物理光学第一章节PPT

1、第一篇第一篇 物理光学（波动光学）物理光学（波动光学）主要内容主要内容 第第1章章 光波的基本性质光波的基本性质第第2章章 光的干涉光的干涉第第3章章 光的衍射光的衍射第第4章章 晶体光学基础晶体光学基础第第5章章 光的吸收、色散和散射光的吸收、色散和散射第第1章章 光波的基本性质光波的基本性质 光波是电磁波。因此要了解光波的基本性质，首先光波是电磁波。因此要了解光波的基本性质，首先要知道电磁波的基本性质。要知道电磁波的基本性质。1.1 电磁场基本方程电磁场基本方程 一、麦克斯韦方程组一、麦克斯韦方程组 相互作用和交变的电场和磁场的总和，称为电相互作用和交变的电场和磁场的总和，称为电磁场。交变

2、的电磁场按照电磁定律的传播就形成了磁场。交变的电磁场按照电磁定律的传播就形成了电磁波。电磁波用电场强度电磁波。电磁波用电场强度E和磁感应强度和磁感应强度B、电、电位移矢量位移矢量D和磁场强度和磁场强度H来描述，描述这四个量之来描述，描述这四个量之间相互关系的就是麦克斯韦方程组。间相互关系的就是麦克斯韦方程组。CSBE dldSt rrrrVSD dSdVrr0SB dSrrACDHdlJdStrrrrr麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式 利用斯托克斯公式和高斯公式可以把麦克斯韦方利用斯托克斯公式和高斯公式可以把麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。（见郭硕鸿电动力学）程组的积分形

3、式化为微分形式。（见郭硕鸿电动力学）麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式 0BEtDBDHJt rrrrrrr 这这4个方程并不是相互独立的，由个方程并不是相互独立的，由1和和4式可推得式可推得2, 3式，反之亦然。因此式，反之亦然。因此, 由它们不能直接求出方程由它们不能直接求出方程组中的组中的4个物理量，需补充以下物质方程。个物理量，需补充以下物质方程。SVA dSAdV ()lSA dlAdS高斯公式高斯公式 斯托克斯公式斯托克斯公式 光波在各种介质中的传播过程实际上就是光与介光波在各种介质中的传播过程实际上就是光与介质相互作用的过程。质相互作用的过程。 描述介质特性对电磁场

4、量影响的描述介质特性对电磁场量影响的方程，方程， 即是物质方程：即是物质方程： 式中，式中，0是真空的电容率，是真空的电容率，r是相对是相对电容率电容率；0是真是真空中磁导率，空中磁导率，r是相对磁导率；是相对磁导率；为电导率。为电导率。 二、二、 物质方程（本构方程、本构关系）物质方程（本构方程、本构关系） 0rDE 0rBH JErrD, B最普遍的形式最普遍的形式0DEP00BHMP是电极化强度矢量，是电极化强度矢量，M是磁（极）化强度矢量。是磁（极）化强度矢量。 若电极化在各个方向是相同的，介质就是各向同若电极化在各个方向是相同的，介质就是各向同性介质。性介质。 对于晶体等有些介质来说

5、，电极化在各个方向对于晶体等有些介质来说，电极化在各个方向是不相同的，这就是所谓的电各向异性介质。在那是不相同的，这就是所谓的电各向异性介质。在那种情况下，种情况下，就是一个二介电张量。对磁各向异性介就是一个二介电张量。对磁各向异性介质有类似情况。第质有类似情况。第4章详述。章详述。电荷守恒定律（又称电流连续性原理）电荷守恒定律（又称电流连续性原理） 电流密度矢量电流密度矢量J 和电荷密度和电荷密度 之间满足电荷守恒定律之间满足电荷守恒定律Jt 0Jt三、三、 能量定律，坡印廷矢量能量定律，坡印廷矢量 对于光学问题，对于光学问题， E 、D 、B 、H四个基本量都是无四个基本量都是无法直接测量

6、的量，能够测量且又必须知道的一个量是法直接测量的量，能够测量且又必须知道的一个量是光强度。为此，有必要再从麦克斯韦方程组中推导出光强度。为此，有必要再从麦克斯韦方程组中推导出场的能量定律。场的能量定律。 能量密度能量密度 w 单位体积内电磁场的能量单位体积内电磁场的能量能流密度能流密度 S单位时间内垂直通过单位面积的电磁能单位时间内垂直通过单位面积的电磁能 dWdPSdtddcosdPSdSdS d传输功率传输功率()Fq EuB()dFfEuBdVS d单位时间内从封闭曲面向外流出的电磁能量单位时间内从封闭曲面向外流出的电磁能量Vf udV电磁场与带电系统相互作用在单位时间内电磁场与带电系统

7、相互作用在单位时间内消耗的电磁能量消耗的电磁能量VVdS df udVwdVdt 电磁场的能量定律电磁场的能量定律 ()()dFdq EuBdV EuB()()()Df uuEuBE JEHtDEHEt SVA dSAdV 利用高斯公式利用高斯公式 wSf ut 能量定律的微分形式能量定律的微分形式 再考虑再考虑 ()BHEHt ()()()BDEHHEEHHEf utt ()()DBEHEHf utt wSf ut 比比 较较SEH S 对某一观察时间内求平均，就是常说的光对某一观察时间内求平均，就是常说的光的强度，亦称为波的强度。（对时间平均的坡印的强度，亦称为波的强度。（对时间平均的坡印

