第二章控制系统的数学模型

1、 第二章 控制系统的数学模型 2.1 2.1 傅里叶变换和拉普拉斯变换傅里叶变换和拉普拉斯变换( (自学自学) ) 2.2 2.2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 2.3 2.3 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 2.4 2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图 2.5 2.5 控制系统建模的控制系统建模的MATLABMATLAB方法方法 1.1.数学模型：数学模型： 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。系的数学表达式。2.建模方法：建模方法： 3.3.常用数学模型常用数学模型 微分方程（或差分方程）

2、微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图）传递函数（或结构图） 频率特性频率特性 状态空间表达式（或状态模型）状态空间表达式（或状态模型）（现代控制理论课程（现代控制理论课程 ） 解析法（理论推倒法）解析法（理论推倒法） 实验法（系统辨识）实验法（系统辨识） 例例列写列写R-L-C电路的微分方程。（电路的微分方程。（忽略输出端负载效应）忽略输出端负载效应）RLCi(t)ur(t)uc(t)dttduCtic)()( )()()()(tutRidttdiLtucr )()()(22tudttduRCdttudLCccc 解解:消去中间变量消去中间变量i(t)i(t)，系统的微分方程为，系统的微

3、分方程为)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc ，)()()()(22221tutudttduTdttudTTrccc线性定常二阶微分方程线性定常二阶微分方程RLT 1RCT 2令令，方程整理成标准形式，方程整理成标准形式例例弹簧弹簧质量质量阻尼器系统阻尼器系统，求质量求质量mm在外力在外力F F作用下位移作用下位移y(t)y(t)的运动方程。的运动方程。 y(t)Fk fmdtdy(t)f(t)Ff)()(tkytFk22)(dttydmFmFf为阻尼器的阻尼力为阻尼器的阻尼力, Fk为弹簧的弹性力，为弹簧的弹性力，Fm为为质量质量的的质量力，可表示为质量力

4、，可表示为)()()()(22tFtkydttdyfdttydm 代入式（代入式（2-1）整理得整理得线性定常二阶微分方程线性定常二阶微分方程解解: 输入量输入量 ，输出量为位移，输出量为位移 y(t) ，由牛顿定律得力平衡，由牛顿定律得力平衡方式方式)(tF)()()()(tFtFtFtFkfm（2-1） 1 1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量； 2 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程； 3 3）联立方程，消去中间变量，写出系统输入、）联立方程，消去

5、中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程；输出变量的微分方程； 4 4）将系统方程变换成标准形式。将与输入有）将系统方程变换成标准形式。将与输入有关的各项放在等号的右侧，与输出有关的各项关的各项放在等号的右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系数归放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系数归一化为具有一定物理意义的形式。一化为具有一定物理意义的形式。v微分方程的列写步骤：微分方程的列写步骤： 说明说明nm输出信号、输入信号的最高求导次数输出信号、输入信号的最高求导次数)()()()(01111tcadttdcadttcdadttcdannnnnn)()()()(01111trb

6、dttdrbdttrdbdttrdbmmmmmm线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式)(tr)(tc系统输入量系统输入量系统输出量系统输出量系统系统)(tc)(triajb若为常系数，上式描述的系统为定常系统若为常系数，上式描述的系统为定常系统若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统0abKmm011abKmm011abK000abK，0aaTnn011aaTnn011aaT ， ， 其中其中)()()()(01111tcadttdcadttcdadttcdannnnnn)()()()(01111trbdttdrbdttr

7、dbdttrdbmmmmmm0a除上式两边，得标准形式为除上式两边，得标准形式为 )()()()(1111tcdttdcTdttcdTdttcdTnnnnnn)()()()(01111trKdttdrKdttrdKdttrdKmmmmmmT1、T2、，Tn 为时间常数，反映惯性的大小为时间常数，反映惯性的大小K0 为传递系数（或静态放大系数）为传递系数（或静态放大系数）（1 )()()()(22tutudttduRCdttudLCioooRLCi(t)ui(t)uo(t)解：已求得网络微分方程为 )0(1 )(1dt)(d )0( 0tdt )(d)0()0()0()(Udt)(dL )0()

8、(Udt)(dL ),()(U)()(U0t0t222iiCtiCtuutuuususstuusstutuLstuLsoooooooooooooi时的值，即在是式中且，令 )30866. 0sin(2 . 0)120866. 0sin(1.151 12 . 01 . 0) 1(1)()( , )( (1),)( (2),1)(),( 1)(, (2) 12 . 01 . 01)()( , (1)5 . 05 . 02211o22tetessssssLsULtutusUssUttussssssUsUttOoOiiiO即微分方程的解得到式求拉氏反变换的中对故源的由于电路是突然接通电经整理后有入已知

