大学物理运动学1-3

1、讲授郭讲授郭 斌斌致开始学习大学物理的同学们：致开始学习大学物理的同学们： 科学是一种方法科学是一种方法。它教导我们：一些事物是怎。它教导我们：一些事物是怎样被了解的，什么事情是已知的，现在了解到了什样被了解的，什么事情是已知的，现在了解到了什么程度，如何对待疑问和不确定性，证据服从什么么程度，如何对待疑问和不确定性，证据服从什么法则；如何思考事物，做出判断，如何区别真伪和法则；如何思考事物，做出判断，如何区别真伪和表面现象。表面现象。 费曼费曼 希望这段话能成为大家学习物理的座右铭。学希望这段话能成为大家学习物理的座右铭。学习大学物理除了掌握基本知识外，更重要的是学习习大学物理除了掌握基本知

2、识外，更重要的是学习科学的科学的思维方法思维方法。正如一个古老的故事所讲述的那。正如一个古老的故事所讲述的那样，学生从老师那里得到的，应该是一个点石成金样，学生从老师那里得到的，应该是一个点石成金的的法则法则，而不是一堆金子。，而不是一堆金子。大学物理课程学习的内容 力学 振动与波动 电磁学 相对论 力学是物理科学中最古老的学科，是研究物体力学是物理科学中最古老的学科，是研究物体机械运动的科学。机械运动的科学。 经典力学经典力学1.1 1.1 参照系参照系 坐标系坐标系 物理模型物理模型 一、参照系、坐标系一、参照系、坐标系 毛泽东毛泽东有一诗句曰：有一诗句曰：“ 坐地日行八万里，巡坐地日行八

3、万里，巡天遥天遥 看一千河看一千河 ” 。认识到这一点，人类曾经历。认识到这一点，人类曾经历了漫长的历史过程，了漫长的历史过程，布鲁诺布鲁诺甚至为此付出了生命。甚至为此付出了生命。 自然界所有物质，都处在永恒的运动之中，包自然界所有物质，都处在永恒的运动之中，包括简单的和复杂的运动、宏观的和微观的运动、人括简单的和复杂的运动、宏观的和微观的运动、人们可以观测到的和目前还不能直接观测到的运动，们可以观测到的和目前还不能直接观测到的运动，这叫这叫运动的绝对性运动的绝对性。 一张桌子看起来毫无生气，但实际上它也在运一张桌子看起来毫无生气，但实际上它也在运动，不但参与地球的自转与公转，而且构成桌子的动

4、，不但参与地球的自转与公转，而且构成桌子的物质的分子、原子也处在永不停息的运动之中。物质的分子、原子也处在永不停息的运动之中。 反思一下我们的认识过程，我们是怎样把握到反思一下我们的认识过程，我们是怎样把握到运动的绝对性的呢？是通过比较（定量的分析要通运动的绝对性的呢？是通过比较（定量的分析要通过测量）。这充作运动状态比较的参照物，就叫做过测量）。这充作运动状态比较的参照物，就叫做参照系。参照系。参照系（参照系（frame of reference） 进一步思考发现，选择不同的参照系，对物体进一步思考发现，选择不同的参照系，对物体运动状态所作的描述可能不一样，这叫运动状态所作的描述可能不一样，

5、这叫运动描述的运动描述的相对性。相对性。整理一下，我们可以得到这样的认识：整理一下，我们可以得到这样的认识：运动的描述不同运动的描述不同 (运动描述的相对性运动描述的相对性)说明参照系之间有相对运动说明参照系之间有相对运动暗指运动的绝对性暗指运动的绝对性参照系不同参照系不同描述运动状态的参照物描述运动状态的参照物 宋代诗人宋代诗人陈与义陈与义有一首绝句，他从躺在船中的有一首绝句，他从躺在船中的乘客的角度提出，顺水乘风，舟行似箭，而看到的乘客的角度提出，顺水乘风，舟行似箭，而看到的天上的云彩为什么一动不动呢天上的云彩为什么一动不动呢 ? 然后把笔锋一转，然后把笔锋一转，悟出了轻舟与行云之间原来作

6、同步的相对运动的精悟出了轻舟与行云之间原来作同步的相对运动的精辟论辩。辟论辩。飞花两岸照舡红，飞花两岸照舡红，百里榆堤半日风，百里榆堤半日风，卧看满天云不动，卧看满天云不动，不知云与我俱东。不知云与我俱东。 由于运动的相对性，当我们要描由于运动的相对性，当我们要描述某一物体的运动时，参照系的选择述某一物体的运动时，参照系的选择可以是任意的，不过有繁简之分。可以是任意的，不过有繁简之分。 现在我们提一个问题：既然参照现在我们提一个问题：既然参照系的选择是任意的，那么系的选择是任意的，那么托勒密托勒密的地的地心说与心说与哥白尼哥白尼的日心说谁是谁非呢？的日心说谁是谁非呢？哥白尼哥白尼托勒密托勒密科

7、学的理论要服从简单性原理科学的理论要服从简单性原理 托勒密以地球为参照系，结果托勒密以地球为参照系，结果行星对地球的运动被描写得非常复行星对地球的运动被描写得非常复杂。但在哥白尼的日心系里，行星杂。但在哥白尼的日心系里，行星不过是绕日作圆周运动。不过是绕日作圆周运动。 这正是哥白尼体系战胜托勒密体系的重要原因之这正是哥白尼体系战胜托勒密体系的重要原因之一。当然，在它的背后还有着更为深刻的社会学意义一。当然，在它的背后还有着更为深刻的社会学意义和哲学意义。和哲学意义。 黑暗的中世纪，神学与黑暗的中世纪，神学与亚里士多德亚里士多德托勒密托勒密学学说相结合，严重地阻碍甚至扼杀了科学的进步。说相结合，