8、廷矢量）廷矢量） 坡印廷矢量坡印廷矢量 11()()22emwddE DH Bwwtdtdt为我们熟知的形式。为我们熟知的形式。 四、波动方程四、波动方程 wDBEHttt对于各向同性介质对于各向同性介质0rDE 0rBH 当电磁波（也就是光波）在当电磁波（也就是光波）在透明各向同性介质透明各向同性介质中中的传播时的传播时00J 0E于是于是 22200222()()rrEnEEBttct 2()()EEE 222210EEvt同理同理 222210HHvt 这就是著名的波动方程。它告诉人们，电磁场这就是著名的波动方程。它告诉人们，电磁场是以波的形式在空间传播的。是以波的形式在空间传播的。 0

9、01;rrrnc 自从自从19世纪人们证实了光是一种电磁波后，又世纪人们证实了光是一种电磁波后，又经过大量的实验，进一步证实了经过大量的实验，进一步证实了X射线、射线、射线也都射线也都是电磁波。它们的电磁特性相同，只是频率是电磁波。它们的电磁特性相同，只是频率(或波长或波长)不同而已。如果按其频率不同而已。如果按其频率(或波长或波长)的次序排列成谱，的次序排列成谱，称为电磁波谱。通常所说的称为电磁波谱。通常所说的光学区域光学区域(或光学频谱或光学频谱)包包括红外线、可见光和紫外线括红外线、可见光和紫外线。由于光的频率极高。由于光的频率极高(10121016Hz)，数值很大，使用起来很不方便，数

10、值很大，使用起来很不方便， 所以所以采用波长表征，光谱区域的波长范围约从采用波长表征，光谱区域的波长范围约从1mm到到10 nm。 人们习惯上将红外线、可见光和紫外线又细分人们习惯上将红外线、可见光和紫外线又细分为：为： 1.2 光波与电磁波光波与电磁波 从波动光学的观点，光是极高频的电磁波。从波动光学的观点，光是极高频的电磁波。 电磁波谱电磁波谱电磁波谱电磁波谱11163 (1010 )Hz称为称为光频光频波段波段 光振动在空间的分布按波面形状可分为平面光振动在空间的分布按波面形状可分为平面波、球面波、柱面波等。光振动按频率则可分为波、球面波、柱面波等。光振动按频率则可分为单色光、准单色光和

11、复色光。若无特别说明我们单色光、准单色光和复色光。若无特别说明我们讨论的对象都是讨论的对象都是单色光单色光。 光波是横波，因此，要完全描述光波还必须光波是横波，因此，要完全描述光波还必须指明光场中任一点、任一时刻指明光场中任一点、任一时刻光矢量光矢量的方向。光的方向。光的偏振现象就是光的矢量性质的表现。但研究表的偏振现象就是光的矢量性质的表现。但研究表明，在光的干涉、衍射等许多现象中，特别是当明，在光的干涉、衍射等许多现象中，特别是当光波为非偏振光（或称自然光，这时光矢量迅速光波为非偏振光（或称自然光，这时光矢量迅速地且地且随机地不断改变方向随机地不断改变方向）时，在理论分析中不）时，在理论分

12、析中不计光矢量的方向性而用一个标量表示光振动，或计光矢量的方向性而用一个标量表示光振动，或者说只考虑光矢量的任一个直角坐标分量，所得者说只考虑光矢量的任一个直角坐标分量，所得结果相当精确地与实际情况相符（参见第结果相当精确地与实际情况相符（参见第2章光章光的干涉，第的干涉，第3 章光的衍射）。章光的衍射）。因此，在这些现象中，可以把光波近似地当作因此，在这些现象中，可以把光波近似地当作标量波标量波处理。理论分析表明：场矢量的每个直角分量都应满处理。理论分析表明：场矢量的每个直角分量都应满足齐次波动方程足齐次波动方程 。一、一、 平面波、球面波、谐波、柱面波、高斯光束平面波、球面波、谐波、柱面波

13、、高斯光束 平面波是指波面（任一时刻振动状态相同的各平面波是指波面（任一时刻振动状态相同的各点所组成的面，即点所组成的面，即等相面等相面）为一平面的波，如图）为一平面的波，如图1-2-1(a)所示。若所示。若P为为t 时刻的波面，则时刻的波面，则P上任一点上任一点A 的振的振动状态与动状态与B 的振动状态相同。图中的振动状态相同。图中OB 与平面与平面P垂直，垂直，是波面是波面P的法线方向（的法线方向（S为为波法线波法线）。）。A, B有相同的有相同的波函数（坐标和时间的函数）。波函数（坐标和时间的函数）。B点的波函数为点的波函数为(, )ff OB t1. 平面波平面波 对于任意点对于任意点

14、AOBr s(, )ff r s t满足此式就代表满足此式就代表一个平面波一个平面波对于沿对于沿z轴传播的平面波轴传播的平面波r sr zz( , )ff z t代入波动方程代入波动方程2222210ffzvt11()()0fzv tzv t;pzvt qzvt引入中间变量引入中间变量则则fpqzt1111();()22pzv tqzv t2()0ffp qpq 于是于是( )fF qq再积分一次再积分一次112( )( )( )( )fF q dqfpfpfq;vvzpqtpq 12()()ff zvtfzvt是波动方程的一般解。此解的物理意义如下：先讨论是波动方程的一般解。此解的物理意义如

