高考物理专题辅导-第十五讲相对论基础

1、1第十五讲 相对论基础2（一）狭义相对论的时空观1。两条基本理论。（1）狭义相对论基础 一切物理规律在任何惯性系中具有相同的形式。（2）光速不变原理 真空中的光速对任何观察者来说都是相同的。2。时间膨胀和长度收缩（1）同时性的相对性AB甲乙3 当A坐在高速轿车中越过站在地面上的B时，离B等距离的甲、乙两处各发生一个闪电。两处闪电的光同时到达B处，B感觉到甲、乙两处同时闪电。由于A向甲高速行驶，因此A线看到甲处的光，后看到乙处的光，他感觉到甲、乙两处不是同时闪电。如果车以光速c行驶，则A永远不会感到乙处闪电。这就是同时性的相对性。dPPAdPPAA（2）时间膨胀4t2d/c 22222ut2d1

2、tt2 d() /c2c1 uc1 uc 如果观察者A不动，光线从P点发出，经过一块相距d的平面镜反射回到P点，耗时如果观察者以速度u向右运动，光线从P点发出，返回到P点，耗时。发生在同一地点的两件事情之间的时间间隔称为本征时间，用t0表示。由上式可知 220tt / 1 uc 。（2）长度收缩X1llAB522tt/ 1 uc 如果有一把长l的尺AB以速度u向右运动，t = 0时B端在x1点。在地面系的人看来，经过t时间后A端越过x1点，尺长l = ut，其中t为地面上同一地点测得的两个时刻之间的间隔，为本征时间。在尺参照系中的人看来，B点过x1点和A点过x1点发生在不同的地点，其时间间隔t

3、/应该比t膨胀 他们看到尺长 22lutut/ 1 uc 220ll1 uc 在相对尺静止的参照系中的长度叫本征长度，用l0表示（即l0=l1），那么有6 1。一艘飞船以0.8C的速度于中午飞经地球，此时飞船上的人和地球上的人都将时钟拨到12：00。（1）飞船上的钟12：30时，飞船飞经一个宇航站，该站相对地球固定且站上的钟显示的是地球时间。试问：飞船到达宇航站时，站上的时钟是几点？（2）飞船到达宇航站时向地球发一电磁信号，地球上的人何时（地球钟）接到信号？（3）地球上的人立即回信号，飞船上的人何时（飞船时间）收到信号？ 7222305010.81ttvc 解：(1)飞船上的钟显示原时（因始终

4、和观察者保持静止），最短。（分钟）则地上的钟显示12:50(2) 地球上的人认为宇航站和地球之间相距s=0.8c5060 m，电磁信号回到地球需要的时间为s/c=40min 。总共需要时间（50+40）min，地球时间为下午1：30 。80.5 0.80.4cc0.80.2ccc0.40.22cc 小时(3)飞船系中光追地球，距离为光与地球速度差单程用时光线被返回时的情况是一样的，也用时2小时，故飞船系最终示时4:30。9 2。在互相重合的x-y系和x-y系中，有一根长L0的棒AB，一端在原点，棒和x轴成0角 。现在让棒和x-y系一起以速度v沿x轴正方向运动，求棒在固定的x-y系中的长度和方向

5、。xyyx0l0v102200021cos1xxvLLLc000sinyyLLL2220021cosxyvLLLLc解：x方向长度要收缩，y方向不收缩。022tantan1yxLLvc11 3 。宇宙射线与大气相互作用能产生介子， 介子会发生衰变而放出子，这些子的速度为0.998c。已知静止子的平均寿命t0为2.2*10-6s，试问当介子在8km高空发生衰变时，沿竖直方向放出的子能否到达地面？12解解: :如果没有时间膨胀，子在平均寿命内行进的距离l0=t0v=2.210-60.9983.0108=658.7m8km，显然到不了地面但由于时间膨胀效应，在地面参照系看来，其平均寿命2201cvt

6、t故其平均行进距离)( 8)(4 .10)(1004. 1)998. 0(1102 . 2100 . 3998. 0142618220kmkmmcccvvtvtl故可以到达地面。 4。子在相对自身静止的参考系中的平均寿命0=2.0*10-6s。宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批子，以v=0.99c的速度向下运动并衰变。根据放射性衰变定律，相对给定惯性参照系，若t=0时刻的粒子数为N(0)，t时刻剩余的粒子数为N(t)，则有 ，式中为相对该惯性系粒子的平均寿命。若能到达地面的粒子数为原来的5%，试估算子产生处相对地面的高度h。（不考虑重力和地磁场对子运动的影响）tN(t)N(0)e14根

