高中物理竞赛静电场讲义备课讲稿

1、高中物理竞赛静电场讲义一、库仑定律带电体在库仑力作用下的运动一、库仑定律带电体在库仑力作用下的运动1、定律表述和公式（、定律表述和公式（注意：注意：静止、真空、点电荷静止、真空、点电荷）1222101241rrqqF0 = 8.8510-12 C2 N-1 m-2 ( F/m)称为真空电容率。称为真空电容率。K=1/40静止静止: 两电荷相对于观察者静止。两电荷相对于观察者静止。真空真空: 在电介质中公式要修正。在电介质中公式要修正。点电荷：点电荷：电荷线度与电荷间距比较。电荷线度与电荷间距比较。2、库仑力的求算、库仑力的求算（注意：（注意：矢量性、叠加原理矢量性、叠加原理）。）。iiinir

2、rqqF412010rrdqqF4200叠加原理叠加原理:例例 如图所示，半径为如图所示，半径为R的圆环均匀带的圆环均匀带电，电量为电，电量为q。圆环轴线上与环心相距。圆环轴线上与环心相距x处处有一点电荷，电量为有一点电荷，电量为Q。求点电荷。求点电荷Q与圆与圆环电荷的相互作用力。环电荷的相互作用力。dsdqdvdqdldqdlRqdldq2 解：在圆环上取一小段解：在圆环上取一小段l，其上电荷量为，其上电荷量为当当l 足够小时，足够小时，q与与Q间的作用力为间的作用力为rRxQdqFd)(41220LRxQdqFFcos)(41220/EQxRxqxQF)(4123220例在光滑的水平桌面上

3、，三个相同的不带电小球，由三根劲度系数相同的轻例在光滑的水平桌面上，三个相同的不带电小球，由三根劲度系数相同的轻质弹簧连接构成等边三角形，弹簧的原始长度为质弹簧连接构成等边三角形，弹簧的原始长度为 l l0 09cm9cm。若让每个小球带上。若让每个小球带上相同电量相同电量 q q1.8C1.8C，三角形的面积增大到原来的四倍时达到新的平衡（见图，三角形的面积增大到原来的四倍时达到新的平衡（见图（a a）。设弹簧是绝缘的，试求：（）。设弹簧是绝缘的，试求：（1 1）弹簧的劲度系数）弹簧的劲度系数 k k 的值；的值；(2)(2) 在三角形中心在三角形中心 0 0 点放第四个小球点放第四个小球

4、Q Q( (见图（见图（b b） ，它带多少电荷才能使弹，它带多少电荷才能使弹簧的长度恢复至原始长度；簧的长度恢复至原始长度；(3)(3)在在(2)(2)题情况下，过三角形中心题情况下，过三角形中心 O O，作垂直于三角形平面的垂线，将电量作垂直于三角形平面的垂线，将电量q q0 0=1C=1C的点电荷置于垂线上的的点电荷置于垂线上的 P P点点( (见见图（图（C C），），OPOP距离为距离为h h15cm 15cm ，q q0 0 受力多少？受力多少？解（解（1）等边三角形面积增大为原来的四倍，三角形的边长增大为原来的两）等边三角形面积增大为原来的四倍，三角形的边长增大为原来的两倍，即弹

5、簧伸长量为倍，即弹簧伸长量为 l0 0 ，两点电荷间的库仑力等于弹簧的弹性力，即，两点电荷间的库仑力等于弹簧的弹性力，即)m N(10)109(4)108 . 1 (1094411 -22693020lqk020201)2(41kllqF（2 2）设加）设加Q Q后，弹簧长度恢复至原始长度，则后，弹簧长度恢复至原始长度，则q q有：有：030cos212oFF20022004232) 33(4lqlQq)(039. 133CqQ（3 3）由对称性知，）由对称性知，q q0 0 受力沿受力沿 OP OP 方向方向2002022002141cos) 33(413cos3hQqlhqqffF202)

6、 31 (coslhh代入数据求得代入数据求得)N(104 . 16F例例 如图如图15-2所示，在所示，在x0的空间各点，有沿的空间各点，有沿x轴正方向的电场，其中，轴正方向的电场，其中，xd 区域是非匀强电场，电场强度区域是非匀强电场，电场强度E 的大小随的大小随x增大而增大，即增大而增大，即E=bx. b为已知量为已知量(b0)；在；在xd 的区域是匀强电强，场强的区域是匀强电强，场强E=bd.x0的的空间中的分布对称，场强的方向沿空间中的分布对称，场强的方向沿x轴的负方向一电子轴的负方向一电子(质量为质量为m、电量为、电量为-e，e0)。在。在 x=2.5d 处沿处沿 y 轴正方向以初

7、速轴正方向以初速V 开始运动开始运动，求：求： (1) 电子的电子的 x 方向分运动的周期；方向分运动的周期； (2) 电子运动的轨迹与电子运动的轨迹与 y 轴的各个交点中，任意两个相邻交点间距离轴的各个交点中，任意两个相邻交点间距离。maebd 212123atd ebmt31dmebatvd31解解 3、带电体在库仑力作用下的运动。、带电体在库仑力作用下的运动。 kxebxFmebmk222vxATtt4132ebmT22632TtebmtTt64123ebmebmttT3234)(431VebmVTl)332(212cos2tddtAxcostAvsindvdAd2222用用 d 点的点

