大学高数第二章 第5节 函数的微分

1、1第二章导数与微分第二章导数与微分第一节导数概念第一节导数概念第二节函数的求导法则第二节函数的求导法则第三节第三节 高阶导数高阶导数第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率第五节函数的微分第五节函数的微分2函数的微分函数的微分第五节第五节一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分的求法五、微分的求法六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性的应用的应用七、微分在近似计算中七、微分在近似计算中八、小结及作业八、小结及作业3一、问题的提出一、问题的

2、提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 04再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很

3、很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?5二、微分的定义二、微分的定义定义定义:)x(f)xx(fy,xxx,)x(fy0000 如果函数增量如果函数增量在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设设可表示为可表示为)x(oxAy 则称则称),x(dfdy 或或记作记作xAdy 即即)x(fy 在点在点0 x可微。可微。称称xA

4、为为)x(fy 在点在点0 x相应于相应于x增量增量x 的微分，的微分，6点点在在如如xxy122 )12(1)(222 xxxy2)(24xxx 处可微，处可微，在点在点称称xxy12 ,4xxdy 01. 0, 1 xx如果取如果取04. 001. 014 dy问题：问题：?A7定理定理: :函数函数证证: : “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,0 x则则)()(00 xfxxfy )(limlim00 xxoAxyxx A 故故Axf )(0)( xoxA )(xfy 在点在点 的可导的可导, ,0 x且且)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0

5、 x)(xfy 在点在点 处可导处可导, ,0 x且且, )(0 xfA 即即xxfy )(d0三、可微的条件三、可微的条件8定理定理: :函数函数)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导, ,0 x且且, )(0 xfA 即即xxfy )(d0“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx )(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy )(0故故)()(0 xoxxf 线性主部线性主部 即即xxfy )(d0在点在点 的可导的可导, ,0 x则则9例例1 1解解.x,xxy时的微分时的微分当当求函数求函数02023 x)x

6、(dy 3.xx 2302. 02202. 023 xxxxxxdy.240 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.dx)x(fdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫,eyx2 如如dxxedyx22 10四、微分的几何意义四、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附

7、近在点在点很小时很小时当当 11五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 12dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(l

8、nln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc13例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 14六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性;)(,)1(dx

9、xfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 15例例5 5解解例例4 4解解.dy),xsin(y求求设设12 uducosdy )x(d)xcos(1212 dx)xcos(212 .dx)xcos(122 .dy,eyxarctan求求21

10、 )x(arctandedyxarctan2112 222111112xd)x(exarctan )x(dxxexarctan22211121212 dxx)x(xexarctan221122 16xxy1 dyxxlney 21xxlneyxxln dxxxlnxdxydyx211 设设求求解解 因为因为所以所以则则 例例6 6（统考）（统考）例例7 7已知函数已知函数21xarcsinxtany 求求dy解解 因为因为222211111xx)x(xtanxarcsinxsecy 所以所以 dx)xxxtanxxarcsinx(secdy222211 （统考）（统考）17例例8.8.解解在下

11、列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 181、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例1.1.?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米

12、厘米半径伸长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径解解,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 的应用的应用七、微分在近似计算中七、微分在近似计算中192、计算函数的近似值、计算函数的近似值;xx)x(f).(附近的近似值附近的近似值在点在点求求01 )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxx

13、f ,360,30 xx20.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;x)x(f).(附近的近似值附近的近似值在点在点求求02 .)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令21常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()

14、0()( .1nx 22例例2 2.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 23八、小结八、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 24近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x ,0时时当当 x25思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有