分，得两边完成全空间方位角的积分，得在体积在体积V内，动量内，动量大小在大小在

23、p到到p+dp范围内，自由粒子可能的状态数为范围内，自由粒子可能的状态数为 在体积在体积V V内，动量大小在内，动量大小在 p p到到p+dpp+dp， 动量方向在动量方向在到到+d+d， 到到 +d+d的范围内，自由粒子的范围内，自由粒子可能可能的的状态数为状态数为44第六章 近独立粒子的最概然分布1312223342( )( )2(2)(2 )VVdnDdm dmmdhhdmhVdD21233)2(2)( D()表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为态密度。如果粒子的自旋不为零，以上量子态数公称为态密度。如果粒子的自旋不为零，以上量子态数公式需乘以

24、式需乘以2。2/12)2(,2mpmp 利用利用自由粒子的能量动量关系自由粒子的能量动量关系，可得，可得在体积在体积V内，内，能量在能量在 到到+d范围内，自由粒子可能的状态数为范围内，自由粒子可能的状态数为45第六章 近独立粒子的最概然分布6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述一一. .全同粒子全同粒子系统系统与近独立粒子与近独立粒子系统系统1 1）全同粒子系统）全同粒子系统 具有完全相同的内禀属性（相同的质量、自旋和具有完全相同的内禀属性（相同的质量、自旋和电荷）的同类粒子所组成的系统。电荷）的同类粒子所组成的系统。2 2）近独立粒子系统）近独立粒子系统 指粒子之间的相互作用

25、很弱，相互作用的平均能指粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。间的相互作用。近独立粒子系统的能量近独立粒子系统的能量满足满足 NiiE146第六章 近独立粒子的最概然分布 单个粒子的经典运动状态，由单个粒子的经典运动状态，由 2r个广义坐个广义坐标和广义动量来描述标和广义动量来描述.当系统由当系统由N个粒子组成时个粒子组成时, 系统的运动状态确定是指整个系统中每一个粒系统的运动状态确定是指整个系统中每一个粒子在该时刻的运动状态都确定。因此确定系统子在该时刻的运动状态都确定。因此确定系统的

26、微观运动状态需要的微观运动状态需要,21iriiqqqiriippp,21Ni, 1二二. 系统微观运动状态的系统微观运动状态的经典经典描述描述这这 2rN 个变量来确定。个变量来确定。47第六章 近独立粒子的最概然分布或用或用 空间中空间中N个点描述个点描述 一个粒子在某时刻的力学运动状态可以一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在在空间中用一个点表示，由空间中用一个点表示，由N个全同粒子组个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以由成的系统在某时刻的微观运动状态可以由空空间中间中N个点表示。个点表示。 全同粒子在经典描述中是可以分辨的（因全同粒子在经典描述中是可以分辨的（因为经典粒子的运动

27、是轨道运动，原则上是可以为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。后，系统的力学运动状态是不同的。48第六章 近独立粒子的最概然分布),(2121iriiiriipppqqqi),(2121jrjjjjpppqqqj ),(2121iriiiriipppqqqj),(2121jrjjjjpppqqqi iijj交换前交换后49第六章 近独立粒子的最概然分布三三. 系统微观运动状态的量子描述系统微观运动状态的

28、量子描述iiii交换前交换后50第六章 近独立粒子的最概然分布210t0t21经典力学情形经典力学情形量子力学情形量子力学情形51第六章 近独立粒子的最概然分布2 2） 玻色子与费米子玻色子与费米子玻色子玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子。：自旋量子数为整数的基本粒子。 如光子（如光子（1）、）、介子（介子（0）等。）等。费米子费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子。：自旋量子数为半整数的基本粒子。 如电子、质子、中子如电子、质子、中子自旋量子数均为自旋量子数均为1/2。52第六章 近独立粒子的最概然分布复合粒子的分类复合粒子的分类 ： 凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子；凡是由玻色子构成的复合

29、粒子是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。如，如，1H原子原子、2H核核、4He核核、 4He原子为玻色子。原子为玻色子。 2H原子原子、3H核核、3He核核、 3He原子为费米子。原子为费米子。53第六章 近独立粒子的最概然分布3） 泡利不相容原理泡利不相容原理 对于含有多个全同近独立的费米子的系统，对于含有多个全同近独立的费米子的系统，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。一个个体量子态最多能容纳一个费米子。 费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多费米子遵从泡利不相容原理

