最新直线与圆的位置关系

1、20204.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？程分别是什么？ 下面我们以太阳的起下面我们以太阳的起落为例落为例.以蓝线为水平以蓝线为水平线线,圆圈为太阳圆圈为太阳!注意观察注意观察!1.1.理解直线与圆的位置的种类理解直线与圆的位置的种类. .（重点）（重点）2.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离到直线的距离. .（重点、难点）（重点、难点）3.3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系会用点到直线的距离来判

2、断直线与圆的位置关系. .（难点）（难点）1.1.直线直线4x+3y=404x+3y=40和圆和圆x x2 2+y+y2 2=100=100的位置关系是的位置关系是( () )A.A.相交相交B.B.相切相切C.C.相离相离D.D.无法确定无法确定【解析【解析】选选A.A.因为因为 所以直线与圆相交所以直线与圆相交. .22|4 03 040|d8 10r,43 一、预习检测2.2.若直线若直线x+y+m=0 x+y+m=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=m=m相切，则相切，则m m为为( () )A.0A.0或或2 2B.2B.2C. C. D.D.无解无解【解析】【解析】选选B.B.由

3、圆心到直线的距离为半径得由圆心到直线的距离为半径得 所以所以m=2m=2，故选，故选B.B.2mm2，一、预习检测3.3.已知已知P=(xP=(x，y)|x+y=2y)|x+y=2，Q=(xQ=(x，y)|xy)|x2 2+y+y2 2=2=2，那么那么PQPQ为为( () )A.A.B.(1B.(1，1)1)C.(1C.(1，1)1)D.(-1D.(-1，-1)-1)【解析】【解析】选选C.C.解方程组解方程组 22x1,xy2,y1.xy2,得一、预习检测4.4.直线直线x=1x=1与圆与圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1的位置关系是的位置关系是_._.【解析】【解析】因为

4、圆心因为圆心(-1(-1，0)0)到直线到直线x=1x=1的距离的距离d=21d=21，所，所以直线以直线x=1x=1与圆与圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1相离相离. .答案：答案：相离相离一、预习检测5.5.直线与圆相交，圆的半径为直线与圆相交，圆的半径为r r，且直线到圆心的距离，且直线到圆心的距离为为5 5，则，则r r与与5 5的大小关系为的大小关系为_._.【解析【解析】因为直线与圆相交，所以因为直线与圆相交，所以drdr，即，即5r.55r5一、预习检测1.1.直线和圆只有一个公共点直线和圆只有一个公共点, ,叫做叫做直线和圆相切直线和圆相切. .2.2.直线和圆

5、有两个公共点直线和圆有两个公共点, ,叫做叫做直线和圆相交直线和圆相交. .3.3.直线和圆没有公共点时直线和圆没有公共点时, ,叫做叫做直线和圆相离直线和圆相离. .1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系二、知识梳理o圆心圆心O O到直线到直线l的距离的距离d dl半径半径r r1.1.直线直线l和和O O相离相离, ,此时此时d d与与r r大小关系为大小关系为_drdr提示：提示：lo圆心圆心O O到直线到直线l的距离的距离d d半径半径r r2.2.直线直线l和和O O相切相切, ,此时此时d d与与r r大小关系为大小关系为_ld=rd=ro圆心圆心O O到直线到直线l的距离的距

6、离d d半径半径r r3.3.直线直线l和和O O相交相交, ,此时此时d d与与r r大小关系为大小关系为_ldrd rd = rd 0)(r0)二、知识梳理2.2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：2220()()设设方方程程组组消消元元所所得得一一元元二二次次方方程程的的解解的的个个数数为为AxByCxaybrn 直线与圆相离直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相交直线与圆相交n=0n=1n=20二、知识梳理直线直线l:x=0:x=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1的位置关系是的位置关系是( () )A.A.相切相切 B.B.相交不

7、过圆心相交不过圆心C.C.相交且过圆心相交且过圆心 D.D.相离相离【即时训练即时训练】C C类型一：直线与圆位置关系的判断类型一：直线与圆位置关系的判断【典例【典例1 1】求实数求实数k k的取值范围，使直线的取值范围，使直线l：y=kx+2y=kx+2与圆与圆M M：x x2 2+y+y2 2=1.=1.(1)(1)相离；相离； (2) (2)相切；相切； (3) (3)相交相交. .三、例题讲解类型一：直线与圆位置关系的判断类型一：直线与圆位置关系的判断【典例【典例1 1】求实数求实数k k的取值范围，使直线的取值范围，使直线l：y=kx+2y=kx+2与圆与圆M M：x x2 2+y+

