复变函数与积分变换课堂PPT第一章.

1、复变函数复变函数工程数学工程数学（第四版）2名言名言 历史使人聪明历史使人聪明, , 诗歌使人机智诗歌使人机智, , 数学使人精细数学使人精细, , 哲学使人深邃哲学使人深邃, , 道德使人严肃，道德使人严肃， 逻辑修辞使人善辩。逻辑修辞使人善辩。 培根培根3 有史以来有史以来, ,人们的文化在某些人们的文化在某些方面单单以他们的数学知识以及方面单单以他们的数学知识以及处理数学的能力来衡量处理数学的能力来衡量. . _M._M.希尔希尔 4一、本课程的特点一、本课程的特点 本课程是工程数学系列课程之一。本课程是工程数学系列课程之一。 1.1.复变函数复变函数 主要内容是讨论复数之间的依赖关系主

2、要内容是讨论复数之间的依赖关系, ,其主要研究对象是解析函数其主要研究对象是解析函数. .是实变函数微积是实变函数微积分的推广与发展分的推广与发展. .广泛应用于自然科学众多领广泛应用于自然科学众多领域域. .2.2.积分变换积分变换 是通过积分运算是通过积分运算, ,把一个函数变成把一个函数变成另一个函数另一个函数, ,也也是在实变函数微积分的基础是在实变函数微积分的基础上发展起来的上发展起来的. .广泛应用于自然科学和工程广泛应用于自然科学和工程技术领域中技术领域中. .绪绪 论论5二二. .主要内容主要内容1.1.复数和复变函数复数和复变函数 (4(4学时学时) )3.3.复变函数的积分

3、复变函数的积分 (6(6学时学时) )4.4.级数级数 (6(6学时学时) ) 有关应用 2.2.解析函数解析函数 (8(8学时学时) )5.5.留数及其应用留数及其应用 (8(8学时学时) )6.6.保形映射保形映射 (2(2学时学时) )7.7.傅里叶变换傅里叶变换 (8(8学时学时) )8.8.拉普拉斯变换拉普拉斯变换 (6(6学时学时) )6 要学好这门课程，需要做到以下几点：要学好这门课程，需要做到以下几点：1.1.树立快乐复变的理念树立快乐复变的理念. . 宽松宽松, ,和谐的氛围和谐的氛围, ,愉悦地学习心情愉悦地学习心情2.2.养成预复习养成预复习, ,做练习的习惯做练习的习惯

4、. . 做练习题是学好数学的关键做练习题是学好数学的关键, ,练习是学习练习是学习 数学的专利数学的专利. .3.3.掌握把本课内容与高数内容联系起来的方法掌握把本课内容与高数内容联系起来的方法. . 其内容是实变函数在复数领域内的推广其内容是实变函数在复数领域内的推广, ,掌掌 握它们间的相似处与不同点握它们间的相似处与不同点. . 三、学习方法三、学习方法 7 攻城不怕坚攻城不怕坚, , 读书不怕难读书不怕难, , 科学有险阻科学有险阻, , 只要肯登攀只要肯登攀. . _ _叶剑英叶剑英第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1 复数及其代数运算2 复数的几何表示3 复数的乘幂与方根4

5、 区域5 复变函数6 复变函数的极限与连续性1 复数及其代数运算复数及其代数运算1.复数的概念2. 复数的代数运算1. 复数的概念复数的概念定义定义：在实数范围, 方程 21x 21i 是无解的. 因此引进一个新数 i, 称为虚数单位虚数单位, 规定为复数复数, x , y 分别称为 z 的实部实部和虚部虚部, 记作两个复数相等相等, 是指的它的实部和虚部分别相等.复数 z = 0, 指实部和虚部都是0. 且复数不能比较大小. 对于任意二实数 x , y, 称或zxiyzxyiRe( ),Im( )xzyz当zyi时, 0,0 xy称为纯虚数纯虚数。 2. 复数的代数运算复数的代数运算 当z1

6、,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致。复数的加, 法和乘法定义为111222,zxiy zxiy称上面二式右端为 z1,z2 的和和,差差与积积。11221212()()()()xiyxiyxxi yy112212122112()()()()xiyxiyx xy yi x yx y称满足212(0)z zz z的复数zxiy为z1除以z2的商商, 记作12zzz与实数一样，复数运算也满足交换律交换律,结合律结合律和分配律分配律:12211 22 1,;zzzz z zz z1231231231 23()(),()();zzzzzz z z zz zz1231 21 3().z zzz zz

