大学物理力学篇_06分子动理论

1、126.1.1 6.1.1 平衡态平衡态 1 1、热力学系统、热力学系统 热力学系统分类热力学系统分类根据系统与外界交换能量或物质的特点，可以分为三种：根据系统与外界交换能量或物质的特点，可以分为三种：(1) 孤立系统与外界既无能量交换，又无物质交换的系统孤立系统与外界既无能量交换，又无物质交换的系统(2) 封闭系统与外界只有能量交换，但无物质交换的系统封闭系统与外界只有能量交换，但无物质交换的系统(3) 开放系统与外界既有能量交换，又有物质交换的系统开放系统与外界既有能量交换，又有物质交换的系统 由大量微观粒子（分子、原子等微观粒子）所组成的宏观由大量微观粒子（分子、原子等微观粒子）所组成的

2、宏观物体或系统。物体或系统。、平衡态、平衡态 指在不受外界影响（或不变的）的条件下，系统的宏观性指在不受外界影响（或不变的）的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态质不随时间变化的状态 称热平衡态。称热平衡态。3 系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡、系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡、 热平衡、相平衡中。热平衡、相平衡中。 从微观的角度应理解为动态平衡态从微观的角度应理解为动态平衡态 若在我们所讨论的问题中，气体活动的高度空间不是很若在我们所讨论的问题中，气体活动的高度空间不是很大，即重力加速度随高度的变化可以忽略，则在达热力学平衡大，即重力加速度随高度的变化可以

3、忽略，则在达热力学平衡态时，上述宏观量不仅是态时，上述宏观量不仅是稳定的稳定的（指不随时间变化）（指不随时间变化）还是还是均匀均匀的的（即不随位置变化）（即不随位置变化）。 平衡态是一种是理想概念平衡态是一种是理想概念 处于热平衡态时，系统的宏观属性具有确定的值。因此处于热平衡态时，系统的宏观属性具有确定的值。因此可以用一些确定的物理量来表征系统的这些宏观属性。用来可以用一些确定的物理量来表征系统的这些宏观属性。用来描写热平衡态下各种宏观属性的物理量叫描写热平衡态下各种宏观属性的物理量叫系统的宏观参量。系统的宏观参量。4 我们可以从这些参量中，选取不多的相互独立的几我们可以从这些参量中，选取不

4、多的相互独立的几个物理量作为描述系统热平衡态的参量，叫系统的状态个物理量作为描述系统热平衡态的参量，叫系统的状态参量。参量。 主要的参量有：几何参量，力学参量，热学参量，主要的参量有：几何参量，力学参量，热学参量， 化学参量，电磁参量化学参量，电磁参量; 体积体积V，压强，压强P，热力学温度，热力学温度 T，摩尔数摩尔数v。6.1.2 6.1.2 温度温度 、温度概念、温度概念 温度是表征物体冷热程度的宏观状态参量。温度是表征物体冷热程度的宏观状态参量。 温度概念的建立是以热平衡为基础的。温度概念的建立是以热平衡为基础的。 5ABAB绝热壁绝热壁导热壁导热壁ABCABC 如果两个系统分别与第三

5、个系统达到热平衡，那么，这如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么，这两个系统彼此也处于热平衡。这个结论称热力学第零定律两个系统彼此也处于热平衡。这个结论称热力学第零定律。 6 处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的物理性处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的物理性质，我们把描述系统这一共同宏观性质的物理量称为系统的质，我们把描述系统这一共同宏观性质的物理量称为系统的温度温度 。、温标温度计、温标温度计 温度计要能定量表示和测量温度，还需要建立温标温度计要能定量表示和测量温度，还需要建立温标即即 温度的数值表示法温度的数值表示法。其一、要选定一种合适物质（称测温质）的测温特性；