8、y2 2=1.=1.(1)(1)相离；相离；(2)(2)相切；相切； (3) (3)相交相交. .三、例题讲解【解析】【解析】方法一方法一( (代数法代数法) )：将将y=kx+2y=kx+2代入代入x x2 2+y+y2 2=1=1，得，得(k(k2 2+1)x+1)x2 2+4kx+3=0+4kx+3=0，=(4k)=(4k)2 2-4(k-4(k2 2+1)+1)3=4(k3=4(k2 2-3).-3).(1)(1)当当l与圆与圆M M相离时，相离时，00，即，即k k2 2-30.-300，即，即k k2 2-30.-30.即即 3.k3k3. 或方法二方法二( (几何法几何法) )：

9、圆心圆心M(0M(0，0)0)到直线到直线y-kx-2=0y-kx-2=0的距离的距离d= d= 当当d1d1时，即时，即 1 k 或或k- k1d1时，即时，即 11- k - krdr时，直线与圆相离；当时，直线与圆相离；当d=rd=r时，直线与圆时，直线与圆相切；当相切；当drdr时，直线与圆相交时，直线与圆相交. .(2)(2)代数法代数法：把直线方程与圆的方程联立成把直线方程与圆的方程联立成方程组方程组；利用消元法，得到一元二次方程；利用消元法，得到一元二次方程；求出其求出其的值，比较的值，比较与与0 0的大小，得出结论的大小，得出结论. .类型二：圆的切线问题类型二：圆的切线问题【

10、典例【典例2 2】求与直线求与直线y=x+2y=x+2平行且与圆平行且与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切相切的直线的方程的直线的方程. .三、例题讲解【解析】【解析】设直线的方程为设直线的方程为y=x+my=x+m，即，即x-y+m=0.x-y+m=0.(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8的圆心坐标为的圆心坐标为(2(2，3)3)，半径为，半径为 由由 得得m=5m=5或或m=-3m=-3，所以直线的方程为所以直线的方程为y=x+5y=x+5或或y=x-3.y=x-3.23m2 2,2 2 2.【延伸探究】【延伸探究】1.(1.

11、(变换条件变换条件) )若将本例中条件若将本例中条件“与直线与直线y=x+2y=x+2平行平行”换为换为“与直线与直线y=x+2y=x+2垂垂直直”且且与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切的直线的相切的直线的方程方程【解析【解析】设所设所v v为为y=-x+my=-x+m，即，即x+y-m=0 x+y-m=0，由由 得得m=1m=1或或m=9m=9，故切线方程为故切线方程为y=-x+1y=-x+1或或y=-x+9.y=-x+9.23m2 2,2 2.(2.(变换条件变换条件) )若将本例中条件若将本例中条件“与直线与直线y=x+2y=x+2平行平行”换换

12、为为“求过点求过点P(5P(5，1)”1)”且且与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切的直线相切的直线的方程的方程？【解析【解析】设所求切线方程为设所求切线方程为y-1=k(x-5)y-1=k(x-5)即即kx-y-5k+1=0.kx-y-5k+1=0.由由 得得k=-6k=-62 .2 .故所求切线方程为故所求切线方程为(-6+2 )x-y+31-10 =0(-6+2 )x-y+31-10 =0或或(-6-2 )x-y+31+10 =0.(-6-2 )x-y+31+10 =0.22k35k12 2.k1 1010101010【变式练习变式练习】D D【规

13、律总结】【规律总结】圆的切线方程的两种求解方法圆的切线方程的两种求解方法(1)(1)几何法几何法：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量的值于半径，求出未知量的值, ,此种方法需要注意此种方法需要注意斜率不存在斜率不存在的情况的情况，要单独验证，若符合题意则直接写出切线方程，要单独验证，若符合题意则直接写出切线方程. .(2)(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用利用=0=0求未知量的值求未知量的值. .若消元后的方程是一元一次方若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切

14、线中有一条直线的斜率不存程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程在，可直接写出切线的方程. .(2)(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用利用=0=0求未知量的值求未知量的值. .若消元后的方程是一元一次方若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程在，可直接写出切线的方程. .例例3 3 已知过点已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直线l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-2