15、下：先讨论f1(z-vt)。显见，在每一个。显见，在每一个z等于常数的平面内，场都等于常数的平面内，场都在随时间变化；而在某一时刻在随时间变化；而在某一时刻t ，场则因，场则因z值而异。对值而异。对于满足于满足z-vt为常数的为常数的z和和t值，场都有相同的值。例如，值，场都有相同的值。例如，经过任意时间间隔经过任意时间间隔t 以后，以后，(z, t)变成（变成（z+v t , t+t ) ，这时，这时(z-vt)保持不变。同理，在沿波面法线保持不变。同理，在沿波面法线方向经过任意空间间隔方向经过任意空间间隔z 后，后，(z,t)变成（变成（z+z , t +z / v ) ，这时，这时(z-

16、vt)）仍保持不变。所以）仍保持不变。所以f (z-vt )确确实代表了一列沿实代表了一列沿z轴正方向传播的平面波。而轴正方向传播的平面波。而OB （即（即s）就是波的传播方向。同样容易判断，）就是波的传播方向。同样容易判断，f2(z+vt)是沿反方向，即沿是沿反方向，即沿z轴的负方向前进的平面波。所以轴的负方向前进的平面波。所以上式就是平面波情况下波方程的一般解。上式就是平面波情况下波方程的一般解。 2. 球面波球面波 现再给出波动方程的另一个简单解：球面波的现再给出波动方程的另一个简单解：球面波的解。球面波是指波面为一球面的波。一般从点光源解。球面波是指波面为一球面的波。一般从点光源发出的

17、光波就是球面波。（当发出的光波就是球面波。（当观察点观察点到光源的距离到光源的距离比光源线度大十倍以上时，这光源就可看作点光比光源线度大十倍以上时，这光源就可看作点光源。）由于球面波的波面是球面，同一个球面上的源。）由于球面波的波面是球面，同一个球面上的点有相同的振动状态。因此点有相同的振动状态。因此222210ffvt在球面坐标系下在球面坐标系下 2221()frfrr（考虑等相面的球（考虑等相面的球对称性）对称性） (, ),ff r s tsr波方程解的形式则为波方程解的形式则为f = f ( r , t ) ， r=r (x ,y ,z ) 222221()()0rfrfrvt12()

18、()f rvtfrvtfrr 这个结果说明球面波振幅随这个结果说明球面波振幅随r成反比变化。已经成反比变化。已经知道：平面波的振幅是一常数，不随距离知道：平面波的振幅是一常数，不随距离r变化。与变化。与平面波情况相似，平面波情况相似，f1 代表从原点（一般原点即为波代表从原点（一般原点即为波源）向外发散的球面波，即沿源）向外发散的球面波，即沿r正方向传播的波；而正方向传播的波；而f2则代表向原点传播的会聚的球面波，即沿则代表向原点传播的会聚的球面波，即沿r负方向负方向传播的波。一个点光源发出的球面波，当离开光源传播的波。一个点光源发出的球面波，当离开光源一定距离后，波面为一定大小的球面波就可看

19、成平一定距离后，波面为一定大小的球面波就可看成平面波。面波。2222210ffzvt比较比较 3. 时谐波时谐波 所谓时谐波是指空间每点的振动是所谓时谐波是指空间每点的振动是时间变量时间变量的的谐函数的波。其数学表达式为谐函数的波。其数学表达式为( , , ; )( , , )cos( , , )f x y z ta x y ztx y z这是单色波。这是单色波。这里这里a为实数。为实数。 在光场中的不同点，在光场中的不同点，a 和和 一般有不同的值，一般有不同的值，所以所以a 和和 应表示为光场中任一点的坐标（应表示为光场中任一点的坐标（x , y , z ) 的函数。因为在光场中任一点，振

20、幅的函数。因为在光场中任一点，振幅a ( x , y , z ）可代表光振动的强弱。可代表光振动的强弱。 则说明任一光振则说明任一光振动状态发生的先后，所以动状态发生的先后，所以a ( x , y , z ）和）和 就表达了光振动在光场中的分布。就表达了光振动在光场中的分布。( , , )x y z( , , )x y z对于时谐平面波，由上式得对于时谐平面波，由上式得0( , , ; )cos ()r sf x y z tAtv22;T引入波矢引入波矢22kskkvvT平面波方程变为平面波方程变为0( , , ; )cos()f x y z tAtk r对于球面波方程变为对于球面波方程变为0

21、( , )cos()Af r ttkrr4. 单色光波的复数表示法单色光波的复数表示法 复振幅复振幅 ()( , , ; )( , , )cos( , , )Re ( , , )Re ( , , )Re ( , , )itii ti tf x y z ta x y ztx y za x y z ea x y z eeu x y z e记住这种约定，波方程进一步简写为记住这种约定，波方程进一步简写为( , , ; )( , , )i tf x y z tu x y z e对于单色波只讨论复振幅，最后结果乘以时谐量即可。对于单色波只讨论复振幅，最后结果乘以时谐量即可。5. 柱面波柱面波 柱面波是由

22、线光源产生的，其波面为一柱面。柱面波是由线光源产生的，其波面为一柱面。实际上平面波通过长狭缝就可形成柱面波。如图实际上平面波通过长狭缝就可形成柱面波。如图1-2-3 所示，线光源和所示，线光源和y轴重合，它发出的柱面波波面沿轴重合，它发出的柱面波波面沿z 轴轴传播，传播， 为过观测点为过观测点P的一圆柱面波前。的一圆柱面波前。r 为此柱面为此柱面的半径，柱面波场的振幅随的半径，柱面波场的振幅随 衰减。所以其振幅的衰减。所以其振幅的表达式为表达式为r0ikraaera0是离光源单位是离光源单位距离处波场的复距离处波场的复振幅。振幅。 2200112222ArlAr lArAr1/Ar柱面波示意图