30、，即在含有多个全同近独立费米子的系统中，占据一个个体个全同近独立费米子的系统中，占据一个个体量子态的费米子不可能超过一个，而玻色子构量子态的费米子不可能超过一个，而玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束。费米子成的系统不受泡利不相容原理的约束。费米子和玻色子遵从不同的统计。和玻色子遵从不同的统计。54第六章 近独立粒子的最概然分布55第六章 近独立粒子的最概然分布4）玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统: : 由可分辨的全同近独立粒子组成，由可分辨的全同近独立粒子组成，不受泡利不受泡利不相容原理约束的系统不相容原理约束的系统称为称为玻耳兹曼

31、系统玻耳兹曼系统。玻色系统玻色系统: : 由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束的系统称作玻色系统。不受泡利不相容原理的约束的系统称作玻色系统。费米系统费米系统: : 由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利不相容原理约束的系统称作费米系统。受泡利不相容原理约束的系统称作费米系统。56第六章 近独立粒子的最概然分布玻耳玻耳兹曼系统兹曼系统系统系统系统系统57第六章 近独立粒子的最概然分布对于玻耳兹曼系统可有对于玻耳兹曼系统可有9种不同的微观状态种不同的微观状态58第六章 近独立粒子的最概然分

32、布对于玻色系统，可以有对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。种不同的微观状态。59第六章 近独立粒子的最概然分布对于费米系统，可以有对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。个不同的微观状态。分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的两个粒子占据三个量子态给出的微观状态数分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的两个粒子占据三个量子态给出的微观状态数61第六章 近独立粒子的最概然分布62第六章 近独立粒子的最概然分布63第六章 近独立粒子的最概然分布64第六章 近独立粒子的最概然分布6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数 ,llla 由大量全同近独立粒子组成由大量全同近独立粒子组成, N, N、E

33、E、V V确定且处确定且处在平衡状态的孤立系统，粒子数按能级的一种分配方在平衡状态的孤立系统，粒子数按能级的一种分配方式称为一个分布式称为一个分布 能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：,21l,21l,21laaa对于具有确定对于具有确定N、E、V的系统，分布必须满足的系统，分布必须满足EaNalllll 65第六章 近独立粒子的最概然分布 微观状态是粒子的运动状态，是所有粒微观状态是粒子的运动状态，是所有粒子占据各能级量子态的一种方式。它反映的子占据各能级量子态的一种方式。它反映的是粒子运动特征。例如：在某一能级上，假是粒子运动特征。例如：在某一能级上，假设有设有3个粒子，这三个粒子

34、是如何占据该能级个粒子，这三个粒子是如何占据该能级的量子态，一种占据方式就是该能级的一个的量子态，一种占据方式就是该能级的一个微观状态。各能级上的粒子占据该能级上各微观状态。各能级上的粒子占据该能级上各个量子态的一种方式即为系统的一个微观态。个量子态的一种方式即为系统的一个微观态。 分布与微观状态数的区别分布与微观状态数的区别66第六章 近独立粒子的最概然分布67第六章 近独立粒子的最概然分布llaallll!lallNlalllaN!lalllBMlaN!.68第六章 近独立粒子的最概然分布69第六章 近独立粒子的最概然分布(1)lla)!1( !)!1(llllaalllllaa)!1(

35、!)!1(llllEBaa)!1( !)!1(.(1)!lla70第六章 近独立粒子的最概然分布)!( !/ !llllaalllllaa)!( !lllllDFaa)!( !. 71第六章 近独立粒子的最概然分布1lla72第六章 近独立粒子的最概然分布llllEBaa)!1( !)!1(.llllllllaaa)!1( !)!1()2)(1(. .!lalM BlNNaNllllDFaa)!( !.lllllllllaaaa)!( !)!)(1() 1(. .!lalM BlNNaN73第六章 近独立粒子的最概然分布!.NBMDFEB74第六章 近独立粒子的最概然分布rrrhppqq011

36、 75第六章 近独立粒子的最概然分布 la 现将现将空间划分为许多体积元空间划分为许多体积元 ，以，以 表示运动表示运动状态处在状态处在 内的粒子所具有的能量，内的粒子所具有的能量， 内包含的内包含的运动状态数为运动状态数为这样，这样，N个粒子处在各能级的一个分布可表示为个粒子处在各能级的一个分布可表示为能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：,21l,21laaarlh0,00201rlrrhhh体体 积积 元元: ,21l76第六章 近独立粒子的最概然分布lalrlllclhaN)(!0.77第六章 近独立粒子的最概然分布玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统玻色系统玻色系统费米系统费米系统经典系统