9、数据中各项求拉氏变换并代对式由输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，称为零初始条件响应由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，称为零输入响应系统系统)(tc)(tr零初始条件零初始条件下，下，线性定常系统线性定常系统输出量的拉氏变换与输入输出量的拉氏变换与输入量的量的拉氏拉氏变换之比。变换之比。)()()()()(sRsCtrLtcLsG传递函数的标准形式传递函数的标准形式)(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn 微分方程一般形式微分方程一般形式： )(.)(.01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 拉氏变换拉氏

10、变换： niimjjpszsKsG11*)()()( 首首1 1标准型：标准型： 211212211221)12()1()12()1()(njjjniimkllmlksTsTsTssssKsGv 尾尾1 1标准型：标准型： 传递函数：传递函数：)(.)()(01110111sGasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm 定义：定义：11)()()(2221sTsTTsUsUsGrc传递函数：传递函数：)()()()(2221sUsUssUTsUsTTrccc解解:零初始条件下取拉氏变换零初始条件下取拉氏变换：RLs1/CsI(s)Ur(s)Uc(s)RLCi(t)ur(t)uc(t)

11、例例 试列写试列写RLC电路的传递函数电路的传递函数 Uc(s)/Ur(s).)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc 已知已知:)()()()(22221tutudttduTdttudTTrcccRLT 1RCT 2关于传递函数的说明关于传递函数的说明说明说明tesLsGLtg 11)()(113）拉氏反变换即拉氏反变换即阶跃响应阶跃响应tcetu1)(1111)()()(sRCssUsUsGrc) 1(11)()(ssssUsUrc解解: 1）rccuudtduRC)()()0()(sUsURCusRCsUrcccttceetu 1 . 01)(11 . 0)1(1

12、)( ssssUc)()(1 . 0)(sUsUssUrcc)()()(sUsUsRCsUrcc2）2) uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) ; 3)求脉冲响应求脉冲响应g(t)。例例 如图如图,求求1) R=1，C=1F， ur(t)=1(t) v,求求零状态下阶跃响应零状态下阶跃响应uc(t) ； R Ci (t)ur(t)uc(t)NoImageNoImage(1) (1) 输入输入 u u r r (t)(t)(2) (2) 初始条件初始条件(3) (3) 系统的结构参数系统的结构参数 一般规定一般规定 r(t) = 1(t)r(t) = 1(t) 规定规

13、定0 0 初始条件初始条件 自身特性决定系统性能自身特性决定系统性能影响系统响应的因素影响系统响应的因素说明说明说明说明 设输入信号是单位脉冲函数，即设输入信号是单位脉冲函数，即 的定义：的定义： )()(ttr)(t)(t0, 00,tt 1dtt 1)(tLsR输出量的拉氏变换等于系统的传递函数，即输出量的拉氏变换等于系统的传递函数，即 sGsRsGsC)()()(且且拉氏反变换拉氏反变换)()()()(11tgtCsGLsCL说明说明 njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()()()()()(0 j Sv零点用零点用“”表示，极点用表示，极点

14、用“”表表示。示。v分子多项式的根分子多项式的根zi为传递函数的零点；分母多项式的为传递函数的零点；分母多项式的根根pj为极点。为极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。称为传递系数或根轨迹增益。q传递函数的传递函数的首首1 1标准型标准型(零极点式) njjmiisTssKsG11)1()1()(q传递函数的传递函数的尾尾1 1标准型标准型( (时间常数式)系统增益系统增益NoImageNoImage （1 1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息 （2 2）适合于描述单输入）适合于描述单输入/ /单输出系统；单输出系统； （3 3）只能用于

15、表示线性定常系统。）只能用于表示线性定常系统。rrctactaccrrccccrrccc42)()(424424245213 线性线性/ /非线性，定常非线性，定常/ /时变系统的辨析时变系统的辨析传递函数的局限性传递函数的局限性4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数典型环节（元件）：典型环节（元件）： 任意一个系统是由许多元件、以不同结构任意一个系统是由许多元件、以不同结构和不同的运动原理构成的。研究各元件运动规和不同的运动原理构成的。研究各元件运动规律和数学模型，并将它们划分成几种典型的数律和数学模型，并将它们划分成几种典型的数学模型，这些典型的数学模型即典型环节。学模型，这些典型的数学