23、在柱面波示意图在xz 平面内，柱面波的复振幅为平面内，柱面波的复振幅为 22221/rxzzxz22 1/ 2(1/)022 1/2( , )(1/)ikzxzaa x zezxz在在yz 平面内，简化为平面内，简化为0(0, )ikzaa xzez即沿即沿z轴传播轴传播6. 高斯光束高斯光束 可以证明，在可以证明，在凹面镜构成凹面镜构成的谐振腔中产生的激的谐振腔中产生的激光束既不是均匀平面光波，也不是均匀球面波，而光束既不是均匀平面光波，也不是均匀球面波，而是一种结构比较特殊的高斯光束。下面只讨论基模是一种结构比较特殊的高斯光束。下面只讨论基模情况。沿某一方向（情况。沿某一方向（设为设为z方

24、向方向）传播的高斯光束的）传播的高斯光束的电矢量表达式是电矢量表达式是222202( , , )expexp ()( )( )( )2 ( )AxyxyE x y zikzizw zwzR zJohann Carl Friedrich Gauss (17771855) 1/22022220( )1( )1( )tanRRRRzw zwzzR zzzzzarczwzz 处光束半径，处光束半径， 束腰半径束腰半径0wz 处波阵面的曲率半径处波阵面的曲率半径瑞利长度瑞利长度220200expAxyEww高斯光束基本特性高斯光束基本特性 （1）z=0处说明，在说明，在z=0处，高斯光束的等相面是处，高

25、斯光束的等相面是z=0平面。它和平面。它和平面波的波阵面一样；光斑中心最亮，随平面波的波阵面一样；光斑中心最亮，随 的的增加，光强逐渐减小。且当增加，光强逐渐减小。且当 时，光强降为时，光强降为中心点的中心点的1/e。所以定义光振幅下降到中心值。所以定义光振幅下降到中心值1/e处的光处的光斑半径为束腰。在斑半径为束腰。在z=0处高斯光束的等相面虽是平面，处高斯光束的等相面虽是平面，但其振幅分布却与平面波不同，因此不属于平面波。但其振幅分布却与平面波不同，因此不属于平面波。高斯光束在高斯光束在z 0和和z0 处，其等相面均不再是平面。处，其等相面均不再是平面。 22xy2220 xyw221(

26、, , )tan2 ( )Rxyzx y zk zR zz(2) 等相位面特性等相位面特性 从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为移为22()12RRRRRRzR zzzzzz这说明波阵面的曲率中心不在原点（这说明波阵面的曲率中心不在原点（z=0）上，而且）上，而且R 随随z 不断变化，如图不断变化，如图1-2-4 所示所示 22( )1RzR zzz0z ( )R z 等相面是平面等相面是平面z ( )R zz 等相面也是平面等相面也是平面Rzz ( )2RR zz等相面半径最小等相面半径最小(3) 瑞利长度瑞利长度 当光束从束腰传播

27、到当光束从束腰传播到 处时，光束半处时，光束半径径 ，即光斑面积增大为束腰面积的两倍，即光斑面积增大为束腰面积的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的为高斯光束的瑞利长度瑞利长度，通常记作，通常记作zR。在实际应。在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直准直距离距离。从瑞利长度表达式。从瑞利长度表达式 可以得可以得出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长

28、，准直性越好。越长，准直性越好。Rzz 0( )2w zw20/Rzw 2Rbz共轭焦距共轭焦距远场发散角远场发散角 从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义远场发散角（半角）：发散，定义远场发散角（半角）：包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功率的率的86.5% 高斯光束在轴线附近可以看成一种高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球非均匀高斯球面波面波，在传播过程中，在传播过程中曲率中心不断改变曲率中心不

29、断改变，其振幅在横，其振幅在横截面内为一截面内为一高斯分布高斯分布，强度集中在轴线及其附近，且，强度集中在轴线及其附近，且等相面保持等相面保持球面球面。0( )tanlimzRw zzwz1/2202( )1Rzw zwz二、二、 光场中任光场中任一平面上一平面上的复振幅分布的复振幅分布 很多情况下只需研究光场中一个平面上的光波的很多情况下只需研究光场中一个平面上的光波的复振幅分布，例如，光学系统中物平面和像平面上的复振幅分布，例如，光学系统中物平面和像平面上的场分布，干涉和衍射问题中观察屏上的场分布等。从场分布，干涉和衍射问题中观察屏上的场分布等。从数学讲，就是把光波的复振幅表示为所考虑平面

30、上坐数学讲，就是把光波的复振幅表示为所考虑平面上坐标的函数。一般均取直角坐标系的标的函数。一般均取直角坐标系的z轴为光波传播的轴为光波传播的平均方向平均方向，或光学系统的，或光学系统的光轴光轴。( , , )( , , )( , , )ix y zu x y za x y z e考虑考虑垂直于垂直于z 轴轴的任一平面上的复振幅，如图的任一平面上的复振幅，如图1-2-1(b)上的上的P(xl, y1)平面上的复振幅为平面上的复振幅为 111(,)111111( ,)( ,)ix y zu x y za x y z e因为因为z1为常数，为常数，x1,y1是平面上的变量，于是是平面上的变量，于是

31、11(,)1111( ,)( ,)ix yu x ya x y e表示表示P(xl, y1)平面上的复振幅。平面上的复振幅。 下面给出平面波与球面波在任一平面上的复振幅表下面给出平面波与球面波在任一平面上的复振幅表达式达式 111( ,)ik ru x y zAekkkcoscoscoskxyz1. 平面波情况平面波情况 111rx xy yz z111111(coscoscos )111cos(coscos)( ,)ik xyzikzik xyu x y zAeAee11(coscos)11( ,)ik xyu x yA e显然，相位是显然，相位是 11(coscos)k xy在在z=z1平