37、经典系统lallllBMaN! .)!1( !)!1(.lllllEBaa)!( !.lllllDFaa.0 ! () !lalclrlllNah系统系统微观状态微观状态78第六章 近独立粒子的最概然分布（2）一个宏观态所有可能的微观状态数有多少）一个宏观态所有可能的微观状态数有多少?（1）一个分布能给出的微观状态数是多少）一个分布能给出的微观状态数是多少?6.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布宏观态时所有可能的宏观态时所有可能的. . . , , , lM BB EF Dcla 79第六章 近独立粒子的最概然分布1nT21),(VEN21la2lanla n80第六章 近独立粒子的最概然分布1),

38、100(VE21 10,19,21,18,2,7,23la10,16, 4 , 7 ,33,21, 92lala37, 0 ,13, 4 ,26,13, 7nlan81第六章 近独立粒子的最概然分布（3）某一分布出现的概率是多少）某一分布出现的概率是多少? 根据根据玻耳兹曼系统的玻耳兹曼系统的玻耳兹曼分玻耳兹曼分布。布。 根据概率加法定理，某一分布出现的概率与这种根据概率加法定理，某一分布出现的概率与这种分布给出的微观状态数成正比。分布给出的微观状态数成正比。12Tii 某一分布出现的概率为某一分布出现的概率为1()iiiTTP 总的微观状态数总的微观状态数82第六章 近独立粒子的最概然分布1

39、212()()()()()1iTTTTiiPPPPP 所以宏观平衡态就是它的全部微观态出现概率的总所以宏观平衡态就是它的全部微观态出现概率的总和和,它是一个概率等于它是一个概率等于1的确定事件。的确定事件。（4）一个热力学平衡态出现的概率是多少）一个热力学平衡态出现的概率是多少? 根据概率加法定理，在一定宏观条件下系统任一宏观根据概率加法定理，在一定宏观条件下系统任一宏观状态出现的概率应等于对应的各微观态的概率之和状态出现的概率应等于对应的各微观态的概率之和83第六章 近独立粒子的最概然分布对对取极值问题的讨论等价于取极值问题的讨论等价于讨论讨论ln的极值的极值lallllaN!lllllaa

40、Nln!ln!lnlnllllllaaaNNln) 1(ln) 1(lnln对对两边取对数得两边取对数得利用利用近似近似 lnm!=m(lnm-1)推导玻耳兹曼分布推导玻耳兹曼分布给出微观状态数最多的分布给出微观状态数最多的分布84第六章 近独立粒子的最概然分布两边关于两边关于 求变分求变分lallllllllaaaalnlnlnllllaa)ln(lnlnlnlnlnllllllllNNNaaaa llllllaaaNNlnlnlnln85第六章 近独立粒子的最概然分布la由于由于 不完全是独立的，必须满足约束条件不完全是独立的，必须满足约束条件llaNlllaE 必须满足必须满足llaN0

41、0lllaEla86第六章 近独立粒子的最概然分布 为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘子法，取拉氏乘子为日乘子法，取拉氏乘子为a和和，分别乘以上面两分别乘以上面两式，有式，有llaN00lllaE令令 0)ln(lnllllaa87第六章 近独立粒子的最概然分布0)ln(lnllllaaEN则有则有0)ln(llla即即leall 从中减去后两式从中减去后两式leall ln)ln(88第六章 近独立粒子的最概然分布llllleaNllllllleaEs 上式给出了玻耳兹曼系统的最概然分布，称上式给出了玻耳兹曼系统的最概然分布，称为玻耳兹曼分布。为

42、玻耳兹曼分布。和和分别由下面条件决定分别由下面条件决定leall89第六章 近独立粒子的最概然分布 玻耳兹曼分布也可表示为处在能量为玻耳兹曼分布也可表示为处在能量为S S 的量子的量子态上的平均粒子数态上的平均粒子数sefssseNssseEleall和和分别由下面条件决定分别由下面条件决定l=0l=1l=2l=3l=4S90第六章 近独立粒子的最概然分布说明说明（1）取极大值的条件要求满足二级变分小于零）取极大值的条件要求满足二级变分小于零0ln2证明：由证明：由llllaa)ln(ln0)()ln(ln22llllllaaaa 所以满足取极大值的条件，所以满足取极大值的条件，玻耳兹曼分布的