6、其一、要选定一种合适物质（称测温质）的测温特性；其二、规定测温质的测温特性与温度的依赖关系（线性）；其二、规定测温质的测温特性与温度的依赖关系（线性）；其三、选定温度的标准点（固定点），并把一定间隔的冷其三、选定温度的标准点（固定点），并把一定间隔的冷热程度分为若干度。热程度分为若干度。 主要有三个步骤主要有三个步骤温度计温度计:即测温的工具。即测温的工具。7、热力学温标、热力学温标 规定水的三相点（水，冰和水蒸汽平衡共存的状态）为规定水的三相点（水，冰和水蒸汽平衡共存的状态）为 273.16K。 一种与测温质和测温特性无关的温标。开尔文（一种与测温质和测温特性无关的温标。开尔文（lord K

7、elvin）在热力学第二定律的基础上建立了这种温标，称热）在热力学第二定律的基础上建立了这种温标，称热力学温标。力学温标。 例如，（一个大气压下）例如，（一个大气压下）对水的冰点，华氏温标为对水的冰点，华氏温标为32F0，攝氏温标为，攝氏温标为0C0, 对水的沸点，华氏温标为对水的沸点，华氏温标为212F0，攝氏温标为，攝氏温标为100C0。由热力学温标可导出摄氏温度由热力学温标可导出摄氏温度 t.选用不同的测温物质或不同的测温特性，测量同一系统所选用不同的测温物质或不同的测温特性，测量同一系统所得的温度数值，一般情况下并不完全相同。得的温度数值，一般情况下并不完全相同。 86.1.3 理想气

8、体状态方程理想气体状态方程1、理想气体、理想气体2、理想气体的状态方程、理想气体的状态方程 热平衡态下，系统各个状态参量之间满足一定的关系，这样热平衡态下，系统各个状态参量之间满足一定的关系，这样的关系叫系统的状态方程的关系叫系统的状态方程。弹弹性性碰碰撞撞分分子子与与器器壁壁间间碰碰撞撞视视为为分分子子间间, ,忽忽略略分分子子间间作作用用力力, ,: :从从微微观观定定义义理理想想化化三三大大实实验验定定律律所所得得结结论论P P不不太太高高, ,不不太太大大, ,在在室室温温下下, ,: :从从宏宏观观定定义义 克拉珀龙方程克拉珀龙方程RTMMPVmol式中是气体普适常量，在中式中是气体

9、普适常量，在中 8.31 (Jmol-1K-1), Mmol是气体的摩尔质量。是气体的摩尔质量。过程方程过程方程 222111TVPTVP9、状态图（图、图、图）、状态图（图、图、图） 气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述，还可用状态气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述，还可用状态图来表示，而一组状态参量在状态图中对应的是一个点。不同图来表示，而一组状态参量在状态图中对应的是一个点。不同的状态在状态图中对应点不同的状态在状态图中对应点不同。 在状态图中，一条光滑的曲在状态图中，一条光滑的曲线代表一个由无穷多个平衡态线代表一个由无穷多个平衡态所组成的变化过程，如右图所所组成的变化过程，如右图

10、所示。示。111TVPA,222TVPB, 曲线上的箭头表示过程进曲线上的箭头表示过程进行的方向。行的方向。 由于非平衡态不能用一组确切的状态参量来描述，因此在由于非平衡态不能用一组确切的状态参量来描述，因此在状态图中，非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之状态图中，非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之对应。对应。106.2.1 分子模型分子模型3、分子间，分子与器壁间的碰撞是完全弹性的，遵守、分子间，分子与器壁间的碰撞是完全弹性的，遵守动量和能量守恒定律。动量和能量守恒定律。 即：即： 理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守 经典力学规律的

11、弹性质点。经典力学规律的弹性质点。1、分子可以看作质点。、分子可以看作质点。（除特别考虑）2、除碰撞外，分子之间，分子与器壁不计相互作用力。、除碰撞外，分子之间，分子与器壁不计相互作用力。116.2.2 分子性质分子性质 每个分子运动具有偶然性，然而正是由于每个分子的偶每个分子运动具有偶然性，然而正是由于每个分子的偶然性，才使得大量分子运动出现了规律性。这种规律性具然性，才使得大量分子运动出现了规律性。这种规律性具有统计平均意义，称为统计规律性。有统计平均意义，称为统计规律性。 在平衡态，当重力的影响可以忽略时，容积内各处的压在平衡态，当重力的影响可以忽略时，容积内各处的压强、密度、温度都相同