7、 z112122112222222222zx xy yx yx yzizxyxy因此共轭复数共轭复数1112121 21 222i),;zzzzzzz zz zzz把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个共轭复数有如下性质：如果，那么 。zxiyzxiy复数称为共轭复数共轭复数,与z 共轭的复数记作 。zii);zz22iii)Re( )Im( ) ;zzzziv)2Re( ),2 Im( )zzzzziz 解解例例1 1 设1255 ,34zi zi 12zz( 1520)(1520)71.2555ii ，求12.zz与125534zizi 1271.55ziz 所以(55 )( 34 )(

8、 34 )( 34 )iiii 解解例例2 设131izii 33()22ii ，求.zz与133 (1)1()(1)(1)iiiiziiiiii 31Re( ), Im( ),22zz 所以Re( ), Im( )zz31,22i22315.222zz 16解解例例 求满足下列条件的复数z :(1)| 2;zzi(2)(12 )43 .i zi(1)设设,zxiy则则222,xiyxyi由由222,1xxyy 得得3.41xy故故3.4zi(2)4312izi则则2.zi2, i证证例例3 设111222,zxiyzxiy12122112()()x xy yi x yx y, 为两个任意复数

9、，1 21 21 22Re().z zz zz z12121 22()2Re().x xy yz z1 21 21 21 21 22Re().z zz zz zz zz z或证明证明1 21 211221122()()()()z zz zxiyxiyxiyxiy12121221()()x xy yi x yx y2 复数的几何表示复数的几何表示1.复平面2.复球面1.复平面复平面 所以复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系, 此时, x 轴称为实轴实轴, y 轴称为虚轴虚轴, 两轴所在的平面称为复平面复平面或 z 平面平面. 这样, 复数与复平面上的点成一一对应, 从而使我们能借助几何语

10、言和方法研究复变函数从而复数可以用该平面上的坐标为zxiy的点( , )x y来表示，这是复数的一个常用表示方法。由一对有序实数zxiy( , )x y唯一确定, 一个复数问题。OxyxyqPz=x+iy|z|=r22| zrxy在复平面上, 复数 z 还与从原点指向点z=x+iy 的平面长度称为z 的模模或绝对值绝对值, 记作向量一一对应, 因此复数z 也能用向量来表示。向量的OP 显然, 还有下列各式成立| |,| |,xzyz| |,zxy22|.zzzz在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边tg(Arg )yzxArgzq这时, 有称为z的辐角辐角, 记作的角的弧度

11、数q一个, 则为任意整数)1Arg2(zkkq0argzq给出了z的全部幅角, 在(0)z 的幅角中, 满足0q的0q称为Arg z的主值主值, 记作arctg,0,0,0arg2arctg,0,0,0,0yxxxyzyxyxxy幅角不确定。时，arg z0z 当argtg.22yx其中0z 当| |0z 时, , 可由右边关系确定：是其中的0z 1q有无穷多个幅角, 如果任何一个复数由复数运算法则, 两个复数Oxyz1z2z1+z2且成立不等式加减法一致。如图(三角不等式),1212| |zzzzOxy2z12zz2z1z1212| |zzzz原点上, 还有 。argargzz 一对共轭复数

12、 z在复平面内z和| |zz，如果 z 不在负实轴和Oxyiyxzzxiy的位置是关于实数轴对称的, 因而 z1和z2的加减法和相应的向量的利用直角坐标与极坐标的关系：OxyxyqPz=x+iy|z|=r(cossin ),zriqqcos ,sin ,xryrqqizreq可以将 z 表示成三角表示式三角表示式：cossinieiqqq得指数表示式指数表示式： 利用欧拉公式1)122 ;zi 解解 例例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。2)sincos.55zi1) 显然, |1244rz。又 z在第三象限，则 235arctanarctan.3612q 554 cos()sin()

13、 .66zi564.ize因此，z 的三角表示式为235arctanarctan.3612q z 的指数表示式为2) 显然, | 1rz, 又 3sincos()cos,525103cossin()sin,5251033cossin.1010zi310.ize故z 的三角表示式为z 的指数表示式为2532)1tan ().2ziq q 解解 例例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。1)13 ;zi 1) 显然, |1 3rz所以，argarctanxzy2,132cos()sin()33zii 32.ie3arctan()1.3 2632)1tan ().2ziq q 解解 例例 将下列复

14、数化为三角表示式与指数表示式。1)13 ;zi 2) 显然, 2|1tanrzq所以，当argarctanarctan(tan )yzxqsec ,q 32q时，有1tansec cos()sin()ziiqqqq ()sec.ieq q .q1 2121) | |;z zzz证证 例例2 设12122) | |.zzzz又为两个任意复数，证明：12,zz1 21 21 21 21 21) |()()()()z zz zz zz zz z1 12212()()|.z zz zzz21212122) |()()zzzzzz1212()()zzzz1 1222 11 2z zz zz zz z22