15、1=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l的方程的方程. .解：解：将圆的方程写成标准形式，得将圆的方程写成标准形式，得x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=25,=25,所以，圆心的坐标是（所以，圆心的坐标是（0 0，-2-2）, ,半径长半径长r=5.r=5. 如图，因为直线如图，因为直线l被圆所截得被圆所截得的弦长是的弦长是 ，所以弦心距为，所以弦心距为即圆心到所求直线即圆心到所求直线l的距离为的距离为 . .三、例题讲解 因为直线因为直线l过点过点M M（-3-3，-3-3），所以可设所求直），所以可设所求直线线l的方程为的方程为y+3=k(x+3),y+3=k(x+

16、3),即即kx-y+3k-3=0.kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离的距离 因此，因此，即即 两边平方，并整理得到两边平方，并整理得到 2k2k2 2-3k-2=0,-3k-2=0,解得解得k= k= ，或，或k=2.k=2. 所以，所求直线所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为有两条，它们的方程分别为y+3= (x+3),y+3= (x+3),或或 y+3=2(x+3).y+3=2(x+3).即即x+2y+9=0,x+2y+9=0,或或 2x-y+3=0.2x-y+3=0.小结：小结：位置位置关系关系几何特征几何特

17、征方程特征方程特征几何法几何法代数法代数法相交相交有两个公共点有两个公共点方程组有两个不同实根方程组有两个不同实根drd00相切相切有且只有一公共点有且只有一公共点方程组有且只有一实根方程组有且只有一实根d=rd=r=0=0相离相离没有公共点没有公共点方程组无实根方程组无实根drdr001.2.3.直线与圆相交，求弦长问题时，我们经常抓住直线与圆相交，求弦长问题时，我们经常抓住半径半径、半弦半弦、弦心距弦心距构成的构成的直角三角形直角三角形求解求解. 注意数形结合思想、方程思想、运动变化观点的注意数形结合思想、方程思想、运动变化观点的综合运用。综合运用。 直线直线Ax+By+C=0(A,BAx

18、+By+C=0(A,B不同时为零不同时为零) )和圆和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,则圆心则圆心(a,b)(a,b)到此直线的距离为到此直线的距离为22|AaBbCdABdrdrdrd d与与r r2 2个个1 1个个0 0个个交点个数交点个数图形图形相交相交相切相切相离相离位置位置rdrdrd则有以下关系：则有以下关系：求圆心坐标及半径求圆心坐标及半径r r（配方法）（配方法） 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d （点到直线距离公式）（点到直线距离公式） 消去消去y y判断直线和圆的位置关系判断直线和圆的位置关系几何方法几何方法代数方法代数

19、方法拓展类型：与弦长有关的最值问题拓展类型：与弦长有关的最值问题【典例】【典例】(1)(1)已知圆已知圆C C：(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=25=25，直线，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).证明不论证明不论m m取什么实数，直线取什么实数，直线l与圆恒交于两点与圆恒交于两点. .求直线被圆求直线被圆C C截得的弦长最短时截得的弦长最短时l的方程的方程. .(2)(2)已知直线已知直线l：kx-y-3k=0kx-y-3k=0；圆；圆M M：x x2 2+y+y2 2-8x-2y+9=0.

20、-8x-2y+9=0.求证：直线求证：直线l与圆与圆M M必相交；必相交；当圆当圆M M截截l所得弦最长时，求所得弦最长时，求k k的值的值. .当圆当圆M M截截l所得弦最短时，求所得弦最短时，求k k的值的值. .1.1.若直线若直线x-y+a=0 x-y+a=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=a=a相切相切, ,则则a a等于等于( () )A.2A.2或或0 0B.B.C.2C.2D.4D.42C C2.(20152.(2015武威高一检测武威高一检测) )直线直线y=x+1y=x+1与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1的的位置关系是位置关系是( () )A.A.相切相切 B.B.相交但直线不过圆心相交但直线不过圆心C.C.直线过圆心直线过圆心 D.D.相离相离B BD DC C5.5.已知圆的方程为已知圆的方程为x x2 2+y+y2 2=4,=4,则经过点则经过点(2,0)(2,0)的圆的切线的圆的切线方程是方程是 . .【解析解析】显然点显然点(2,0)(2,0)在圆上在圆上, ,可求得过此点的圆的切可求得过此点的圆的切线方程为线方程为x=2