12、，而分子始终在作无规则的热运动，强、密度、温度都相同，而分子始终在作无规则的热运动，故我们可以认为：故我们可以认为：61(1) 每个分子向各个方向运动的机会均等每个分子向各个方向运动的机会均等（ ）；6N(2) 对于大量分子，向各个方向运动的分子数平均相等对于大量分子，向各个方向运动的分子数平均相等( )( )；12 以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质。以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质。(4) (4) 每个分子运动速度不尽相同，由于分子不停地发生碰每个分子运动速度不尽相同，由于分子不停地发生碰撞而发生变化，因而分子具有各种可能的速度。对于全同撞而发生变化，因而分子具有

13、各种可能的速度。对于全同分子，不会因碰撞而丢失具有某一速度的分子。分子，不会因碰撞而丢失具有某一速度的分子。222231vvvvzyx例如例如：2222zyxvvvv(3)(3) 分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等；分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等；13压强的统计解释压强的统计解释 设器壁光滑，考虑速度为设器壁光滑，考虑速度为v vi i的分子的分子 , ,现讨论其对于现讨论其对于面的碰撞。面的碰撞。ivxvyvzvxyz1l2l3l1A2A0 设一容器，边长为设一容器，边长为 1、 2、 3，内有个分子。，内有个分子。ixixixixmvmvmvP2)(对于对于i

14、i分子分子：、先考察一个分子（例如、先考察一个分子（例如i分子）一次碰撞中给予器壁分子）一次碰撞中给予器壁A1的的冲量冲量ixmv2由牛顿第三定律，由牛顿第三定律，i分子给予器壁的冲量为分子给予器壁的冲量为 14、i分子在单位时间内施于分子在单位时间内施于A1面的平均冲力面的平均冲力i i分子单位时间内与分子单位时间内与A A1 1面碰撞的次数为面碰撞的次数为 12lvix则则 i分子单位时间内施于分子单位时间内施于A1面的总冲量（冲力）为面的总冲量（冲力）为122lvmvixix力）秒次秒其量纲关系为（力、所有分子在单位时间内对器壁的冲力、所有分子在单位时间内对器壁的冲力对对i求和求和211

15、1ixNiAvlmF2222112NxxxNiixvvvvNvvvvNxxxx222212故若令故若令 表示分子在表示分子在X方向速率平方向速率平方的平均值，方的平均值，211ixmvlNiixvlm12115212xNiixvNv 那么那么 于是所有分子在单位时间内施于于是所有分子在单位时间内施于A1面的冲力为面的冲力为 21xvNlmNiixixNiAvlmvlmF1212111 、求压强的统计平均值、求压强的统计平均值321lllNn 令令 为分子数密度（即单位体积内的分子数）为分子数密度（即单位体积内的分子数） 又由统计平均的观点有又由统计平均的观点有2231vvx 所以所以231vn

16、mP321llFPA由由压压强强的的定定义义2321xvmll lN)21(322vmn16引入分子平均平动动能引入分子平均平动动能 221vmw 压强的微观解释压强的微观解释:气体压强是指：容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞气体压强是指：容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞冲力的时间平均值。冲力的时间平均值。因此，对少量分子或个别分子上述公式不成立因此，对少量分子或个别分子上述公式不成立。气体压强与大气压强的区别：气体压强与大气压强的区别：前者如上所述，后者则是空气重量所致。前者如上所述，后者则是空气重量所致。wnP32(1) 压强是对大量分子的分子数密度和分子平均平动动能的压强是对大量分

17、子的分子数密度和分子平均平动动能的统计平均结果。统计平均结果。-这就是宏观量这就是宏观量P P与微观量与微观量 之间的关系。之间的关系。w176.3.1 温度的统计解释温度的统计解释RTMMPVmolRTMVMPmolNmM molAMN m1ANmPRTVN m理想气体方程理想气体方程nkTP ARkN 玻尔兹曼恒量玻尔兹曼恒量123231038. 110022. 631. 8KJk在在中中ANRTVNnkT（ 为阿伏加德罗常数）为阿伏加德罗常数）AN18wnnkTP32则有则有：32wkT21322mvkT或或w 、温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量。、温度是描述热力学系统平衡态的一个