8、严重地阻碍甚至扼杀了科学的进步。将地球从宇宙中心降到了普通行星的地位，摧毁将地球从宇宙中心降到了普通行星的地位，摧毁了地球至尊、人类至上的思想，冲击了人们对基了地球至尊、人类至上的思想，冲击了人们对基督教义的信仰，是向神学的宣战书。督教义的信仰，是向神学的宣战书。 在自然科学领域，他找到了描述天体运动的近似在自然科学领域，他找到了描述天体运动的近似的惯性系，显示了太阳参照系的优越地位，并指的惯性系，显示了太阳参照系的优越地位，并指明明旋转运动是天体旋转运动是天体“固有的性质固有的性质”。 有了参照系后，对物体运动的定量描述，即有了参照系后，对物体运动的定量描述，即给出物体空间位置随时间变化的数

9、量关系，还要给出物体空间位置随时间变化的数量关系，还要依靠坐标系（依靠坐标系（coordinate system ）来实现。来实现。 坐标系是参照系的数学抽象，它是固结在参坐标系是参照系的数学抽象，它是固结在参照系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。照系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。 常用的坐标系有：常用的坐标系有：直角坐标系直角坐标系( , , )x y z球极坐标系球极坐标系( , , ) 柱极坐标系柱极坐标系( , , ) z 自然坐标系自然坐标系( , )n 二、物理模型二、物理模型 当我们选好了参照系、坐标系，准备着手对物当我们选好了参照系、坐标系，准备着手对物体的机械运动用数学语

10、言给予描述时，常常发现，体的机械运动用数学语言给予描述时，常常发现，这仍是一件很困难的事。这仍是一件很困难的事。 例如我们要描述足球场上的例如我们要描述足球场上的“香蕉球香蕉球”，仔细，仔细观察一发现，球星起脚后，足球不仅沿着弧线飞向观察一发现，球星起脚后，足球不仅沿着弧线飞向球门，而且本身还打着旋。球门，而且本身还打着旋。 再例如径赛运动员，运动员的身体躯干可能沿再例如径赛运动员，运动员的身体躯干可能沿直线行进，但他的手和脚让人看来运动形式却很复直线行进，但他的手和脚让人看来运动形式却很复杂。杂。 这怎么描写呢？这已经不是简单运动了。这怎么描写呢？这已经不是简单运动了。 怎么办呢？怎么办呢？

11、 为了便于抓住本质解决问题，人们常常在科学为了便于抓住本质解决问题，人们常常在科学分析的基础上，突出事物中与问题有关的主要矛，分析的基础上，突出事物中与问题有关的主要矛，而将一些影响不大的次要因素加以忽略，从而建立而将一些影响不大的次要因素加以忽略，从而建立理想化模型理想化模型，或称，或称简化模型简化模型。这是科学研究的基本。这是科学研究的基本方法之一。方法之一。 这就要看我们准备反应问题的哪一方面了。这就要看我们准备反应问题的哪一方面了。 如果我们要描述的是球的空间轨迹，那我们可如果我们要描述的是球的空间轨迹，那我们可以不管球的自旋，这样就可以把球看成一个点状对以不管球的自旋，这样就可以把球

12、看成一个点状对象。同样如果我们要描写的是运动员身体总的前进象。同样如果我们要描写的是运动员身体总的前进状态，我们也可以不去管他的手脚的运动情况，而状态，我们也可以不去管他的手脚的运动情况，而将他的身体看成一个点。将他的身体看成一个点。从这两个例子，我们可以悟出一个原则从这两个例子，我们可以悟出一个原则 一切伪科学都声称他们的结论是一切伪科学都声称他们的结论是绝对正确的、是普遍适用的。绝对正确的、是普遍适用的。 当然这种理想化模型能否正确反应客观现实，当然这种理想化模型能否正确反应客观现实，最后要靠实验验证。最后要靠实验验证。还必须注意还必须注意 由理想化模型方法得到的结论，具有严格的由理想化模

13、型方法得到的结论，具有严格的适用条件，将其结果推广时要慎重。适用条件，将其结果推广时要慎重。 这种理想化模型方法在工程学上比比皆是，物这种理想化模型方法在工程学上比比皆是，物理学作为研究物质运动的最一般规律的科学，更是理学作为研究物质运动的最一般规律的科学，更是处处都要采用理想化模型方法，诸如质点、刚体、处处都要采用理想化模型方法，诸如质点、刚体、光滑面、理想气体、玻尔氢原子光滑面、理想气体、玻尔氢原子。有四条途径可达到简化目的有四条途径可达到简化目的将扩展物体将扩展物体“粒子化粒子化” （从空间上（从空间上考虑）考虑）取平均运动（从时间上考虑）取平均运动（从时间上考虑）选择最佳参照系选择最佳