16、模型即典型环节。常见典型环节常见典型环节 比例环节、惯性环节、积分环节、比例环节、惯性环节、积分环节、 微分环节、振荡环节、滞后环节微分环节、振荡环节、滞后环节常见物理系统：常见物理系统：机械机械杠杆（无弹性形变的）杠杆（无弹性形变的）放大器（非线性和时间延迟可忽略）放大器（非线性和时间延迟可忽略）电路分压器、电位器、电路分压器、电位器、测速电机电压与测速电机电压与转速关系、传动链速度比等转速关系、传动链速度比等)()(tKrtc输出量等于输入量乘以比例系数输出量等于输入量乘以比例系数KsRsCsG)()()(传递函数传递函数11)()()(TssRsCsG传递函数：传递函数：)()()(tr

17、tcdttdcT2.惯性环节惯性环节特点：有储能元件，对突变的输入信号不能立即复现特点：有储能元件，对突变的输入信号不能立即复现微分方程：微分方程：输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换：)(11)(sRTssC常见物理系统：常见物理系统：单容液位系统如单容水槽单容液位系统如单容水槽电热炉温度随电压变化系统和单容充放气系统电热炉温度随电压变化系统和单容充放气系统直流电机的励磁回路直流电机的励磁回路T T为时间常数，为时间常数，特点：输入量输出量之间呈积分关系特点：输入量输出量之间呈积分关系tdttrTtc0)(1)(初始值为零，上式的解为初始值为零，上式的解为T为时间常数，传递函数：为时间常数，传

18、递函数：TssRsCsG1)()()()()(trdttdcT微分方程：微分方程：如图是运算放大器构成的积分环节。传递函数为如图是运算放大器构成的积分环节。传递函数为TsRCssUsUsGio11)()()(C)(tui)(tuoRTssRsCsG)()()(T为时间常数，传递函数：为时间常数，传递函数：dttdrTtc)()(微分方程：微分方程： 微分环节（超前环节）微分环节（超前环节）一阶微分、二阶微分环节的传递函数不满足一阶微分、二阶微分环节的传递函数不满足nm的条件，的条件，实际工程中不会单独存在。如下式实际工程中不会单独存在。如下式1)(TssG12)(22TssTsG存在，所以纯微

19、分环节不能单独存在存在，所以纯微分环节不能单独存在。单位阶跃输入信号单位阶跃输入信号 ，纯微分环节输出量的拉氏变换，纯微分环节输出量的拉氏变换 TsC，其拉氏反变换，其拉氏反变换 ， tTtc)(t在实际工程中不在实际工程中不 ssR1cR)(tui)(tuoiRtuiRidtCtuoi)(1)()()(1)(tudttuRCtuooi满足满足nm的基本条件，可以付诸实际使用。的基本条件，可以付诸实际使用。dttduRCtudttduRCooi)()()(RCsssG1)(如图示如图示)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT 振荡环节（二阶环节）振荡环节（二阶环节）微分方程微分

20、方程:222222121)()()(nnnssTssTsRsCsGT为时间常数为时间常数, 为阻尼比。为阻尼比。传递函数为传递函数为有两个贮能元件的系统有两个贮能元件的系统弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统,机械旋转系统机械旋转系统,RLC电路电路常见物理系统：常见物理系统：Tn1为无阻尼自然振荡角频率。为无阻尼自然振荡角频率。)()(trtcSesRsCsG)()()(为滞后时间，其传递函数为为滞后时间，其传递函数为常见物理系统：常见物理系统： 传输延迟、测量点与混合点之间信号延迟传输延迟、测量点与混合点之间信号延迟 轧钢板的厚度控制系统轧钢板的厚度控制系统 晶闸管整流装置晶闸管整流装置 流体管传输和

21、热交换系统等流体管传输和热交换系统等NoImageNoImageq传递函数的性质传递函数的性质q传递函数的定义传递函数的定义q传递函数的标准形式传递函数的标准形式q 传递函数的局限性传递函数的局限性 (1) (1) G(s) 是复函数；是复函数； (2) (2) G(s) 只与系统自身的结构参数有关；只与系统自身的结构参数有关； (3) (3) G(s) 与系统微分方程直接关联；与系统微分方程直接关联； (4) (4) G(s) = L g(t) ； (5) (5) G(s)与与s平面上的零极点图相对应。平面上的零极点图相对应。q控制系统模型控制系统模型微分方程（时域）微分方程（时域）传递函数