15、122 11 2|,zzz zz z1 21 21 22Re().z zz zz z22212121 2|2Re()zzzzz z22121 2|2|zzz z221212|2|zzzz212(|) .zz所以两边开方，应得到所要证明的三角不等式。解解 例例3因此，复数形式的参数方程为将通过两点121121(),()().xxt xxtyyt yy 由此得知由取111222,zxiyzxiy形式的方程来表示。的直线用复数已知通过点1122( ,), (,)x yxy的直线可用参数方程表示为121(). ()zzt zzt 121(). (01)zzt zzt 的直线段的参数方程可以写成到1z2

16、z，得知线段的中点为12t 1 2z z122zzz解解 例例4设求下列方程所表示的曲线：zxiy或1) | 2;zi1) 从几何上看，方程表示所有与点i距离为2|(1) | 2xyi，方程可变为22(1)2,xy也就是2) |2 | |2|;ziz3) Im()4.iz的点的轨迹，即中心为i，半径为2的圆。也可用代数22(1)4.xy方法求出该圆的直角坐标方程。所以yx ，那么轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，它的2) |2 | |2|;ziz3) Im()4.izIm()1izy 2) 从几何上看，方程表示到两点距离相等的点的方程为。也可以用代数的方法求得。3) 设zxiy(1)i

17、zxy i从而立即可得所求曲线方程为3y ，这是一条平行于x轴的直线。31解解 例例求下列方程所表示的曲线：1) | |1|;ziz2) |3|3| 10;zz3) |1|1| 2.zzyx 点的轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，它1) 从几何上看，方程表示到两点距离相等的的方程为。也可以用代数的方法求得。2212516xy的点的轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，2) 从几何上看，方程表示到两点距离之和为定值它的方程为。也可以用代数的方法求得。32解解 例例求下列方程所表示的曲线：1) | |1|;ziz3) 从几何上看，方程表示 z 到1的距离与 z 到|1|1| 2.zz的

18、点集是实轴上的闭区间1,1。2) |3|3| 10;zz3) |1|1| 2.zz1的距离之和为2，而1到1的距离也为2。因此 z 只能在线段1,1上，即满足条件另一点N。称N为北极北极， S为南极南极。 NSOxyPz2. 复球面复球面除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数。取一个与复平面切于原点0z 的球面, 球面上的一点 S 与原点重合。通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作。这样的球面称作复球面复球面。于复数来说

19、，实部、虚部与辐角的概念均无意义，但包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面。不包括无穷远点在内的复平面称为有限平面有限平面，或称复平面复平面。对其模规定为正穷大，即| 。对于其它复数 z都有| z 关于的四则运算作如下规定：0,(),(0,0 除法除法：但可为)加法加法：() 至于其它运算，不规定其意义。(0) 乘法乘法：() 减法减法：3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1. 乘积与商2. 幂与根设有两个复数.乘积与商乘积与商于是11112222(cossin),(cossin),zrizriqqqq那么1 21 21122(cossin)(cossin)z zrriiqqqq1

20、212121212(coscossinsin)(sincoscossin)rriqqqqqqqq1 21212cos()sin()rriqqqq定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。1 2121 2| |(),z zzzrr1 212Arg()ArgArg.z zzz从而有用指数形式表示复数:q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋转一个角度 ，如图所示相当于将z1的模扩大|z2|倍1 2z z2Argz121122e ,eiizrzrqq(cossin),(1,2, ),kikkkkkzr eriknqqq则则定理可以表示为：12()1 21

21、 2eiz zrrqq1 21 21212cos()sin()nnnnz zzrrriqqqqqq由定理进一步可证，如果12()1 2eninrrrqqq当用向量表示复数时，2211zzzz定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差。22212111|, ArgArgArgzzzzzzzz22221111|,ArgArgArg.|zzzzzzzz10z 按照商的定义, 当时, 有由乘积公式有于是由此得如果用指数形式表示复数：,e,e212211qqiirzrz)(121212eqqirrzz定理二可简明地表示为：。根据复数乘法，有解解 例例1