14、参照系划分尺度范围划分尺度范围选择合适的选择合适的参考系参考系， 以方便确定物体的运动性质；以方便确定物体的运动性质；建立恰当的建立恰当的坐标系坐标系， 以定量描述物体的运动；以定量描述物体的运动；提出准确的提出准确的物理模型物理模型， 以突出问题中最基本的运动规律。以突出问题中最基本的运动规律。1.2 1.2 运动的描述运动的描述1.位置矢量位置矢量 仰望星空，我们常常会问，火星或者天狼星仰望星空，我们常常会问，火星或者天狼星现在现在的的位置位置在哪儿？在哪儿？一、描述运动的物理量一、描述运动的物理量OP运动学的第一个问题就是描述质点的空间位置运动学的第一个问题就是描述质点的空间位置选择参照

15、系，选择参照系，选择一个参照点，标记为选择一个参照点，标记为O。 连接连接O 与此时被考察质点的位置与此时被考察质点的位置P 仰望星空，我们常常会问，火星或者天狼星仰望星空，我们常常会问，火星或者天狼星现在现在的的位置位置在哪儿？在哪儿？ OP将有向线段将有向线段r记作矢量记作矢量 ，称为称为P 点相对于点相对于OPr PO简称简称位矢位矢或或矢径矢径。O 点的位置矢量，点的位置矢量，1.2 1.2 运动的描述运动的描述1.位置矢量（位置矢量（position vector ） 仰望星空，我们常常会问，火星或者天狼星仰望星空，我们常常会问，火星或者天狼星现在现在的的位置位置在哪儿？在哪儿？一、

16、描述运动的物理量一、描述运动的物理量()r tt PPO 质点运动时，位矢质点运动时，位矢 的大小和方向都会随时间的大小和方向都会随时间变化，因此还必须定义一组完全同步的钟，用来标变化，因此还必须定义一组完全同步的钟，用来标定质点到达空间各点的时刻，这样位矢定质点到达空间各点的时刻，这样位矢 就可以表就可以表达为时间达为时间 t 的函数的函数运动函数运动函数（function of motion )rr( )r t( )rr t质点的运动方程。质点的运动方程。2.位移矢量（位移矢量（displacement ） 运动过程中质点的运动过程中质点的空间位置会发生变化，空间位置会发生变化，表现为位矢

17、由表现为位矢由 变化变化到到 。( )r t()r tt r()( )rr ttr t 这种变化可由位矢这种变化可由位矢的增量描述的增量描述()( )rr ttr t 位移矢量的方向由初始位置指向末时刻位置位移矢量的方向由初始位置指向末时刻位置()r tt PPO( )r tr注意注意PPPPS 弧的路程是的路程是位移和路程是两个完全不同的概念，位移和路程是两个完全不同的概念， 路程（路程（path ） 是标量。是标量。S位移位移 是矢量，是矢量，r 例如作圆周运动例如作圆周运动的质点回到出发点，的质点回到出发点，其位移是零，而路程其位移是零，而路程是是 。2 R rS 一般地一般地S 位移与

18、参照点的位移与参照点的选择无关选择无关Odr元元位位移移的的大大小小， dr 位位矢矢大大小小的的增增量量。在无穷小位移情况下才有在无穷小位移情况下才有drdS drdr一般地一般地()r tt PPO( )r trS2r1r12rrr 方向变化方向变化大小变化大小变化2rr 所以所以 drdrdtdtr （看图）（看图）d r3.速度（速度（velocity）矢量）矢量rvt 运动是在时空中进行的，质点空间位置的变化运动是在时空中进行的，质点空间位置的变化是在时间的流逝中完成的。是在时间的流逝中完成的。 不同的运动，完成相同的空间位移这个过程，不同的运动，完成相同的空间位移这个过程，所经历的

19、时间间隔可能是不一样的，也就是我们习所经历的时间间隔可能是不一样的，也就是我们习惯所说的运动的快或慢。惯所说的运动的快或慢。定义平均速度（定义平均速度（average velocity ） 如何精确地描述这种过程变化的快慢呢如何精确地描述这种过程变化的快慢呢 ? 按照按照笛卡尔笛卡尔的意见，可由平均速度这个概念来担当。的意见，可由平均速度这个概念来担当。平均速度是矢量，与位移同方向。平均速度是矢量，与位移同方向。 我们立刻会注意到，除了长时间以恒定速度运动我们立刻会注意到，除了长时间以恒定速度运动外（匀速直线运动），平均速度与所选择的时间间隔外（匀速直线运动），平均速度与所选择的时间间隔有关。

20、有关。 我们的目的是要把握运动的规律，这就要求我们我们的目的是要把握运动的规律，这就要求我们能够了解或推论出，在任意小时间间隔中运动的变化能够了解或推论出，在任意小时间间隔中运动的变化情况。因此我们要找到一个更精确的概念，来代替平情况。因此我们要找到一个更精确的概念，来代替平均速度。均速度。 这就是取无穷小位移以及相应这就是取无穷小位移以及相应的无穷小时间间隔，考察它们的比的无穷小时间间隔，考察它们的比值当时间间隔越来越小时，比率如值当时间间隔越来越小时，比率如何。何。牛顿牛顿牛顿牛顿首先找到了。首先找到了。0limtrvt drdt()r tt PPO( )r trv速率速率( (speed

21、 )dtdstsvt0lim在无穷小位移情况下在无穷小位移情况下dSdr很明显，当很明显，当 t 0 时时速度的方向趋于运动曲线的切线方向速度的方向趋于运动曲线的切线方向 瞬时速度（瞬时速度（instantaneous velocity ） 微积分（关于无穷小演算）的创立，就是为了精微积分（关于无穷小演算）的创立，就是为了精确描述运动变化的。确描述运动变化的。 有了微积分这门数学工具，我们可以把对常量的有了微积分这门数学工具，我们可以把对常量的研究扩展到对变量的研究。并能够更精确、更概括地研究扩展到对变量的研究。并能够更精确、更概括地刻画基本概念和基本规律。刻画基本概念和基本规律。4.加速度加