8、的 x 和和 v 代入前式得代入前式得例例（B11Z4)B11Z4)如图所示，不计重力，空间有匀强电场如图所示，不计重力，空间有匀强电场 E E。质量均为。质量均为m m的小球的小球A A、B B，A A带电，带电，q0q0，B B不带电。不带电。t=0t=0时。两球静止，且相距时。两球静止，且相距 L L。ABAB方向与电场方向与电场E E方向方向相同。相同。T=0T=0时刻，时刻，A A开始受静电力作用而运动。开始受静电力作用而运动。ABAB之间发生弹性正碰而无电荷转之间发生弹性正碰而无电荷转移。求第移。求第8 8次正碰到第次正碰到第9 9次正碰之间需要的时间。次正碰之间需要的时间。解解法

9、一法一：以以B B为参考系为参考系，A A先做匀加速运动，先做匀加速运动，加速度为：加速度为：到第一次碰撞前到第一次碰撞前A的速度为：的速度为：A A开始运动到第开始运动到第1 1次碰撞所需时间为：次碰撞所需时间为：第第1 1次碰撞到第次碰撞到第2 2次碰撞所需时间为：次碰撞所需时间为：每每2 2次碰撞间的时间间隔相同，所以第次碰撞间的时间间隔相同，所以第8 8次碰撞到第次碰撞到第9 9次碰撞所需时间为次碰撞所需时间为mqEa mqELv2qEmLavt2qEmLtT222 qEmLtT222 解解法二法二：A A先做匀加速运动，先做匀加速运动，加速度为：加速度为：A A开始运动到第开始运动到

10、第1 1次碰撞后，次碰撞后，A A静止，静止，B B以以速度速度v v做匀速直线运动。做匀速直线运动。 A A开始运动到第开始运动到第1 1次次碰撞所需时间为：碰撞所需时间为：设第设第1 1次碰撞到第次碰撞到第2 2次碰撞所需时间为次碰撞所需时间为T T1 1，则，则mqEa qEmLtaatavTTvaTBB22222 21111121qEmLaLt22mqELatvvA2 01B1碰撞后，这时这时设第设第2 2次碰撞到第次碰撞到第3 3次碰撞所需时间为次碰撞所需时间为T T2 2，则，则同理可得，第同理可得，第8 8次碰撞到第次碰撞到第9 9次碰撞所需时间为次碰撞所需时间为qEmLtaat

11、avvTTvaTvTBB22222 212222222qEmLtT2228mqELvataTvvvvBA2222 12B12Ox例例( (30y30y) ) 如图所示如图所示, ,一质量为一质量为 m m 、半径为、半径为 R R 的由绝缘材料组成的薄的由绝缘材料组成的薄球壳，均匀带正电，电量为球壳，均匀带正电，电量为 Q ,Q ,球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光滑水平面上。球壳内有一劲度系数为滑水平面上。球壳内有一劲度系数为的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处水的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处水平位置，其一端与球壳壁固连，另一端恰位于球心处。球壳上

12、开有一小孔平位置，其一端与球壳壁固连，另一端恰位于球心处。球壳上开有一小孔 C C ，小孔位于过球心的水平线上，在此水平线上离球壳很远处的小孔位于过球心的水平线上，在此水平线上离球壳很远处的 O O 点有一电量为点有一电量为 Q Q（0 0） 、质量为、质量为 m m 的点电荷的点电荷 P P，它以足够大的初，它以足够大的初 速度速度 v v0 0 沿水平的沿水平的 OC OC 方方向开始运动。并知向开始运动。并知 P P 能通过小孔能通过小孔 C C 进入球壳内，不考虑重力和底座的影响。进入球壳内，不考虑重力和底座的影响。已知静电力常量为已知静电力常量为 k k 。求。求 P P 刚进入刚进

13、入 C C 孔到再由孔到再由 C C 孔出来所经历的时间。孔出来所经历的时间。解选初始时刻解选初始时刻 C C 的位置为坐标原点的位置为坐标原点O O，取坐标轴，取坐标轴 X X轴（如图所示）。设轴（如图所示）。设P P 到达到达 C C 孔时的速度为孔时的速度为 v v1 1，球壳的速度为，球壳的速度为 v v2 2，由动量守恒和能量守恒得，由动量守恒和能量守恒得210mvmvmvRQkmvmvmv2222120212121（1） （2） P P进入球壳后，进入球壳后，P P和球都做匀速运动，相对速度为和球都做匀速运动，相对速度为 。设经。设经 t t1 1时间时间 P P 与弹簧左端相碰，

14、则有与弹簧左端相碰，则有21vv 212201)4(RmkQvRt（4） 由以上各式求得由以上各式求得211vvRt（3） t t1 1时刻开始，时刻开始，P P 与弹簧碰撞，弹簧被压缩，设弹簧的压缩量为与弹簧碰撞，弹簧被压缩，设弹簧的压缩量为 X.X.Xma1Xma2设设a a1 1、a a2 2分别为分别为P P和球壳的加速度，则和球壳的加速度，则Xaam2)(21（5） P P相对球壳的运动作简谐振动，其准频率和周期分别为相对球壳的运动作简谐振动，其准频率和周期分别为22mT （6） P P压缩弹簧至与弹簧分离的时间为压缩弹簧至与弹簧分离的时间为2212mTt（7） P P与弹簧完全弹性

