高等数学2017年最新课件换元法

1、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 换元积分法换元积分法 第四章第四章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设, )()(ufuF)(xu可导可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元则有换元公式公式xxxfd)()(uufd)()

2、(xu)(d)(xxf(也称也称配元法配元法即即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 1. 求).1(d)(mxbxam解解: 令令,bxau则则,ddxau 故故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当当1m时时bxaxdCbxaaln1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22)(1d1axxa例例2. 2. 求.d22xax解解:22dxax,axu 令令则则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21du

3、uCu arctan)(ax机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 3. 求).0(d22axax21duu想到想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 类似类似Ca

4、xaxaln21例例5. 5. 求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式: : xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cos

5、 xfxcosd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(lnxfxlnd例例6. 6. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7. 7. 求.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxt

6、andxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9. 9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxsin11sin1121例例10.10. 求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1

7、ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxtansec解法解法 2 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同样可证同样可证xxdcscCxxcotcscln或或xxdcscCx2tanln(P196 例例16 )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 222d)(2123xax例例11.11. 求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(

8、aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )2cos2cos21 (241xx 例例12 .12 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例13.13.

9、求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例14.14. 求.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (

10、1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分析分析: 例例15.15. 求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()(xfxf小结小结常用简化技巧常用简化技巧:(1) 分项积分分项积分:(2) 降低

11、幂次降低幂次:(3) 统一函数统一函数: 利用三角公式利用三角公式 ; 配元方法配元方法(4) 巧妙换元或配元巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 利用积化和差利用积化和差; 分式分项分式分项;利用倍角公式利用倍角公式 , 如如思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxx

12、d4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxxd) 1(1102. 2. 求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作业作业 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、第二类换元法二、第二类换元法机动机动 目录目录 上

13、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分若所求积分xxxfd)()(易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法 .难求，难求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 2 . 设)(tx是单调可导函数是单调可导函数 , 且且,0)( t)()(ttf具有原函数具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令令 )()(1xxF则则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfx

14、xfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有换元公式则有换元公式例例16.16. 求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax则则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例17.17. 求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan2

15、2ttax则则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xa1C例例18.18. 求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令令, ),0(,sec2ttax则则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC机动机动 目录目录 上页

16、上页 下页下页 返回返回 结束结束 22ax axa,时当ax令令,ux,au 则于是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: :被积函数含有被积函数含有22ax 时时, 除采用除采用1shch22tt采用双曲代换采用双曲代换taxsh消去根式消去根式 , 所得结果一致所得结果一致 . ( 参考书上参考书上 P201-P202 )taxch或或22ax 或或机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

17、束结束 三角代换外三角代换外, 还可利用公式还可利用公式原式原式21) 1(22ta221a例例19.19. 求.d422xxxa解解: 令令,1tx 则则txtdd21原式原式ttd12tttad) 1(2122,0时当x42112tta Cata2223) 1(23当当 x 0 时时, 类似可得同样结果类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 小结小结: :1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令令ndxcbxa

18、t,d),()3(22xxaxf令令taxsin或或taxcos,d),()4(22xxaxf令令taxtan或或taxsh,d),()5(22xaxxf令令taxsec或或taxch机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四节讲第四节讲xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 常用基本积分公式的补充 (P203)(7) 分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时, 可试用可试用倒代换倒代换 ,

19、d)()6(xafx令令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P203 公式公式 (20) )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例20.20. 求例例21. 求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln21

20、2(P203 公式公式 (23) )例例22.22. 求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x(P203 公式公式 (22) )2521xCx512arcsin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例23. 求求.1d2xex解解: 原式原式xxee21dCexarcsin(P203 公式公式 (22) )例例24.24. 求.d222 axxx解解: 令令,1tx 得得原式原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ttttd)1(12132例

21、例25.25. 求.2) 1(d23xxxx解解: 原式原式1) 1() 1(d23xxx令令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112例例16tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22例例16 16 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令令21xt令令xet1令令xt1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 2. 已知,1d)(25Cxxxfx求求.d)(xxf解解: 两边求导两边求导, 得得)(5xfx,12xx则则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原变量代回原变量) 机动机动 目录目录 上页上