18、物理量。 、宏观量温度、宏观量温度T是一是一 统计概念统计概念， 上式给出的是上式给出的是“动态动态”的含义，非平衡态系统不能用温的含义，非平衡态系统不能用温度度 来描述。来描述。 是是大量分子大量分子无规则热运动的集体表现，是无规则热运动的集体表现，是分子平均平动分子平均平动 动能的量度。动能的量度。此即宏观量此即宏观量T T与微观量与微观量 的关系，这说明的关系，这说明194、温度所描述的运动是分子无规则运动（热运动，是相对质温度所描述的运动是分子无规则运动（热运动，是相对质心参照系，平动动能是系统的内动能）心参照系，平动动能是系统的内动能），、 上式结果与分子的种类无关，即只要温度相同，

19、则分子上式结果与分子的种类无关，即只要温度相同，则分子的平均平动动能就相同。的平均平动动能就相同。nKTP 6、阿伏加德罗定律的一种表述阿伏加德罗定律的一种表述， 即在相同的压强，相同的温度下，各种气体的分子数密即在相同的压强，相同的温度下，各种气体的分子数密度相同度相同这是一个很有用的公式这是一个很有用的公式温度和系统的整体运动无关。温度和系统的整体运动无关。例如铜块中的自由电子在时平均平动动能为例如铜块中的自由电子在时平均平动动能为4.23eV。3、零点能的问题、零点能的问题206.3.2 气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率kTvm23212mKTv32称之为气体分子的方均根速率。称

20、之为气体分子的方均根速率。molMRT3216.4.1 自由度自由度、什么叫自由度：、什么叫自由度：决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数。决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数。22XYZXYZCc 理想气体的刚性分子理想气体的刚性分子A：单原子分子：单原子分子-3个自由度个自由度（视作质点）（视作质点）B：双原子分子：双原子分子 决定质心决定质心-3个自由度个自由度确定转轴方位确定转轴方位-2个自由度个自由度),(中的两个 C：三原子以上的分子：三原子以上的分子6 6个自由度个自由度-视为刚体视为刚体 实际气体实际气体-不能看成刚性分子，因原子之间还有振动。不能看成刚性分子，因原子之间

21、还有振动。5i、气体分子的自由度、气体分子的自由度与气体分子的结构有关与气体分子的结构有关6i236.4.2 能量均分定理能量均分定理kTvm23212222231vvvvzyx而)21(312121212222vmvmvmvmzyx1 1、分子的平均平动能平均地分配在每一个平动自由度上，且、分子的平均平动能平均地分配在每一个平动自由度上，且每一个平动自由度上的平均平动能的大小都是每一个平动自由度上的平均平动能的大小都是(1/2)kT(1/2)kT。 之所以会出现上述结果，是因为分子无规则热运动，相互碰之所以会出现上述结果，是因为分子无规则热运动，相互碰 撞后达热平衡的结果。撞后达热平衡的结果

22、。)23(31kTkT21242、能量按自由度均分定理、能量按自由度均分定理 上述结果可推广到转动和振动自由度（这是因为他们之间上述结果可推广到转动和振动自由度（这是因为他们之间都能通过碰撞而交换能量）。即得：都能通过碰撞而交换能量）。即得： 在平衡态下，分子无规则热运动碰撞的结果，使得没有那在平衡态下，分子无规则热运动碰撞的结果，使得没有那 一个自由度上的能量比其它自由度上的能量更占优势。一个自由度上的能量比其它自由度上的能量更占优势。 在平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能相在平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能相 等，每一个自由度的能量均为等，每一个自由度的能量均为 。 kT