15、碰撞后速度变为与弹簧完全弹性碰撞后速度变为 v v2 2，球壳变为，球壳变为 v v1 1，相对速度大小不变，相对速度大小不变，故故P P与弹簧分离后运动到小孔的时间与弹簧分离后运动到小孔的时间 t t3 3 = t= t1 1。所以。所以 P P 进入进入C C孔再返回孔再返回 C C孔孔的总时间为的总时间为2122021)4(222RmkQvRmttt（8） m2P相对球壳的运动方程为相对球壳的运动方程为EQQF)(21LLL212211LmLmLmmmL2121LmmmL2112kLLkLk2211kmmmLkLk22111kmmmLkLk12122例：劲度系数为例：劲度系数为k k，原

16、长度为，原长度为 L L 的绝缘轻弹簧两端各系一个带电小球，两小球的绝缘轻弹簧两端各系一个带电小球，两小球的质量和电量分别为的质量和电量分别为m m1 1、q q1 1 和和 m m2 2、q q2 2。 空间加一均匀电场，电场强度为空间加一均匀电场，电场强度为E E。开。开始时两小球静止，弹簧沿电场方向放置。试求弹簧运动过程中弹簧的最大长度。始时两小球静止，弹簧沿电场方向放置。试求弹簧运动过程中弹簧的最大长度。( (两小球间相互作用忽略不计两小球间相互作用忽略不计) )212121)(mmEQQmmFac设两球在质心系中平衡位置的坐标为设两球在质心系中平衡位置的坐标为x10、x20，则，则0

17、)(111011camLxkEQ0)(222022camLxkEQEkmmmQmQmkEQamxLc22121221111101)()(EkmmmQmQmkEQamxLc22111221222202)()( 设在质心系中，某时刻设在质心系中，某时刻m1、m2相对质心的坐标为相对质心的坐标为x1、x2，则在质心系中两，则在质心系中两电荷受力为电荷受力为camLxkEQF111111)(camLxkEQF222222)()(2)(2202101maxxLxLLLEkmmQmQmL)()(2211221202xL 0202xL101xL (3)、 则则0101xL1221QmQm下面讨论三种情况下面

18、讨论三种情况：1221QmQm0101 xL0202xLLLmax1221QmQm0101 xL202xL 0202xLLLmax(1)、(2)、101xL 二、电场电场强度叠加二、电场电场强度叠加 原理原理高斯定理及其应用高斯定理及其应用1、电场强度定义式、电场强度定义式: 2、电场强度叠加原理：、电场强度叠加原理：任何带电体的场强等于带电体上各部分电荷单独存在任何带电体的场强等于带电体上各部分电荷单独存在时场强的矢量和。时场强的矢量和。qFErrqrrqkE41202iiiiiirrqEE4120rrdqEq420点电荷的电场强度点电荷的电场强度:cos arrcosarr)11()11(

19、333_3arrrrrkqE)(3_3rrrrkqEEEarr3rrqkE3rrqkEarr333211rrr433cos611rarr例：例：电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度解：电偶极子解：电偶极子的的电偶极电偶极矩为：矩为：aqp2)3()2cos6(3434rprrrpkrarrakqE ) 3(3prrprkE)cos3(3prrprk0303422rprpkE23034rprpkE例：例：电荷均匀分布的半球面电荷均匀分布的半球面球心处的电场强度：球心处的电场强度：04 kEZ电荷均匀分布的八分之一球面电荷均匀分布的八分之一球面球心处的电场强度：球心处的电场强度：0164kEX02

20、2216343kEEEEZYX0164kEz0164kEXsdsRdEEcos4120/3高斯定理高斯定理 及其应用及其应用 高斯定理高斯定理：在静电场中作一个闭合曲在静电场中作一个闭合曲S(S(称之为高斯面称之为高斯面) )，取闭合曲面上的一，取闭合曲面上的一面积元面积元dSdS，若面积元，若面积元 dSdS 处的场强为处的场强为E E，则点积，则点积 叫做叫做dS上的电通量。上的电通量。闭合曲面上所有面积元的电通量之和等于闭曲面内电荷量代数和的闭合曲面上所有面积元的电通量之和等于闭曲面内电荷量代数和的1/0倍。倍。高斯定理的数学公式为高斯定理的数学公式为SdE利用高斯定理很容易求得下列几种

21、电荷分布的电场强度公式：利用高斯定理很容易求得下列几种电荷分布的电场强度公式：半径为半径为R的均匀带电球面的电场强度的均匀带电球面的电场强度)S(01面内电荷对qSdES解：作与带电球面同心的、半径为解：作与带电球面同心的、半径为 r 球形高斯面，球形高斯面，由高斯定理得由高斯定理得rrQE4200E（rR）(r0)Qqi0)S(011电荷求和内对因此有因此有QEr0214同理求得球内的电场强度为：同理求得球内的电场强度为：ErdSESdESS24半径为半径为R的均匀带电球体内外的电场强度的均匀带电球体内外的电场强度rrQE420（rR）Qqi0)S(011电荷求和内对QEr021433)S(

22、0343411rRQqi电荷求和内对03034rrRQrE（rR）ErdSESdESS24ErdSESdESS24半径半径R的的无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱面的电场强度的电场强度（单位长带电荷（单位长带电荷）解：作与带电圆柱体共轴的、半径为解：作与带电圆柱体共轴的、半径为 r 柱形高斯面，柱形高斯面，由高斯定理得由高斯定理得rE02则得则得（rR）0E（rR）02hrhESdESdESdESdESdES侧面上底下底侧面半径半径R的的无限长均匀圆柱体无限长均匀圆柱体的电场强度的电场强度（单位长带电荷（单位长带电荷）解：作与带电圆柱体共轴的、半径为解：作与带电圆柱体共轴的、半径为 r 柱