22、（复域）传递函数（复域） 结构图（方框图）是描述元部件或系统动态特性的结构图（方框图）是描述元部件或系统动态特性的图示模型。图示模型。1.信号线：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。直线旁标记信号的时间函数或象函数。1 动态结构图的概念动态结构图的概念 结构图包括：结构图包括：信号线、信号线、 分支点、相加点、方框分支点、相加点、方框2. 2. 分支点（引出点、测量点）分支点（引出点、测量点） 同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 注意量纲和符号注意量纲

23、和符号!求和点可以有多个输入，求和点可以有多个输入，但输出是唯一的但输出是唯一的!4 4相加点（比较点、求和点、综合点）相加点（比较点、求和点、综合点）。定义：定义：根据由微分方程组得到的拉氏变换方程根据由微分方程组得到的拉氏变换方程组，对每个方程组都用上述符号（信号线、分组，对每个方程组都用上述符号（信号线、分支点、相加点和方框）表示，并将各个图表正支点、相加点和方框）表示，并将各个图表正确地连接起来，即为确地连接起来，即为动态结构图动态结构图，简称结构图，简称结构图（方框图或方块图）（方框图或方块图）建立系统的结构图建立系统的结构图,其步骤有如下几点：其步骤有如下几点：建立控制系统各元部件

24、的微分方程。分清输建立控制系统各元部件的微分方程。分清输入量，输出量。入量，输出量。对各元件的微分方程进行拉氏变换对各元件的微分方程进行拉氏变换,并作出各并作出各元件的结构图。元件的结构图。1. 按照系统中各变量的传递顺序按照系统中各变量的传递顺序,依次将各元件依次将各元件的结构图连接起来的结构图连接起来,置系统的输入变量于左端置系统的输入变量于左端,输出变量输出变量(即被控量即被控量)于右端于右端,便得到系统的结便得到系统的结构图。构图。2 系统结构图的建立uiucuc1CCici1RRi211ciuRiuccuRiu21dtduciic121dtducic2解解: : 根据基尔霍夫定律得到

25、：根据基尔霍夫定律得到：)(1)()(11sIRsUsUci)(1)()(21sIRsUsUcc)(1)()(121sUcssIsIc对四式对四式拉氏变换拉氏变换，整理后得，整理后得 )(12sUcssIcUc1(s)I2(s) Uc(s)R1 (- -)I2(s)Uc(s)Cs1Ui(s)I1(s) Uc1(s) (- -)R1Uc1(s)I1(s)I2(s) (- -)Cs1各元件的方框图如图示各元件的方框图如图示按信号流向由左至右连接方框图，按信号流向由左至右连接方框图，得网络系统结构图。如图示得网络系统结构图。如图示Ui(s)Uc(s) I2(s) Uc1(s) I1(s) (- -)

26、 (- -) (- -)R1Cs1Cs1R1消去中间变量消去中间变量 ， ， ，得得系统传递函数系统传递函数为为)(1sI)(2sI)(1sUc 131222RCssCRsUsUsGic考虑负载效应的结果uiuouc1CCici1RRi2 11)(21RCssGsG一阶一阶RC网络的传递函数网络的传递函数uiuoCCRRK系统结构图如图示系统结构图如图示Ui(s)Uc(s) I2(s) Uc1(s) I1(s) (- -) (- -)R1Cs1Cs1R1 121)(22221RCssCRsGsGsG传递函数为传递函数为未考虑负载效应电子放大器（输入阻抗无穷大）说明说明1 1、串联方框的简化、串

27、联方框的简化2 2、并联方框的简化、并联方框的简化3 3、反馈连接方框的简化、反馈连接方框的简化5 5、分支点的移动、分支点的移动4 4、相加点的移动、相加点的移动)()()(12sCsGsC)()()(11sRsGsC) s (R) s (G) s (G) s (C12 C(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)变换前变换前C(s) G2(s)G1(s)R(s)变换后变换后1 1、串联方框的简化、串联方框的简化v多个方框串联时，总传递函数等于各方框多个方框串联时，总传递函数等于各方框传递函数之积。传递函数之积。)()()()()(123sRsGsGsGsCC(s) G1(s)G2(s)G