7、据时间膨胀效应，在地球上观测到的m子平均寿命为t，s100 . 260201cv解：因m子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命 代入数据得 t = 1.4105s相对地面，若m子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的m子数为 tNtNe0 %5e0tNtN1005lnt根据题意有对上式等号两边取e为底的对数得15代入数据得s1019. 45tthvm1024. 14h根据题意，可以把m子的运动看作匀速直线运动，有 代入数据得 16 5 。用洛仑兹变换说明同时性的相对性17解解:设有两事件在S系中的时空坐标为(x1，t1)和(x2，t2)，由洛仑兹变换，在s系中的时间为11222121222122

8、1222222(),111uuutxtxttxxcccttttuuuccc如果t2 = t1，但x2 x1，就有t2 t1.可见，在S系中同时在不同地点发生的两事件，在s系中不再是同时发生的同理有2212212121)(cuxxcutttt18如果t2= t1，但x2 x1，则t2 t1，即在s系中同时在不同地点发生的两事件，在S系中不再是同时发生的。19 6 。设有一个飞行器以 u = 0.6c 的速度在地面上空飞行。如果这时从飞行器上沿其飞行方向发射一个物体，其相对飞行器的速度为 0.8c ，问从地面上观察，该物体的速度多大？ 20解解:以v= 0.8c，u = 06c 代入公式，得ccc

9、ccvcuuvv946. 06 . 08 . 016 . 08 . 01222此即物体相对地面的速度21 7。试验证真空中的光速在任何惯性系中保持不变22解解:以 v = c 代人公式，得ccuucccuucv112得证.若光速与 u 反向，结果不变(只需以 u=-c 代人公式即可) 23 8。天津和北京相距120km，北京某日上午9时有一个老人去世，同日天津于北京时间上午9时0分0，0003 秒有一个婴儿诞生。试问：在以0.8c的速率沿北京到天津的方向上飞行的飞行器中观察，这两个事件的时间间隔是多少？何者发生在前？24解解:设地面为S系，飞行器为S系，在S系中，北京坐标为x1，天津坐标为x2

10、，老者去世时间为t1,婴儿诞生时间为t2，由题意，u = 0.8c，x2-x1=120km，t2-t1= 0.0003s，由洛仑兹变换有)(1033. 3)(101318 . 01102 . 18 . 00003. 01)(54252221221212sscccuxxcutttt可见在S系中看来，婴儿诞生在前，比老者去世早3.3310-5秒，先后次序颠倒了25222vV1 v c（1）0m(V)VM(v)v(m(V)mM(v)(动量守恒）质量守恒）设在S系中有一对全同粒子A、B沿x/轴相向运动，速度均为v，正碰后成为一个复合粒子，且静止不动。设S/系以速度v沿同一直线相对S系运动，粒子B静止不

11、动，粒子A以速度V运动，其中V可由速度变换求得：（二）。质速关系 碰后，复合粒子以速度v运动。我们现在在S系中列出此过程的动量和质量关系。相对论中认为动量和质量仍应守恒。可以设想质量为速率的函数，于是有260m(V)vmVv由（1）式，可以将上式得右边画为V的显函数22222V2cvV2v0vvc0cV即2222222cccVv()c11VVVc由此解得：222cVv1- 1Vc当vc时，显然应该有V=2v，可见上式根号前应取负号，由以上两式消去M，化简得27于是 22222222222222cVcVVVvV1111VcvcccVV111vcc 代入（2）式，可得22222220222cV11

12、Vcm(V)v1mVvVcVV1111cVcc所以 022mm(V)V1c28022mm(v)v1c这就是相对论的质速关系，它与实验结果完全符合。由于V的任意性，有（三）。相对论中的动量和能量022m vpm(v) v1 v c22k0Emcm c式中的mc2是物体的总动能，m0c2叫做物体的静能。由于数学工具的限制，我们对这个式子不作推导。2。能量：在相对论中，物体的动能1。动量：在相对论中，动量仍然表示为 p = mv，只是要注意m是v的函数，即2922221vvc1+,2c1-v c当时，因此2222220k000222mv1Ecm cm c1m cmv2c21 vc这表明相对论中的动能

13、表达式在vc时，回到牛顿力学中的动能表达式，或者说牛顿力学是相对论力学的一种特殊情况。因为E=mc2，所以有E=mc2。则说明当粒子的质量发生变化时，必然伴随着总能量的变化。3。相对论中动量和能量的关系由质能关系 22022mEmcc1 v c2222242240022vE vE1m c Em ccc可得 即30,222222222Emc E vcm v cp c因为上式化为222242222400Ep cm cEp cm c或/phc可见光子的能量和动量均为频率的函数。对于静质量 m0=0的粒子，上式变为E=pc。光子就是静质量为零的粒子。对光子有E=h，故光子的动量31 9。在北京的正负电