23、形高斯面，柱形高斯面，由高斯定理得由高斯定理得rE02则得则得（rR）02hrhESdESdESdESdESdES侧面上底下底侧面柱内柱内202RrE（r R）由柱外电场强度公式知：线密度为由柱外电场强度公式知：线密度为的的无限长直线电荷的电场强度为无限长直线电荷的电场强度为rE022202RrhrhESdESdESdESdESdES侧面上底下底侧面无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面的电场强度的电场强度（单位面积带电荷（单位面积带电荷）。）。 解：作如图所示与平面垂直的、左右对称的解：作如图所示与平面垂直的、左右对称的 柱形高斯面。柱形高斯面。因电荷分布均匀，故平面两边的电场强度对平面是对称

24、因电荷分布均匀，故平面两边的电场强度对平面是对称分布的，且是匀强电场。由高斯定理得分布的，且是匀强电场。由高斯定理得kE220ssEdSESdESdESdESdES0122右底右底左底侧面以上例题中的电荷分布都具有明显的对称性，对有些不具明显对以上例题中的电荷分布都具有明显的对称性，对有些不具明显对称性的问题，利用高斯定理和叠加原理可求解。如称性的问题，利用高斯定理和叠加原理可求解。如 再论再论电场强度叠加原理电场强度叠加原理-以典型电荷分布以典型电荷分布的的场强叠加场强叠加例例 （1 1）球外）球外(r(rR)R)的场强的场强cos2asvqcos2asvcoscos20asqa203rrq

25、kE3rrqkE)(3_3rrrrkqEEEarrarr)11()11(333_3arrrrrkqEcosarrcos arr ) 3(3prrprk)3()2cos6(3434rprrrpkrarrakqE333211rrr433cos611rarraaRRaqap033343422式中式中(2)球内球内(r ara) )的正方形的四个顶点上，今让球的正方形的四个顶点上，今让球 l l 带电荷带电荷 Q Q ( (QQ0)0)，然后用一根细，然后用一根细金属丝，其一端固定于球金属丝，其一端固定于球 l l 上，另一端依次分别与球上，另一端依次分别与球 2 2，3 3，4 4和大地接触，每和大

26、地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡若金属丝上的电荷可忽略不计，试求流次接触时间都足以使它们达到静电平衡若金属丝上的电荷可忽略不计，试求流入大地电荷的表达式入大地电荷的表达式Qq211QQ2121球碰球碰2球：球：解解1球碰球碰3球，球，2球在对称位置，对球在对称位置，对1、3球的影响相球的影响相同：故同：故Qq41 1QQ4131球碰球碰4球，设球，设1球带电球带电Q1,4球带电球带电Q4，则：，则：rQkrQkrQkaQkU432112aQkrQkrQkrQkU432142QQQ4141解得：解得：2) 12(1 8)(2) 12(1 81raQaraQQ2) 12(1 8)(2)

27、 12(1 84raQaraQQ设设1球碰接地后的电量为球碰接地后的电量为q1：这时：这时1球的电势球的电势U1=0，即，即 0243211rQkrQkrQkaqkU241851rQaq流入大地的电流为：流入大地的电流为：)4(1 8223raQ241852) 12(1 8Q11rQaraQqQ大地例例一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道水平放置，其半径为一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道水平放置，其半径为 R ，圆心在，圆心在O点点。一金属小珠。一金属小珠 P 穿在此轨道上，可沿轨道无磨擦地滑动，小珠穿在此轨道上，可沿轨道无磨擦地滑动，小珠 P 带电荷带电荷 Q 。已知在轨道平面内已知在轨道平面内

28、 A 点点(OA aR)处放有一点电荷处放有一点电荷 q ，若在，若在OA连线上某点连线上某点上上A 处放电荷处放电荷 q，则给，则给P 一一 个初速度，它就沿轨道作匀速圆周运动。求个初速度，它就沿轨道作匀速圆周运动。求A 离离环心的距离环心的距离 b 和和 电荷电荷q 的值。的值。解小珠作匀速圆周运动，说明小珠解小珠作匀速圆周运动，说明小珠所受合力恒定，且指向环心所受合力恒定，且指向环心O。这意。这意味着轨道切向电场分量为零，也就是味着轨道切向电场分量为零，也就是说，轨道上电势处处相等。说，轨道上电势处处相等。设设P 为为 圆环上的任意点（圆环上的任意点（x,y），若），若点电荷点电荷 q

29、放环内，环上的电势不可能处放环内，环上的电势不可能处处相等，所以处相等，所以 q 必须放在环外（如图所必须放在环外（如图所示）。示）。解法解法1：从环上任一点电场的切向分量为零来求解。：从环上任一点电场的切向分量为零来求解。由图知，由图知，q、q 在环上在环上P 点电场的切向分量分别为点电场的切向分量分别为sincoscos22rkqrkqE(1)sinsinrasincos3rkqaE)2sin()2sin()2sin(coscos2222rqkrqkrqkrqkEsin)2sin(rbsincos3rbqkE(2)0sinsin33rbqkrkqa(3)即即23222322)cos2()c