43、确是玻耳兹曼分布的确是最可几条件。最可几条件。91第六章 近独立粒子的最概然分布 考虑一个考虑一个对玻耳兹曼分布有微小偏离的分布的微对玻耳兹曼分布有微小偏离的分布的微观状态数观状态数 例如例如),21llaaaa1122,llllaaaa aaaa),10,10,10965la如果发生相对偏离如果发生相对偏离510llaa5694101,1010,1010 ,100001,1000010,1000001000,llaa玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布一个对玻耳兹曼分布有微小偏离的分布一个对玻耳兹曼分布有微小偏离的分布（2）处于平衡状态的孤立系统的分布近似为最概然分布）处于平衡状态的孤立系统的分布近似为

44、最概然分布92第六章 近独立粒子的最概然分布ln21lnln)ln(2lllaa2)(21lnlllaa2)(21ln对对ln(+)作泰勒展开作泰勒展开93第六章 近独立粒子的最概然分布Naaaallllll1010210211021)(21ln取取N=1023的宏观系统，的宏观系统，微观状态数的相对变化微观状态数的相对变化131exp(10)121llaa231exp(10)12如果发生最大相对偏离如果发生最大相对偏离同理得微观状态数的相对变化同理得微观状态数的相对变化94第六章 近独立粒子的最概然分布12Tii 由等概率原理和概率加法定理每一种分布出现的概率为由等概率原理和概率加法定理每一

45、种分布出现的概率为1()iiiTTP 一个平衡态总的微观状态数一个平衡态总的微观状态数 由于最概然分布给出的微观状态数远大于别的分布由于最概然分布给出的微观状态数远大于别的分布的微观状态数，所以的微观状态数，所以()lTillae 95第六章 近独立粒子的最概然分布()1iiiTiTTP 即一个宏观平衡态出现的概率其实就是它的最概然分即一个宏观平衡态出现的概率其实就是它的最概然分布出现的概率，这个概率约等于布出现的概率，这个概率约等于1，是一个必然事件。所，是一个必然事件。所以一个系统处于热力学平衡态的分布可近似为其最概然分以一个系统处于热力学平衡态的分布可近似为其最概然分布。布。与一个宏观平

46、衡态出现的概率相同与一个宏观平衡态出现的概率相同 根据等概率原理和概率加法原理，最概然分布出现根据等概率原理和概率加法原理，最概然分布出现的概率为的概率为1( )1TP 96第六章 近独立粒子的最概然分布1, 1, 1llaN97第六章 近独立粒子的最概然分布经典系统与玻耳兹曼系统遵守的统计性质相经典系统与玻耳兹曼系统遵守的统计性质相 同同经典系统满足的分布也是玻耳兹曼经典系统满足的分布也是玻耳兹曼0llrlNeh 0lllrlEeh 0lllraeh98第六章 近独立粒子的最概然分布 同理可以求出玻色系统和费米系统中粒子的最概然布同理可以求出玻色系统和费米系统中粒子的最概然布对对llllEB

47、aa)!1( !)!1(.)!1ln(!ln)!1ln(lnlllllaa)1(ln) 1(ln 1)ln( !ln!ln)!ln(lnllllllllllllllaaaaaa两边取对数得两边取对数得 67 玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布若假设若假设N1，al1 ， l1,可得到：可得到：99第六章 近独立粒子的最概然分布两边关于两边关于al求变分求变分la但这些但这些al不完全是独立的，必须满足约束条件不完全是独立的，必须满足约束条件llaNlllaE则必须满足则必须满足llaN00lllaElllllaaaln)ln(lnlnln)ln()(lnlllllllllaaaa100第六章

48、 近独立粒子的最概然分布 为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为取未定因子为a和和分别乘以上面两式，有分别乘以上面两式，有llaN00lllaE令令则有则有 0ln)ln(lnlllllaaaEN0ln)ln(llllaa1leall从中减去前两式从中减去前两式0ln)ln(lnlllllaaaleallln) 1ln(101第六章 近独立粒子的最概然分布同理可导出费米同理可导出费米分布为分布为s 上式给出了玻色系统粒子的最概然分布，称为玻色分上式给出了玻色系统粒子的最概然分布，称为玻色分布。布。 a和和分别由下面条件决定分

