3量子物理学基础03

1、第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院1量子力学量子力学，建立于，建立于 1923 1927年间，两个等价年间，两个等价的理论的理论矩阵矩阵力学和力学和波动波动力学。力学。相对论量子力学相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程。高速运动的粒子的波动方程。Erwin Schrdinger，18871961）奥地利物理学家。）奥地利物理学家。1926年年建立了以薛定谔方程为基础的波建立了以薛定谔方程为基础的波动力学，并建立了量子力学的近动力学，并建立了量子力学的近似方

2、法。似方法。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院2薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。镭的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建

3、立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子（如电子等）运动状薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子（如电子等）运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不薛定谔对分子生物学

4、的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学与生物学相少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学与生物学相结合，形成现代分子生物学的最显著的特点之一。结合，形成现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院3在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，状态随时间的变化在量子力学中，微

5、观粒子的运动状态由波函数来描述，状态随时间的变化遵循着一定的规律。遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上建年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上建立了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论体系，当时被称作波动立了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。力学，现在统称量子力学。11.7 11.7 薛定谔方程薛定谔方程（1）波函数应满足含有时间微商的微分方程）波函数应满足含有时间微商的微分方程。（2）要建立的方程是线性的，即如果）要建立的方程是线性的，即如果 1 ， 2是方是方程的解，则程的解，则 1 和和

6、 2的线性叠加的线性叠加a 1+b 2 也应也应是方程的解。（量子力学态的叠加原理）是方程的解。（量子力学态的叠加原理）（3）这个方程的系数不应含有状态参量（动量、）这个方程的系数不应含有状态参量（动量、能量等）。能量等）。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院4（4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非相对论）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非相对论关系）关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。在量子力学中仍成立。 例如：例如： 对于对于 )(2cos),(1EtxphAtx)(22)(2sin),(

7、PxEthieEtxphAtx都满足：都满足： 222222xPEt但该方程不具有普遍性，因它只能满足特定动量但该方程不具有普遍性，因它只能满足特定动量P和能量和能量E的波。的波。 第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院5)(0),(xpEtietx),(),(txEittx若现在利用若现在利用E=P2/2m 消去消去E，P将得到一个含将得到一个含的非线性方程，不满足条件（的非线性方程，不满足条件（2），所以再微分），所以再微分 2）（x2222px pix沿沿x方向运动的动能为方向运动的动能为E和动量为和动

8、量为 的自由粒子的波函数的自由粒子的波函数 p第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院602222tixm一维自由运动粒子的薛定谔方程一维自由运动粒子的薛定谔方程 ),(),(txEttxi而利用利用E=P2/2m 第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院7此时粒子具有的能量：此时粒子具有的能量： VmPVEEK22同样导出：同样导出： mpxm222222),(),(txEttxi势场中一维运动粒子的薛定谔方程势场中一维运动粒

9、子的薛定谔方程 tiVxm2222利用利用E=P2/2m 第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院8对三维运动的粒子对三维运动的粒子 titzyxVzyxm),(22222222）（引入拉普拉斯算符：引入拉普拉斯算符： 则有则有 2222222zyxtitzyxVm),(222再引入哈密顿算符：再引入哈密顿算符： 则有则有 ),(222tzyxVmHtiH一般的薛定谔方程一般的薛定谔方程 第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院

10、9)()(),(:tfrtr设dttdfritfrrVrtfm)()()()()()()(222两边除以两边除以 可得：可得： )()(tfrdttdftfirrVrmr)()(1)()()(2)(122若作用在粒子上的势场若作用在粒子上的势场 不显含时间不显含时间 t 时，时， 在在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况。薛定谔方经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况。薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。程可用分离变量法求它的特解。)(rV第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院10由于空间变量与时间变量相互

11、独立，所以等式两边必由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为须等于同一个常数，设为E，则有：则有：)()()(222rErrVm0)()(2)(22rVEmr)()(tEfdttdfictiEtf)(ln)exp()(EtiAtf定态定态薛定谔薛定谔方程方程可见可见E具有能量的量纲与自由粒子波函数类比它具有能量的量纲与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。代表粒子的能量。把常数把常数A归到空间部分，薛定谔方程的特解为：归到空间部分，薛定谔方程的特解为：)exp()(),(EtiArtr定态波函数定态波函数第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方