32、面上随平面上随x1,y1变化变化 等相点的轨迹满足等相点的轨迹满足 11coscos.xyconst11cos.cosyxconst 为一条直线为一条直线 因此，因此，(x1,y1)面上的复振幅分布就表现在等相位面上的复振幅分布就表现在等相位线为平行斜线的相位分布上，相位值沿图中箭头线为平行斜线的相位分布上，相位值沿图中箭头A 的的方向增加。实际上是一种以方向增加。实际上是一种以相位值相位值为为2周期的分布。周期的分布。即线间距为即线间距为2。2. 球面波情况球面波情况 光源在原点的球面光波光源在原点的球面光波 222111221112111122211112211121( ,)1ikxyzx

33、yikzzAu x y zexyzAexyzz等相点的轨迹满足等相点的轨迹满足 222111.xyzconst2211.xyconst因此，等相位线是一些同心圆因此，等相位线是一些同心圆 对于靠近对于靠近z 轴的球面波（轴的球面波（傍轴光线傍轴光线） 222111xyz22111212211111111221112121( ,)1()xyikzzxyikikzzAu x y zexyzzAeez 所以，当任一个平面上的复振幅表达式中含有这所以，当任一个平面上的复振幅表达式中含有这种相位因子时，就可近似地看做有一个从距离该平面种相位因子时，就可近似地看做有一个从距离该平面z1处的点光源发出的球面

34、波经过该平面。当处的点光源发出的球面波经过该平面。当z1为负值为负值时，则可看做有过该平面向距离时，则可看做有过该平面向距离z1 处会聚的球面波，处会聚的球面波，光的传播方向一般地约定为自左向右。光的传播方向一般地约定为自左向右。三、三、 空间频率与空间频率谱空间频率与空间频率谱 上述单色光波的数学表达方法是把光波用复振幅的上述单色光波的数学表达方法是把光波用复振幅的空间分布空间分布u(x, y, z) 作为空间坐标的函数表示的。在讨论作为空间坐标的函数表示的。在讨论光波的传播、衍射、叠加、成像等现象时，就是研究光波的传播、衍射、叠加、成像等现象时，就是研究在产生这些现象的物理条件下，光场中各

35、处的复振幅在产生这些现象的物理条件下，光场中各处的复振幅或光强是空间坐标的何种函数。这种表达与分析的方或光强是空间坐标的何种函数。这种表达与分析的方法称为在法称为在空间域中空间域中的分析，它是讨论光波时的一种常的分析，它是讨论光波时的一种常用方法。用方法。1. 空间频率空间频率 在光通信理论中，对光波场还有另一种分析方法。在光通信理论中，对光波场还有另一种分析方法。这就是把数学中的傅里叶分析应用于研究光波的空间这就是把数学中的傅里叶分析应用于研究光波的空间分布上，讨论光波场中的空间频率与空间频率谱。这分布上，讨论光波场中的空间频率与空间频率谱。这种方法被称为在空间频率域中的分析，分析如下：种方

36、法被称为在空间频率域中的分析，分析如下： 各种单色光波的特征在于光场中复振幅在空间的各种单色光波的特征在于光场中复振幅在空间的分布各不相同。对于分布各不相同。对于平面波平面波的空间的分布：在任意一的空间的分布：在任意一个个xy 平面上，复振幅表现为空间的复数函数周期分布。平面上，复振幅表现为空间的复数函数周期分布。这种周期分布由相位因子这种周期分布由相位因子 表达，而要讨表达，而要讨论的论的空间频率空间频率就是就是用来表征这种空间周期分布的参量用来表征这种空间周期分布的参量。现讨论现讨论xy平面内，传播方向平行平面内，传播方向平行xz平面，即方向余弦平面，即方向余弦为为 的平面波。它在任意一个

37、的平面波。它在任意一个xy 平平面上的复振幅为面上的复振幅为:( coscos)ik xyecos ,cos0此时cos0( , )ikxu x yu e等相线方程等相线方程 cos.kxconst.cosconstxk任意相邻的两等相位线沿任意相邻的两等相位线沿x 方向的距离方向的距离cos2k x2coscosxk 即沿即沿x 方向的空间周期方向的空间周期dxcosxdx xzykx 空间周期的倒数表示在空间周期的倒数表示在x方向上单位长度的变化方向上单位长度的变化周期数周期数1cosxxfd20(,0)xif xxu fu e称为复振幅在称为复振幅在x方向上按复数函数变化的空间频率。在方

38、向上按复数函数变化的空间频率。在y方向上，由于等相位线是平行于方向上，由于等相位线是平行于y轴的，复振幅沿轴的，复振幅沿y 方向不变，即方向不变，即 ，或，或 。因此，传播方。因此，传播方向余弦为向余弦为(cos,0)的平面波在任一的平面波在任一xy 平面上复振幅的空平面上复振幅的空间周期变化可用一组空间频率间周期变化可用一组空间频率(fx=cos/, fy=0)表示。表示。相应地有相应地有:yd 1/0yyfdcos0( , )ikxu x yu e 这就是直接用空间频率表示的这就是直接用空间频率表示的xy平面上的复振幅平面上的复振幅分布。它代表一个方向余弦为分布。它代表一个方向余弦为cos