30、os2(RbbRbqRaaRqa(5)(4)由（由（4）式知）式知 q 与与 q 符号相反。对（符号相反。对（4）式两平方后再开三次方得）式两平方后再开三次方得)cos2()cos2(223232223232RbbRbqRaaRaqcos)22()()(32323232223232223232RabqRbaqaRbqbRaq该方程应对任何该方程应对任何 角都成立，所以有角都成立，所以有0)()(223232223232aRbqbRaq02232323232RabqRbaq(8)(7)(6)由（由（7）式，并考虑到）式，并考虑到 q 与与q ，求得，求得322322abqbaqqaRq将（将（8

31、）式代入（）式代入（6）式，经化简后得）式，经化简后得0)(2abRba0)(2abRaRb2(9)将（将（9）式代入（）式代入（8）式得）式得(10)解法解法2：从环上电势处处相等来求解。：从环上电势处处相等来求解。环上电势处处相等，为简便起见，可设环上环上电势处处相等，为简便起见，可设环上电势处处为零。则电势处处为零。则0rqkrkq(11)(14)(12)(13)对（对（1）式两边平方得）式两边平方得2222rqrqcos2222RaaRrcos2222RbbRr)cos2()(cos222222RbbRqqRaaR（2）式对任意）式对任意 角恒成立，故必有：角恒成立，故必有：)()(2

32、2222bRqqaRRbqqRa2)(aRb2qaRq(15) 点电荷点电荷q在电场中在电场中a点的电势能：设无限远处为电势能零点，则电荷点的电势能：设无限远处为电势能零点，则电荷在在 a 的电势能等于将电荷从该点移至电势能零点，电场力做的功，即的电势能等于将电荷从该点移至电势能零点，电场力做的功，即静电力是保这守力，静电力做功与路径无关，只与起点、终点位置有关。则静电力是保这守力，静电力做功与路径无关，只与起点、终点位置有关。则3 3、带电体系的电势能（静电能）、带电体系的电势能（静电能）122101141rqqUqWaaqUW 、两个点电荷、两个点电荷 的电势能的电势能(相互作用能相互作用

33、能)Ll dEqW0Ll dE0静电场环路定理静电场环路定理aaal dEqqUW122102241rqqUqW、三个点电荷、三个点电荷 的相互作用能为的相互作用能为311302332012210414141rqqrqqrqqW、N个点电荷个点电荷 的相互作用能：的相互作用能：ninijjijjinijjijjniiiniirqqrqqUqW11010118141212121221121)(21iiiUqUqUqW棱边电荷配棱边电荷配12对：对：面对角电荷线配面对角电荷线配12对：对：体对角线电荷配体对角线电荷配4对：对：aeW2014112aeW24112202aeW3414203aeW23

34、20424184321WWWWW总电势总电势 能：能：心角电荷配心角电荷配8对：对：例求图示点电荷系的电势能例求图示点电荷系的电势能方法：方法：1、公式；、公式；2、电荷两不重复配对，将各对点电荷的相互作用能求和。、电荷两不重复配对，将各对点电荷的相互作用能求和。niiiniiiUvUqW112121、带电体的电势能（静电能）：、带电体的电势能（静电能）：VVUdvUdqW2121SUdsW21LUdlW21（电荷体分布）（电荷体分布）（电荷面分布）（电荷面分布）（电荷线分布）（电荷线分布）例半径例半径R、电量为、电量为q的均匀带电球面的电势能的均匀带电球面的电势能解解RqdsRqUdsWSS

35、02042142121coscos)(pEqELUUqW例电偶极子在匀强电场中的电势能例电偶极子在匀强电场中的电势能解设解设-q处的电势处的电势 为为U、 +q处的电势处的电势 为为U则偶极子的电势能为则偶极子的电势能为cos)(ELUU)(UUqqUqUWEpWlpmem1860,21iiiUqiqiiUiql两个质子和两个正电子分别固定在一边长为两个质子和两个正电子分别固定在一边长为其分布如图所示。现同时释放这四个粒子，估算四个粒子相距甚远时，各自其分布如图所示。现同时释放这四个粒子，估算四个粒子相距甚远时，各自约为电子质量约为电子质量(正电子质量正电子质量)的的说明说明: 带电粒子系统的

36、相互作用能带电粒子系统的相互作用能(将带电粒子从无限原处移到当前位置所将带电粒子从无限原处移到当前位置所其中其中为第为第个点电荷的电量，个点电荷的电量，电荷在电荷在解：当两个质子和两个正电子分别固定在于一边长为解：当两个质子和两个正电子分别固定在于一边长为的正方形的四个顶点上时，系统的相互作用势能为的正方形的四个顶点上时，系统的相互作用势能为的正方形的四个顶点上，的正方形的四个顶点上，速度的大小。质子质量速度的大小。质子质量倍。倍。增加的能量增加的能量)为为为其它为其它处产生的电势。处产生的电势。leklek22422例例 由于正电子质量远小于质子质量，近似地，可以认为当正电子跑的足由于正电子

37、质量远小于质子质量，近似地，可以认为当正电子跑的足够远时，质子还基本保持原位，这样近似有够远时，质子还基本保持原位，这样近似有lekvmleklekee221222422222242lmkeveelmke vvmlekpppp2 ,2122222最后，两个质子分开，有最后，两个质子分开，有 例例(27复复)、如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷、如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为量分别为Q和和-Q（Q0），半径分别为），半径分别为R和和R/2，小球面与大球面，小球面与大球面内切于内切于C点，两球面球心点，两球面球心O和和O的连线的连线MN沿竖直方向。在沿竖直方向。在MN与