22、速度(acceleration )矢量矢量 注意到，物体运动速度的大小和方向也会发生变注意到，物体运动速度的大小和方向也会发生变化，对此我们也要给出一个确切的描述。化，对此我们也要给出一个确切的描述。 按照前面同样的方法，可以给出平均加速度和瞬按照前面同样的方法，可以给出平均加速度和瞬时加速度的概念。时加速度的概念。vat平均加速度：平均加速度：0limtvat 22d rdtdvdt瞬时加速度：瞬时加速度： 由于加速度是速度的一阶导数，因此只要质点的由于加速度是速度的一阶导数，因此只要质点的速度发生了变化，不论是其大小变化还是方向变化，速度发生了变化，不论是其大小变化还是方向变化，都有加速度

23、产生。都有加速度产生。 加速度的概念首先是由伽利略给出的，他最初想加速度的概念首先是由伽利略给出的，他最初想过由过由 来定义加速度，很快发现这样不行，才转来定义加速度，很快发现这样不行，才转而用而用 来定义。来定义。/vs/vt 伽利略通过敏锐的观察，相信自由落体的运动是伽利略通过敏锐的观察，相信自由落体的运动是匀加速运动，并亲自通过斜面实验进行推证。匀加速运动，并亲自通过斜面实验进行推证。 按照上面的推理逻辑，我们是否还要用更高阶的按照上面的推理逻辑，我们是否还要用更高阶的导数，来定义加速度的更深层的变化呢？数学上当然导数，来定义加速度的更深层的变化呢？数学上当然没有问题，也确曾有过这样的定

24、义如没有问题，也确曾有过这样的定义如“加加速度加加速度”，但这些作法后来都被放弃了，因为从目前的动力学角但这些作法后来都被放弃了，因为从目前的动力学角度来看，进一步定义的量没有什么物理意义。度来看，进一步定义的量没有什么物理意义。 著名物理学家著名物理学家吉布斯吉布斯曾经说过：曾经说过：一个数学家可以一个数学家可以说他愿意说的任何东西，而一个物理学家必须至少部说他愿意说的任何东西，而一个物理学家必须至少部分合乎情理。分合乎情理。他坚持认为，物理学家使用的数学必须他坚持认为，物理学家使用的数学必须永远面对实验结果。永远面对实验结果。现在我们看到，运动学物理量都是矢量。现在我们看到，运动学物理量都

25、是矢量。物理量可分为三类：标量、矢量、张量。物理量可分为三类：标量、矢量、张量。 张量运算是更高一级的运算。今后我们主要跟矢张量运算是更高一级的运算。今后我们主要跟矢量打交道。要注意矢量表述的规范。量打交道。要注意矢量表述的规范。二、坐标系的运用二、坐标系的运用 矢量符号提供了一种语言，它使物理定律的表述矢量符号提供了一种语言，它使物理定律的表述具有简单、明了的形式，能脱离任何特定的坐标系统具有简单、明了的形式，能脱离任何特定的坐标系统而具有确切的物理内容。但为了定量分析（计算）的而具有确切的物理内容。但为了定量分析（计算）的方便，对物理定律的处理，一般都需要在一定的坐标方便，对物理定律的处理

26、，一般都需要在一定的坐标框架中进行。框架中进行。1.直角坐标系直角坐标系直角坐标系也叫笛卡尔坐标系。直角坐标系也叫笛卡尔坐标系。 笛卡尔笛卡尔是最先试图为十七世纪是最先试图为十七世纪即欧洲文艺复兴时期的新科学提供即欧洲文艺复兴时期的新科学提供一个总的哲学框架的人。一个总的哲学框架的人。 他不仅确立了一些科学家应关心的基本问题，他不仅确立了一些科学家应关心的基本问题，而且提出了解决这些问题的方法。但他的名字在物而且提出了解决这些问题的方法。但他的名字在物理学史上并不惹人注目，这是因为他的详细解答大理学史上并不惹人注目，这是因为他的详细解答大部分遭到后人的否定。部分遭到后人的否定。 笛卡尔遗留给我

27、们的，除了对物理世界总的看笛卡尔遗留给我们的，除了对物理世界总的看法外，就是他建立的法外，就是他建立的解析几何解析几何。 在解析几何中，他开创了一种在逻辑推导中极在解析几何中，他开创了一种在逻辑推导中极为方便的符号语言，用这种符号语言表示几何形状为方便的符号语言，用这种符号语言表示几何形状和物理过程。和物理过程。 这种强有力的数学方法后来又同这种强有力的数学方法后来又同牛顿牛顿、莱布尼莱布尼兹兹的微积分密切地结合在一起。的微积分密切地结合在一起。我们来看，在笛卡尔的框架中运动是如何描述的。我们来看，在笛卡尔的框架中运动是如何描述的。( )( )( )( )r tx t iy t jz t k位

28、置矢量位置矢量 为了表示质点在时刻为了表示质点在时刻 t 的位置的位置P ，在选定的参，在选定的参照系上选取坐标原点，建立直角坐标系。照系上选取坐标原点，建立直角坐标系。xyzOijk( )r t 是坐标轴是坐标轴 x、y、z 方向上的单位矢量。方向上的单位矢量。ijk、 、有向线段有向线段 指向运动指向运动质点当前所在的质点当前所在的P 点点OP P将将 在各坐标轴上投影在各坐标轴上投影( )r t 显然，显然， 的方向确定了的方向确定了P 点相对于各坐标轴的方位。点相对于各坐标轴的方位。rP 点的位置也就确定了。点的位置也就确定了。 的大小（模）就是的大小（模）就是P 点到原点的距离。点到

