第6节 正弦定理和余弦定理及其应用

1、第第6 6节正弦定理和余弦定理及其应用节正弦定理和余弦定理及其应用 编写意图编写意图 正弦定理和余弦定理及其应用在高考中主要有正弦定理和余弦定理及其应用在高考中主要有: :一、利一、利用正、余弦定理解三角形用正、余弦定理解三角形, ,二、与三角形的面积与形状有关问题二、与三角形的面积与形状有关问题, ,三、三、实际应用问题实际应用问题. .据此本节设置了四个考点进行了细化和分解训练据此本节设置了四个考点进行了细化和分解训练, ,在在选题上本节主要选取了最新的高考题与模拟题选题上本节主要选取了最新的高考题与模拟题, ,形式新颖形式新颖, ,方法技巧方法技巧训练全面训练全面, ,在本节的学习中应注

2、重转化与化归思想的应用在本节的学习中应注重转化与化归思想的应用. .在思想方在思想方法专栏予以强化法专栏予以强化. . 考点突破考点突破思想方法思想方法夯基固本夯基固本夯基固本夯基固本 抓主干抓主干 固双基固双基1.1.正、余弦定理正、余弦定理知识梳理知识梳理见附表见附表质疑探究质疑探究1:1:在三角形在三角形ABCABC中中,“AB”,“AB”是是“sin Asin B”sin Asin B”的什么条的什么条件件?“AB”?“AB”是是“cos Acoscos AB”,“AB”是是“sin Asin B”sin Asin B”的充要条的充要条件件,“AB”,“AB”是是“cos Acosco

3、s Acos B” B”的充要条件的充要条件) )3.3.解三角形在测量中的常见题型解三角形在测量中的常见题型(1)(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有: :测量距离问题、测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等题等. .(2)(2)有关测量中的几个术语有关测量中的几个术语仰角和俯角仰角和俯角: :与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角线的夹角, ,目标视线在水平视线上方时叫目标视线在水平视

4、线上方时叫 , ,目标视线在水平目标视线在水平视线下方时叫视线下方时叫 .(.(如图如图(1)(1)所示所示) )方位角方位角: :一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角, ,如方位如方位角角4545, ,是指北偏东是指北偏东4545, ,即东北方向即东北方向. .坡角坡角: :坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角.(.(如图如图(2)(2)所示所示) )仰角仰角俯角俯角基础自测基础自测C CC CC C答案答案: : 2 2答案答案: :考点突破考点突破 剖典例剖典例 找规律找规律利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形考点一考点一 反思

5、归纳反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理论确定三角形及所需应用的定理, ,有时需结合图形分析求解有时需结合图形分析求解, ,有时需根有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数. .考点二考点二 与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题反思归纳反思归纳(2)(2)与面积有关的问题与面积有关的问题, ,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化. .得到两边乘积得到两边乘积, ,再整

6、体代入再整体代入. .利用正、余弦定理判定三角形形状利用正、余弦定理判定三角形形状考点三考点三 反思归纳反思归纳 判定三角形形状的两种途径判定三角形形状的两种途径(1)(1)化边化边: :通过因式分解、配方等得出边的相应关系通过因式分解、配方等得出边的相应关系, ,从而判断三角从而判断三角形的形状形的形状. .(2)(2)化角化角: :通过三角恒等变形通过三角恒等变形, ,得出内角的关系得出内角的关系, ,从而判断三角形的从而判断三角形的形状形状. .此时要注意应用此时要注意应用A+B+C=A+B+C=这个结论这个结论. .用正、余弦定理解决实际问题用正、余弦定理解决实际问题考点四考点四答案答

7、案: : (1)C (1)C(2)150(2)150反思归纳反思归纳 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)(1)分析分析理解题意理解题意, ,分清已知与未知分清已知与未知, ,画出示意图画出示意图; ;(2)(2)建模建模根据已知条件与求解目标根据已知条件与求解目标, ,把已知量与求解量尽量集把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中中在有关的三角形中, ,建立一个解斜三角形的数学模型建立一个解斜三角形的数学模型; ;(3)(3)求解求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形, ,求得数求得数学模型的解学模型的解

8、; ;(4)(4)检验检验检验上述所求的解是否符合实际意义检验上述所求的解是否符合实际意义, ,从而得出实际从而得出实际问题的解问题的解. .助学微博助学微博1.1.在解三角形的问题中在解三角形的问题中, ,注意三角形内角和的作用注意三角形内角和的作用, ,例例sin(A+Bsin(A+B)=)=sin C,cos(A+B)=-cossin C,cos(A+B)=-cos C. C.2.2.正、余弦定理在应用时正、余弦定理在应用时, ,注意边与角的正弦之间的转化注意边与角的正弦之间的转化. .3.3.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角的对角, ,有时可能出现一解、两解或无解有时可能出现一解、两解或无解, ,所以要进行分类讨论所以要进行分类讨论. .思想方法思想方法 融思想融思想 促迁移促迁移 转化与