22、即为所求的顶点已知正三角形的两个顶点为所以121,2zzi求第三个顶点。如图，将3旋转3312113()()(1)22izzezzii类似可得3331322zi3zOxy2z1z3z3z21zz表示绕1z或3得到另一个向量，它的终点3z3z或1313()()2222i33313.22zi 40。根据复数乘法，有解解 例例向量，它的终点即为所求的顶点已知等腰直角三角形的两个底角的点分别为所以121,2zzi，求顶点。如图，将4旋转43121211()()(1)222izzezzii类似可得31zi 3zOxy2z1z21zz表示绕1z或4，长度再缩短3zi43121211()()(1)222iz

23、zezzii1或32z 22得到另一个2. 幂与根幂与根. 个nnzzzz则对任意正整数 n, 有 n 个相同复数 z 的乘积称为z的 n次幂次幂，记作 ，即nz(cossin).nnzrninqq1nnzz若定义，那么当 n为负整数时上式也成立。(cossin )cossin.nininqqqq时，则有棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式1r 特别地，当下面用棣莫弗公式求方程nz的根，其中 z 为已知复数。如 n为正整数, 则一个复数的 n 次根不止有一个, 而是方根方根设z为己知, 方程nz的根称为z 的n次根次根，都记为1/nnzz，即nz有 n 个, 下面就来求出这个根nz先不妨

24、令(cossin ),(cossin ),zriiqq 由棣莫弗公式有(cossin)(cossin ),nninriqq于是,coscos ,sinsin ,nrnnqq则上式成立，必有1,2,(0, 1, 2,).nrnkkq 122cossin.nnkkzrinnqq由此，可得12,(0, 1, 2,).nkrknq 其中，1nr是算术平方根，所以时，得到 n个相异的根：当0,1,2,1kn10cossin,nrinnqq1122cossin,nrinnqq112(1)2(1)cossin.nnnnrinnqq当k为其他整数值代入时，这些根又会重复出现。在几何上, 不难看出：z1/n的n

25、个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例如 k = n 时，122cossinnnnnrinnqq10cossinnriwnnqq解解 例例2 求41 i因为12(cossin),44ii 即所以84224412(cossin),(0,1,2,3)44kkiik 802(cossin),1616wi81992(cossin),1616wi8217172(cossin),1616wi8325252(cossin),1616wi这四个根是内接于中心在原点，半径为82的圆的正方形的四个顶点，且有102030,.wiwwwwiw 46解解 例例求4i因为33cossin,

26、22ii 即所以4332222cossin,(0,1,2,3)44kkiik 033cossin,88wi177cossin,88wi21111cossin,88wi31515cossin,88wi这四个根是内接于中心在原点，半径为1的圆的正方形的四个顶点，且有102030,.wiwwwwiw 47解解 例例求方程610z 因为61cossin ,zi 即所以6221cossin,(0,1,2,3,4,5)66kkik 0cossin,66wi133cossin,66wi255cossin,66wi377cossin,66wi的所有根。499cossin,66wi51111cossin,66w

27、i4 区域区域1.区域的概念2.单连通域与多连通域1. 区域的概念区域的概念平面上以z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆：dz0内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式0|zzd所确定的点集为z0的去心邻域。00 |zzd设G为一平面点集, z0为G中任意一点。 内点内点：若存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点开集开集：如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集。区域区域：若平面点集D是一个开集，且是连通的，也就是D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来，则称D为一个区域。但在P的任意小的邻域邻域内总包含有D中的点, 边界点边界点：设D为复平

28、面内的一个区域区域, 如果点P不属于D, 则点P称为D的边界点边界点。 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。边界边界： D的所有边界点组成D的边界边界。 C3C2zg1g2C1PxyDO如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点 z 都满足 |z| M, 则称D为有界的有界的, 否则称为无界的无界的。满足不等式r1|z-z0|0角形域：0arg zxyxab带形域：aIm zb.单连通域与多连通域单连通域与多连通域在数学上, 常用参数方程表示各种平面曲线。若 x(t)和 y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组代表一条平面曲线, 称为

29、连续曲线连续曲线。令则此曲线可用一个方程来代表。这就是平面曲线的复数表示式。( ),( ),()xx tyy tatb ( )( )( ),z tx tiy t( )()zz t atb 且 t的每一个值, 有这曲线称为光滑的光滑的, 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线, 称为按段光滑曲线按段光滑曲线。22 ( )( )0 x ty t( )y t( )x tatb 都连续, 上和如果区间连续不连续光滑不光滑z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)重点的连续曲线C, 称为简单曲线简单曲线或若尔当若尔当(Jardan)曲线曲线