29、原点的距离。rxyzO( )r tP rr方位和距离都确定了，方位和距离都确定了，222coscoscos1222xyzcosxr cosyr coszr 有关系：有关系：运动方程运动方程质点位置坐标随时间的变化函数关系。质点位置坐标随时间的变化函数关系。例：例：斜抛运动斜抛运动( )rr t( )( )( )x t iy t jz t k 标量（投影）式标量（投影）式( )( )( )xx tyy tzz t00200cos1sin2xxv tyyv tgt 例例: : 匀速率圆周运动：匀速率圆周运动：cossinxRtyRt 从运动方程中消去时间从运动方程中消去时间 t t 可得轨迹方程可

30、得轨迹方程质点各时刻矢径的端点在空间描绘出的曲线质点各时刻矢径的端点在空间描绘出的曲线轨迹：轨迹：如上例匀速率圆周运动，如上例匀速率圆周运动，方程中消去方程中消去 t 222xyR 质点的运动方程蕴含了质点运动的全部信息质点的运动方程蕴含了质点运动的全部信息，因此，求出运动方程是质点运动学的中心问题，因此，求出运动方程是质点运动学的中心问题。( )r tOP得到：得到：位移矢量位移矢量BArrr ()()BBBAAAx iy jz kx iy jz k x iy jzk ()()()BABABAxxiyyjzzk 一个质点在空间的位移，一个质点在空间的位移，等于它在各个坐标方向上的位等于它在各

31、个坐标方向上的位移分量的矢量迭加。移分量的矢量迭加。这就是运动迭加原理这就是运动迭加原理它是物质和物质运动的空间性质的自然反映。它是物质和物质运动的空间性质的自然反映。222rxyz x y rx iy j 矢量式矢量式123( )( )( )( )A tA t iA t jA t k112233( )( )( )AA tAA tAA t投影式投影式大小、方位式大小、方位式222123( )A tAAAcos()nAAnA，, ,ni j k 1,2,3n 矢量的表述方法矢量的表述方法速度矢量速度矢量drvdt或记作或记作xyzvv iv jv kdxdydzijkdtdtdt()dxiyjz

32、kdt 平均速度平均速度xyzvijkttt222zyxvvvvv 速率速率cos( , ) , cos( , ) , cos( , )yzxvvvv iv jv kvvv瞬时速度瞬时速度xyzvv iv jv k加速度矢量加速度矢量yzxdvdvdvijkdtdtdtxyza ia ja kdvadt222222dxdyd zijkdtdtdt222xyzaaaaa 平均加速度平均加速度yzxvvvaijkttt瞬时加速度瞬时加速度xyaa ia j解：普通物理学教案例题1 ：试求：试求：轨迹方程；速度的大小；加速度。轨迹方程；速度的大小；加速度。3cos()3sin()66 SIrt it

33、 j（）从运动方程分量式中消去从运动方程分量式中消去 t 得轨迹方程：得轨迹方程：2223xy3sin()3cos()6666t it j drvdt22xxvvv223 () cos()3 () sin()6666t it j dvadt2()6r 指向圆心指向圆心2 解：普通物理学教案例题2 ：求：第求：第2秒内的位移及平均速度、平均加速度。秒内的位移及平均速度、平均加速度。32() SIrt it j(1)11rij(2)84rij(2)(1)rrr 73ijrvt73ijdrvdt232t itj(1)32vij(2)124vijvat92ij顺便可得加速度顺便可得加速度22d rad

34、t62tij第第2秒内位移的大小秒内位移的大小1273rij221273r22rxy 7.616m第第2秒内的路程：秒内的路程：3xt2yt2/3yx21()dydxdxsds22dxdy221 21231()3sttdt7.634m32() SIrt it j1823121()3sxdx7.634m12r如图示，人以恒定速率如图示，人以恒定速率v0 运动，船的初速为运动，船的初速为0，求：在任一位置船的速度、加速度。求：在任一位置船的速度、加速度。解：解：普通物理学教案例题3 ：选地面参照系，选地面参照系，建立直角坐标系。建立直角坐标系。寻找几何关系（运动学说到底是几何问题）寻找几何关系（运

35、动学说到底是几何问题）222Lhx对几何关系式微分对几何关系式微分 确认变量确认变量(L，x)22dLdxLxdtdt确认各导数的物理意义确认各导数的物理意义 绳长在缩短绳长在缩短 0dLdth0vl ox收绳速度收绳速度 00vv i dLidt dLidt船速船速 xvv idxidt0vxv 是是 在在x 轴上的投影（本身带有符号）轴上的投影（本身带有符号）回代到微分式回代到微分式 xdLLxvdt则则 xL dLvx dt0Lvx 220hxvx 220hxv is xvv i（负号说明船速与（负号说明船速与 x 正向相背）正向相背）进而进而 220dhxdxvidxxdt20222x