38、与两球面的交点两球面的交点B、O和和C处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷量忽略不计量忽略不计,有一质量为有一质量为m，带电荷量为，带电荷量为q(q0)的质点自的质点自MN线上线上离离B点距离为点距离为R的的A点竖直上抛，设静电力常量为点竖直上抛，设静电力常量为k，重力加速度，重力加速度为为g。 1要使质点从要使质点从A点上抛后能够到达点上抛后能够到达B点，所需的最小初动点，所需的最小初动能为多少能为多少?； 2要使质点从要使质点从A点上抛后能够到达点上抛后能够到达O点，在不同条点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少件下所需的最小初动能各为多少?解解1质点

39、在质点在AB应作减速运动应作减速运动，设质点在设质点在A点的最小初动点的最小初动能为能为Ek0，则根据能量守恒则根据能量守恒有有252230RkqQRkqQEmgRRkqQRkqQk(1)RkqQmgREk3070(2)2质点在质点在BO的运动有三种可能情况：的运动有三种可能情况：作加速运动，若qkqQmg29R4(1)RkqQmgREk3070(3)外球面在外球面在B B点的场力？点的场力？作减速运动，若qkqQmg22R(2)252220RkqQRkqQERmgRkqQRkqQk(4)RkqQmgREk011120(5)(3) 2249Q4RkqQmgRkq若先减速，再加速，先减速，再加速

40、，即有一平衡点即有一平衡点D。 要略大一点要略大一点2)2(xRkqQmg2RmgkqQx(6)质点能够到达质点能够到达O点点的条件为的条件为252)2(20RkqQRkqQExRmgxRkqQRkqQk(7)由由(6)、(7)两式可得质点能到达两式可得质点能到达O点的最小初动能为点的最小初动能为kmgqQRkqQmgREk2019250(8)要略大一点要略大一点例例(b13-10)(b13-10)如图所示，在如图所示，在水平水平 O-xy O-xy 坐标平面的第坐标平面的第 1 1 象限上，有一个内外半径象限上，有一个内外半径几乎同为几乎同为 R R、圆心位于、圆心位于 x=R x=R、y=

41、0 y=0 处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度度为为E E，沿着沿着 y y 轴方向的匀强电场。带电质点轴方向的匀强电场。带电质点 P P 在管道内，从在管道内，从 x=0 x=0、y=0 y=0 位置出位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为 E Ek0k0。P P 运动到运动到 x=R x=R、y=R y=R 位置时，其位置时，其动能减少了二分之一。动能减少了二分之一。 (1)(1)试问试问 P P 所带电荷是正的，还是负的所带电荷是正的，还是负的? ?为什么为什么? ?(2)P (2)P 所到位置可

42、用该位置的所到位置可用该位置的 x x 坐标来标定，坐标来标定，试在试在 2R 2Rx x0 0 范围内导出范围内导出 P P 的动能的动能 E Ek k 随随 x x 变化的函数。变化的函数。 (3)P (3)P 在运动过程中受管道的弹力在运动过程中受管道的弹力 N N 也许是径向也许是径向朝里的朝里的( (即指向圆心的即指向圆心的) )，也许是径向朝外的，也许是径向朝外的 ( (即即背离圆心的背离圆心的) )。通过定量讨论，判定在。通过定量讨论，判定在 2R 2Rx x0 0 范围内是否存在范围内是否存在 N N 径向朝里的径向朝里的 x x 取值区域，若存在，请给出该区域；继而判定取值区

43、域，若存在，请给出该区域；继而判定在在 2R 2Rx x0 0 范围内是否存在范围内是否存在 N N 径向朝外的径向朝外的 x x 取值区域，若存在，请给出该区取值区域，若存在，请给出该区域。域。解解（1）、设）、设 O 点为电势能零点，则管内点为电势能零点，则管内 y=R 处电荷处电荷 q 的电势能为的电势能为qEREp由机械能守恒得由机械能守恒得qEREEkk0021020EREqk所以电荷所以电荷 q 是负电荷。则有是负电荷。则有REEqk20（2）、设管内某点的坐标为（）、设管内某点的坐标为（x,y)，t 时刻时刻 q 在该点的动能为在该点的动能为Ek，因，因22)(RxRyERqqE

44、REk021所以所以2200)(RxREqEEyqEEkkk（3）设电荷）设电荷 q 在（在（x,y)点受管道的弹力为点受管道的弹力为N，且指向轨道中心，则且指向轨道中心，则RmvEqN2coscos2EqRmvN由机械能守恒得由机械能守恒得EyqEErqEEkkkcos0X=0 时时0cos时时0202maxRERmvNk由上式知：电荷由上式知：电荷 q 在轨道上间受管道的弹力在轨道上间受管道的弹力N始终径向朝里。始终径向朝里。最小。所以且最小时，REqEEqEmvRmvRxkk2cos,22 002202002minREREEqRmvNNkk，因此Rx 0由对称性知：电荷由对称性知：电荷

45、q 在轨道上间受管道的弹力在轨道上间受管道的弹力N始终径向朝里。始终径向朝里。RxR2例例(2222决决) ) ：电量为：电量为Q（0）的两个均匀带电圆环，环心在）的两个均匀带电圆环，环心在Z轴上，环面垂轴上，环面垂直于直于Z轴，坐标原点到环心轴，坐标原点到环心O1、O2的距离都是的距离都是D（D的大小可变）。的大小可变）。1、一质量为、一质量为 m、电量为、电量为 q (0)的带电粒子从的带电粒子从Z处沿处沿OZ轴正方向射向轴正方向射向两圆环。已知粒子刚好能穿过两个圆环。试画出粒子的动能两圆环。已知粒子刚好能穿过两个圆环。试画出粒子的动能Ek 随随Z 的变化图的变化图线，并求出与所画图线相应