23、21这就是能量按自由度均分定理这就是能量按自由度均分定理3、气体分子的平均总动能，气体分子的热运动能量、气体分子的平均总动能，气体分子的热运动能量（1 1）一个自由度为）一个自由度为i i的刚性分子所具有的平均总动能为的刚性分子所具有的平均总动能为 kTik225单原子分子单原子分子kTk23全为平均平动能全为平均平动能 双原子分子双原子分子kTk25kT23平均平动能为平均平动能为 平均平动能为平均平动能为 多原子分子多原子分子kTk26平均转动能为平均转动能为 kT23kT23。动动动动能能和和振振动动势势能能包包括括振振动动自自由由度度上上的的振振还还应应其其热热运运动动能能量量因因其其

24、还还有有振振动动自自由由度度, ,对对于于非非刚刚性性分分子子, ,就就是是分分子子的的热热运运动动能能量量分分子子的的平平均均总总动动能能, ,对对于于刚刚性性分分子子, ,)2(266.4.3 理想气体的内能理想气体的内能、什么是内能：、什么是内能： 内能是指系统内所有分子的热运动能量和分子间相互作用内能是指系统内所有分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和。势能之总和。、内能是态函数、内能是态函数、理想气体内能、理想气体内能（）（） 由于理想气体不计分子间相互作用力，因此由于理想气体不计分子间相互作用力，因此理想气体理想气体的内能仅为热运动能量之总和。的内能仅为热运动能量之总和。 是热

25、力学状态参量是热力学状态参量P P、V V、T T的函数，即的函数，即= =（P P、V V、T T），）， 是相对量。是相对量。因为状态参量是相对量。因为状态参量是相对量。27（）（） 设热力学体系内有设热力学体系内有N个刚性分子，则个刚性分子，则N个分子的平均个分子的平均总动能的总和总动能的总和即内能为即内能为kTiNE2 由于我们只讨论刚性分子，所以由于我们只讨论刚性分子，所以理想气体刚性分子的内能理想气体刚性分子的内能只是：所有分子的平均总动能之总和。只是：所有分子的平均总动能之总和。RTiMMEmol2kTNimNNmoo2RTiMMmol2kTiNE228(I)这说明理想气体的内能

26、仅为温度的单值函数，因此当理这说明理想气体的内能仅为温度的单值函数，因此当理想气体的状态发生变化时，其内能的增量仅与始末状态的想气体的状态发生变化时，其内能的增量仅与始末状态的温度有关，而与过程无关，即温度有关，而与过程无关，即TRiTRiMMEmol22(II)单原子气体单原子气体 双原子气体双原子气体 多原子气体子多原子气体子RTE23RTE25RTE2629 * 几个概念的说明：几个概念的说明：1、概率、概率（1）离散型随机变量的概率（如掷骰子）离散型随机变量的概率（如掷骰子）等可能事件的概率等可能事件的概率 N N所所有有可可能能的的试试验验结结果果数数m m有有利利于于A A的的结结

27、果果数数AP事件事件A A出现的概率出现的概率（2）连续型随机变量的概率（如麦克斯韦速率分布）连续型随机变量的概率（如麦克斯韦速率分布）随机变量在随机变量在X+dX间隔内的概率间隔内的概率 dXXXdP（X）称之为随机变量称之为随机变量X的概率密度。的概率密度。概率具有以下性质概率具有以下性质（1）概率的取值域为）概率的取值域为0P（A）1；（2）各种可能发生事件的概率总和等于）各种可能发生事件的概率总和等于1，即，即30 考虑事件的统计规律时，个别事件的考虑事件的统计规律时，个别事件的偶然性和其自身所遵从的规律退居次要地偶然性和其自身所遵从的规律退居次要地位，而且一般说来，不可能从个别事件所

28、位，而且一般说来，不可能从个别事件所遵从的规律导出其所遵从的统计规律。遵从的规律导出其所遵从的统计规律。对于随机变量，则为对于随机变量，则为 1dXX 1所有可能的试验结果的结果数i于Ai有利iiAP此式称为概率归一化条件。此式称为概率归一化条件。2、统计分布律、统计分布律 一种对于大量偶然事件的整体起作用的规律。一种对于大量偶然事件的整体起作用的规律。3、概率和统计值都遵从涨落规律、概率和统计值都遵从涨落规律316.5.1 气体分子的速率分布气体分子的速率分布 分布函数分布函数 如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率速率(在经典物理中为在