36、hvixxhv220 xhxvvx dvadt220dhxv idtx2203hv ix 2.自然坐标系自然坐标系 这时，可以在轨道上任取一参照点这时，可以在轨道上任取一参照点 O，这样就，这样就可以在轨道上用弧坐标来表示运动方程。可以在轨道上用弧坐标来表示运动方程。这类运动方程可表为：这类运动方程可表为：有一类曲线运动是在已知轨道上进行的。有一类曲线运动是在已知轨道上进行的。( )ss to切向单位矢量切向单位矢量 ， 规定：规定：指向运动方向指向运动方向 n法向单位矢量法向单位矢量 n指向轨道的凹侧指向轨道的凹侧 用这样一对正交的切向、法向单位矢量构成坐用这样一对正交的切向、法向单位矢量构

37、成坐标系统称为标系统称为自然坐标系自然坐标系。 在自然坐标系中，切向、法向单位矢量并不固在自然坐标系中，切向、法向单位矢量并不固定，它们随质点的位置而变。定，它们随质点的位置而变。笛卡尔坐标系是静坐标系笛卡尔坐标系是静坐标系自然坐标系是动坐标系自然坐标系是动坐标系 no n,n ()()大小虽然不变，但它们的方向是变化的。大小虽然不变，但它们的方向是变化的。dsvdt 所以速度矢量在自然坐标系中表述为所以速度矢量在自然坐标系中表述为v 由于质点运动的速度方向就在轨道的切向由于质点运动的速度方向就在轨道的切向 由于自然坐标系是随质点运动的，在这种坐标由于自然坐标系是随质点运动的，在这种坐标系中加

38、速度的表述就很有特点了，其结论我们经常系中加速度的表述就很有特点了，其结论我们经常要用到。要用到。dvadt由微分法则由微分法则 dvdavdtdt ()dvdt 这个式子还明白地告诉我们，质点的加速度由这个式子还明白地告诉我们，质点的加速度由两个分量构成。两个分量构成。 dvdavdtdt 第一分量第一分量 纯由质点速率变化所致。纯由质点速率变化所致。 dvdt 000dvdtv 增长，方向与增长，方向与 一致。一致。 v 减小，方向与减小，方向与 相反。相反。 v 不变，该分量为零。不变，该分量为零。 第二分量第二分量 是由是由 的方向即的方向即 的变化所致。的变化所致。dvdt v 这个

39、分量的量值和方向究竟表现为怎样的规这个分量的量值和方向究竟表现为怎样的规律，其物理意义如何，我们来作一个详细的探讨律，其物理意义如何，我们来作一个详细的探讨 考虑在很短的时间考虑在很短的时间 内，质点沿曲线运动走过的内，质点沿曲线运动走过的路径非常接近于圆弧，因此产生一很小的角位移路径非常接近于圆弧，因此产生一很小的角位移t 其切向单位矢量其切向单位矢量 由于方向的改变过渡到由于方向的改变过渡到 。 增量增量 是矢量，当是矢量，当 时，时， 0t 其方向变得垂直于其方向变得垂直于 ，且指向圆心。，且指向圆心。 这样一来，这样一来， 的方向与的方向与 一致。一致。d n n n dd （微分弦长

40、等于微分弧长）（微分弦长等于微分弧长） 1 （单位矢量的大小为一个单位）（单位矢量的大小为一个单位）vn ddndtdt()dndt 1dsndt dvdavdtdt 则则为曲率半径。所以为曲率半径。所以 2dvvandt 结果很明显，作曲线运动的质点的加速度矢量结果很明显，作曲线运动的质点的加速度矢量可分解成一个切向分量和一个法向分量，我们分别可分解成一个切向分量和一个法向分量，我们分别称之为称之为切向加速度切向加速度(tangential acceleration )和和法向法向加速度加速度(normal acceleration )。可记作可记作 2; tndvvaadt nddd 方方

41、向向：大大小小：切向加速度是由速度大小的变化引起切向加速度是由速度大小的变化引起讨论讨论法向加速度是由速度方向的变化引起法向加速度是由速度方向的变化引起当质点作直线运动时，当质点作直线运动时，an0当质点作圆周运动时，当质点作圆周运动时，为圆轨道的半径为圆轨道的半径这时若这时若 v 为常量，则为常量，则 at = 0 ， 合加速度指向圆心。合加速度指向圆心。 称为称为向心加速度向心加速度(centripetal acceleration )这时若这时若 v 不为常量，则不为常量，则 at 0 ，合加速度不指向圆心。合加速度不指向圆心。解：普通物理学教案例题4 ：一质点作圆周运动，其路程与时间的

42、关系为一质点作圆周运动，其路程与时间的关系为 v0和和 b 都是常量。求质都是常量。求质点在点在 t 时刻的速度时刻的速度; t 为何值时，质点的切向为何值时，质点的切向加速度和法向加速度的大小相等。加速度和法向加速度的大小相等。20/2 () SIsv tbtdsvdt0vbttdvadtb 2nvaR20()vbtR当当tnaa时时20()vbtRb0vRbtbavnata3.圆周运动圆周运动(circular motion )的角量描述的角量描述 从圆心引一条射线作为极轴，质点相对圆心的矢从圆心引一条射线作为极轴，质点相对圆心的矢径与极轴间的夹角就称为角坐标。径与极轴间的夹角就称为角坐标