46、的线，并求出与所画图线相应的D 所满足的条件；所满足的条件；2、若粒子初始时刻位于坐标原点、若粒子初始时刻位于坐标原点Z0处，现给粒子一沿处，现给粒子一沿Z轴方向的速度（轴方向的速度（大小不限），试尽可能详细讨论粒子可能做怎样的运动。不计重力的作用。大小不限），试尽可能详细讨论粒子可能做怎样的运动。不计重力的作用。 解：解： 1、Z轴上轴上Z处的电势为处的电势为222221)(1)(1)()()(DzRDzRkQzVzVzV2)()()0(2221DRkQzVzVV双峰时双峰时V（0）为极小值；单峰时）为极小值；单峰时V（0）为极大值。现在求双峰、单峰）为极大值。现在求双峰、单峰的条件。的条件

47、。Z 较小时有较小时有3! 3)2)(1(2! 2) 1(1)1 (xnnnxnnnxnx用了公式：22522222222222222)()2()0()(D3-2DRkQ)(zDRDRkQVDRzDRzzV略去略去 z 的的 3 次以上次以上的高次项的高次项得得（）干22222222221222222122)2D(83)2D(211 DR1)2D1DR1D(DRzzDRzzDRzzzR由此可知：由此可知：为双峰。为极小值，时，)()0(2zVVRD 为单峰。为极大值，时，)()0(2zVVRD 设粒子的初动能为设粒子的初动能为Ek0，则粒子在，则粒子在Z轴轴 上的动能为上的动能为)(0zqVE

48、Ekk2、也分两种情况讨论：、也分两种情况讨论： 极小。，这时，电势曲线是双峰)0(,2VRD 远。电势能峰高运动到无限，粒子穿越电势能峰高若粒子初动能)(max0zqVEk。为平衡位置做简谐振动时，粒子以当电势能峰间往返运动，则粒子在两电势能峰高若粒子初动能0)()(max0max0zzqVEzqVEkk两环两环 在在 z 轴上的电场强度为轴上的电场强度为zDzRDzDzRDzkQEEzEz)()()(232232221（1）)3D1DR)R2Dz1 ()(D)(222322232223222322DRzDDRzR干（）（2）（2）式代入（）式代入（1）式得）式得zDRRDkQzDRDRkQ

49、zEz252222252222)(24)(42)()042(22 DR2522222252222)(24)(24)()(DRmRDkqQzDRRDkqQzqEzFz)24()(2222522RDkqQDRmT子在原点不稳定平衡。，势能曲线是单峰，粒2RD （2）202218EkEwrr上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，则上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，则 电场的总能量：电场的总能量：iirivEW2021该处单位体积内的电场能量就等于该处单位体积内的电场能量就等于 4、电场能量密度、电场能量密度 电场能量电场能量电场能量密度：电场能量密度：电势能是

50、定域在电场中的，有电场的地方就有能量。电势能是定域在电场中的，有电场的地方就有能量。202218EkEwrrVrdvEW2021例电量为例电量为Q、半径为、半径为R的均匀带电球体的的均匀带电球体的电场能量电场能量204rQE)(Rr 304RQrE)(Rr RQRQRQRQdrrQdrRrQdrrrQdrrRQrdvEWRRRRV020202022020604222200223000204532038851884)4(214)4(2121eeRqcm0224mcmeRee15202108 . 24电子经典半径电子经典半径四、有导体时的静电场问题四、有导体时的静电场问题1导体静电平衡的条件和性质

51、导体静电平衡的条件和性质 导体表面附近的场强导体表面附近的场强2有导体时静电问题的处理方法有导体时静电问题的处理方法法一：求法一：求 E、Usqq22141sqq22132121)(qS 243)(qS )(204321kEA)(204321kEBQbaq0)(bqQbqaqkUa)(ar bQkU )(br rQkU )(bra)()(bQrqkbqQbqrqkU)(br rqQkU)(brabQkU 例例 两个固定两个固定不动不动的理想导体板的理想导体板 和和 平行近距离放置，分别带有电量平行近距离放置，分别带有电量- -Q Q和和+ +q q( (Qq0Qq0) )。另一另一与与板平行的

52、板平行的理想导体板理想导体板，质量为质量为m m，带电量为带电量为+ +Q Q，距距板距离为板距离为d d，平板面积均为，平板面积均为s s。导体板导体板从静止状态释放后能够自由运动从静止状态释放后能够自由运动，并与并与平板平板发生完全发生完全弹性弹性碰撞。碰撞。忽略装置的边缘效应和重力忽略装置的边缘效应和重力，假设在两个板假设在两个板碰撞过程中，平板碰撞过程中，平板和和之间的电量有足够的时间重新分布之间的电量有足够的时间重新分布。试求：试求： (1) (1)平板平板和平板和平板碰撞之前，碰撞之前，各板上的电荷分布；各板上的电荷分布；（2 2）平板平板和平板和平板碰撞之前，碰撞之前，、板板作用

53、平板作用平板的电场强度的电场强度 ； (3) (3) 在碰撞后平板在碰撞后平板和和上的电量上的电量 Q Q和和 Q Q是多少；是多少； (4) (4) 平板平板在碰撞后距离在碰撞后距离平板平板d d时的时的速度速度v v。QS)(21qS)(43QS)(650)(2654321k0)(2654321k0)(2654321k设设平板平板碰撞前三板的电荷分布如图所示：则碰撞前三板的电荷分布如图所示：则解解 (1) )2(32SqSQ)2(54SqSQSq261.211SQdQqkdFA.211SQQqkQEF平板平板移动移动 d ,Fd ,F1 1作的功：作的功：平板平板受电场力为：受电场力为：.