39、=fx, cos=0的平面的平面波。波。 在传播方向余弦为在传播方向余弦为(cos, cos)的一般情形下，的一般情形下，xy 平面上的复振幅为平面上的复振幅为( coscos)0( , )ik xyu x yu e等相线方程等相线方程 ( coscos).k xyconst图图1-2-9中画出几条相位值依次相差中画出几条相位值依次相差2的等相位线。这的等相位线。这时在时在xy平面上，沿平面上，沿x方向与沿方向与沿y 方向复振幅都是周期变方向复振幅都是周期变化的。其空间周期为化的。其空间周期为dx=/cos， dy=/cos。相应的两。相应的两方向的空间频率方向的空间频率fx=cos/ , f

40、y=cos/ 。2 ()0 xyif xf yuu e复振幅为复振幅为它代表一个它代表一个传播方向传播方向为为cos=fx, cos= fy 的平面波。的平面波。由由此可见，空间频率是个特征参量，它描述光场中垂直于此可见，空间频率是个特征参量，它描述光场中垂直于z z 轴平面上复振幅相位的空间周期分布。这周期分布表轴平面上复振幅相位的空间周期分布。这周期分布表示为示为: :每组每组(fx, fy)值对应于一个空间频率成分，也对应于一值对应于一个空间频率成分，也对应于一个沿一定方向传播的平面波。个沿一定方向传播的平面波。2 ()xyif xf ye 若一个平面上的复振幅可分解为许多种这样的若一个

41、平面上的复振幅可分解为许多种这样的基本周期分布，各由一组空间频率值表征，则说明基本周期分布，各由一组空间频率值表征，则说明这平面上的复振幅含有许多种空间频率成分，表示这平面上的复振幅含有许多种空间频率成分，表示有许多个不同方向传播的平面波通过这个平面。有许多个不同方向传播的平面波通过这个平面。 空间频率的概念还可推广到其它物理量的周期空间频率的概念还可推广到其它物理量的周期分布。例如，在考虑非相干光成像问题时，要研究分布。例如，在考虑非相干光成像问题时，要研究光强光强I(x, y)的空间分布问题；按照傅里叶分析方法，的空间分布问题；按照傅里叶分析方法，一个平面上的光强也可以分解为许多用二维函数

42、表一个平面上的光强也可以分解为许多用二维函数表示的光强周期分布。这时示的光强周期分布。这时fx, fy代表不同的光强分布代表不同的光强分布的空间频率，而并不代表向某个方向传播的单色平的空间频率，而并不代表向某个方向传播的单色平面波面波 。2. 单色光波复振幅的分解单色光波复振幅的分解空间频谱空间频谱 利用傅里叶分析方法，可把一个空间坐标函数展利用傅里叶分析方法，可把一个空间坐标函数展开为无数复数函数的叠加。空间坐标函数开为无数复数函数的叠加。空间坐标函数f(x, y)若满若满足一定条件，则可利用傅里叶积分写成足一定条件，则可利用傅里叶积分写成2 ()( , )(,)xyixfyfxyxyf x

43、 yF ffedf df 2 ()(,)( , )xyixfyfxyF fff x y edxdy 式中式中 频率域变频率域变换到空间换到空间域域 空间域变空间域变换到频率换到频率域域傅氏变换傅氏变换 F(fx, fy) 一般为复函数，称为一般为复函数，称为f( x , y) 的傅氏变换；的傅氏变换；而而f(x, y)则称为则称为F(fx, fy)的逆傅氏变换。即的逆傅氏变换。即 ( , )(,)xyF f x yF ff1 (,)( , )xyFF fff x y 傅氏变换说明，函数傅氏变换说明，函数f( x , y)由无数个形式为由无数个形式为expi2(xfx+yfy)的基元函数叠加起来

44、得到，即把的基元函数叠加起来得到，即把f( x , y)分解成许多（一般为无限多）的空间频率成分；而函分解成许多（一般为无限多）的空间频率成分；而函数数F(fx, fy)则代表空间频率为则代表空间频率为(fx, fy)的成分所占的比例的成分所占的比例（权重）。因此，傅氏变换（权重）。因此，傅氏变换F(fx, fy) 也称为也称为f( x , y) 的空的空间频率谱，简称间频率谱，简称空间频谱空间频谱。 把这种分解方法用于单色光波场中任一个把这种分解方法用于单色光波场中任一个xy平面平面上的复振幅上的复振幅u(x, y)，则可求出其空间频谱，则可求出其空间频谱2 ()(,)( , )xyixfy

45、fxyu ffu x y edxdy 而复振幅而复振幅u(x, y)2 ()( , )(,)xyixfyfxyxyu x yu ffedf df 这结果说明：通过平面这结果说明：通过平面xy的任一光波均可分解成许多向的任一光波均可分解成许多向空间各方向传播的平面波，每个平面波成分与一组空间空间各方向传播的平面波，每个平面波成分与一组空间频率值频率值(fx, fy) 对应：传播方向为对应：传播方向为cos=fx, cos= fy 、振振幅为幅为u(fx, fy) 。即无数平面波即无数平面波u(fx, fy) expi2(xfx+yfy) 的叠加。的叠加。例：求傍轴近似球面波的空间频谱。例：求傍轴

46、近似球面波的空间频谱。 任一任一xy 平面上的平面上的傍轴近似傍轴近似球面波复振幅为球面波复振幅为 222( , )()xyikikzzAu x yeez傅氏变换傅氏变换222 ()2 ()2(,)( , )xyxyixfyfxyxyikzikixfyfzu ffu x y edxdyAeeedxdyz 2k22()ixyiedxdy 利用利用22()(,)xyiz ffikzxyu ffi Ae e这结果给出了这结果给出了u(x, y)所包含的各种空间频率成分的组所包含的各种空间频率成分的组成比例（权重）。这说明，在傍轴近似下，传播到任成比例（权重）。这说明，在傍轴近似下，传播到任一平面上的