43、。( ) t rv 时间内，质点在圆周上转时间内，质点在圆周上转过的角度过的角度 叫做叫做角位移角位移。 (angular displacement ) t 角位移虽有大小和方向（按角位移虽有大小和方向（按右手螺旋法则右手螺旋法则），但有限大角位），但有限大角位移的合成结果与转动的先后次序移的合成结果与转动的先后次序有关，这种操作不服从交换律，有关，这种操作不服从交换律，因此它一般不是矢量。因此它一般不是矢量。 先绕先绕 x 轴转轴转 / 2，再绕再绕 y 轴转轴转 / 2 ；例如对一本书的操作例如对一本书的操作最后的效果是不一样的。最后的效果是不一样的。先绕先绕 y 轴转轴转 / 2，再绕再

44、绕 x 轴转轴转 / 2；ddt 角速度角速度(angular velocity )线量与角量的标量关系线量与角量的标量关系 :vr r ddt 按右手螺旋法则按右手螺旋法则 vr tar 2nvar2r 22ddt 圆周运动中一般按标量处理圆周运动中一般按标量处理符合右手螺旋关系的为正，否则为负。符合右手螺旋关系的为正，否则为负。v角加速度角加速度(angular acceleration )质点沿半径质点沿半径R=0.1m的圆的圆作圆周运动，其角坐标与作圆周运动，其角坐标与时间的关系为时间的关系为 （SISI），当切向加速度的），当切向加速度的大小恰为总加速度的一半时，求大小恰为总加速度的

45、一半时，求t324 例题6 ：daRRdt ddt 212t 24tR 2naR 4144t R 424tan30144natat 33/6t 3.221 rad35324t 解：212vRRt a30a na三、两类运动学问题三、两类运动学问题 求速度、加速度。求速度、加速度。 现在，我们就能够处理运动学问题了。现在，我们就能够处理运动学问题了。这些问题大体上可分为两类：这些问题大体上可分为两类：第一类运动学问题：第一类运动学问题：已知运动方程，已知运动方程，第二类运动学问题：第二类运动学问题： 已知加速度函数已知加速度函数已知初始条件已知初始条件 ，00( ,)r v 求运动方程。求运动方

46、程。 （微分法）（微分法）（积分法）（积分法）这两类问题互逆，所以处理方法也互逆。这两类问题互逆，所以处理方法也互逆。解：普通物理学教案例题5 ：已知运动方程已知运动方程 为常量，求为常量，求xut2/2ygt , ug , tnaa这显然是平抛运动（依据迭加原理）这显然是平抛运动（依据迭加原理） 方程在直角坐标系中给出，在自然坐标系中求解方程在直角坐标系中给出，在自然坐标系中求解 xdxvdt22 2vug tgt ydyvdt utdvadt222 2g tug t22 2dug tdt由数学由数学 32221()xyxyxy 3222 21()ugug t 22 2nugaug t 其实

47、平抛运动是我们熟悉的，可以利用矢量图求解其实平抛运动是我们熟悉的，可以利用矢量图求解sincostnagag 22 222 2sincosgtug tuug t 222 2tg taug t22 2nguaug tnatagugtv又有又有可见矢量图解极其简捷，物理意义明确。可见矢量图解极其简捷，物理意义明确。第二类运动学问题第二类运动学问题 解决办法：解决办法：将加速度写成投影式将加速度写成投影式 ( )( )xxyyaataat已知加速度函数；已知加速度函数；已知初始条件已知初始条件 ，00( ,)r v 求运动方程。求运动方程。 ( )aa t( )aa x( )aa v( )aa 首先

48、选定坐标系（以二维运动为例）首先选定坐标系（以二维运动为例）问题类型问题类型( ) xxdva tdt由由 00( )xvtxxvdvat dt两边积分两边积分 00( )( )txxxvtvat dt ( )xxdvat dt分离变量分离变量xdxvdt( )xdxvt dt再由再由 积分得积分得同理同理 分离变量分离变量00( )( )txx txvt dt00( )( )tyyyvtvat dt00( )( )tyy tyvt dt特例：特例：00( )( )txxxvtvat dt00( )( )tyyyvtvat dt00( )( )txx txvt dt00( )( )tyy ty

49、vt dt一维运动中（一维运动中（x 方向），若加速方向），若加速度为一常量度为一常量a 00( )txxxvtva dt0( )xxxvtva t00txxvadt00( )( )txx txvt dt2001( )2xxx txv ta t000()txxxva t dt正是匀加速直线运动公式。正是匀加速直线运动公式。 它们不具有一般意义！它们不具有一般意义！千万不可随意套用！千万不可随意套用！今后面对的都是一般变量问题今后面对的都是一般变量问题对自然坐标系来说对自然坐标系来说 则则 dsvdttdvadt00ttvva dt00tssvdt 可见自然坐标系的妙处，求可见自然坐标系的妙处，

50、求 s 只用只用at 分量即可。分量即可。至于，至于，an 在动力学问题中用得较多。在动力学问题中用得较多。 人们注意到，在第二类运动学问题的求解人们注意到，在第二类运动学问题的求解过程中，若掌握了质点运动的加速度函数，及过程中，若掌握了质点运动的加速度函数，及其某时刻的运动状态，该质点运动的历史和将其某时刻的运动状态，该质点运动的历史和将来，就是完全确定的了。来，就是完全确定的了。 00( )tvva t dt00( )trrv t dt 这是历史与现状、现状与将来的一一对应。这是历史与现状、现状与将来的一一对应。哲学家们称此为机械决定论。哲学家们称此为机械决定论。第一推动？第一推动？ 力学

