第八节定积分的几何应用ppt课件

1、回忆回忆 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(第八节第八节 定积分的几何应用定积分的几何应用曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy ab xyo)(xfy 提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法这个

2、方法通常叫做元素法xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.直角坐标系情形直角坐标系情形xxxx xx badxxfxfA)()(12一一般般例例 1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2

3、xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 法二法二dxxxxA 3223)6(dxxxx 32)2)(3(dxxxx 30)2)(3(dxxxx 02)2)(3(.12253

4、例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 y.18)24(422 dyyyAxy22 4 xyab例例4. 求椭圆求椭圆12222byax解解: 利用对称性利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyO如果曲边梯形的曲边为

5、参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.例例5. 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . aydxA 20解解:ttatad)cos1()cos1(20 ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 attad)cos1

6、(2022 设由曲线设由曲线)( 及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 2. 极坐标情形极坐标情形)( 对应 从 0 变例6. 计算阿基米德螺线解解:)0( aa d)(212a20A22a 331 022334a到 2 所围图形面积 . a2xO 解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d 022)cos1(212daA da2cos4042 2214382 audua 2042cos8

7、解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A双纽线的极坐标方程双纽线的极坐标方程 2cos22a 求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）积分运算）小结小结思考题思考题 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴

8、的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdttfS02)( xdttfxySxyS021)()( 2)(00 xxdttfxydttf,2)(30 xydttfx 两边同时对两边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yyx 2,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为

9、单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy xyy12 )(ln)ln2( xy0ln2 xy0)ln(ln2 xya1. 求双纽线提示提示: 利用对称性利用对称性 ,2cos22ar则所求面积为与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a44yxO思考与练习思考与练习2coscos21)2cos1 (21aa2xyO2. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1 (aar所求面积ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245a

10、a 2备用题解：解：1. 求曲线求曲线所围图形的面积.1lnlnyx显然1ln,1lnyxOyxe1e1e11eee,ee11yxxln,ln x,lnxe1 x1e1xyln,ln y,ln ye1 y1e1y1e1x1e1y,e1xy中曲线为面积为同理其他.e1yxxyeexy exyS1e1dx)e1(exx e1dx)ee(xx21e21e又故在区域分析曲线特点2. ) 1( xxyOyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与 x 轴所围面积1101d) 1(xxxA61,1时时 2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得.23 由图形的对称性

11、 ,2121 也合于所求. 为何值才能使) 1( xxy.) 1(轴围成的面积及与于xxxxy与 x 轴围成的面积等故21一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由

12、曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _ . .练练 习习 题题6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、xy1 与直线与直线xy 及及2 x；2 2、 y2x与直线与直线xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、 摆线、 摆线)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x轴；轴； 5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分的公共部分. . 三、三、 求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0( 和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积 . .四、四、 求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积 . .五、五、 求由抛物线求由抛物