29、经典物理中为0 )，按照从小到大的排列，分，按照从小到大的排列，分成一系列相等的速率区间，例如从：成一系列相等的速率区间，例如从：0100m/s，100200m/s，200300m/s， （i）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的偶然的，无规则的(即随机的），毫无意义的。即随机的），毫无意义的。 对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规

30、于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规律。律。32 （ii）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子数各个速率区间内的分子数 ，占总分子数占总分子数N的百分比的百分比这这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。虑下去，就可得到麦氏速率分布律。331、麦氏速率分布曲线、麦氏速率分布曲线 若以若以v为横轴，为横轴，f（

31、v）的值为纵轴，以分布函数作曲线，这）的值为纵轴，以分布函数作曲线，这就是麦氏速率分布曲线。就是麦氏速率分布曲线。1）图中小方块面积的物理意义）图中小方块面积的物理意义小方块的面积为小方块的面积为vvf)( 表示分子速率分布在表示分子速率分布在v附近，附近，vv+v区间内的分子数占总区间内的分子数占总分子数分子数N的百分比，的百分比， )(vNNvfvf(v)vpNN342）曲线下总面积）曲线下总面积由小方块面积可知，曲线下总面积为由小方块面积可知，曲线下总面积为0)(dvvf 由归一化条件可知，曲线下总面积之总和为由归一化条件可知，曲线下总面积之总和为1，是一个常数，是一个常数，虽然曲线形状

32、与温度等有关，但总面积将保持不变。，虽然曲线形状与温度等有关，但总面积将保持不变。352、分布函数的归一化条件、分布函数的归一化条件dvvNfNvv)(21则则表示分布在表示分布在v1-v2区间内的分子数。区间内的分子数。dvvNfdN)(：可可得得由由dvdNNvf1)(3621)(vvdvvfNN10分布在分布在v1-v2区间内的分子数占总分子数的百分比区间内的分子数占总分子数的百分比 （或一个分子的速率处于（或一个分子的速率处于v 1v2区间内的概率）区间内的概率）1)(00NdNdvvfN 分布在分布在0 速率区间内所有的分子，其与总分子数的比速率区间内所有的分子，其与总分子数的比值是

33、值是1，即，即1)(0dvvf 这就是分布函数的归一化条件的数学表示。这就是分布函数的归一化条件的数学表示。(一个分子的速率分布在一个分子的速率分布在0 的所有可能区间的概率当然是的所有可能区间的概率当然是1)37dvdNNvNNvfv10lim)(这就是麦氏速率分布函数。这就是麦氏速率分布函数。3、麦克斯韦速率分布函数、麦克斯韦速率分布函数 将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间隔，即系列相等的速率间隔，即v1v1+ v, v2v2+ v,然后考察然后考察分布在速率间隔分布在速率间隔v+ v内的分子数内的分子数 N占总

34、分子数的百分比占总分子数的百分比 N/N, 为了进一步消除速率间隔为了进一步消除速率间隔 v的影响，将比值的影响，将比值 N/N除除以以 v,即得即得 N/N v 取极限，并令极限值为以取极限，并令极限值为以f(v)表示，表示，其是速率其是速率v的确定函数。即的确定函数。即38速率分布函数的物理意义速率分布函数的物理意义 一定质量的气体，在给定温度下，在平衡态时，一定质量的气体，在给定温度下，在平衡态时，。单单位位速速率率间间隔隔内内的的概概率率率率v v附附近近其其分分子子的的速速率率分分布布在在速速一一个个分分子子, ,总总分分子子数数的的百百分分比比速速率率间间隔隔内内分分子子数数占占分