12、程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院11)()(),(),(rrtrtr对应的几率密度与时间无关。即：对应的几率密度与时间无关。即： 处于定态下的粒子具有确定的能量处于定态下的粒子具有确定的能量E，粒子在空，粒子在空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。值的几率分布和平均值都不随时间变化。量子力学的处理方法量子力学的处理方法（1）已知粒子的）已知粒子的m，势能函数势能函数V，即可给出薛定谔方程。即可给出薛定谔方程。 （2）由给定的初、边值条件，求出波函数）由给定的初、边值条件，求出

13、波函数 。（3）由波函数）由波函数 给出不同地点、时刻粒子的几率密度给出不同地点、时刻粒子的几率密度| |2 。下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程。下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程。 第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院1211.8 11.8 一维无限深势阱一维无限深势阱 一维谐振子一维谐振子 以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛，从而看出能量量子化是薛定谔方程

14、的自然结果。定谔方程的自然结果。axxV0, 0)(axxxV, 0,)(已知粒子所处的势场为：已知粒子所处的势场为： 粒子在势阱内受力为零，势能为零。粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深势阱。极大的斥力。称为一维无限深势阱。其定态薛定谔方程：其定态薛定谔方程： )()()()(2222xExxVdxxdm)(xVxao第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院13axxxExdxxdm, 0)()()(2222axoxEdxxdm

15、)()(2222在阱内粒子势能为零，满足：在阱内粒子势能为零，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零：方程的解必处处为零：axxx, 00)(根据波函数的标准化条件，在边界上根据波函数的标准化条件，在边界上0)(, 0) 0 (a所以，粒子被束缚在阱内运动。所以，粒子被束缚在阱内运动。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院14axoxkxmEdxxd)()(2)(2222在阱内的薛定谔方程可写为：在阱内的薛定谔方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：类似于简谐振

16、子的方程，其通解：kxBkxAxcossin)(代入边界条件得：代入边界条件得：00cos0sin)0(BA0cossin)(kaBkaAa所以，所以，, 3 , 2 , 1; 0nnkaBn不能取零，否则无意义。不能取零，否则无意义。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院15222mEk因为因为, 3 , 2 , 1nnka, 3 , 2 , 122222nnmaEn结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。取一系列分立值，即它的能量是量子

17、化的。结论结论, 3 , 2 , 1),sin()(naxnAx1)(sin02dxaxnAa由归一化条件由归一化条件 aA2第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院16axnaxnAxn0, 3 , 2 , 1),sin()(axxxn, 0, 0)(一维无限深势阱中运动的粒子其波函数：一维无限深势阱中运动的粒子其波函数：称称 为量子数；为量子数； 为本征态；为本征态； 为本征能量。为本征能量。nE)(xnn讨论（1）零点能的存在）零点能的存在 称为基态能量。称为基态能量。22212maE（2） 能量是量子化

18、的。是由标准化条件而来。能量是量子化的。是由标准化条件而来。能级间隔：能级间隔：22212) 12(manEEEnnn当当 能级分布可视为连续的。能级分布可视为连续的。0/2/,nEEnn第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院17在某些在某些极限极限的条件下，量子规律可以的条件下，量子规律可以转化转化为经为经典规律。典规律。2218) 12(mahnEEEnn 势阱中相邻势阱中相邻能级能级之之差差21,1amE 能量能量), 3 , 2 , 1(,8222nmahnEn 能级能级相对相对间隔间隔nmahnma

19、hnEEnn288222222当当 时，时， ，能量视为，能量视为连续连续变化。变化。n0)(nnEE第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院18例：例：电子在电子在 的势阱中，的势阱中，m100 . 12aeV1054. 7821522nmahnE（近似于连续近似于连续）当当 时，时， （能量分立能量分立）eV4 .75nm10. 0nEa当当 很大时，很大时， ，量子效应不，量子效应不明显，能量可视为明显，能量可视为连续连续变化，此即为变化，此即为经典对应经典对应。amn,0E物理意义物理意义eV1077.