30、。如果简单曲线C的起点与终点闭合, 即z(a)=z(b), 则曲线C称为简单闭曲线简单闭曲线。设:( )()C zz t atb 为一条连续曲线, ( )z a( )z b与分别为C的起点起点与终点终点。对于满足12,atb atb的t1与t2, 当12tt12( )( )z tz t而有时, 点1( )z t称为曲线C的重点。没有定义定义：定义：定义：内部外部C任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去C外, 一个是有界区域, 称为C的内部内部, 另一个是无界区域, 称为C的外部外部, C为它们的公共边界。单连通域多连通域复平面上的一个区域区域B, 如果在其中任

31、就称为单连通域单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域多连通域。作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 一条简单闭曲线的内部是单连通域。 单连通域B具有这样的特征：属于B的任何 一条简单闭曲线，在B内可以经过连续的的变形而缩成一点，多连通域则无这个特征。 5 复变函数复变函数1. 复变函数的定义2. 映射的概念1. 复变函数的定义复变函数的定义定义定义如果 z的一个值对应着w的一个值, 则函数 f (z)是单值单值的； 定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数 z, 就有一个或几个复数数w是复变数z的函数函数(简称复变函数复变函数), 记作否则就是多值多值的。

32、集合G称为 f (z)的定义集合定义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*, 称为函数值集合函数值集合。zxiy( )wf z的集合, 如果有一个确设G是一个复数wuiv与之对应, 则称复变在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面区域, 称之为定义域定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数单值函数。由于给定了一个复数实数 x和y, 而复数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w =f (z)相当它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.例如, 考察函数令因而函数 w = z2 对应于两个二元函数:zxiy就相当于给定了两个wuiv亦同样地对应着一对实数

33、于两个关系式:( , ),( , )uu x y vv x y2wz,zxiy wuiv，则222()2,uivxiyxyxyi22,2.uxy vxy2. 映射的概念映射的概念定义如用z平面的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)在几何上就可看做是把 z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换)。这个映射通常简称为由函数w = f (z)所构成的映射。如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象。例如，函数wz所构成的映射，是一个关于实轴的对称映射，把

34、任一图形映成关于实轴对称的全同图形。2wz再如，函数所构成的映射，可以把 z 平面上与正实轴交角为的角形域映射成 w 平面上与正实轴交角为2的角形域。如下页图。2xyOuvOz1z2w2z3w3w1xyOuvOABCz1z2ABCw1w2函数2wzwz函数假定函数 w= f (z)的定义集合为z平面上的集合G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点。按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值(或多值)函数反函数反函数, 也称为映射w = f (z)的逆映射逆映射。从反函数的定义可知, 对任意的wG*, 有当反函数为单值函数时, 也有 ( )wfw(

35、 )zw，它称为函数w = f (z)的 ( ),zf zzG今后，不再区分函数与映射 (变换)。若函数与它的反函数都是单值的，那么称函数是一一的。也称集合G与G*是一一对应的。6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性.函数的极限.函数的连续性1.函数的极限函数的极限Azfzz)(lim0作当zz0时, f (z)A。如图定义：内，如果有一确定的数A存在, 对于任意给定的地必有一正数则称A为f (z)当z趋向于z0时的极限极限, 记作设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域去心邻域00zz0, 相应( )(0) , 使得当00zz时有( ),f zA, 或记xyOz0dzOuvAe

36、f(z)几何意义：z0的充分小的点 f (z) 就落 A的预先给定的邻域中。应当注意, z 趋向于 z0的方式是任意的, 无论以何种方式趋向于 z0, f (z)都要趋向于同一常数 A。当变点z一旦进入邻域时, 它的象000000lim ( , ), lim ( , ).xxxxyyyyu x yuv x yv0lim( )zzf zA充分必要条件是则证证 必要性:00()()uivuiv0lim( )zzf zA任给，根据极限的定义有如果, 存在,当时，或当这就是说时，00000()()xiyxiy00|,|uuvv22000()()xxyy000000lim( ,), lim( ,)xxx

37、xyyyyu x yuv x yv00()()uui vv因此有00000( )( , )( , ),f zu x yiv x y Auiv zxiy定理一定理一 设充分性充分性: :0000|( )| |()()| |f zAuui vvuuvv如果由极限定义，对于任给，总存在，使当时，而则当时，有000000lim ( , ), lim ( , )xxxxyyyyu x yuv x yv0022000()()xxyy00|/2,|/2uuvv0lim( )zzf zA00 |zz即|( )|22f zA定理定理二二02) lim( ) ( )zzf z g zAB定理一将求复变函数的极限问题转化为求两个二元定理一将求复变函数的极限问题转化为求两个二元，则，则00lim( ), lim( )zzzzf zAg zB0