35、分布布在在速速率率v v附附近近单单位位或或；39麦氏速率分布函数式：麦氏速率分布函数式：2223224vekTmvfkTmv/)()(式中T为气体的热力学温度，m是分子的质量，是玻尔兹曼恒量。6.5.2 麦克斯韦速率分布规律麦克斯韦速率分布规律一个分子在vvdv区间内的概率为 232224 ()2mvkTdNmev dvNkt406.5.3 分子速率的分子速率的3个统计值个统计值 1、最概然速率、最概然速率pv 与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率叫做气体分子与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率的最概然速率vp 。 物理意义是：物理意义是：对所有相同的速率区间而言

36、，速率在含有对所有相同的速率区间而言，速率在含有v vp p区间内的分子数占总分子数的百分比最大。区间内的分子数占总分子数的百分比最大。 或：气体分子的速率取或：气体分子的速率取vp附近值的概率为最大附近值的概率为最大。41222/32)2(4vekTmdvdkTmvkTmvkTmvevkTmvevkTm2222/322)2(22)2(40| )21 (2)2(4222/32pvvkTmvkTmvevkTm221.41pmolmolkTRTRTvmMM 将函数将函数f(v) f(v) 对对v v求导得求导得0pvvdvdf422 2、平均速率、平均速率vNvvNi将麦氏速率分布函数式代入得将麦

37、氏速率分布函数式代入得dvvekTmdvvvfvkTmv302230224/)()(mkTv8NvdN0NdvvvNf0)(0)(dvvvfmolMRT81.60molRTM43NvvNi22mkTdvvekTmvkTmv3)2(44022/322mkTv32NdNv02NdvvNfv02)(02)(dvvfvmolMRT31.73molRTM3、方均根速率、方均根速率2v441、温度与分子速率、温度与分子速率TvMRTvpmolp即2f(v)vm相同( (设它们的温度分别为设它们的温度分别为 73K,273K,1273K)73K,273K,1273K)6.5.4 麦克斯韦分布曲线的性质麦克斯

38、韦分布曲线的性质452、质量与分子速率、质量与分子速率mvmkTvpp12即f(v)vT相同, m3m2m1m1m2m3466.6.1 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 前面讨论的分子速率分布未考虑分子速度方向，要找出分前面讨论的分子速率分布未考虑分子速度方向，要找出分子按速度的分布，就是要找出速度分量在子按速度的分布，就是要找出速度分量在vxvx +dvx，vyvy +dvy ，vzvz+dvz 区间的分子数占总分子数的百分比。区间的分子数占总分子数的百分比。麦克斯韦推导出了速度分布律麦克斯韦推导出了速度分布律222()3/22( )()2xyzmvvvkTmf vekTzyxvvvkT

39、mdvdvdvekTmNdNzyx)(22/ 3222)2( 在速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的百分比，在速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的百分比， 即称之为气体分子的速度分布函数，为即称之为气体分子的速度分布函数，为476.6.2 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布律，这时分子在空间的分布是均匀的，即气体分子的密律，这时分子在空间的分布是均匀的，即气体分子的密度是均匀分布的度是均匀分布的(既稳恒又均匀）。既稳恒又均匀）。48zyxkTmvdvdvdvekTmNdN22322/)(由麦氏速度分布函

40、数由麦氏速度分布函数 如果考虑外力场的作用（例如重力场、电场、磁场如果考虑外力场的作用（例如重力场、电场、磁场等），则在平衡态时，只是稳恒的而不再是均匀的。这等），则在平衡态时，只是稳恒的而不再是均匀的。这时分子的分布除了考虑时分子的分布除了考虑速度区间（速度区间（ dvxdvy dvz）外，还外，还要了解在空间各处的分布将怎样变化，即分子在要了解在空间各处的分布将怎样变化，即分子在xx+dx，yy+dy，zz+dz区间内的分子数占总分子数的区间内的分子数占总分子数的比率，即考虑比率，即考虑位置区间（位置区间（dxdydz）。）。 若若引引入入平平均均平平动动动动能能表表示示式式Emvk122