20、 38152222nmahnE第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院19一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和几率密度0 x2aa1n2n3n4nn0 x2aa2nxanAxsin)(xanaxsin2)(220pE1E14E19E116E第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院20axxxV, 0, 0)(axVxV0,)(00VVOaIIIxIII定态薛定谔方程定态薛定谔方程的解又

21、如何呢？的解又如何呢？0),()(212122xxEdxxdmaxxExVdxxdm0),()()(22202222axxEdxxdm),()(232322在经典力学中，若在经典力学中，若EV0，粒子粒子的动能为正，它只能在的动能为正，它只能在 I 区中运动。区中运动。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院212021)(2EVmk222mEk 令：令：0, 0)()(12212xxkdxxdaxxkdxxd0, 0)()(221222axxkdxxd, 0)()(32232三个区间的薛定谔方程化为：三个区间

22、的薛定谔方程化为：0VVaoxIIIIII第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院22其解为：其解为： 0,Re)(1xAexikxikxaxTexxk0,)(12axCexikx,)(3根据边界条件：根据边界条件： )0()0(21)()(32aa0201|)(|)(xxdxxddxxdaxaxdxxddxxd|)(|)(32若考虑粒子是从若考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波反区中有入射波反射波；粒子从射波；粒子从I区经过区经过II区穿过势垒到区穿过势垒到III 区，在区，在III区区只

23、有透射波。粒子在处的几率要大于在只有透射波。粒子在处的几率要大于在处出现的几率。处出现的几率。0 xax第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院23求出解的形式画于图中。求出解的形式画于图中。0VVaoxIIIIII隧道效应量子力学结果分析：量子力学结果分析：（1）EV0情况。情况。在经典力学中，该情况的粒子可在经典力学中，该情况的粒子可以越过势垒运动到以越过势垒运动到xa区域，而在量区域，而在量子力学中有一部分被反弹回去，即子力学中有一部分被反弹回去，即粒子具有波动性的具体体现。粒子具有波动性的具体体现。（2

24、）EV0情况。情况。在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回，在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回，在在x0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同，的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特有的现象称为特有的现象称为“隧道效应隧道效应”。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院241981年在年在IBM公司瑞士苏黎

25、士实验室工作的宾尼希公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性和罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图像，质来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图像，为此获得为此获得1986年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。只要将原子线度的

26、极细探针以及被研究物质的表面只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。的表面电子云就可能重叠。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院25若在样品与针尖之间加一微小电压若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。电极间的势垒形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于

27、样品方向上的高度变化隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。就能反映样品表面的起伏。因为隧道电流对针尖与样品因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感，控制针尖高间的距离十分敏感，控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。得到表面态密度的分布。空气隙空气隙STM工作示意图工作示意图样品样品探针探针利用利用STM可以分辨表面上原子可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列，可的台阶、平台和原子阵列，可以直接绘出表面的三维图像。以直接绘出表面的三维图像。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维

28、势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院26使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。着重大的意义和广阔的应用前景。利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（PSTM）。）。1989年提出成像技术。年提出成像技术。它可用于不导电样品的观察。它可用于不导电样品的观察。STM样

29、品必须具有一定程度的导电性；在恒流样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。何一种技术都有其局限性。下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果。下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院27这是用扫描隧道显微镜搬动这是用扫描隧道显微镜搬动48个个Fe原子到原子到Cu表面上构成的量子围栏。表面上构成的量子围栏。1991年年IBM公司的公司的“拼字拼字”科研小组创造出了科研小组

30、创造出了“分子绘画分子绘画”艺艺术。这是他们利用术。这是他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约约0.5nm的的“分子人分子人”。这个。这个“分子人分子人”从头到脚只有从头到脚只有5nm，堪称，堪称世界上最小的人形图案。世界上最小的人形图案。第第1111章章 量子物理学基础量子物理学基础薛定谔方程薛定谔方程 一维势阱一维势阱哈尔滨工程大学理学院哈尔滨工程大学理学院28用扫描隧道显微镜观察用扫描隧道显微镜观察到砷化镓表面砷原子的到砷化镓表面砷原子的排列图如下：排列图如下：1994年初，中国科学院真空物理实年初，中国科学院真空物理实验室的研究人员成功地利用一种新的表验室的研究人员成功地利用一种新的表面原子操纵方法，通过面原子操纵方法，通过STM在硅单