14、子对撞机中，电子可以被加速到动能Ek = 2.8*103MeV。这种电子的速率比光速差多少？这样的电子的动量多大？已知电子的静能为E0 = 0.511MeV。32k022022EEE1mEmccvc解：电子总能量由质能关系222000222022220021(1)11(1)1111kkEEEmcm cm cvcm cvEcEm cvc电子动能3322202222203301(1)()()2 ()122(1)2.8 105.48 100.511kkkEvcEvcv cvc cvcvccccEcvcEEE由此解得而而于是由题意，34323283223619k818(1 5.48 10 )(5.48

15、 10 )2213.0 10(5.48 10 )24.995(/ )5(/ )Emc2.8 10101.6 10pmvmccc3 101.49 10(/ )cccvm sm skg m s 代入上式，得电子动量35 10。一个静质量为m0的粒子以0.8c的速率同另一个处于静止状态的相同粒子撞击而形成一个复合粒子。试问复合粒子的静质量和速率各是多少？36解解: :碰撞过程中能量和动量守恒由能量守恒，有) 1 (112220202220ccuMcmccvm式中M0是复合粒子的静质量，u是它的速率，v=4c/5是原出射粒子的速率由动量守恒，有)2(11220220ucuMvcvm3722222220

16、20000222111vu40.8uc0.5511 (0.8)11(2)11 0.5 0.842.310.531 0.81vcvcvucvcumvccMmmmucvc两式相除即得解出 并以代 得代入得38 11 。在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子。在y轴方向探测到一个散射光子。已知电子的静止质量为 m0，光速为 c，入射光子和散射光子的能量之差等于电子静止能量的 1/10。 （1）试求电子运动速度的大小v，电子运动的方向与x轴的夹角，电子运动到离原点距离为L0的A点所经历的时间t。 （2）在电子以（1）中的速度开始运动时，一个观察者S

17、相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动，试求S测出的OA的长度。39解：（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为 2200221.101 (/)m cm cvc（1）由此可解得0.210.4170.421.10vcc（2） hpchpc入射光子和散射光子的动量分别为和方向如图所示。电子的动量为mv,m为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得，022cos1 (/)m vhcvc （3）022sin1 (/)m vhcvc（4） 40200.10hhm c200.37/m ch已知由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得 （5）200.27/m ch127tanarcta

18、n()36.137002.4/LtLcv 电子从O点运动到A所需时间为2201 (/)LLvc00.91LL（2）当观察者相对于S沿OA方向以速度v运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得 41 12。设地球是一个半径为6370km的球体。在赤道上空离地面一千多公里处和赤道共面的圆与赤道形成的环形区域内，地磁场可以看作是均匀的，其磁感强度为B = 3.2*10-6T。某种带电宇宙射线粒子，其静止质量为m0= 6.68*10-27kg，其电荷量为q = 3.2*10-19C，在地球赤道上空的均匀地磁场中围绕地心作半径为R = 7370km的圆周运动。已知在相对论中只要作用与粒子的力F的方向始终与粒子

19、运动的速度v的方向垂直，则运动粒子的质量m和加速度a的关系仍为f = ma，但式中的m为粒子的相对论质量。问：（1）该粒子的动能多大？（2）该粒子在圆形轨道上运动时与一个不带电的、静止质量为m2 = 4m0的静止粒子发生碰撞，并形成一个复合粒子，求复合粒子的静质量 m1 42解：1设带电宇宙射线粒子速度为v，在地磁场的洛伦兹力作用下做圆周运动，其运动方程为可求得由式该粒子的动能，与静止质量关系为为运动自立相对论质量式中) 1 () 3()2(/1m) 1 (2022202cmmcEcvmmRvmqvBk222220(4)qBRcvq B Rm c4381202292.90 10(5)1(2).

20、(3)(1)(6)1/,(5),1.74 10(7)Kkvm sEm cvcEJ代入数据得由式得 代入数据 注意到式得 200222211121 11 1112222112pE,(8)(9)1/1/,(10)(11)1/1/m vm cpEvcvcvpEmvmcpEvcvc用 和 分别表示宇宙射线粒子的动量和能量有设符合粒子的速度为动量和能量分别为 和有442112201228112201221222271(12)(13)4,(14)1 4 1/(5)(14),1.43 10(15)(9) (11)(13)1/1/1/(5) (15)46.4 10ppEEm cmmvvvcvm smvcmmvcvcmkg粒子符合过程动量、能量守恒，有,由以上各式及已知条件得把式代入式得由、和得由、和有关数据得45 13。前灯效应。（1）在S中，一光束一与x轴成0角的方向射出，求在S系中光束与x轴的夹角，设S系以速率 u 沿 x 轴相对S系运动。（2）一个点光源在相对其静止的坐标系中向各个方向均匀地发光，当它以接近于光速的速率 u 在某一坐标系中运动时，他在前进的方向上强烈地辐射，这种现象叫做前灯效应。这种现象在同步加速器中非常显著，但电子以相对论的速率运动时，在前进方向上一窄束圆锥中发射光线。若发射出的辐射有一半在10-3弧度的圆锥张角中，光的速率是多少？46(