49、别由下面条件决定1leNll1leElll1leall1leNll1leElll102第六章 近独立粒子的最概然分布玻色分布和费米分布分布也可表示为处在能量为玻色分布和费米分布分布也可表示为处在能量为S的量子态的量子态上的平均粒子数上的平均粒子数11sefs11seNs1seEss11lllaea和和分别由下面条件决定分别由下面条件决定103第六章 近独立粒子的最概然分布leall1leall1leallllaNlllaE104第六章 近独立粒子的最概然分布如果参数如果参数满足条件满足条件1elllleeeeeealllll11lllleeeeeealllll11由于由于条件条件111leal

50、l1e等价等价105第六章 近独立粒子的最概然分布均称为经典极限条件，或称非简并性条件。均称为经典极限条件，或称非简并性条件。这时玻色这时玻色分布和费米分布过渡到玻耳兹曼分布。即满足经典极分布和费米分布过渡到玻耳兹曼分布。即满足经典极限条件的玻色限条件的玻色(费米费米)系统遵从玻耳兹曼系统同样的分系统遵从玻耳兹曼系统同样的分布。布。111leall1e所以所以106第六章 近独立粒子的最概然分布 当满足经典极限条件时，微观状态数和分当满足经典极限条件时，微观状态数和分布退化的规律布退化的规律 lleaeallll1!.NBMDFEB107第六章 近独立粒子的最概然分布量子统计量子统计经典统计经

51、典统计系统系统系统系统经典系统经典系统微观状态微观状态最概然分布最概然分布满足经典极满足经典极 限条件时限条件时满足经典极满足经典极 限条件时限条件时leall1leall1leallleharll0!.NBMEBlallllBMaN! .)!1( !)!1(.lllllEBaa)!( !.lllllDFaalarllllclhaN) ( ! ! 0!.NBMDFlallllBMaN! .larllllclhaN) ( ! ! 0leallleallleallleharll0第六章小节第六章小节108第六章 近独立粒子的最概然分布 随几事件：在一定宏观条件下，还存在各种偶然因素，随几事件：在一

52、定宏观条件下，还存在各种偶然因素，使得事件使得事件A可能发生也可能不发生，则称事件可能发生也可能不发生，则称事件A为为随几事随几事件件。附录附录B 概率基础知识概率基础知识1、随几事件的概率加法定理、随几事件的概率加法定理其中其中01APlimAANNPN随几事件随几事件A的概率的概率例如多次投掷色例如多次投掷色子出现子出现4的概率为的概率为441lim6NNPN109第六章 近独立粒子的最概然分布 如果两个随几事件在一次观测中不可能同时发生，则如果两个随几事件在一次观测中不可能同时发生，则称这两个事件为称这两个事件为互斥事件互斥事件。2、互斥事件概率的加法定理、互斥事件概率的加法定理或或li

53、mABA BABNNNPPPN互斥事件互斥事件A或事件或事件B出现的概率出现的概率A B CABCPPPP 1iiP 全部互斥事件出现的的概率全部互斥事件出现的的概率110第六章 近独立粒子的最概然分布 根据概率加法定理在一定宏观条件下，系统任根据概率加法定理在一定宏观条件下，系统任一宏观状态出现的概率应等于对应的各微观态的概一宏观状态出现的概率应等于对应的各微观态的概率和。率和。如掷骰子出现双数的概率为如掷骰子出现双数的概率为24611116662PPPPPPP单如掷骰子出现单数的概率为如掷骰子出现单数的概率为111第六章 近独立粒子的最概然分布 如果两个随几事件彼

54、此之间没有任何联系，则称如果两个随几事件彼此之间没有任何联系，则称这两个事件为这两个事件为独立事件独立事件。3、独立事件概率的乘法定理、独立事件概率的乘法定理limlimA BAA BA BABNNANNNPPPNNN 设事件设事件A、事件、事件B是两个独立事件，则事件是两个独立事件，则事件A和事和事件件B同时出现的的概率为同时出现的的概率为2 2221 116 636PP P如同时掷两颗骰子出现如同时掷两颗骰子出现2的概率为的概率为112第六章 近独立粒子的最概然分布 如果一变量以一定的概率取各种可能值，这变量称为如果一变量以一定的概率取各种可能值，这变量称为随几变量随几变量。随几变量可以分为离散型和连续型两种。随几变量可以分为离散型和连续型两种。4、随几事件的概率分布、随几事件的概率分布其中总测量次数其中总测量次数1234nNnnnnn1 111nnnnn xn xnnxxNNN111()()( )nnniiiiP x xP xxP x xx的算术平均值的算术平均值对离散型的随几变量对离散型的随几变量113第六章 近独立粒子的最概然分布 iP称为随几变量称为随几变量X出现的概率