51、系统某时刻的状态，是前一时刻状态的力学系统某时刻的状态，是前一时刻状态的结果，又是它以后状态的原因。表现出一种严格结果，又是它以后状态的原因。表现出一种严格的因果关系。的因果关系。 解决办法：解决办法： ( )aa ( )dvadt dv dddt 恒等变换恒等变换( )addvvdvR分离变量分离变量圆周运动中圆周运动中 解决办法：解决办法： ( )aa v( )dva vdt( )dvdta v积分积分00( )vvRadvdv 积分积分00( )tvtvdvdta v 还可根据微分、积分的几何意义求解问题还可根据微分、积分的几何意义求解问题 第二类运动学问题求的是第二类运动学问题求的是

52、v-t 图、图、a-t 图上函数图上函数曲线与坐标轴围成的面积。曲线与坐标轴围成的面积。 第一类运动学问题求的是第一类运动学问题求的是 x-t 图、图、v-t 图上函数图上函数曲线的斜率。曲线的斜率。右图显示了两右图显示了两 小学生在小学生在百米体能测试的百米体能测试的 x-t 图图若有的话，哪位学生在测试中减速了若有的话，哪位学生在测试中减速了?解答：解答：A；A；B。在在 t = 5 秒时，哪位学生的速度大秒时，哪位学生的速度大 ?哪位学生的状态显得更好哪位学生的状态显得更好?解：普通物理学教案例题6 ：一质点沿一质点沿 x 方向运动，其加速度与时间的关方向运动，其加速度与时间的关系（系（

53、 ）如图所示，若）如图所示，若 ，再到什么，再到什么时刻质点的速度为零时刻质点的速度为零?xat- -00v xa 0 1 2 3 4 5 6 t (s)4st 电离层是包围着地球的一个呈中和电性的气电离层是包围着地球的一个呈中和电性的气体区域，它距离地面的高度约体区域，它距离地面的高度约 200 km，是，是由带正电的离子和带负电的电子组成，如果由带正电的离子和带负电的电子组成，如果无线电波通过电离层，它的电场就要加速带无线电波通过电离层，它的电场就要加速带电粒子，因为电场是振荡的，这会引起带电电粒子，因为电场是振荡的，这会引起带电粒子的前后摆动，对于一个电荷为粒子的前后摆动，对于一个电荷为

54、-e 、质量、质量为为m 原先静止的的电子，现在突然受到了电原先静止的的电子，现在突然受到了电场的作用，我们来求这个电子的运动。场的作用，我们来求这个电子的运动。解：普通物理学教案例题7 ：由库仑定律由库仑定律 FeE 再由牛顿定律再由牛顿定律 0( )sin ea tEtm 0sin at 000( )sin tv tvatdt 于是于是 00(cos1) avt 进而进而 已知已知 于是得知于是得知 0000( )(cos1) tax txvtdt 00002()sin aaxvtt 00 x 002sin aaxtt 00v 第二项是振荡项，相应于电子的摇摆运动，这第二项是振荡项，相应于

55、电子的摇摆运动，这是我们预计到的，但是第一项相应于匀速运动，因是我们预计到的，但是第一项相应于匀速运动，因此，电子除了作摇摆运动之外，还有定向的漂移运此，电子除了作摇摆运动之外，还有定向的漂移运动，能理解这是什么原因吗动，能理解这是什么原因吗?这个结果是有趣的。这个结果是有趣的。002sin aaxtt 我们曾指出，运动是一个相对概念。对运动的我们曾指出，运动是一个相对概念。对运动的描述具有相对性，即同一物体在不同参照系中运动描述具有相对性，即同一物体在不同参照系中运动状态的描述结论可能不一样，现在我们要问状态的描述结论可能不一样，现在我们要问 不同不同参照系上的观察者对运动状态描述结果之间的

56、关系参照系上的观察者对运动状态描述结果之间的关系如何如何 ? 由于不同观察者可以选取不同参照系，所以弄由于不同观察者可以选取不同参照系，所以弄清楚不同参照系上的观察者，对运动描述结果之间清楚不同参照系上的观察者，对运动描述结果之间的关系是很重要的。的关系是很重要的。 1.3 1.3 相对运动相对运动 （relative motion ) 可是，关于相对运动的问题却并不象看上去那可是，关于相对运动的问题却并不象看上去那么简单，它牵涉到物理学最基本的问题之一么简单，它牵涉到物理学最基本的问题之一时间时间和空间的基本属性。和空间的基本属性。 设两个惯性系设两个惯性系 S 和和 S，S相对于相对于 S

57、 以速度以速度 u 作匀速直线运动。当作匀速直线运动。当t = t = 0 时，原点重合时，原点重合rrut rrutrutr或或约定系统约定系统rutrxxutyyzzttxxutyyzztt rrut 或或关于时间的变换是另外加上去的。关于时间的变换是另外加上去的。经验告诉我们，经验告诉我们， 时间的度量与参照系的选择无关。时间的度量与参照系的选择无关。注意：注意：投影式：投影式：ss伽利略变换（伽利略变换（Galilean transformation ）伽利略变换是经典时空观的集中体现伽利略变换是经典时空观的集中体现伽利略变换的三个特点伽利略变换的三个特点时空的不对称性时空的不对称性时空的绝对性时空的绝对性时间在一切惯性系中是相同的时间在一切惯性系中是相同的tt 而空间坐标在不同惯性系中是不一样的而空间坐标在不同惯性系中是不一样的xxut 这就是时空的不平权或不对称这就是时空的不平权或不对称由于空间距离测量的同时性要求由于空间距离测量的同时性要求在在 S 系中测量系中测量21( )( )0 ()rr tr tt 21()()rutrut210 ()rrtrtt（