41、 ，则则上上式式可可写写成成 49zyxkTEdvdvdvekTmNdNk232/)( 即：在没有外力场时，分子按速度的分布只与分子的动能有关。即：在没有外力场时，分子按速度的分布只与分子的动能有关。 如果分子处于保守力场中，则应考虑在能量中还要包含有势如果分子处于保守力场中，则应考虑在能量中还要包含有势能，即能，即pkEEE 由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间的分布也将与位置有关。从某种意义上讲：密度在空间的分布也将与位置有关。从某种意义上讲：统计分布律。统计分布律。子数密度在力场中的子数密度在力场中的则是从能量角度

42、讨论分则是从能量角度讨论分玻氏分布律,玻氏分布律,统计分布律。统计分布律。的的子数密度在没有力场时子数密度在没有力场时是从速度的角度讨论分是从速度的角度讨论分麦氏分布律,麦氏分布律,50玻耳兹曼把麦氏速度分布推广玻耳兹曼把麦氏速度分布推广 由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间的分布也将与位置有关。密度在空间的分布也将与位置有关。dxdydzdvdvdvekTmANdNzyxkTEEpk2/3)2(dxdydzdvdvdvekTmCdNzyxkTEEKp2/3)2(kTEkTEEeeKp称称玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子 比例常

43、数比例常数dxdydzdvdvdvekTmCdNzyxkTE2/3)2(上式为玻耳兹曼分布上式为玻耳兹曼分布51 1、 体积元体积元dV=dxdydz内的总分子数内的总分子数)2(2/30 dekTmdVendNkTEkTEkpdvvekTmdVendNkTmvkTEp222300/422dvvd24因为在速率空间中有因为在速率空间中有所以，有所以，有 如令如令n0表示势能表示势能Ep=0处单位体积内具有各种速度的分子总处单位体积内具有各种速度的分子总数，则在空间体积元数，则在空间体积元dxdydz 内的分子数，为内的分子数，为dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTE2/30)2(即

44、即52dVendNkTEp0 表示在空间某位置（具有表示在空间某位置（具有Ep）的体积元）的体积元dVdxdydz内的总内的总 分子数。分子数。、分子数密度按势能分布的规律、分子数密度按势能分布的规律上式两边除以体积元上式两边除以体积元 dV=dxdydzkTEpenn0即，单位体积元内具有各种速度的分子数，随势能即，单位体积元内具有各种速度的分子数，随势能Ep的增加的增加而呈指数衰减。而呈指数衰减。 01)(dvvf又又53例例6.2设有设有N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为000000(0)( )2(2)0(2)avvvvaf vavvvvvvv(1)作出速率分布曲线；(2

45、)由N和 求a值；0v(3)求 ；pv(4)求N个粒子的平均速率 ；v(5)求速率介于0 之间的粒子数；02v(6)求 区间内粒子的平均速率 .002vvv54解(1)速率分布曲线如图6.11所示.图6.11 (2)由分布函数必须满足归一化条件，即0( )1f v dv有 001( )212f v dvav所以 01av(3)由 的物理意义知 .0pvvpv(4)N个粒子的平均速率0002000000( )()(2)vvvvdNaavvf v dvvv dvvav dvvNvv55(5) 0 内粒子数 02v00002222000000( )()8vvvvaaNNdNNf v dvNv dvN

46、vdvvv002vv(6) 内平均速率v000000000020220220()( )0.778( )vvvvvvvvvvavv dvvdNvNf v dvvvvaNNf v dvvdvv56问题的提出问题的提出前面已经说过：分子速率在几百米前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什秒的数量级，但为什么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？ 原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。576.7.1 平均碰撞次数平均碰撞次数 碰撞频率：碰撞频率： 指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数Z。 平均碰撞频率平均碰撞频率： 一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值 。zZ22Zd vn586.7.2 平均自由程平均自由程 、自由程、自由程：平均自由程：平均自由程：分子在连续两次碰撞之间所经历的直线路径 分子在连续两次碰撞之间所经历的直线自由程的平均值 。22kTd p当温度恒定时，平均自由程与气体的压强成反比，压强越小(空气越稀薄)，平均自由程越长 59决定 和 的因素：zudnz2 这样，在这样，在A A分子运动的路径上，凡分子