54、21SQqkE(2) 26qsQ.2222SdqkdFA.22)(22212qQSdkAAmv.42mSdkqQv(4(4） SqkkE22212SqkEqF22222平板平板碰撞后碰撞后4 4、5 5中和，则中和，则23qQsQ平板平板碰撞后碰撞后,、在在 处的场强为处的场强为 板受力板受力(3) (3) 例例 两块很大的导体薄板两块很大的导体薄板A、B平行放置构成一电容器，极板的间距为平行放置构成一电容器，极板的间距为d,对电对电容器充电至两极间电势差为容器充电至两极间电势差为U中撤去电源中撤去电源.现在电容器两极间平行插入两块现在电容器两极间平行插入两块与极板等大、且不带电的导体薄板与极

55、板等大、且不带电的导体薄板C、D，四块导体板两两之间间距均为，四块导体板两两之间间距均为d/3，如图所示，如图所示求相邻两导体板间的电势差；求相邻两导体板间的电势差；用导线连接用导线连接C板与板与D板，然后撤去导线，再求各相邻两板间的电势差；板，然后撤去导线，再求各相邻两板间的电势差；(1) 再用导线连接再用导线连接A板与板与B板，然后撤去导线，则各相邻两板间的电势差是多板，然后撤去导线，则各相邻两板间的电势差是多大大? 解解 (1) UUUUDBCDAC31(2) UUUDBAC310DBU(3) 214365 03)(4531dk 。 UdKUUDBAC91341 UdKUCD92343

56、3254求得求得312132433165法二：镜像法法二：镜像法 唯一性定理：唯一性定理：电荷分布电荷分布给定，满足给定边界条件的解是唯一的。给定，满足给定边界条件的解是唯一的。平面组合平面组合平面镜像平面镜像例：求像电荷的电量和离球心的距离例：求像电荷的电量和离球心的距离b。球面镜像球面镜像解：解：B点的电势为点的电势为0)(41120rqrqUBcos2222aRaRrcos2221bRbRr)cos2()(cos222222RbbRqqRaaRB点为球面上的任意点，即对任何点为球面上的任意点，即对任何 角上式恒等，故必有：角上式恒等，故必有：)()(22222bRqqaRRbqqRa2)

57、(aRb2qaRq求原电荷求原电荷q q受的力；受的力；求求A A点的电场点的电场 强度，当强度，当 r a r a 时时A A 点电场的表达式，点电场的表达式，a a 取什么极限值时取什么极限值时A A点的点的 电场电场 强度为零强度为零( (球完全屏蔽球完全屏蔽q q 的电场的电场) )。如图如图b b所示，点电荷电量为所示，点电荷电量为q q ，质量为，质量为m m ，用长为，用长为L L的细线的细线悬挂着，悬挂点至球心的距离为悬挂着，悬挂点至球心的距离为 l l，不计重力。求电荷，不计重力。求电荷q q小振小振动的频率。动的频率。求求q q与球面上电荷的相互作用静电能。与球面上电荷的相

58、互作用静电能。图图a图图b例例（G4 1）如图半径为如图半径为R的接地导体球前有一点电荷的接地导体球前有一点电荷 q ，他距球心的距离为，他距球心的距离为a。感应电荷对感应电荷对 q的作用力为：的作用力为：2222020)(41)(41RaRaqbaqqFA点的电场强度为：点的电场强度为：raRaraRqrqE )(414122020当当ra 时有时有rraRaaRqrrqaRrraRraaRqrrqE4)(24)1 ( )1 (414130220222020当当 a 趋于趋于R时，时，A点的场强为零，金属球屏蔽了点的场强为零，金属球屏蔽了A点的电场。点的电场。A点的电场强度为：点的电场强度为

59、：作用在作用在q 上的力为：上的力为：2222020)(41)(41RaRaqbaqqFcos222lLlLa22222220)cos2(cos241RlLlLlLlLRqF)sin()cos2(cos24122222220RlLlLlLlLRqF 由右图知由右图知单摆的运动方程为：单摆的运动方程为：FmL 当当 很小时，很小时，也很小，故：也很小，故：sin1cos则：则：LlLaLLllaL)1 (sinsinsinsinaLsinsinaLLllLlLacos222)1 (4122220aLRaRaqFaLmLRlRLlqaLmLRaRaq14)()1 (14022022q与感应电荷的相

60、互作用静能为与感应电荷的相互作用静能为)(4)(4220201RaRqbaqqw)1 ()(412222022aLRaRaqdtdmL五、电容器五、电容器1电容器电容的计算电容器电容的计算计算公式：计算公式：UqC方法：设方法：设q 求求U U C=q/ U U。 kdsdsC40)(40abkabababCababCln20单位长一段的电容平板电容器平板电容器球形电容器球形电容器圆柱形电容器圆柱形电容器复杂电容电路复杂电容电路: (1)对称性分析，对称点可短路。对称性分析，对称点可短路。FCAB9 . 2简单电容电路简单电容电路:用电容串并联公式用电容串并联公式.niicc111串联串联:并