47、球面波，可以看成向空间辐射方向传播的一平面上的球面波，可以看成向空间辐射方向传播的无数等振幅无数等振幅(振幅为振幅为A)的平面波组成，这些平面波随的平面波组成，这些平面波随传播方向和距离不同有不同的常量相位传播方向和距离不同有不同的常量相位22/2()xykzz ff2iie四、四、 相速度和群速度相速度和群速度 平面波、球面波的表达式中都引用了速度平面波、球面波的表达式中都引用了速度v这个物这个物理量，现讨论理量，现讨论v代表波的什么速度。一般情况下代表波的什么速度。一般情况下余弦余弦波波的表示式可写成的表示式可写成( , , )cos( , , )fA x y ztx y z这里这里(x,

48、y,z)是随位置变化的相位项，而是随位置变化的相位项，而t-(x,y,z)=常常数的面叫等相面。和以前的情况不同，这是一个形式数的面叫等相面。和以前的情况不同，这是一个形式更复杂的时间谐波，其中更复杂的时间谐波，其中A和和都是位置的都是位置的实标量实标量函函数。而且一般情况下其等幅面和等相面并不重合，这数。而且一般情况下其等幅面和等相面并不重合，这样的波称为样的波称为非均匀波非均匀波。与平面谐波不同，上式表示的。与平面谐波不同，上式表示的波在空间上不是周期的。然而由波在空间上不是周期的。然而由12()()ff zvtfzvt12()()f rvtfrvtfrr( , , ).tx y zcon

49、st两边对变量微分两边对变量微分 ( , , )0dtdx y z( , , )dx y zdxdydzxyz( , , )x y zxyzxyzdrdxxdyydzz( , , ) ()dtx y zdr 所以所以 对于任意时刻对于任意时刻t， (x,y,z)=常数常数的曲面就是该时刻的曲面就是该时刻的等相面的等相面 ( , , ) ()( , , )dtx y zdrx y z n dr ( , , )pdSvdtx y z( , , )dtx y z dS 就是等相面沿其法线向前推进的速度就是等相面沿其法线向前推进的速度相速度相速度 0( , , ; )cos()f x y z tAtk

50、 r平面波平面波 k r()k rk pvvk所以平面波速度中的所以平面波速度中的v 就是相速度就是相速度 对于平面波，当对于平面波，当n1时，相速时，相速v大于真空中的光速。大于真空中的光速。例如在色散介质的所谓反常色散区（参看例如在色散介质的所谓反常色散区（参看5.3.3 节），节），就有就有vc的情况。按相对论，光信号的传播速度绝不的情况。按相对论，光信号的传播速度绝不能大于能大于c。这就说明相速并不是光信号（即光能量）传。这就说明相速并不是光信号（即光能量）传播的速度。由于相速不能从实验上测定，因为要测量播的速度。由于相速不能从实验上测定，因为要测量它，就需要在这无限延伸、光滑的波上做

51、一记号，去它，就需要在这无限延伸、光滑的波上做一记号，去测量这个记号的速度。然而，这样做记号的结果，就测量这个记号的速度。然而，这样做记号的结果，就把无限的谐波波列换成了另一个空间和时间的函数了，把无限的谐波波列换成了另一个空间和时间的函数了，测出的是另一波的速度。测出的是另一波的速度。cvkn 为简单起见，假设实际波列是由振幅相同频率接为简单起见，假设实际波列是由振幅相同频率接近的两列平面波余弦波叠加而成。这种简化对结果的近的两列平面波余弦波叠加而成。这种简化对结果的普遍性没有影响。普遍性没有影响。111cos()fAtk z222cos()fAtk z121kkk2kkkkk1212121

52、21211112 cos ()() cos ()() 22222 cos()cos()fffAtkkztkkzAtz ktkz2Acos(t-zk)随时间和空间变化缓慢，因此此波群可随时间和空间变化缓慢，因此此波群可以近似看成振幅随时间和空间缓慢变化的余弦波。振以近似看成振幅随时间和空间缓慢变化的余弦波。振幅大小为幅大小为2Acos(t-zk)，在在0和和2A间变化。振幅变化间变化。振幅变化的时间周期的时间周期2()tz fixed 振幅变化的空间周期振幅变化的空间周期 2()zt fixedk 相位函数变化的时间周期相位函数变化的时间周期 2()ptz fixed相位函数变化的空间周期相位函

53、数变化的空间周期 2()pzt fixedkkk所以，振幅变化比相位函数变化要缓慢。这时若在波所以，振幅变化比相位函数变化要缓慢。这时若在波群上任取一点，例如振幅为最大值的点，再求出这点群上任取一点，例如振幅为最大值的点，再求出这点的位移速度，就是的位移速度，就是等幅平面的传播速度等幅平面的传播速度，这个速度，这个速度称称为群速为群速。群速的求法与相速相同，即对等幅面方程。群速的求法与相速相同，即对等幅面方程.tz kconst两边微分，得两边微分，得0dtdz kgdzvdtk()22()ppgpppppv kvvvkkkkvvvv 上述关系式对于频率连续分布的波群仍然成立，上述关系式对于频