28、3(s)R(s)G3(s)C2(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)C(s) s (C) s (C) s (C) s (C321 ) s (R)s (G) s (G) s (G321 变换前变换前 R(s) C1(s)C3(s) C2(s) (- -) G1(s) G2(s) G3(s) C(s)2、并联方框的简化、并联方框的简化 G1(s)+G2(s)- -G3(s)变换后变换后 R(s) C(s)3、反馈连接方框的简化、反馈连接方框的简化 C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s) H(s) C(s) C(s)=G(s)R(s) H(s)C(s) = G(s) R(s) G(s)

29、 H(s)C(s)R(s)C(s)E(s)G(s)H(s) 是系统的闭环传递函数。是系统的闭环传递函数。)(s图中图中“+”+”表示反馈与输入量极性相同，正反馈连接；表示反馈与输入量极性相同，正反馈连接； “ “-”-”表示反馈与输入量极性相反，负反馈连接。表示反馈与输入量极性相反，负反馈连接。整理得整理得) s (R) s (H) s (G1) s (G) s (C ( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H sR(s)C(s)()(1)(sHsGsGn相加点前移相加点前移G(s)(- -)B(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s)移动前移动前C(

30、s)R(s)G(s)(- -)B(s)4 相加点的移动相加点的移动n相加点后移相加点后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)移动前移动前串接一个与所越过的串接一个与所越过的方框方框有相同传递函数的方框。有相同传递函数的方框。C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(- -)C(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)移动后移动后)()(1)()(sBsGsRsG )(1sGG(s)B(s)C(s)R(s)(- -)移动后移动后C(s)串接一个与所越过的方框的传递函数成倒数的方框。串接一个与所越过的方框的传递函数成倒数的方框。5、分支点移动：、分支点移动：G(s)R(s)C1(s)C2(s)

31、分支点前移：分支点前移：移动前移动前C1(s)=G(s)R(s) C2(s)=G(s)R(s)C1(s)=G(s)R(s）C2(s)=G(s)R(s)移动后移动后 G(s)R(s)C(s)R(s)分支点后移：分支点后移：移动前移动前C (s)=G(s)R(s) R(s)=R(s)移动前后输出是等效的移动前后输出是等效的C (s)=G(s)R(s）移动后移动后)()()(1)(sRsGsGsRG(s)G(s)C2(s)C1(s)R(s)在分出支路中串接有相同传递函数的方框。在分出支路中串接有相同传递函数的方框。)(1sG G(s)C(s)R(s)R(s)在分出支路中串接与越过方框的传递函数成倒数

32、的方框。在分出支路中串接与越过方框的传递函数成倒数的方框。R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(- -)V2(s)V1(s)(- -)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(- -)或或 交换或合并相加点交换或合并相加点C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s)4 结构图的基本形式结构图的基本形式串串 联联并并 联联反反 馈馈G1G2RCG2G1RCRCG1G1G21+RCG1G2RCG1G2RCG1G2G2G1G1G2结构图的基本形式结构图的基本形式G1G2+G2G1G21结构图等效变换方法结构图等效变

33、换方法1 三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式2 相邻相加点可互换位置、可合并相邻相加点可互换位置、可合并3 相邻分支点可互换位置、可合并相邻分支点可互换位置、可合并注意事项：注意事项：1 不是不是典型结构典型结构不可不可直接用公式直接用公式2 分支点相加点分支点相加点相邻相邻，不可，不可互换位置互换位置G1G2G3H1错！错！G1G2G3H1G2H1G1G3无用功无用功G1G2G3H1G2向向同类同类移动移动G1G2G3H1G1G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1请你写出结果请你写出结果, ,行吗？行吗？G41G1G4H3G2G3H1G1G4H3G2G3H

34、1H3H1作用分解作用分解例例 结构图化简。结构图化简。(1) (1) 结构图化简结构图化简( (例例)H1H2G1G2G3G4(- -)(- -)RY RH H2 2+ +G G3 3H H1 1G1G2G3H2G4(- -)Y(a)G4G3H2Y R13222211HGGHGGG(b)G4Y R221132223211HGGHGGHGGGG(c)(2) (2) 结构图化简例结构图化简例H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(- -)RY(a)H2/G3G4RY132223211HGGHGGGG(b)(3) (3) 结构图化简例结构图化简例G1G2G3H1/G1G4RY(- -)1(1132GGH(a)3231211GHGGHGHG4G1G2G3YR(- -)(b)q等效为单位反馈系统等效为单位反馈系统(4)(4)其它等价法则其它等价法则)()(1)()(1)()()(sRsHsHsGsHsGsC R(s) (- -)C(s)G(s