54、率连续分布的波群仍然成立，只要其频率范围很窄。显见，若介质的色散不大，则只要其频率范围很窄。显见，若介质的色散不大，则波列的形变进行缓慢，这时就可把其振幅最大处的传波列的形变进行缓慢，这时就可把其振幅最大处的传播速度作为实际波列的传播速度。不过，这个传播速播速度作为实际波列的传播速度。不过，这个传播速度和组成波列的任何一个单色波的相速度都不相同，度和组成波列的任何一个单色波的相速度都不相同，而要用上式进行计算。而要用上式进行计算。如 果如 果 vp/ 0 （ 正 常 色 散 ） ， 则（ 正 常 色 散 ） ， 则 vgvp 。 除了真空中，任何介质都或多或少存在色散。除了真空中，任何介质都或

55、多或少存在色散。对于一般透明介质，在一定波段范围内，对于精度对于一般透明介质，在一定波段范围内，对于精度要求不高的场合，可以忽略色散。要求不高的场合，可以忽略色散。 如果介质没有强烈的色散，一个波群将能传播相如果介质没有强烈的色散，一个波群将能传播相当长一段距离而不发生显著的当长一段距离而不发生显著的“扩散扩散”。在这种情。在这种情况下，也只有在这种情况下，才可以认为群速是波况下，也只有在这种情况下，才可以认为群速是波群作为一个整体传播的速度，它也将代表波能量传群作为一个整体传播的速度，它也将代表波能量传播的速度。但一般情况下，不是这样，播的速度。但一般情况下，不是这样，特别是在反特别是在反常

56、色散区，群速可能超过光速或变成负的，此时，常色散区，群速可能超过光速或变成负的，此时，群速就不再有任何明显的物理意义了。群速就不再有任何明显的物理意义了。五、光的横波性五、光的横波性偏振态及其表示偏振态及其表示 1. 光的横波性描述（略）光的横波性描述（略） 各向同性均匀透明介质各向同性均匀透明介质 平面电磁波是横波：场矢量平面电磁波是横波：场矢量E和和H彼此正交，且彼此正交，且均与波前进方向垂直，两者振幅大小成正比，相位相均与波前进方向垂直，两者振幅大小成正比，相位相同；波所携带的能流密度与其振幅平方成正比，沿波同；波所携带的能流密度与其振幅平方成正比，沿波传播方向前进等。由于有这些特性，因

57、此在光学中一传播方向前进等。由于有这些特性，因此在光学中一般只讨论一个场矢量般只讨论一个场矢量电矢量电矢量E在介质中传播的情在介质中传播的情况，而不必同时讨论况，而不必同时讨论E和和H两个矢量。同时由两个矢量。同时由E2之值之值即可求出能流密度的相对值。即可求出能流密度的相对值。2. 光波的偏振态光波的偏振态 假设假设z 轴为平面波的传播方向，故有轴为平面波的传播方向，故有 (1) 椭圆偏振光椭圆偏振光 0000cos()cos()EEtkzE0cos()xxxEE电场的三个分量电场的三个分量 0cos()yyyEE0zE 合矢量的端点轨迹通过消去参数合矢量的端点轨迹通过消去参数 得到，即得到

58、，即 2220000()()2cossinyyxxxyxyEEEEEEEE是一椭圆方程。这结果说明：矢量是一椭圆方程。这结果说明：矢量E的端点所描绘的的端点所描绘的轨迹是一个椭圆。即在任一时刻，沿波传播方向上，轨迹是一个椭圆。即在任一时刻，沿波传播方向上，空间各点空间各点E矢量末端在矢量末端在xy平面上的投影是一椭圆；或平面上的投影是一椭圆；或在空间任一点，在空间任一点，E的端点在相继各时刻的轨迹是一椭的端点在相继各时刻的轨迹是一椭圆圆 。这种电磁波在光学上称之为这种电磁波在光学上称之为椭圆偏振光椭圆偏振光。 yx(2) 线偏振光和圆偏振光线偏振光和圆偏振光 若若 ,(0, 1, 2,.)yx

59、mm 00( 1)ymyxxEEEE 方程简化为方程简化为 椭圆退化成一条直线。这时电矢量椭圆退化成一条直线。这时电矢量E就称为线偏振就称为线偏振（亦称为平面偏振）。（亦称为平面偏振）。若若 000;(21),(0, 1, 2,.)2xyyxEEEmm 椭圆退化成圆。这时电矢量椭圆退化成圆。这时电矢量E就称为圆偏振。此时若就称为圆偏振。此时若2220 xyEEE方程简化为方程简化为 sin0要求要求 2,(0, 1, 2, 3.)2yxmm 它说明它说明Ey比比Ex 的相位超前的相位超前/2，因此其合矢量，因此其合矢量E 的端点描绘出一个顺时针方向旋转的圆。这相当于一的端点描绘出一个顺时针方向

60、旋转的圆。这相当于一束平面光波迎面向观察者射来时，电矢量束平面光波迎面向观察者射来时，电矢量E是顺时针是顺时针方向旋转，这种偏振光称为右旋圆偏振光。反之，若方向旋转，这种偏振光称为右旋圆偏振光。反之，若sin 0 ，称为左旋圆偏振光。称为左旋圆偏振光。 除上述情况外，除上述情况外，为其它值时，则为椭圆偏振光，为其它值时，则为椭圆偏振光，如图如图1-2-13 所示。这时，虽然偏振椭圆随所示。这时，虽然偏振椭圆随的不同而的不同而变化，但所有椭圆都内接于同一大小的长方形，这长变化，但所有椭圆都内接于同一大小的长方形，这长方形的边分别平行于方形的边分别平行于x, y 方向，边长分别为方向，边长分别为2